第二章 相關技術原理
2.2 三維雜訊處理
2.2.2 移動式最小平方法
由 Lancaster 與 Salkauskas[23]所提出的移動式最小平方法(moving least square)，
是將原本加權最小平方法(weighted least square)，如下式所示：
min∏ , 2.8
作改良，最後如下式所示：
, min
∏ , 2.9 主要用於使多維資料中的點分布較為平滑，是將原本作為輸入的任意固定點 ,
，改成此固定點 可移動於整個參數域 中，利用多個區域函數 去近似一 個全域函數 ，其中 是一個加權函數(weighted function)。
移動式最小平方法也被應用在電腦圖學領域中，Marc Alexa[24]等人應用移動式最
14
小平方法來處理三維空間的資料點，是專門針對三維物體之曲面表示(representation)或 是三維場景之重建(reconstruction)等問題，這個方法也可以解決在使用雷射測距儀或是 其他儀器去取得物體表面的點資料時，出現取樣不均(up-sampling or down-sampling)或是 測量距離誤差的問題，利用移動式最小平方法去對這些三維資料點重新取樣以改變原本 三維資料點的位置，可計算出近似原本物體曲面上的點；此外，也應用在處理電腦中三 維模型，改變曲面的平滑程度，使物體表面更為平滑且連續，這些問題在電腦圖學領域 中是個重要的議題。在本論文中，將使用移動式最小平方法使三維資料點所建立的曲面 平滑化，以達成消除雜訊的效果。
Marc Alexa 等人所提出的概念如下所示：
假設某區域曲面 P 是物體表面 的一部分，在使用雷射測距儀取得物體表面上 的所有點資料集合 P 時，因為測量誤差的關係，導致所量測到之每一個區域曲面上的 點集合 P 可能不在曲面SP上，其中 為代表此集合 P 的點， 如圖 2-6(a)所示，
為了要獲得一個區域曲面 P 以近似原本曲面 P，首先，將此空間點集合 P 重 新取樣，找出一群更能代表曲面 P 的點集合 R ，其中 為代表此集合 R 的 點，如圖 2-6(b)所示，再利用加權最小平方法去求出點集合 R 的近似區域曲面 P (MLS surface)，以近似真正的曲面 P，最後再將 投影至近似區域曲面 P 上，以獲得投 影點 ，重複此步驟使得 P 中的所有點都進行更新，如圖 2-6(c) 所示，這樣被稱為 移動式最小平方法，這個方法可以確保近似的區域曲面 P 與原本的區域曲面 P 的誤 差會達到最小，如圖 2-6(d)所示。
15
f
算該群空間點集合中的每點 與 的距離 ，然後加上加權函數 w ，
且 T 1，欲求出投影點 ，如圖 2-8 所示。
圖 2-8 投影點的區域座標
由圖 2-8 可得 H，如下式所示：
H u , v T , T . 2.15 步驟四：求得近似區域曲面 P
在此局部座標系統，令一個最高次為 n 次多項式來表示此近似區域曲面 P，如下式 所示：
P g u , v c u v
,
c u c , u v ··· c , 2.16
由(2.15)式將計算出來的投影點集合QH H 代入(2.16)式中，並計算出該區域曲面
P 的多項式係數 c c , ··· c c T，其中係數的總個數為 。 因為 g u , v 要使此加權最小平方法誤差為最小，要滿足下式：
g u , v – f , 2.17 其中，g u , v 為投影點 H 跟區域曲面 P 的距離。
步驟五：最後求得 投影至區域曲面 P 的投影點 定義 在區域曲面 P 的投影點 ，如下式所示：
g 0,0 , 2.18 其中，g(0,0)是 跟區域曲面 P 的垂直距離，即區域曲面 P 之多項式的常數係數 c ， 再將原本 沿著法向量方向移動長度 g 0,0 ，即可得到區域曲面 P上的近似投影點
， 再 將 之 前 設 t 代 入 (2.18) 式 ， 最 後 可 得 ， 如 下 式 所 示 ：
18
t c . 2.19