最佳化設計之數值計算方法

以適當的步長沿著目標函數值下降的方向，逐步的朝向目標函數值的最佳點進行 搜尋，逐步的逼近目標函數的最佳點。UG/KF 所提供的最佳化類指令，對於解 最佳化模型為疊代(Iteration)形式的數值方法。

疊代法簡單的說就是步步逼近，最後達到目標函數的最佳點。數值計算的疊 代方法具有以下幾項特性：

(1) 以數值計算的方法並非數學分析方法。

(2) 具有簡單的邏輯結構並且能夠進行重複相同的計算。

(3) 計算後所得到的值為逼近精確解的近似解。

一般疊代形式包括給定初始值、疊代定義(Iteration definition)以及中止要件 (Termination condition)三個部份，此三部份的關係如圖 4-6 所示。使用各種數值 計算方法時，初始值的給定相當重要，若初始值越接近最佳點時，收斂的速度越 快。因此，必須了解數值計算方法的收斂性質屬於區域收斂(Local convergence)，

並非全域性收斂(Global convergence)，表示初始值若不在某特定區間之內，或者 無法滿足要求，則該演算法不會收斂。

圖4-6 疊代流程圖

透過疊代法求解最佳化的步驟可歸納成下列幾項：

(1) 進行最佳化求解過程中，必須先選擇初始點X ，接著由此初始點^{( )0} X 搜尋^{( )0}

接近目標函數的方向以及初始步長，得到X 點。 ^{( )1} (2) 取得X^{( )1}

(

點之後再選擇一個使新的函數值接近目標函數的方向以及步長，得 到X 點，依此類推，一步一步的搜尋與重覆計算，直到目標函數的最佳點，²⁾ 此過程的疊代形式可由下列所示：

^{X( )k+1 = X +( )k α( ) ( )k Sk} (4.7) 其中，使

^f (

)

^f ( )

X ：疊代計算過程中第 k 步的點。 ^{( )k α( )k} ：第k 步疊代計算的步長。

^{S( )k} ：第k 步疊代計算的搜尋方向。

(3) 在疊代過程中，每進一點後必須與原來的點相減，檢查此點與原來點相差的 值是否滿足預定的計算精度ε，若滿足則表示目前函數值已達到精度要求，

否則將繼續進行搜尋。表示式如下所示：

^f

(

)

( )

由線性代數得知，對於任何一個疊代公式進行計算，不一定可以得到逼近目 標的近似解，若此疊代公式進行計算後得到逼近目標的近似解，則此疊代公式為 收斂，反之則為發散。

理論上，每個疊代公式都能產生無窮點的設計方案。因此，只能進行有限次 的修改設計，直到取得適當近似解後應當停止。而設計方案不斷的修改直到目標 函數的最大值才停止計算，但是對於工程設計問題往往很難判斷其目標函數的最 大值。因此，必須使用的中止要件。中止與收斂並不相同，事實上在許多狀況下，

中止並不代表數值計算法已經收斂至理論最佳值。當數值計算法滿足中止要件 時，表示此設計點在預設的容許範圍內為滿足設計，或者是到達每次疊代之間的 變化已經非常小，而沒必要再疊代下去。因此，中止要件只能根據計算中的具體 情況進行判斷。此判斷方式有下列四種形式：

(1) 當目標函數在相鄰兩點的相差值小於計算精度時，中止疊代。

(2) 設計變數在相鄰兩點疊代的比值，小於相對收斂公差，則進行收斂。

(3) 理論上，當最佳化運算器進行運算時，若違反約束條件，即使得到最佳化的

結果，最佳化運算器仍不考慮將此一最佳化結果及其相應的設計變數。但實 務的應用上有時並非如此嚴謹。因此，有些約束條件，只是希望限制在某一 約束條件內，但即使超出此一約束限制少量，並不致於對整個最佳化系統有 太大的影響。因此，使用者可應用此一參數，設定最佳化過程最大允許約束 差異值，在最佳化過程中，即使違反約束限制量，但在此一設定值內，若有 最佳化結果，則仍視其結果為可接受的最佳化結果。

(4) 疊代次數。在每項數值計算法都會包含此項中止要件，此中止要件的目的在 於最佳化模型有錯誤時，或者數值計算法無法收斂的情況下，使數值計算法 不會無窮盡地迭代。若對最佳化模型進行測試，則可將疊代次數設定少一些，

節省計算資源。若疊代次數超過最大疊代次數而中止，則表示運算失敗，所 得到的結果可能是發散的，甚至不可行的設計點。