第 3 章 微分中值定理与导数的应用
本章学习目标
z 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理 z 会用洛必达法则求未定式的极限 z 掌握函数单调性、极值、曲线凹凸性与拐点的判断方法 z 掌握求函数最值的方法 z 掌握导数在经济中的应用3.1 微分中值定理
3.1.1 罗尔定理 定理 3.1.1 设函数y= f x( )满足下列条件： （1）在闭区间[ ]
a b, 上连续； （2）在开区间( , )a b 内可导； （3）f a( )= f b( )． 则在( , )a b 内至少存在一点ξ ，使 f′( ) 0ξ = ． 在此先给出几何解释：如图3.1 所示，因f a( )= f b( )，所以弦AB平行于 x 轴， 其斜率为零，故此时在从A到B这段曲线弧上至少有一点M( , ( ))ξ f ξ ，使得过M 点的切线平行于 x 轴，即有 f′( ) 0ξ = ． 图3.177 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 证明 由于函数f x( )在闭区间
[ ]
a b 上连续，故由闭区间上连续函数的性质可, 知， f x( )在[ ]
a b 上取得最大值 M 和最小值 m． , （1）若M =m，则在( , )a b 内，f x( )为常值函数，于是f x′( ) 0≡ ，x∈( , )a b . 故在( , )a b 内的每一点都可取为ξ ，且 f′( ) 0ξ = ，定理成立. （2）若M ≠m，因为 f a( )= f b( )，则M、m 中至少有一个在 ( , )a b 内部取得. 不妨设最大值M 在点ξ∈( , )a b 取得，即M = f( )ξ ≥f x( )，x∈[ ]
a b, ，由极 限的保号性质有 0 ( ) ( ) ( ) lim− 0 − Δ → + Δ − ′ = Δ x f x f f x ξ ξ ξ ≥( )
(
)
( )
0 lim 0 x f x f f x ξ ξ ξ + + Δ → + Δ − ′ = Δ ≤ 而由已知f′( )ξ 存在，故f−′( )ξ = f+′( ) 0ξ = ，即 f′( ) 0ξ = ．定理得证. 注意：罗尔定理表明，若函数f x( )在闭区间[ ]
a b, 上满足罗尔定理的条件，则 方程 f x′( ) 0= 在开区间 ( , )a b 内至少有一个根.因此罗尔定理常用来判别函数f x′( ) 的零点（注意 f x′( )未必连续，这与连续函数零点存在定理是有区别的）． 例 3.1.1 证明方程 sinx+xcosx=0在 (0, )π 内必有实根． 证明 由于 sinx+xcosx是xsinx 的导函数，因此我们考虑函数( ) sin F x =x x，x∈
[ ]
0,π 易知F x( )在[ ]
0,π 上连续，在(0, )π 内可导，且F(0)=F( ) 0π = ，因此由罗尔 定 理 可 知 ， 存 在ξ∈(0, )π ， 使 得 F′( ) sinξ = ξ ξ+ cosξ =0 ． 从 而 说 明 方 程 sinx+xcosx= 在 (0, )0 π 内必有实根．证毕． 例 3.1.2 证明方程 3+ + =0 x x c 至多有一个实根（c
为任意常数）． 证明 用反证法证明．设方程有两个实根α β ，且, α β 则＜ , f x( ) = 3+ + x x c 在[
α β,]
上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 ， 故 至 少 存 在 一 点ξ∈( , )α β 使 f′( ) 0ξ = ， 而 2 ( ) 3 1 ′ = + f ξ ξ ，显然f′( ) 0ξ ≠ ，矛盾．故假设不成立，即原方程不可能有两个不 同的实根．另外，也不难看出原方程不可能有重实根． 例 3.1.3 设函数f x( )在[ ]
0,1 上连续，在(0,1)内可导，且f(1) 0= ．证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ ，使 f′( )ξ + f( )ξ =0 ξ ． 证明 需证结果可改写为 ξf′( )ξ + f( )ξ =[
xf x( )]
′ x=ξ =0． 故 可 设 函 数 F x( )=xf x( ) ， 它 在[ ]
0,1 上 连 续 ， 在 (0,1) 内 可 导 ， 且 (0)= (1) 0= F F ，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点ξ∈(0,1)使 ( ) ( ) ( ) 0 F′ξ =ξf′ξ +f ξ = ，78 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 即在 (0,1) 内至少存在一点 ξ ，使f′( )ξ + f( )ξ =0 ξ ．证毕． 3.1.2 拉格朗日中值定理 定理 3.1.2 设函数y= f x( )满足下列条件 （1）在闭区间[ , ]a b 上连续； （2）在开区间 ( , )a b 内可导． 则在 ( , )a b 内至少存在一点 ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) − ′ = − f b f a f b a ξ ． （3.1.1） 对这个定理，我们先从几何直观上加以说明．如图3.2 所示，定理中的条件“函 数y= f x( )在 [ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导”规定了曲线y= f x( )在 [ , ]a b 上不间断， 在 ( , )a b 内各点处都存在不垂直于 x 轴的切线，从图3.2 中可以看出，在从 A 至 B 这 段曲线弧上至少有一点 M (ξ, f( ))ξ ，使得过 M 点的切线 MT 与弦 AB 平行．而弦 AB 的斜率为 ( ) ( ) AB f b f a K b a − = − ． 图3.2 由导数的几何意义，切线 MT 的斜率为 ( ) ( ) ( ) MT f b f a K f b a ξ − ′ = = − ． 证明 作辅助函数 ( )= ( )− ( )− ( ) − f b f a F x f x b a ， 则（1） ( )F x 在闭区间
[ ]
a b, 上连续； （2） ( )F x 在开区间 ( , )a b 内可导； （3） ( )= ( ) − ( ) = ( ) − f a b f b a F a F b b a .79 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 即 ( )F x 在[ ]a b, 上满足罗尔定理的条件，故在 ( , )a b 内至少存在一点 ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) − 0 ′ = ′ − = − f b f a F f b a ξ ξ ， 即 ′( )= ( )− ( ) − f b f a f b a ξ . 定理得证. 公式（3.1.1）称为拉格朗日中值公式，无论a<b 还是b<a 均成立，这个公式 也可以写成 ( )− ( )= ′( )( − )， f b f a f ξ b a （ ξ 在 a 与 b 之间） （3.1.2） 在（3.1.2）式中，若设 x 为区间
[ ]
a b, 内一点，x+ Δx 为该区间内另一点（Δ >x 0 或Δ <x 0），则在区间[
x x, + Δx]
（当Δ >x 0）或在区间[
x+ Δx x,]
（当Δ <x 0）内 （3.1.2）式就成为 ( ) ( ) ( ) f x+ Δ −x f x = f x′ + Δ Δθ x x （0< < ）． （3.1.3） θ 1 令y= f x( )，则（3.1.3）式又可写成 ( ) y f ′ x θ x x Δ = + Δ Δ （0< < ） θ 1 因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，上式也称为有限增量公式． 若 ( )f x 当 x≥ 时满足拉格朗日中值定理，则有 a ( )− ( )= ′( )( − ) ， f x f a f ξ x a(
ξ ∈( , )a x)
（3.1.4） 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，在理论上和应用上都具有重要的意 义，有时也称拉格朗日中值定理为微分中值定理．虽然定理只肯定了至少有一点 ξ 存在，没有说明如何去求，有几个点存在，但这并不影响定理的应用．而且在实 际应用时，一般只要知道有这样的点存在就够了． 在拉格朗日中值定理的条件下，若加上条件 ( )f a = f b( )，则可知在开区间 ( , )a b 内至少有一点 ξ ，使 f′( ) 0ξ = ，这就是罗尔定理，罗尔定理是拉格朗日中值 定理的特殊情形． 由拉格朗日中值定理可以推出下面两个重要结论． 推论 1 若函数 ( )f x 在开区间 ( , )a b 内每一点处的导数均为零，则在 ( , )a b 内 ( )≡ f x C（ C 为常数）． 证明 设x1,x2为区间 ( , )a b 内的任意两点，且x1<x2，则在[
x x1, 2]
