曲率之形狀指標

(a) (b) 圖 2-29 物體的區域特徵 (a) (b) θ

2.5.3 曲率之形狀指標

在計算曲率的形狀指標(shape index)前，必須要先計算曲率。曲率(curvature)是一個 描述幾何物體不平坦程度的量，平坦對於不同幾何體不同的意義，例如：對於曲線而言，

平坦就是直線；對於曲面而言，平坦就是平面，在二維空間 中，曲線 (x ,y)=0 上的點 ，可用一圓去近似該點 附近所形成的曲線，如圖 2-31 所示，並定義曲率

n , n , n ^T θ

φ

37

大小 K _R ，R 為此圓之半徑，也可以寫成 K · 。

圖 2-30 二維曲率的定義之示意圖

然而，在三維空間 中，曲面的曲率也可以用來描述該曲面在三維空間中的彎曲 變化程度。曲面曲率在微分幾何學(Differential Geometry)[33][34]中，常用的主曲率 (principal curvature)，高斯曲率(Gaussian curvature)以及平均曲率(mean curvature)。

主曲率是考慮區域曲面 上該點 的法向量 與該點 之切平面 T 上任一 向量所形成的平面 與該曲面 之交集，這個交集將是一個平面曲線，計算此平面 曲線 上的點 的曲率。當任意的切平面向量 ，會對應到其曲率值 k ，其中 點 的曲率值會有兩個極值 k 與 k ，稱為主曲率(principal curvatures)；

此外，極值的方向為 , 且 ，即對應的切平面向量之方向稱為主方向 (principal direction)，如圖 2-31 所示。其中 k , k 與 k 會有下列關係式 如下式所示，稱之 Euler 公式[36]：

k k cos θ k sin θ, 2.39 其中 θ 為 與 之夾角。

R

38

圖 2-31 馬鞍面的主曲率計算之示意圖 資料來源:Wikipedia, author: Eric Gaba.

高斯曲率 K 定義為兩個主曲率的乘積，K k k ，而平均曲率 H 定義

為兩個主曲率的平均，H k k 。

高斯曲率可以決定該局部曲面是凸的(convex)，若高斯曲率的值大於 0；該局部曲 面是局部鞍點(locally saddle)，則高斯曲率的值小於 0，例如：對於球面、橢球面、單葉 雙曲面、橢圓拋物面時，高斯曲率為正，對於偽球面、雙葉雙曲面的一葉、雙曲拋物面 為負，對於平面與圓柱體為 0；反之，對於平均曲率而言，平面的平均曲率為 0，但圓 柱體非 0。

主曲率之計算[34]，可利用微分幾何學中的曲面， 可表示下式：

: , , , , , , 2.40

, ,

, 是 , 兩向量所形成平面之局部座標值 , ， , , 可以標示成 , 為基底 的參數式 。

曲面第一基本形式(first fundamental form)，其係數可寫對稱矩陣形式，如下式所示：

T

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E F

最後算出該點 的區域特徵 SI 。

在深度資訊中要計算出該陣列中每一點的主曲率，可參考 A. Gray[36]或 P. Krsek, G.

Lukacs 與 R. R. Martin[37]所提出的方法去計算某點之曲率；然而，本論文提出了一個 計算三維曲率的演算法。首先，跟計算 2.1.1 節的深度資訊 中每點 的 法向量作法一樣，首先，定義出一個遮罩(mask) S ，遮罩大小為 S S，其遮罩內的係 數為 w 1 ，計算遮罩下所對應的點集合 P , _,··· , ,···, _SS 所形成的曲面

，其遮罩中心對應的點為 為曲面的代表點，以 3 3為例，其中 如下圖 2-32 所示。

w w w

w w w

w w w

(a) (b)

圖 2-32 3 3的遮罩內的係數與對應的點集合 (a)係數 (b)點集合

在本論文中，為了快速計算主曲率，首先先計算 法向量 ，如 2.1.1 節 所敘述的，然後任選兩垂直切平面向量(tangent direction) 與 作為近似曲率主方 向 , 的切平面向量，而 , 投影在深度影像所在之切平面 上的向量為 及 ，即深度資訊陣列中的鉛直方向與水平方向，如圖 2-33 所示。

(a) (b)

圖 2-33 計算曲率方式之示意圖 (a)側面投影圖 (b)三維空間投影圖

P P

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若要沿著該點 與附近的點形成的曲面 _P 之切平面向量 , ，先利用內插法