− ， Q
（1）求需求量为 20 及 30 时的总收益 R，平均收益 R 及边际收益 R′；
（2）当Q为多少时，总收益最大?
7．某商品的成本函数为 C =15 Q －6Q2+Q3，
（1）生产量为多少时，可使平均成本最小?
（2）求出边际成本，并验证当平均成本最小时，边际成本等于平均成本．
8．某厂生产 B 产品，其年销售量为 100 万件，每批生产需增加生产准备费 1000 元，而每件库存费为 0.05 元，如果产销量是均匀的（此时商品的平均库存量 为批量的一半），问应分几批生产才能使生产准备费及库存费之和为最小?
9．某公司年销售某商品 5000 台，每次进货费用为 40 元，单价为 200 元，年 保管费用率为20%，求经济订购批量（即最优订购批量）．
10．某厂全年生产需用甲材料 5170 吨，每次订购费用为 570 元，每吨甲材料 单价及库存保管费用率分别为600 元、14.2%，试求：
（1）最优订购批量；
（2）最优订购批次；
（3）最优进货周期；
（4）最小总费用．
本章小结
1．中值定理
主要应掌握罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的结论是在区 间( , )a b 内至少存在一点ξ 满足定理．利用罗尔定理可以证明 ( ) 0f x′ = 有根；利用 拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明等式和不等式．使用的关键是从要证 明的结果出发构造合适的函数．
2．洛必达法则—用于求未定式的极限 若lim ( )
( ) f x g x 是0
0型或∞
∞型未定式，而且 ( ) lim ( )
f x A g x
′ =
′ （或∞ ），则有 ( ) ( )
lim lim ( ) ( ) f x f x g x g x
= ′
′
要注意使用的条件，此外洛必达法则的条件是充分条件而不是必要条件．
对于其他形式的未定式，要转化后才能使用洛必达法则．
3．利用导数求函数的单调区间和极值
（1）函数的单调区间．
如果在某区间内f x′( ) 0> ，则函数 ( )f x 单调增加，如果在该区间内 f x′( ) 0< ，
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高等数学（经管、文科类）上册
则函数 f x 单调减少． ( )
（2）函数的极值．
极值包括极大值和极小值，是局部概念．
可能的极值点包括函数的驻点和不可导点，可导函数的极值点必为驻点．
设x 是函数的可能的极值点，而函数在0 x 的一个空心邻域内可导，那么： 0 1）若x 两侧导数符号为左正右负，则0 x 是极大值点； 0
2）若x 两侧导数符号为左负右正，则0 x 是极小值点； 0 3）若x 两侧导数符号不变，则0 x 不是极值点． 0
也可以用二阶导数的符号来判断：设f x′( ) 00 = ，若f′′( ) 0x0 < ，则函数在x 处0 取极大值；若 f′′( ) 0x0 > ，则函数在x 处取极小值．但这种方法只适合讨论二阶导0 数不为零的驻点是否为极值点．
（3）函数的最大值和最小值．
闭区间上连续函数的可能最值点包括在相应的开区间内f x′( ) 0= 、 ( )f x′ 不存 在的点和区间的端点．
若区间内驻点唯一且为极值点，则该极值点为相应的最值点．
在实际问题中若最值存在，则唯一的驻点就是所求的最值点．
4．曲线的凹凸区间和拐点．
在某个区间内，若 f′′( ) 0x > ，则曲线y= f x( )是凹的；在某个区间内，若 ( ) 0
f′′x < ，则曲线y= f x( )是凸的；曲线凹凸区间的分界点为曲线的拐点．
5．曲线的渐近线．
若lim ( )
x f x a
→∞ = ， 则称 直线 y a= 为 曲线 y= f x( )的 一 条 水 平 渐 近 线 ； 若 lim ( )
x bf x
→ = ∞ ，则称直线 x b= 为曲线y= f x( )的一条垂直渐近线．
6．在以上各问题讨论的基础上，可通过列表、画图绘制出函数图形．
复习题 3
1．不求函数 ( ) (f x = x−1)(x−2)(x−3)(x−4)的导数，说明方程 f x′( ) 0= 有几 个根？并指出它们所在的区间．
2．设在
[ ]
0,1 上 f′′( ) 0x > ，则 (0)f ′ ，f ′(1)，f(1)− f(0)和 f(0)− f(1)的大小 顺序为（ ）．A．f′(1)> f′(0)> f(1)− f(0) B． f′(1)> f(1)− f(0)> f′(0) C． (1)f −f(0)> f′(1)> f′(0) D． f′(1)> f(0)−f(1)> f′(0) 3．证明多项式f x( )=x3−3x+ 在a
[ ]
0,1 上不可能有两个零点．4．设 ( )f x 在
[ ]
0,1 上连续，在 (0,1) 内可导，证明：至少存在一点ξ ∈(0,1)， 使得 f( )ξ + f′( ) eξ = −ξ[
f(1)e− f(0)]
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高等数学（经管、文科类）上册
（4） 0
limtan sin
x
x x
x x
→
− =
− ________；
（5）y=x2−2lnx的单调增区间为________；
（6）函数y= ⋅x 2x取极小值的点是________；
（7）曲线y=x3−3x2+3x的拐点为________；
（8）曲线 e
x
y x
−
= 的水平渐近线为________，垂直渐近线为________．
2．单选题
（1）曲线y=x x2( −6)在区间(4,+∞)内（ ）．
A．单调增加且凸 B．单调增加且凹 C．单调减少且凸 D．单调减少且凹
（2）如果f x′( )0 = f′′( ) 0x0 = ，则下列结论中正确的是（ ）．
A．x0是极大值点 B．( , ( ))x0 f x0 是拐点
C．x0是极小值点
D．可能x0是极值点，也可能( , ( ))x0 f x0 是拐点
（3）已知f x( )在( , )a b 内具有二阶导数，且（ ），则 f x( )在( , )a b 内单调增 加且凸．
A．f x′( ) 0,> f′′( ) 0x > B． f x′( ) 0,> f′′( ) 0x <
C．f x′( ) 0,< f′′( ) 0x > D． f x′( ) 0,< f′′( ) 0x <
（4）方程 x5+ − =x 1 0在(0,1)内的实根个数为（ ）．
A．0 B．2
C．1 D．无法确定
（5）设 ( ) 3 f x x
= x
− ，则曲线y= f x( )（ ）．
A．仅有水平渐近线 B．仅有垂直渐近线
C．既有水平渐近线又有垂直渐近线 D．无渐近线
（6）设 f x( )在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 1= ，f(1) 0= ，则在(0,1) 内至少存在一点ξ ，使（ ）．
A． ( ) f( )
f ξ ξ
′ = − ξ B． ( ) f( )
f ξ ξ
′ = ξ C． ( ) f ( )
f ξ ξ
ξ
= − ′ D． ( ) f ( )
f ξ ξ
ξ
= ′
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8．证明．
（1）当x>0时，ln(1 ) arctan 1 x x + > x
+ ；
（2）当x>0时， ln(1 ) 1
x x x
x< + <
+ ；
（3）当x≠0时，ex− >1 x；
（4）当x>0时，
2
2 sin
x−x < x< ． x
9．已知函数f x( )在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0= ，f(1) 1= ．证明：
（1）存在一点ξ∈(0,1)，使得f( ) 1ξ = −ξ ；
（2）存在两个不同的η ζ, ∈(0,1)，使得 f′( ) ( ) 1η f′ζ = ．