上 ( )f x 满 足拉格朗日中值定理的条件，于是有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) f x − f x = f′ξ x −x （x1< <ξ x2）. 由假设知，f′( ) 0ξ = ，因此 2 1 ( ) ( ) 0 f x −f x = ，即 f x( )2 = f x( )1 ． 因为x1,x2是 ( , )a b 内的任意两点，这就得出 ( )f x 在 ( , )a b 内是一个常数． 推论 2 如果对任意x∈( , )a b ，函数 ( )f x 与 ( )g x 都有f x′( )=g x′( )，则在 ( , )a b 内有 f x( )=g x( )+C （ C 为常数）．80 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 推论2 可由推论 1 推出． 利用拉格朗日中值定理可以证明一些恒等式． 例 3.1.4 设 ( )f x 在
[ ]
0,1 上连续，在 (0,1) 内可导，证明：必存在ξ∈(0,1)，使 得 2 (1) 2= ( )+ ′( ) f ξ ξf ξ f ξ 证明 注意到2 ( )+ 2 ′( ) xf x x f x 是x f x 的导函数，我们考虑函数 2 ( ) 2 ( )= ( ) F x x f x ． 容易验证 ( )F x 在[ ]
0,1 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理 可知，必存在ξ∈(0,1)，使得 (1) (0) ( ) 1 0 − ′ = − F F F ξ 而 F(1)= f(1)， (0)F =0，F′( )ξ = 2ξ ξf( )+ξ2f′( )ξ 所以 (1) 2= ( )+ 2 ′( ) f ξ ξf ξ f ξ ，ξ∈(0,1)．证毕． 利用拉格朗日中值定理还可以证明一些不等式． 例 3.1.5 证明不等式 ln(1 ) 1+ < + < x x x x 对一切x>0成立. 证明 由于 ( ) ln(1f x = +x)在[
0,+∞)
上连续可导，对任何x>0，在[ ]
0, x 上由 拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(0, )x ，有 ( ) (0) ( ) f x − f = f′ξ x ξ∈( )
0, x ， 即 ln(1 ) 1 1 + = + x x ξ ξ∈(0, )x ， 由于 1 1 1 1+x<1+ξ< 所以 ln(1 ) 1+ < + < x x x x ，对一切x>0成立.证毕. 3.1.3 柯西中值定理 定理 3.1.3 设函数f x g x( ), ( )满足下列条件： （1）在闭区间[ , ]a b 上连续； （2）在开区间( , )a b 内可导，且g x′( ) 0≠ ． 则在( , )a b 内至少存在一点 ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ − = ′ − f b f a f g b g a g ξ ξ 证明 由拉格朗日中值定理，在开区间( , )a b 内若g x′( ) 0≠ ，则 ( )− ( )= ′( )( − ) 0≠ g b g a g η b a81 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 作辅助函数
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − − f b f a F x f x g x g a g b g a 则F x( )在[ , ]a b 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理得，在( , )a b 内至少存在 一点 ξ ，使得F′( ) 0ξ = ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ′ = ′ − f b f a f g g b g a ξ ξ 由于g′( ) 0ξ ≠ ，我们得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ − = ′ − f b f a f g b g a g ξ ξ 证毕． 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，而当g x( )=x时，柯西中值定理就 变成拉格朗日中值定理． 例 3.1.6 设f x( )在闭区间[ , ]a b 上连续；在开区间( , )a b 内可导，试证：在( , )a b 内至少存在一点 ξ ，使得 f b( ) f a( ) f ( ) ln b a ξ ′ξ − = （0 a b< < ）． 证明 待证等式变形为 ln( ) ln( ) ( )( )
( ) ln = ′ − ′ = = − ′ x f b f a f f b a x ξ ξ ξ ξ 作辅助函数g x( )
=lnx，则g x( )
1 0 x ′ = ≠ ，x∈( , )a b ，从而函数 f x g x( ), ( )在 [ , ]a b 上满足柯西中值定理的条件，于是在( , )a b 内至少存在一点 ξ ， 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ − = ′ − f b f a f g b g a g ξ ξ ， 即 ( ) ( ) ( ) 1 ln ln ′ − = − f b f a f b a ξ ξ ， 亦即 f b( ) f a( ) f ( ) lnb a ξ ′ξ − = （0 a b< < ），证毕．习题
3.1
1．检验下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理条件？若满足，求出使 ( ) 0 ′ = f ξ 的点 ξ ． （1） ( ) 3 4 2 7 10 f x =x + x − x− ，x∈ −[ 1, 2]； （2）f x( )= x，x∈ −[ 2, 2]； （3） ( )=3 2 f x x ，x∈ −[ 1,1]；82 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 （4）f x( ) 2 4x2 x − = ，x∈ −[ 1,1]． 2．不求函数 ( )f x =x x( −1)(x−2)(x−3)的导数，说明 f x′( ) 0= 有几个实根， 并指出各根所在的区间． 3．证明下列函数在指定区间上满足拉格朗日中值定理，并求出 ξ ． （1） ( )= 3， ∈ f x x x [1, 4] ； （2） ( ) sin 0 2 f x = x x∈ ⎢⎡ π⎤⎥ ⎣ ⎦ ， ， ． 4．设函数f x( )在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 内可导，且 ( )f a = f b( ) 0= ，试证在 ( , )a b 内至少存在一点 ξ ，使得 f′( )ξ + f( ) 0ξ = ．（提示：设 ( ) ( )ex F x = f x ）． 5．利用拉格朗日中值定理证明下列不等式． （1）b a lnb b a b a a − − ≤ ≤ （ 0 a b< < ）； （2） 2 arctan arctan 2 1 1 b a b a b a b a − − − + ≤ ≤ + （ 0 a b< < ）； （3） ex e x ≥ （x≥1）； （4） tan 0 2 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ < ⎠ x≤ x ≤x ． 6．设函数f x( )满足在[ , ]a b 上可导，证明：存在ξ∈ a b( , )，使得
[
]
2 2 2ξ f b( )− f a( ) =(b −a ) ( )f′ξ ．3.2 洛必达法则
柯西中值定理还提供了一种求极限的方法．如果当 x→ 或 x → ∞ 时，函数a ( ) f x 与 ( )g x 同时趋于零或同时趋于无穷大，那么极限 ( ) ( ) lim ( ) → →∞ x a x f x g x 可能存在，也可 能不存在，通常把这种极限称为未定式的极限，并简记为0 0和 ∞ ∞（注意只是作为 记号），称为零比零型和无穷比无穷型未定式．这种极限不能直接用运算法则，下 面我们首先给出一个求0 0和 ∞ ∞型未定式极限的法则——洛必达法则，然后再介绍 其他未定式极限的求法． 3.2.1 0 0型未定式的极限 定理 3.2.1 设函数 f x( )与g x( )在 =x a的某空心邻域内有定义，且满足如下 条件：83 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 （1）lim ( ) lim ( ) 0x→af x =x→ag x = ； （2）f x′( )和g x′( )在该邻域内都存在，且g x′( ) 0≠ ； （3）lim ( ) ( ) → ′ ′ x a f x g x 存在（或为 ∞ ） 则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) → → ′ = ′ x a x a f x f x g x g x 此定理可用柯西定理证明． 定理3.2.1 的结论对于 → ∞x 时的0 0型未定式的极限问题同样适用． 例 3.2.1 求 100 1 1 lim 1 → − − x x x ． 解 100 99 1 1 1 100 lim lim 100 1 1 → → − = = − x x x x x ． 例 3.2.2 求 2 0 ln(1 ) lim → + x x x ． 解 2 0 0 0 1 ln(1 ) 1 1
lim lim lim .
