有限元分析

有限元素法是在 1950 年代，航空工程師嘗試去分析飛機複雜的結構 問題所提出的一種數值分析方法[28]。在 1963 年 Melosh 作了一項重要的 理論貢獻，證明有限元素法其實只是將著名的Raleigh-Ritz 程序作變化而 已[29]。其後研究人員先後提出有關結構力學、熱傳導與流體力學的元素 方程式，亦能用加權剩餘程序來導出，從而擴大了有限元素的應用範圍，

使其能應用到任何的微分方程式[30][31]。這種方法是將系統的位能極小化 後，導出一組線性平衡方程式。

3.2.1 有限元素分析簡介

有限元素分析就是一種為了解決複雜的實際問題，進而發展出的一種 數值分析法。其基本概念是任何連續量，均可用一不連續函數作近似的表 示。將所謂的結構或系統切割成許多有限的簡單幾何形狀和尺寸的元素單 元，再對每個元素單元給予適當的系統方程式（governing equations），從 而可推導出整體結構或系統行為的主宰方程式。經由這樣的處理方式，可 處理許多複雜的工程問題。

其基本計算處理步驟為：

步驟一、分割：將連續區域分隔在有限次區域，每一個次區域稱之為元素，

並標出各個節點的編號及座標。

步驟二、給予元素方程式：對特定元素而言，它不但是獨立的，且相關的

各種性質也能經由計算得出。

步驟三、組合元素方程式：利用許多元素性質的總和趨近於整體結構或系 統，將各元素的方程作組合。

步驟四、解聯立方程組：求解所列方程組。

步驟五、收斂性及誤差探討：經由此探討評估此次有限元素分析之計算是 否在可接受範圍內。

圖3.2 有限元分析流程圖 是

不合理

工程問題

建立有限元素模型

。材料性質

。定義幾何形狀

。產生離散元素

給予負載

。邊界條件

。負荷條件

分析求解

結果

合理

否 提出改進方法

問題解決或較佳設計

3.2.2 有限元素分析參數選用說明

在套裝軟體分析方面，我們在大部分比較上利用平面2D 結構簡化 3D 實體（在MEMS 及定位平台設計上多以平面為主），但我們會先針對 2D 和3D 作一比較分析，故此研究中我們選用 SHELL62 和 SOLID95 兩種元 素形態。

SHELL63 為一 2D 薄殼結構，具有彎曲及薄膜特性。可承受與平面同 方向及法線方向的負載。各元素具有X、Y、Z 之位移及旋轉等方向之六 個自由度，適用於應力強化及大變形之效應分析。可選用連續相切矩陣作 大變形分析（有限之旋轉）。

SOLID45 為一立體結構，用於模擬 3D 實體。每個節點具有 X、Y、Z 之位移方向的三個自由度，元素具有塑性、潛變、膨脹、應力強化，有大 變形和大應變的特性。

選定以鋁合金材料參數做分析（Young’s modulus=208*10⁹ Pa、Poisson’s ratio=0.27），因國內研究定位平台學者大多此材料切割成順從機構，而在 微機電製程方面雖然是以矽基材為主，但是由於在該部分我們著重於其相 對撓性，即驅動電壓越小越好，故我們在該部分分析比較只討論相對的表 現。設定整體區域為35mm*15mm，以左右兩塊 10mm*15mm 的固定塊材 為撓性絞鍊之兩端結構，中央15mm*15mm 部份即為我們進行設計撓性絞 鍊的區域。將左邊邊緣視為固定端，右邊邊緣為我們的施力端。