有限元素法簡述

有限元素法在工業界的應用已超過一百年以上的歷史。發展上從 Matrix Structural Analysis 的方法發展開始，首先應用於 Beam 及 Truss 為主 的鋼構上，而後將理論引用至各個物理領域，例如熱傳· 流力等，現階段 有限元素法已經可以應用到許多物理領域。而有限元素法在求解問題中我 們以懸臂樑舉例，如圖 3.4 所示懸臂樑尾端受到一外力而產生變形，當外 力移除時可發現尾端變形量與外力的關係為線性關係，此現象恰好符合虎

圖 3.4 懸臂樑受力示意圖

而我們又可以將此物理系統可轉換成彈簧與質量點相聯接之系統，而彈簧 的剛性大小與懸臂樑的截面及長度有直接關係，我們只要知道懸臂樑的截 面以及長度與彈簧的剛性關係就可求得彈簧之剛性，最後使用虎克定律來 進行計算，就可算出懸臂樑尾端的受力。但此系統只能求出尾端受力及變 形的資料，若想知道懸臂樑中間點變形的情形，只使用一根彈簧的簡化系 統是無法求得中間點變形的情形需分解成由兩根樑組合而成的新系統，如 圖 3.5 所示。而新系統與新系統之間會有相連接處，我們一樣可能將懸臂 樑轉換成彈簧的簡化系統，這樣就可以使用虎克定律來進行求解。這些小 單元在有限元素法的專業名詞裡即稱為元素(Element)，而組合成元素的參 考點稱為節點(Node)。

圖 3.5 兩個新系統組成示意圖

節點它分佈在系統中也是組合成元素的基本要素，在有限元素中所有的 外力模式，都只能作用在這些節點上。在分析位移時要有足夠的節點，才 能利用這些節點將系統所受到的變形呈現出來，節點數多雖然可以將系統 的特性表現的越精確但必需花許多的時間在計算上。

在節點上都有一些描述這些物理量的變數，這些變數的數量就是這節點 的自由度(Degree of Freedom)，若我們以結構力學上來看一個節點通常最 多有三個自由度分別是 UX、UY、UZ。若換成薄殼元素，除了它有 UX、UY、

UZ 三個自由度外還包含 ROTX、ROTY、及 ROTZ 等共六個自由度，如圖 3.6 所示。所以節點上的自由度通常都跟它所屬的元素有關就因為如此，在計 算上不在是單純的純量數值關係而是向量矩陣關係，所面臨的計算及分析 更加複雜，有限元素分析軟體(ANSYS)因此產生。

圖 3.6 各元素的自由度

ANSYS 有限元素套裝軟體是個多用途工程分析軟體它的功能包含，靜力問 題(Static)、動力問題(Dynamic)、熱流問題(Thermal and Fluid)及挫曲 (Buckling)………等等其他問題，如圖 3.7 為 ANSYS 軟體分析領域。使用 者可利用有限元素分析軟體解決複雜及大型的計算。

圖 3.7 ANSYS 軟體分析領域