2 2 (1 ) x x x x x x x x x → → → + = + = = ∞ + 例 3.2.3 求 arctan 2 lim 1 x x x →+∞ π− ． 解 2 2 2 2 1 arctan 1 2
lim lim lim 1
1 1 1 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ π− − + = = = + − ． 如果lim ( ) ( ) → ′ ′ x a f x g x 还是 0 0型未定式，且f x′( )与g x′( )能满足定理中 f x( )与g x( )应 满足的条件，则可继续使用洛必达法则．即有 ( ) ( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) x a x a x a f x f x f x g x g x g x → → → ′ ′′ = = ′ ′′ ． 且可依此类推，直到求出所要求的极限． 例 3.2.4 求 3 0 lim sin → − x x x x． 解 这是0 0型未定式，于是
84 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 3 2 0 0 3 lim lim sin 1 cos → − = → − x x x x x x x． 上式右端仍是0 0型未定式，且满足洛必达法则条件，再应用洛必达法则得 2 0 0 3 6 lim lim 6 1 cos sin → − = → = x x x x x x ． 例 3.2.5 求 2 0 e e 2 lim x x x x − → + − 解 2 0 0 0 e e 2 e e e e
lim lim lim 1
2 2 x x x x x x x x x x x − − − → → → + − = − = + = ． 此外，在求0 0型未定式的极限时，也可以同时使用等价无穷小代换． 例 3.2.6 求
(
)
0 e 1 arcsin lim ln(1 )(e 1) tan x x x x x x x → − − + − ． 解(
)
2 0 0 0 e 1 arcsin e 1 e 1 1lim lim lim
2 2 ln(1 )(e 1) tan x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − − = = = + − ． 3.2.2 ∞ ∞型未定式的极限 定理 3.3.2 设函数 ( )f x 与 ( )g x 在点x=a 的某空心邻域内有定义，且满足如 下条件 （1） lim ( ) lim ( ) → = → = ∞ x af x x ag x ; （2）f x 与′( ) g x 在该邻域内都存在，且′( ) g x′( ) 0≠ ； （3）lim ( ) ( ) → ′ ′ x a f x g x 存在（或为∞ ）， 则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) → → ′ = ′ x a x a f x f x g x g x ． 例 3.2.7 求 2 tan lim tan 3 π → x x x． 解 2 2 2 2 tan sec lim lim tan 3 3sec 3 π π → = → x x x x x x 2 2 2 1 cos 3 lim 3 →π cos = x x x 2 1 2cos3 ( 3sin3 ) lim 3 →π 2cos ( sin ) − = − x x x x x 2 sin 6 lim sin 2 π → = x x x 2 6 cos 6 lim 2 cos 2 π → = x x x =3．
85 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 定理3.2.2 的结论对于x→ ∞时的∞ ∞ 型未定式的极限问题同样适用． 例 3.2.8 求lim ln x x xμ →+∞ （μ > ）． 0 解 1 1 ln 1
lim lim − lim 0
→+∞ = →+∞ = →+∞ = x x x x x xμ μxμ μxμ ． 例 3.2.9 求 0 ln lim 1 ln sin + → + x x x． 解 0 0 0 1 ln sin
lim lim lim 1
cos 1 ln sin cos sin + + + → + = → = → = x x x x x x x x x x x ． 3.2.3 其他未定式的极限 未定式除0 0或 ∞ ∞型外，还有0⋅∞ 、∞ − ∞ 、1 ∞、0 、0 ∞0型等五种类型，这些 未定式都可化为0 0型或 ∞ ∞型未定式，然后再利用洛必达法则求其极限．下面我们 通过例子简单说明这类问题的解法． 1． 0⋅∞ 型未定式 设在自变量的某一变化过程中f x( )→0，g x( )→ ∞，则f x g x 可变形为 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) f x g x （0 0型） 或 ( ) 1 ( ) g x f x （∞ ∞型）． 例 3.2.10 求 3 0 lim+ ln → x x x （ 0⋅∞ 型） 解 3 0 lim+ ln → x x x = 0 3 ln lim 1 + → x x x = 0 4 1 lim 3 + → − x x x = 4 0 lim 3 + → − x x x= 3 0 lim 3 + → − x x =0． 2．∞ − ∞ 型未定式 例 3.2.11 求 1 1 lim 1 ln → ⎛ − ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ x x x x （
∞ − ∞
型）． 解 1 1 lim 1 ln → ⎛ − ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ x x x x = 1 ln 1 lim ( 1) ln → − + − x x x x x x = 1 ln 1 1 lim 1 ln → + − − + x x x x x86 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 1 ln lim 1 1 ln x x x x → = − + 1 2 1 1 lim 1 1 2 x x x x → = = + ． 3．1∞、0 、0 ∞ 型未定式 0 由于它们是来源于幂指函数 ( )g x( ) f x 的极限，因此通常可用取对数的方法或利 用 ( )g x( ) f x =eg x( ) ln ( )f x 公式化为0⋅∞ 型未定式，再化为0 0型或 ∞ ∞型求解． 例 3.2.12 求 0 lim+ → x x x （0 型）． 0 解 0 lim ln ln 0 0 lim lim e ex x x x x x x x x →+ + + → = → = 而 0 lim ln+ → x x x= 0 ln lim 1 + → x x x = 0 2 1 lim 1 + → − x x x = 0 lim (+ ) → − x x =0 所以 0 0 lim x e 1 x x + → = = ． 例 3.2.13 求 sin 0 lim (cot )+ → x x x （∞0型）． 解 设y=(cot )xsinx， 两边取对数 lny=sin ln cotx x 于是 esin ln cotx x y= 而 0 lim ln x y +
→ =xlim sin ln cot0
x x + → = 0 ln cot lim 1 sin + → x x x = 2 0 2 1 1 cot sin lim 1 cos sin + → − − x x x x x = 2 0 sin lim cos + → x x x=0 所以 sin 0 lim (cot )+ → x x x = 0 lim+ → x y= ln 0 lim e y x→+ =e0=1． 例 3.2.14 求 1 1 ln e lim(ln ) x x x − → （1 ∞型）． 解 设 1 1 ln (ln ) x y= x − ，则ln 1 ln(ln ) 1 ln = − y x x ， 即 1 ln(ln ) 1 ln e x x y= −
87 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 因为 e e e 1 1 ln ln ln
lim ln lim lim
1 1 ln x x x x x x y x x → → → ⋅ = = − − e 1 lim( ) 1 ln x→ x = − = − 所以 1 1 1 ln e lim(ln ) x e x x − − → = ． 在使用洛必达法则求极限时，要注意以下几个问题： （1）每次使用法则之前，必须检验是否属于0 0型或 ∞ ∞型未定式，若不是未定 式，就不能使用法则； （2）如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先行约去或提出， 以简化计算． （3）法则中的条件是充分而非必要的，遇到lim ( ) ( ) ′ ′ f x g x 不存在时，不能断言 ( ) lim ( ) f x g x 不存在，此时洛必达法则失效，需另寻其他方法处理．
