有限元素法原理

本研究數值分析主要使用有限元素法，而為了讓此法使用起來更有 效率，尚需前、後處理程式來配合。有限元素法是目前最廣為學術界與 工業界使用的分析工具之一，其應用已經有超過一百年以上的歷史。其 發展是由結構分析矩陣的方法開始，起初是應用在以梁跟桁架為主的鋼 結構上，而後將理論引用至各個物理領域，由於有限元素法是許多數值 方法的組合，故其應用領域相當廣泛，舉凡固力、流力、熱傳、製造、

以及結構設計等，都可以有限元素法分析或模擬（王等，1997）。它的基 本原理是將工程問題的微分方程轉為積分方程，經過對問題的幾何分 割、變數內差近似後，最後轉換成聯立代數方程式，寫成程式，交由電 腦解出方程式中的未知變數，並做後續的處理。

以結構學為例，當一懸臂樑在尾端受到外力作用時，尾端的變形量 與外力會符合虎克定律而呈線性關係。將此一物理系統轉換成彈簧與質 點相聯接之系統，要想得知尾端受力及變形狀況是可以輕易達成的，但 假設要想得知其他位置的受力及變形狀況，則不能使用簡化成單一彈簧 的系統，而需要將此懸臂樑轉換成多個質點與彈簧的組合，其中彈簧代 表的即為元素單元，而質點為元素中之參考點。節點為分布在物理系統 中的參考點，它是組合成元素的基本要素。在有限元素法裡除了壓力外，

所有的外力都只能作用在節點上，所以只要有施予外力的地方都必須要 設定節點，如此才能將外力有效的作用到系統上。另外在建立節點時須 考慮到節點數是否夠多，以充分描述物體的位移資料，但又得斟酌節點

數過多會有運算時間太長的問題，所以要使用適當的節點數才能有效率 且準確的將物體的行為特性表現出來。

在有限元素法的求解過程中，非拘束點的位移是最先求得的資料，

稱之為主要資料。而之後再推導出來的資料則稱為衍生資料，如反力、

應力及應變等資料。主資料的結果與節點的資料有關，而衍生資料的結 果則是跟元素的資料有關。由此可知，主資料的準確性會跟節點的密度 有關，相對的衍生資料的結果除了受到主資料的影響外，又跟元素之特 性及細長比有關。所以在使用有限元素法時，如對結果有所疑慮，應注 意以上所提之特性（陳和林，2001）。由於對複雜結構的精確分析日益需 要，幾何不規則形狀，多變的材料性質，以及各種負載情況等各種因素 皆超越了嚴密理論數學的範疇。因此，有限元素法的模擬與分析相對提 高了應用價值。將實體的物件，分割成不同大小、種類、小區域稱為有 限元素。利用不同領域的需求，推導出每一個元素的作用力方程式，組 合整個系統的元素，構成系統方程式，最後將系統方程求出其解。

一般完整的有限元素程式包含前處理、分析程式和後置處理，其主 要步驟可區分如下（陳和林，2001）：

（1）元素、截面及材料定義：在此主要定義分析元件之元素型式、實體 常數以及材料性質，決定所分析之條件，如 2-D 或 3-D 元素以及線性 或非線性之材料特性，或考慮時間常數等問題。

（2）繪出幾何圖形：利用軟體提供的功能繪出點、線、面與體等幾何圖 形，或者經由 CAD 系統，用 DXF 檔、IGES 檔、SAT 檔、STL 檔輸入。

（3）物件分格：結構體外形定義完畢後，再將之分成小網格，在此所需

考慮網格之粗細，決定於所計算結果之收歛性誤差。

（4）定義邊界條件與負載：此步驟主要定義依假設之需求、結構固定的 部份或是對稱之條件，以及針對需求輸入外力或是能量等條件。

（5）分析：在此將物件依給定之條件分析出其結果，並提供應力、應變、

位移等資料的圖示及列示。

（6）結果：此一步驟包括全部後處理的功能。包括列示圖及分析結果，

也可以動態顯示振動模型或其他分析結果之圖形。

雖然有限元素具有如此多的優點，但卻也有一些限制，如有限元素分析 結果的合理性判斷困難，尤其是複雜結構物，需藉助其他方法如實驗輔 助、驗證或理論分析判斷，以使所得結果能讓人信服。

LS-DYNA 是一套泛用型的有限元素分析軟體，最早是由 J.O.