例如lim sin lim1 cos lim(1 cos ) 1 x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ + + = = + 上式右端的极限不存在，但不能由此说原极限不存在．事实上， sin sin lim lim(1 ) 1 0 1. →∞ →∞ + = + = + = x x x x x x x
习题
3.2
1．利用洛必达法则求下列极限： （1） 2 sin 1 lim 2 π → − π − x x x ； （2） 0 e e lim sin x x x x − → − ； （3） 20 1 3 2 lim 1 → − + − x x x x ； （4） 0 e e 2 lim sin x x x x x x − → − − − ； （5） 1 ln 1 lim arccot →+∞ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x ； （6） 3 0 e 1 lim (1 cos ) x x→ x x − − ； （7） 0 ln sin 3 lim ln tan + → x x x ； （8） 2 ln lim ln →+∞ + x x x x x ； （9） 0 lim cot → x x x ； （10） 1 lim(1 ) tan 2 → π − x x x ；88 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 （11） 0 1 1 lim sin → ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x ； （12） 0 1 1 lim ex 1 x→ x ⎛ − ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠； （13） 1 1 1 lim − → x x x ； （14） sin 0 lim (tan )+ → x x x ； （15）lim 2arctan →+∞ ⎛ ⎞ ⎜π ⎟ ⎝ ⎠ x x x ； （16） 1 0 lim( e )x x x→ x+ ． 2．讨论函数
(
)
1 1 1 2 1 , 0 e ( ) e , 0 x x x x f x x − ⎧ ⎡ ⎤ ⎪ + ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎢ ⎥ = ⎨ ⎢⎪ ⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎪⎩ ≤ > 在x=0处的连续性． 3．验证极限 2 0 1 sin lim sin x x x x → ， 0 sin lim x x x x → + 都存在，但不能使用洛必达法则证明．3.3 函数的单调性、极值和最值
在第 1 章中已经介绍了函数在区间单调的概念，用定义判定函数的单调性是 比较困难的，现在我们以中值定理为依据，利用导数来研究函数的单调性，并利 用导数求函数的极值与最值． 3.3.1 函数的单调性 由图 3.3 可以看出，如果曲线y= f x( )在区间( , )a b 内每一点处的切线斜率都 是正的，则曲线是上升的，即函数y= f x( )在( , )a b 内单调增加；如果每一点处的 切线斜率都是负的，则曲线是下降的，即函数y= f x( )在( , )a b 内单调减少．由此 可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．为此可以利用导数的符号判 定函数的单调性． 图3.389 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 定理 3.3.1 设函数y= f x( )在闭区间[ , ]a b 上连续，在开区间( , )a b 内可导． （1）如果在( , )a b 内 f x′( ) 0> ，则函数f x( )在[ , ]a b 上单调增加； （2）如果在( , )a b 内 f x′( ) 0< ，则函数f x( )在[ , ]a b 上单调减少． 证明 设x x1, 2是[ , ]a b 上任意两点，且x1< x2．因为 f x( )在[ , ]a b 上满足拉格 朗日中值定理的条件，故有 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) f x − f x = f′ξ x −x （x1< <ξ x2） 对于定理3.3.1 中的（1），因为f′( ) 0ξ > ，x2− >x1 0，于是可推出 f x( )2 >f x( )1 ， 所以 f x( )在[ , ]a b 上单调增加． 类似地可证明（2）． 定理中的区间可以换成其他各种区间（包括无穷区间），当 f x( )在某区间的个 别点处导数为零，而在其余各点处导数都为正（或负）时，那么 f x( )在该区间上 仍是单调增加（或单调减少）的． 例 3.3.1 判断函数y=x5在(−∞ +∞, )上的单调性． 解 ′ =5 4 0 y x ≥ x∈ −∞ +∞( , )， 所以函数y=x5在(−∞ +∞, )上单调增加． 例 3.3.2 判断函数 = 3 2 y x 的单调性． 解 函数的定义域为（−∞ +∞, ）， 1 3 3 2 2 1 3 3 y x x − ′ = = （x≠0）， 在(−∞,0)内，y′<0，所以函数y=3x 在2 (−∞,0]上单调减少， 在(0,+∞)内，y′>0，所以函数y=3x2 在[0,+∞)上单调增加． 上题中，x=0(函数y=3x 的不可导点)是函数2 y=3x 的单调区间的分界2 点，但不可导点未必是单调区间的分界点，如x=0不是y=3 x单调区间的分界点． 此外，导数为零的点也可能是单调区间的分界点，如x=0是y=x4但不是 5 = y x 单调区间的分界点． 综上所述，求函数的单调区间的步骤如下： （1）确定函数f x( )的定义域； （2）求f x′( )； （3）求出 f x′( ) 0= 的点和 f x′( )不存在的点，用这些点将函数的定义域划分 为若干个子区间； （4）考察f x′( )在每个区间内的符号，从而判别函数 f x( )在各子区间内的单 调性． 例 3.3.3 确定函数 ( )= 3−27 +3 f x x x 的单调区间． 解 函数的定义域为(−∞ +∞, )，且
90 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 2 ( ) 3 27 3( 3)( 3) ′ = − = − + f x x x x 令f x′( ) 0= ，得x1= −3，x2=3， 列表讨论如下． x (−∞ − , 3) − 3 ( 3,3)− 3 (3,+∞ ) ( ) ′ f x + 0 − 0 + ( ) f x ↑ ↓ ↑ 从而函数的单调增加区间为(−∞ −, 3]，[3,+∞)；单调减少区间为[ 3,3]− ． 例 3.3.4 求函数 ( ) 33 2 2 = − f x x x 的单调区间． 解 函数的定义域为(−∞ +∞, )，且 1 3 3 3 1 ( ) 1 − − ′ = − = x f x x x 令f x′( ) 0= ，得x=1， 当x=0时，f x 不存在． ′( ) 列表讨论如下． x (−∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞ ) ( ) ′ f x + 不存在 − 0 + ( ) f x ↑ ↓ ↑ 从而函数的单调增加区间为(−∞,0]，[1,+∞ ；单调减少区间为[0,1] ． ) 利用函数的单调性还可以证明某些不等式． 例 3.3.5 证明当x>1时，不等式2 x＞3−1 x成立． 证明 设f x( ) 2= x− +3 1 x，则 2 1 1 (1) 0= ， ′( )= − f f x x x 因为当x>1时， f x′( ) 0> ，所以f x 在 [1,( ) +∞ 上单调增加． ) 因此当x＞1时， f x( )> f(1) 0= ，则有 1 2 x− + >3 0 x ， 即 2 x>3−1 x (x>1)． 例 3.3.6 证明函数 ( )f x = +x lnx在定义域(0,+∞ 内有唯一零点． ) 证明 f x( )= +x lnx在定义域(0,+∞ 内处处可导，且 )
91 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 1 ( ) 1 0 f x x ′ = + ＞ ， 因此f x 在 (0,( ) +∞ 内严格单调增加． ) 又由 1 1 1 0 e e f⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ＜ ， (1) 1f = ＞ ， 0 所以，由连续函数的零点定理，f x 在( ) 1,1 e ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦上至少有一个零点，因此函数 ( ) ln f x = +x x在定义域内(0,+∞ 有唯一零点． ) 3.3.2 函数的极值 在实际中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“材料最省”， “成本最低”，“效率最高”或“投资最少”等．这类问题在数学上归结为求函数 的最大值或最小值问题． 为了讨论最大值、最小值问题，我们先来研究函数的极值． 定义 3.3.1 设函数y= f x( )在点x 的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点0 x （x≠ ），均有x0 f x( )< f x( )0 ，则称f x( )0 是函数 f x 的一个极大值；若对此邻( ) 域内任一点 x（x≠ ），均有x0 f x( )> f x( )0 ，则称f x( )0 是函数 f x 的一个极小值．( ) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极值概念是局部性的，函数在点x 取得极大（或极小）值，仅0 表示在局部范围内 f x( )0 大于（或小于）x 邻近处的函数值，这与函数在某个区间0 上的最大（或最小）值的概念不同，最大值、最小值是指一个区间上的整体性质， 如图 3.4 中，x ，1 x 分别是函数的极大值点与极小值点，但相应的函数值并不是4 整个区间[ , ]a b 上的最大值与最小值．另外，从整体来看，同一个函数，它的某些 极小值可能大于它的某些极大值，如图3.4 中，函数 ( )f x 的极小值f x( )4 就大于它 的极大值 f x ． ( )1 图3.4 从图3.4 中还可以看出，在函数取得极值处，曲线上的切线都是水平的，由此 可得函数取得极值的必要条件．
92 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 定理 3.3.2 如果函数 ( )f x 在x 处的导数存在，且在0 x 处取得极值，则0 0 ( ) 0 f x′ = ． 证明 不妨设函数 ( )f x 在x 处取得极大值，即存在点0 x 的某一邻域，对此邻0 域内任一点 x （x≠ ），均有x0 f x( )< f x( )0 ． 因为f x 在( ) x 处的导数存在，所以有 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x → − ′ = − 根据f x 在( ) x 处可导的充要条件及极限的保号性，得 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x f x x x − − → − ′ = ′ = − ≥0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x f x x x + + → − ′ = ′ = − ≤0 所以，f x′( ) 00 = ． 类似可证f x 在( ) x 处取得极小值时0 f x′( ) 00 = ． 使函数的导数值为零的点称为驻点（或稳定点、临界点）． 通过求解方程f x′( ) 0= ，即可找出函数 ( )f x 的所有驻点． 定理3.3.2 表明，可导函数的极值点必是驻点，但反过来，函数的驻点却不一 定是极值点． 从图3.4 中可看出，使f x′( ) 0= 的点 x 共有 6 个，但取得极值的点只有 5 个： ( ) f x 在点x 、1 x 和3 x 取得极大值，在点6 x 和2 x 取得极小值，而4 f x( )5 既不是极大 值也不是极小值． 此外，不可导的点也可能是函数的极值点． 综上所述，函数的驻点和不可导点是可能的极值点．那么怎样来判别这些点 是否为极值点呢？ 由图3.4 看出，如驻点x 左侧邻近函数单调增加，而0 x 右侧邻近函数单调减0 少，则函数 f x 在点( ) x 处取得极大值；反之若0 x 左侧邻近函数单调减少，0 x 右侧0 邻近函数单调增加，则函数 f x 在( ) x 处取得极小值． 0 由函数单调性与导数的符号之间的关系，可进一步得到用一阶导数来判定驻 点或不可导点x 是否为极值点的方法． 0 定理 3.3.3 设函数 ( )f x 在点x 的某空心邻域内可导，0 x 为 ( )0 f x 的驻点（即 0 ( ) 0 f x′ = ）或不可导点： （1）若当x<x0时， f x′( ) 0> ；当x>x0时， f x′( ) 0< ，则 f x( )0 是 f x 的( ) 极大值； （2）若当x<x0时， f x′( ) 0< ；当x>x0时， f x′( ) 0> ，则 f x( )0 是 f x 的( ) 极小值； （3）若在x 两侧0 f x′( )的符号相同，则f x( )0 不是 f x 的极值． ( )
93 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 根据以上两个定理，可按下列步骤求f x 的极值点和极值． ( ) （1）求函数 ( )f x 的定义域（或给定区间）； （2）求出导数f x′( )； （3）求出全部f x′( ) 0= 的点和 ( )f x′ 不存在的点； （4）列表讨论，考察在（3）中的点处是否取得极值，是极大值还是极小值； （5）求出各极值点处的函数值，就得到函数 ( )f x 的全部极值． 例 3.3.7 求函数 ( ) 3 3 2 9 5 f x =x − x − x+ 的极值． 解 函数的定义域为 (−∞ +∞ ， , ) 2 ( ) 3 6 9 3( 1)( 3) f x′ = x − x− = x+ x− ． 令f x′( ) 0= ，得驻点x1= − ，1 x2= ． 3 驻点将定义域分成三部分，确定各区间内 f x′( )的符号，从而判定各驻点是否 为极值点．列表讨论如下． x (−∞ − , 1) −1 ( 1,3)− 3 (3,+∞ ) ( ) f x′ + 0 − 0 + ( ) f x ↑ 有极大值 ↓ 有极小值 ↑ 可见，函数 f x 在( ) x= − 处取得极大值 ( 1) 101 f − = ；在x= 处取得极小值3 (3) 22 f = − ． 例 3.3.8 求函数 ( ) 2 1 2 ln f x =x + − x的极值． 解 函数的定义域为 (0,+∞ ，) f x( ) 2x 21 2x2 1 x x − ′ = − = ． 令f x′( ) 0= ，得驻点x= （1 x= − 舍去）． 1 当0< < 时， ( ) 0x 1 f x′ < ；当1 x< < +∞ 时， ( ) 0f x′ > ． 可见，函数f x 在( ) x= 处取得极小值 (1) 01 f = ． 例 3.3.9 求函数 ( ) 33 2 2 f x = −x x 的极值． 解 函数的定义域为 (−∞ +∞ ， , ) 1 3 3 3 1 ( ) 1 x f x x x − − ′ = − = ． 令f x′( ) 0= ，得x= ， 1 当x= 时， ( )0 f x′ 不存在． 列表讨论如下． x (−∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) ( ) f x′ + 不存在 − 0 + ( ) f x ↑ 有极大值 ↓ 有极小值 ↑
94 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 从而，函数的极大值为f(0) 0= ，极小值为 (1) 1 2 f = − ． 还可用二阶导数的符号来判别函数的驻点是否为极值点． 定理 3.3.4 设函数 ( )f x 在点x 处具有二阶导数，且0 f x′( ) 00 = ，f′′( ) 0x0 ≠ ， 则 （1）当f′′( ) 0x0 < 时，函数 ( )f x 在点x 处取得极大值； 0 （2）当f′′( ) 0x0 > 时，函数 ( )f x 在点x 处取得极小值． 0 证明 在情形（1）中，由于f′′( ) 0x0 < ，按二阶导数的定义有 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x → ′ − ′ ′′ = < − ． 根据函数极限的局部保号性，当 x 在x 的足够小的去心邻域内时， 0 0 0 ( ) ( ) 0 f x f x x x ′ − ′ < − ． 因为f x′( ) 00 = ，所以上式即 0 ( ) 0 f x x x ′ < − ． 从而知道，对于去心邻域内的 x 来说， ( )f x′ 与x− 符号相反．因此，当x0 x−x0<0 即x<x0时， f x′( ) 0> ；当x−x0> 即0 x> 时， ( ) 0x0 f x′ < ；于是根据定理 3.3.3 可知，函数 f x 在点( ) x 处取得极大值．0 类似地，可以证明情况（2）． 此定理表明，如果f x 在驻点( ) x 处的二阶导数0 f′′( ) 0x0 ≠ ，那么该驻点x 一0 定是极值点，并且可由 f′′( )x0 的符号确定 f x( )0 是极大值还是极小值．但是当 0 ( ) 0 f′′x = 时，此定理失效，要用定理 3.3.3 进行判定． 例 3.3.10 求函数 ( ) ( 2 1)3 1 f x = x − + 的极值． 解 ( ) 6 ( 2 1)2 f x′ = x x − ，f′′( ) 6(x = x2−1)(5x2−1). 令f x′( ) 0= ，得x1= ，0 x2= ，1 x3= − ． 1 因f ′′(0) 6 0= > ，所以 (0) 0f = 是函数的极小值． 又f′′( 1)− = f′′(1) 0= ，此时定理 3.3.4 失效，仍用定理 3.3.3 判定． 当x< − 时， ( ) 01 f x′ < ；当 1− < < 时， ( ) 0x 0 f x′ < ．因经过x= − 时，导数 ( )1 f x′ 的符号不变，所以 f x 在( ) x= − 处没有极值． 1 同理，f x 在( ) x= 处也没有极值． 1 例 3.3.11 试问 a 为何值时，函数 ( ) sin 1sin 3 3 f x =a x+ x在 3 x= 处取得极值？π 它是极大值还是极小值？并求此极值． 解 函数 ( ) sin 1sin 3 3 f x =a x+ x处处可导，且