Hallquist 博士於 1979 年在美國 Lawrence Livermore National Lab.所開發 完成，早期研究主要在於計算結構物受衝擊負荷時應力分析。而後 Hallquist 博士成立了 Livermore Software Technology Corp.（LSTC），繼續 擴充其功能，而成為一完善之通用動態有限元素分析軟體。它包含了顯 性求解法與隱性求解法兩種求解模式，適合模擬線性、非線性、靜態、

動態、接觸力學、耦合等等的真實結構行為（趙，2003）。此 LS-DYNA 擁有龐大的材料庫和元素庫，有多種的接觸模式以提供高度的準確性，

目前全球工業界廣泛地應用於：電子封裝設計破壞分析、航太工業、汽 車工業、生醫力學、土木結構分析、貫穿爆炸及國防工業、鈑金成型模 擬分析、暨其它製造業。

LS-DYNA 是一個功能齊全的幾何非線性（大的位移、轉動和應變）、

材料非線性（140 多種材料動態模型）和接觸非線性（50 多種）的程式。

它以Lagrange 演算法爲主，兼有 ALE 和 Euler 演算法選項；以顯式求解 爲主，兼具隱式求解功能；以結構分析爲主，也可以進行熱傳導、流體-結構偶合、電磁場分布等分析功能；以非線性動力分析爲主，兼有靜力 分析功能。LS-DYNA 軟體應用有限元素法將實際的物理系統數值模型 化，依其控制方程式、初始條件及邊界條件予以求解。在標準的有限元 素法中，空間與時間的離散是分開的，首先，偏微分方程式藉由積分轉 換得到二階常微分方程式加上起始條件的離散化系統，再由逐步的時間 積分而求得近似解。有限元素軟體最主要的特點在於使用者只需要提供 分析模型正確的尺寸、正確的邊界條件與負載狀況，便能夠迅速得到精 確的解答。

5.1.1 前處理

本研究採用 Hypermesh 為前處理器，將利用其建模功能進行數值分 析模型的建立與修改；網格劃分、修正；材料性質、元素屬性之設定；

符合規範標準或試驗之邊界條件的設定，建成完整之 LS-DYNA 資料檔 並輸出，此一資料檔稍後將由LS-DYNA 讀入並進行分析。

5.1.2 主要求解程式

主要求解程式（Solver）為 LS-DYNA，則是用來進行計算、求解，

使用到的方程式有質量守恆、動量守恆、能量守恆、材料組構關係式、

運動方程式等。而這些冗長而繁雜的計算，透過一套完整的、系統性的

有限元素軟體來對時間域積分，再將初始條件及邊界條件代入求解，然 後得到大量的輸出資料，包括變形、速度、加速度、能量吸收、撞擊力、

應力、應變、壓力等，以歷時資料作為結果輸出。

5.1.3 後處理

後處理包括擷取歷時資料用的 LS-DYNA 後處理程式，以及觀看變 形及應力、應變分佈歷時動畫的 Hypermesh，未來進行組合屋地震模擬 分析時，還需要一套轉換位移-時間關係為加速度振幅-頻率關係之自行發 展的程式等三部份，但以現階段的本研究而言，暫不包括第三部份。透 過後處理器，可以觀察由主程式 LS-DYNA 執行後之各項結果，包含幾 何圖形、能量吸收、應力、應變、節點位移、作用力、加速度、速度、

變形、壓力等相對於時間歷程之曲線圖、應變圖、變形圖等。