95 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 ( ) cos cos3 f x′ =a x+ x． 函数在 3 x= 处取得极值，则π 0 3 f′⎛ ⎞⎜ ⎟π = ⎝ ⎠ ，即acos3 cos 0 π + π = ，故a= ． 2
又因为f′′( )x = −2sinx−3sin 3x， 2sin 3sin 3 0
3 3 f′′⎛ ⎞⎜ ⎟π = − π− π = − < ⎝ ⎠ ， 因此， 2sin 3sin 3 3 3 f⎛ ⎞ =⎜ ⎟π π+ π = ⎝ ⎠ 为极大值． 3.3.3 函数的最大值和最小值 函数在区间[ a , b ]上的最大值与最小值是全局性的概念，是函数在所考察的区 间上全部函数值中的最大者和最小者，这与极值的概念是有区别的． 连续函数在区间[ a , b ]上的最大值与最小值可通过比较如下几类点的函数值 得到： （1）端点处的函数值 ( )f a ， ( )f b ； （2）开区间( , )a b 内，使 f x′( ) 0= 的点的函数值； （3）开区间( , )a b 内，使 f x′( )不存在的点的函数值． 这些值中最大的就是函数在[ , ]a b 上的最大值，最小的就是函数在[ , ]a b 上的最 小值． 例 3.3.12 求函数 3 2 ( ) 3 3 x f x = −x − x在[ 2, 6]− 上的最大值与最小值． 解 因 ( ) 2 2 3 ( 1)( 3) f x′ =x − x− = x+ x− ，令 ( ) 0f x′ = ，得x1= − ，1 x2 = ，3 没有不可导的点，且 ( 1) 5 3 f − = ， (3)f = − ，端点处的函数值分别为9 ( 2) 2 3 f − = − ， (6) 18 f = ．故 f x 在( ) [ 2, 6]− 上的最大值为 f(6) 18= ，最小值为 f(3)= − ． 9 在下列特殊情况下，求最大值最小值的方法为： （1）若 ( )f x 在区间 [ , ]a b 上单调增加且连续，则 ( )f a 是最小值， ( )f b 是最大 值；若 f x 在区间 [ , ]( ) a b 上单调减少且连续，则 ( )f a 是最大值， ( )f b 是最小值． （2）若 ( )f x 在 [ , ]a b 上连续，且在( , )a b 内部只有一个驻点x ，则当0 x 是极0 大值点时， f x( )0 是最大值，当x 是极小值点时，0 f x( )0 是最小值． （3）实际问题中往往根据问题的性质便可断定可导函数 ( )f x 在其区间内部确 有最大值（或最小值），而当 f x 在此区间内部又只有一个驻点( ) x0时，立即可断 定 f x( )0 就是所求的最大值（或最小值）． 例 3.3.13 问函数 ( ) 2 1 x f x x = + （ x≥0 ）在何处取得最大值？ 解 函数在[0,+∞ 上可导，且 )
96 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 ( ) 1 1 2 3 ( ) 1 x x x x f x x x x x f x x + − ⋅ − ′ = = + + − − ′′ = + 令f x′( ) 0= ，得驻点x= −1（舍去），x=1． 由 (1) 4 1 0 8 2 f′′ =− = − < ，知x=1为极大值点． 又因为函数在[0,+∞)上的驻点唯一，故极大值点就是最大值点，即x=1为最 大值点，且最大值为 (1) 1 2 f = ． 在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下，怎样使 投入最小、产出最多、成本最低、效益最高、利润最大等问题．这些问题反映在 数学上就是求函数最大值和最小值问题． 例 3.3.14 用一块边长为 1 米的正方形铁皮，在四角各剪去一个相等的小正 方形，如图3.5 所示，制作一只无盖油箱，问在四周剪去多大的正方形才能使容 积最大？ 图3.5 解 设在正方形铁皮的四角截去的小正方形的边长为 x ， 则油箱的容积为 2 (1 2 ) V = − x ⋅x 0 1 2 x ⎛ < < ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 1 0 2 x < < 是由问题的实际意义确定的，于是问题转化为在区间 0,1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠内，求 函数V 的最大值． 2 2(1 2 )( 2) (1 2 ) V′ = − x − ⋅ + −x x (1 2 )(1 6 ).x x = − −97 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 令V ′= ，得0 0 1 1 1 6 2 x = ，x = （舍）．所以V 在 0,1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠内只有一个驻点 0 1 6 x = ． 根据题意，最大容积一定存在，所以此驻点就是V 的最大值点．因此，当截 去的小正方形的边长为1 6米时，所得油箱的容积最大． 例 3.3.15 如图 3.6 所示，工厂A到铁路的垂直距离AB为20km，铁路线上 从垂足B到火车站C的长度BC为 100km．今要在BC线上选定一点M 作为转运 站向工厂修筑一条公路，已知在铁路上运送每吨公里货物的运费与在公路上运送 每吨公里货物的运费之比为3 : 5，为使产品从工厂A运到火车站C的运费最省， 问M 点应选在何处？ 图3.6 解 设BM 长为 x （km），根据题意，总运费y与 x 间的函数关系为 2 2 5 20 3 (100 ) y= k +x + k −x （0≤ ≤x 100）， 其中k为比例系数．于是问题转化为求函数y在[0,100]上的最小值问题．因 为 2 5 3 400 x y k x ⎛ ⎞ ′ =⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎝ ⎠ ， 令y′=0，得x0=15．因为y在[0,100]内只有一个驻点x0=15，由题意，最 小值存在，故此驻点就是y的最小值点．因此M 点应选在离B为15km 处使运费 最省．
习题
3.3
1．判断下列函数的单调性． （1）f x( )= −x sinx； （2） f x( ) e= x+1； （3）f x( ) arctan= x−x； （4） f x( ) lnx x = ． 2．确定下列函数的单调区间． （1） ( ) 3 3 1 f x =x − x+ ； （2） f x( ) 2= x2−lnx； （3） ( ) ex f x = −x ； （4） f x( ) ln(= x+ x2+1)． B A x M C98 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 3．证明下列不等式． （1）当x>0时，1 1 1 2x x + > + ； （2）当x>0时，1+xln
(
x+ 1+x2)
> 1+x2 ． 4．求下列函数的极值． （1） ( ) 2 2 f x = + −x x ； （2） f x( ) 2= x3−6x2−18x+ ； 7 （3） ( )f x = −x lnx； （4） ( ) arctan 1ln(1 2) 2 f x = x− +x ； （5） ( )f x = +x 1− ； （6）x(
)
1 3 ( ) 3 2 1 f x = − x+ ． 5．求下列函数在所给区间上的最大值与最小值． （1） 2 3 3 ,2 [ 1, 4] y= x − x − ； （2）y= +x 1−x, [ 5,1]− ； （3） 4 2 2 5, [ 2, 2] y=x − x + − ； （4） arctan1 , [0,1] 1 x y x − = + ． 6．问函数 2 54 y x x = − （x<0）在何处取得最小值？ 7．某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁．问应 围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 8．一房地产公司有 50 套公寓要出租．当月租金为 1000 元时，公寓会全部租 出去．当月租金每增加50 元，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需 花费100 元的维修费．试问将房租定为多少可获得最大收入？ 9．已知制作一个背包的成本为 40 元，如果每一个背包的售价为x
元，售出 的背包数由 (80 ) 40 a n b x x = + − − 给出，其中a b, 为正常数．问什么样的售价能带来最大利润？ 10．试证明：如果函数 3 2 y=ax +bx +cx+d满足条件b2−3ac<0，那么这个 函数没有极值．3.4 曲线的凹凸性与拐点
利用一阶导数的符号可判别函数的升降，即若在某一区间f x′( ) 0> （或<0）， 则相应的那段曲线弧是上升（或下降）的；虽然这样，曲线弧的形状还可有多种 不同的情形，例如是凹形或是凸形等．下面我们利用二阶导数的符号来判别曲线 的弯曲方向，即凹凸性，首先给出曲线的凹凸的定义． 定义 3.4.1 在某一区间内，如果曲线弧位于其上每一点处切线的上方，则称99 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 曲线弧在该区间是凹的（如图3.7（a）所示）； 如果曲线弧位于其上每一点处切线的下方，则称曲线弧在该区间是凸的（如 图3.7（b）所示）． 图3.7 考察函数在任意两点x x1, 2，以及 1 2 2 x +x 点处的函数值，可以有如下的等价 定义： 等价定义 设函数f x( )在某一区间连续，如果对于该区间内任意两点x x1, 2， 恒有
( )
1( )
2 1 2 2 2 f x f x x x f⎛⎜ + ⎞ <⎟ + ⎝ ⎠ 那么，称函数 f x( )在该区间的图形即曲线弧是凹的；如果恒有( )
1( )
2 1 2 2 2 f x f x x x f⎛⎜ + ⎞ >⎟ + ⎝ ⎠ 那么，称函数 f x( )在该区间的图形即曲线弧是凸的． 由图 3.7 可以看出，对于凹曲线，其切线斜率 f x′( )是递增函数 ，应有 ( ) f′′x ≥0；对于凸曲线，其切线斜率f x′( )是递减函数，应有 f′′( )x ≤0．这就启 发我们能否用函数 f x( )的二阶导数的正、负号判断曲线的凹凸性，事实上，有如 下定理： 定理 3.4.1 （曲线凹凸性的判别法） 设函数f x( )在[ ]
a b, 上连续，在( , )a b 内具有二阶导数，那么 （1）若在（a,b）内 f′′( ) 0x > ，则曲线弧y= f x( )在[ ]
a b, 上是凹的； （2）若在（a,b）内 f′′( ) 0x < ，则曲线弧y= f x( )在[ ]
a b, 上是凸的． 证明 在情形（1）中，设x1，x2为[ ]
a b, 内任意两点，且x1<x2，记 12 2 0 x x x + = ， 并记x2−x0=x0− =x1 h，则x1=x0−h，x2=x0+h，由拉格朗日中值公式得 0 0 0 1 0 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x f x h h f x f x h f x h h θ θ ′ + − = + ′ − − = −100 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 其中0<θ1<1，0<θ2<1．两式相减，即得
[
]
0 0 0 0 1 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) f x + +h f x − −h f x = f x′ +θh − f x′ −θ h h， 对f x′( )在区间[
x0−θ2h x, 0+θ1h]
上再利用拉格朗日中值公式，得[
]
2 0 1 0 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) f x′ +θh −f x′ −θ h h= f′′ξ θ θ+ h 其中x0−θ2h< <ξ x0+θ1h．按情形（1）的假设，f′′( ) 0ξ > ，故有 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) 0 f x + +h f x − −h f x > 即( )
(
0)
(
0)
0 2 f x h f x h f x < + + − 亦即 1 2( )
1( )
2 2 2 f x f x x x f⎛⎜ + ⎞ <⎟ + ⎝ ⎠ 所以曲线弧y= f x( )在[ ]
a b, 上是凹的． 类似地可证明情形（2）． 例 3.4.1 讨论曲线y 1 x = 的凹凸性． 解 函数y 1 x = 的定义域为(−∞, 0)∪(0,+∞)，且y 12 x ′ = − ，y 23 x ′′ = ． 当x∈ −∞( , 0)时，y′′<0，曲线是凸的； 当x∈(0,+∞)时，y′′>0，曲线是凹的． 由上例可以看出，函数在它的不同定义区间内的图形的凹凸性可能不同． 例 3.4.2 判定曲线y=x3的凹凸性． 解 函数的定义域为(−∞ +∞, )，且 3 2 y′ = x ，y′′ =6x． 当x∈ −∞( , 0)时，y′′<0，曲线在(−∞, 0]是凸的； 当x∈(0,+∞)时，y′′>0，曲线在[0,+∞)是凹的． 一般地，设y= f x( )在区间I上连续，x0是I的内点（即除端点外的点），如 果曲线y= f x( )在经过点( , ( ))x0 f x0 时凹凸性改变了，那么称点(
x0, ( )f x0)
为这个 曲线的拐点．即连续曲线凹弧与凸弧的分界点为曲线的拐点． 由此定义可知，f′′( )x 在拐点横坐标左右两侧邻近处必然异号，而在拐点横坐 标处， f′′( )x 等于零或不存在． 例如，函数y=3 x的二阶导数 3 2 2 9 y x x ′′ = − 在x= 处不存在，但点0 (0, 0)却 是曲线的拐点． 在例3.4.1 中，尽管在x= 的左右0 y′′的符号相异，但x= 不是该曲线的拐点，0 因为函数在该点不连续． 综上所述，求曲线的凹凸区间与拐点的步骤如下： （1）确定f x( )的定义域；101 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 （2）求出f x′( )， f′′( )x ； （3）求出f′′( ) 0x = 和f′′( )x 不存在的点，用这些点将函数的定义域划分为若 干个子区间； （4）考察在每个区间内f′′( )x 的符号，从而判别曲线在各子区间内的凹凸性， 最后得到拐点； （5）写出曲线的凹凸区间与拐点． 例 3.4.3 求曲线 2 2 e x y= − 的凹凸区间及拐点． 解 函数的定义域为(−∞ +∞, )，且 2 2 2 2 2 e x ( 1) e x . y′= −x − ，y′′= x − − 令y′′=0，得x= ± ，列表讨论如下． 1 x (−∞ − , 1) −1 ( 1,1)− 1 (1,+∞ ) y′′ + 0 − 0 + y 凹 拐点 1 2 ( 1,e )− − 凸 拐点 1 2 (1,e )− 凹 可见，曲线在区间(−∞ −, 1]及[1,+∞)上是凹的，在区间
[
−1,1]
上是凸的，拐点 为( 1, e )− −12，(1, e ).−12 例 3.4.4 求曲线 4 4 3 1 y=x − x + 的凹凸区间及拐点． 解 函数的定义域为(−∞ +∞, )，且 4 3 12 2 12 2 24 12 ( 2). y′= x - x，y′′= x − x= x x− 令y′′=0，得x1= ，0 x2=2，列表讨论如下． x (−∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2,+∞) y′′ + 0 − 0 + y 凹 拐点(0,1) 凸 拐点(2, 15)− 凹 可见，曲线在区间(−∞, 0]及[2,+∞)上是凹的，在区间[ ]
0, 2 上是凸的，拐点为 (0,1)，（2, 15 .− ） 例 3.4.5 求曲线 1 33 5 5 y= − x 的凹凸区间及拐点． 解 函数的定义域为(−∞ +∞, )， 2 3 y′ = − ，x 1 3 3 2 2 3 3 y x x − ′′ = − = − ． 当x=0时，y′′不存在，它把(−∞ +∞, )分成两个子区间：(−∞, 0)，(0,+∞)． 在(−∞, 0)内，y′′>0，曲线在(−∞, 0]上是凹的； 在(0,+∞)内，y′′<0，曲线在[0,+∞)上是凸的． 拐点为(0,1)．102 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册
习题
3.4
1．求下列曲线的凹凸区间及拐点： （1） 3 5 2 3 5 y=x − x + x+ ； （2）y=ln(x2+1)； （3）y=xarctanx； （4）y=xe−x； （5）y=x2+lnx； （6） 1 2 9 3 5 2 10 y= x − x ． 2．试确定 a ， b 的值，使曲线 3 2 y=ax +bx 有一拐点（1,3）． 3．试确定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的 a，b，c，d，使得曲线在x= −2处有 水平切线，点(1, 10)− 为拐点，且点( 2, 24)− 在曲线上． 4．试确定y=k x( 2−3)2中k的值，使曲线在拐点处的法线通过原点．*3.5 函数图形的描绘
上面讨论了函数的各种形态，这为描绘函数的图形打下了基础．为使描绘的 函数图形更准确，首先介绍曲线渐近线的概念． 定义 3.5.1 若lim ( ) x→+∞f x =a （或 lim ( ) x→−∞f x =a 或lim ( ) x→∞f x =a）（ a 为常数）， 则称直线y=a为曲线y= f x( )的一条水平渐近线（平行于 x 轴）；若lim ( ) x→b f x = ∞ （或 lim ( ) x b f x + → = ∞或xlim ( )b f x − → = ∞），则称直线x=b为曲线y= f x( )的一条垂直渐 近线（垂直于 x 轴）． 渐近线反映了连续曲线在无限延伸时的变化情况． 例如，对于双曲线y 1 x = ，因lim1 0 x→∞x= ，所以直线y=0是该曲线的水平渐近 线；又因 0 1 lim x→ x= ∞，所以直线x=0是曲线的垂直渐近线．也就是说，当动点沿双 曲线无限远离原点时，双曲线y 1 x = 与直线y=0或x=0无限接近（如图3.8 所示）． 图3.8103 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 综上各节的讨论，描绘函数图形的一般步骤如下： （1）确定函数的定义域； （2）考察函数的周期性及奇偶性； （3）确定函数的单调区间与极值； （4）确定曲线的凹凸区间与拐点； （5）考察曲线的渐近线； （6）求曲线与坐标轴的交点； （7）描绘函数的图形． 例 3.5.1 作函数y 4(x21) 2 x + = − 的图形． 解 （1）定义域为(−∞,0) (0, + )∪ ∞ ． （2）y′= 4(x32) x + − ， 4 8(x 3) y x + ′′ = − ， 令y′=0得x= −2；令y′′=0得x= −3． 3 x= − ，−2，0将(−∞ +∞, )分成四个子区间，函数的单调性、极值、凹凸性 及拐点可以通过列表来讨论. x （-∞，-3） -3 （-3，-2） -2 （-2，0） 0 （0，+∞） y′ − − 0 + − y′′ − 0 + + + y ↓ ↓ ↑ ↓ （3）因为lim 4( 2 1) 2 2 x x x →±∞ + ⎡ − ⎤= − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，所以x= −2为水平渐近线； 又因为 2 0 4( 1) lim 2 x x x → + ⎡ − ⎤= ∞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，所以x=0为垂直渐近线． （4）描出几个点：A( 1, 2)− − ，B(1,6)，C(2,1)， (3, )2 9 D ． （5）作出图形，如图 3.9 所示． 图3.9
104 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册
*习题 3.5
描绘下列各函数的图形： （1）y=x3−x2+1； （2） 2 1 y x x = + ； （3） 2 1 x y x = + ； （4） ( 1)2 e x y= − − ．*3.6 导数在经济中的应用
3.6.1 函数的变化率——边际函数 定义 3.6.1 设函数y= f x( )在点 x 处可导，则称导函数f x′( )为 f x( )的边际 函数． ( ) f x 在点x0处的导数 f x′( )0 称为f x( )在点x0处的边际函数值．其含义为，当 0 x=x 时 ， x 改 变 一 个 单 位 ， 相 应 地 y 改 变 了 约 f x′( )0 个 单 位 ． 实 际 上 ， y Δ ≈d y=f x′( )0 ·Δx,当Δ =x 1时，Δy≈ f x′( )0 ． y x Δ Δ = 0 ( ) f x x x + Δ Δ （Δx>
0） 称为 f x( )在( ,x x0 0+ Δx)内的平均变化率，它表示在( ,x x0 0+ Δx)内 f x( )的平均变 化速度． 例 3.6.1 设函数 2 2 y= x ，试求y在x=5时的边际函数值． 解 因为y′ =4x，所以 5 20 x y′ = = ． 该值表明：当x=5时， x 改变一个单位（增加或减小一个单位），y约改变 20 个单位（增加或减少 20 个单位）． 在经济学中，把适用微分学的方法所作的定量分析称为边际分析，它使经济 变量的研究从静态进入动态，使近代数学更深入地应用于经济分析． 边际函数在经济学理论中有着重要的应用，在第１章中我们介绍了常用的几 个函数，这里我们再来讨论这些函数的具体应用． 1．边际成本 边际成本是总成本的变化率． 设C为总成本，C1为固定成本，C2为可变成本，C为平均成本，C′为边际成 本，Q为产量，则有： 总成本函数 C=C Q( )=C1+C Q2( )105 第 3 章 微分中 值定 理与 导 数 的 应 用 平均成本函数 C=C Q( )=C1 Q + 2( ) C Q Q 边际成本函数 C′=C Q′( ) 如已知总成本C Q( )，通过除法可求出平均成本C Q( ) C Q( ) Q = 如已知平均成本C Q( )，通过乘法可求出总成本C Q( )=QC Q( ) 如已知成本C Q( )，通过微分法可求出边际成本C′=C Q′( ) 例 3.6.2 已知某商品的成本函数为 2 ( ) 100 4 Q C=C Q = + ，求当Q= 10时的总成 本、平均成本及边际成本． 解 由 2 100 4 Q C= + ，有C= 100 4 Q Q + ， 2 Q C′= ． 则 当Q = 10 时 ， 总 成 本C(10) 125= ， 平 均 成 本C(10) 12.5= ， 边 际 成 本 (10) 5 C′ = ． 例 3.6.3 在例 3.6.2 中，当产量Q为多少时，平均成本最小? 解 C′ 1002 Q = − 1 4 + ， 3 200 C Q ′′ = ． 令C′=0，得Q2 =400，Q=20（Q= −20舍去）， 又因为 (20) 200 1 20 20 20 40 C″ = = × × ＞0 所以当Q=20时，平均成本最小． 2．边际收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售 价．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数． 设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，R为平均收益，R′为边际收益， 则有 需求函数 P = P( )Q 总收益函数 R= ( )R Q 平均收益函数 R= ( )R Q 边际收益函数 R′=R Q′( ) 需求与收益有如下关系： 总收益 R=R Q( )=Q⋅P( )Q
106 高等数学 （经管 、 文科类 ） 上册 平均收益 R R Q( ) R Q( ) QP Q( ) Q Q = = = =P Q( ) 边际收益 R′=R Q′( ) 总收益与平均收益及边际收益的关系为： ( ) R Q =R Q( ) Q ，R Q( )=QR Q( ) 例 3.6.4 设某产品的价格和销售量的关系为 10 5 Q P= − ，求销售量为 30 时的 总收益、平均收益与边际收益． 解 总收益 R Q( ) =Q⋅P( )Q = 2 10 5 Q Q− ，R(30) 120= 平均收益 R Q( )= ( )P Q =10 5 Q − ，R(30) 4= 边际收益 R Q′( )=10－2 5Q ，R′(30)= 2− 3．最大利润原则 在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量 Q 的函数，分别记为 R Q( )和 C Q( )，则总利润L( )Q 可表示为 ( ) ( ) ( ) L=L Q =R Q −C Q ( ) ( ) ( ) L Q′ =R Q′ −C Q′ 下面讨论最大利润原则． ( ) L Q 取得最大值的必要条件为：L Q′( ) 0= ，即 ( ) C ( )R Q′ = ′Q ， 即取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本． ( ) L Q 取得最大值的充分条件为：L Q′( ) 0= 且 ( ) 0L Q′′ < ，即 ( )R Q′ =C Q′( )且 ( ) ( ) R Q′′ <C Q′′ ， 即取得最大利润的充分条件是边际收益等于边际成本，且边际收益的变化率小于 边际成本的变化率． 例 3.6.5 已知某产品的需求函数为 10 5 Q P = - ，成本函数为C=50 2+ Q，求产 量为多少时总利润L最大? 解 已知 ( ) 10 5 Q P Q = − ，C Q( ) 50 2= + Q 于是有 10 5 Q R Q Q 2 ( ) = -( ) ( ) ( ) L Q =R Q −C Q =8 Q 2 50 5 Q − −
