3.6.1 函数的变化率——边际函数
定义 3.6.1 设函数y= f x( )在点 x 处可导，则称导函数f x′( )为 f x( )的边际 函数．
( )
f x 在点x0处的导数 f x′( )0 称为f x( )在点x0处的边际函数值．其含义为，当 x=x0时 ， x 改 变 一 个 单 位 ， 相 应 地 y 改 变 了 约 f x′( )0 个 单 位 ． 实 际 上 ， Δy≈d y=f x′( )0 ·Δx,当Δ =x 1时，Δy≈ f x′( )0 ．
y x Δ
Δ = f x( 0 x) x + Δ
Δ （Δx
>
0）称为 f x( )在( ,x x0 0+ Δx)内的平均变化率，它表示在( ,x x0 0+ Δx)内 f x( )的平均变 化速度．
例 3.6.1 设函数y=2x2，试求y在x=5时的边际函数值．
解 因为y′ =4x，所以
5 20 y′x= = ．
该值表明：当x=5时， x 改变一个单位（增加或减小一个单位），y约改变 20 个单位（增加或减少 20 个单位）．
在经济学中，把适用微分学的方法所作的定量分析称为边际分析，它使经济 变量的研究从静态进入动态，使近代数学更深入地应用于经济分析．
边际函数在经济学理论中有着重要的应用，在第１章中我们介绍了常用的几 个函数，这里我们再来讨论这些函数的具体应用．
1．边际成本
边际成本是总成本的变化率．
设C为总成本，C1为固定成本，C2为可变成本，C为平均成本，C′为边际成 本，Q为产量，则有：
总成本函数 C=C Q( )=C1+C Q2( )
105 第3章 微分中值定理与导数的应用
平均成本函数 C=C Q( )=C1
Q +C Q2( ) Q 边际成本函数 C′=C Q′( )
如已知总成本C Q( )，通过除法可求出平均成本C Q( ) C Q( )
= Q
如已知平均成本C Q( )，通过乘法可求出总成本C Q( )=QC Q( ) 如已知成本C Q( )，通过微分法可求出边际成本C′=C Q′( ) 例 3.6.2 已知某商品的成本函数为
2
( ) 100 4
C=C Q = +Q ，求当Q= 10时的总成 本、平均成本及边际成本．
解 由
2
100 4
C= +Q ，有C= 100 4 Q
Q + ，
2 C′=Q．
则 当Q = 10 时 ， 总 成 本C(10) 125= ， 平 均 成 本C(10) 12.5= ， 边 际 成 本 (10) 5
C′ = ．
例 3.6.3 在例 3.6.2 中，当产量Q为多少时，平均成本最小?
解 C′ 1002
= −Q 1 +4，
3
C 200
′′ = Q ．
令C′=0，得Q2 =400，Q=20（Q= −20舍去），
又因为 (20) 200 1 20 20 20 40 C″
= =
× × ＞0
所以当Q=20时，平均成本最小．
2．边际收益
平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售 价．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数．
设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，R为平均收益，R′为边际收益，
则有
需求函数 P = P( )Q 总收益函数 R= ( )R Q 平均收益函数 R= ( )R Q 边际收益函数 R′=R Q′( ) 需求与收益有如下关系：
总收益 R=R Q( )=Q⋅P( )Q
106
高等数学（经管、文科类）上册
平均收益 ( ) R Q( ) QP Q( ) R R Q
Q Q
= = = =P Q( )
边际收益 R′=R Q′( )
总收益与平均收益及边际收益的关系为：
( ) R Q =R Q( )
Q ，R Q( )=QR Q( ) 例 3.6.4 设某产品的价格和销售量的关系为 10
5
P= − ，求销售量为 30 时的Q 总收益、平均收益与边际收益．
解 总收益 R Q( ) =Q⋅P( )Q =
2
10 5
Q−Q ，R(30) 120=
平均收益 R Q( )= ( )P Q =10 5
− ，Q R(30) 4=
边际收益 R Q′( )=10－2
5Q ，R′(30)= 2− 3．最大利润原则
在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量 Q 的函数，分别记为 R Q( )和 C Q( )，则总利润L( )Q 可表示为
( ) ( ) ( ) L=L Q =R Q −C Q
( ) ( ) ( ) L Q′ =R Q′ −C Q′ 下面讨论最大利润原则．
( )
L Q 取得最大值的必要条件为：L Q′( ) 0= ，即 ( ) C ( )R Q′ = ′Q ， 即取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本．
( )
L Q 取得最大值的充分条件为：L Q′( ) 0= 且 ( ) 0L Q′′ < ，即 ( )R Q′ =C Q′( )且 ( ) ( )
R Q′′ <C Q′′ ，
即取得最大利润的充分条件是边际收益等于边际成本，且边际收益的变化率小于 边际成本的变化率．
例 3.6.5 已知某产品的需求函数为 10 5
P = -Q，成本函数为C=50 2+ Q，求产 量为多少时总利润L最大?
解 已知 ( ) 10 5
P Q = −Q，C Q( ) 50 2= + Q 于是有
10 5 R Q Q Q
2
( ) =
-( ) ( ) ( ) L Q =R Q −C Q =8 Q
2
5 50
−Q −
107
300 20000, 0 400
2
(300) 90000 1 90000 20000 25000
L = − ×2 − = ．
108
高等数学（经管、文科类）上册
由C Q( )=Q C Q⋅ ( )可得
( )
C Q′ = ( )C Q +Q C Q⋅ ′( )，
由极值存在的必要条件知，使平均成本为最小的生产量Q0应满足C Q′( ) 00 = ， 代入上式可知
0 0
( ) ( )
C Q′ =C Q ．
上式导出了经济学中一个重要结论：使平均成本为最小的生产水平（生产量 Q0），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）．
例 3.6.7 设某产品的成本函数为C Q( ) 54 18= + Q+6Q2，试求使平均成本最小 的产量水平．
解 平均成本 C Q 54 18 6
C Q Q
Q Q
= ( )= + +
( )
( ) 54 6
C Q Q
′ = − 2+ ，C Q 108 Q
′′( )= 3
令C Q′( ) 0= ，解得Q=3．
由于 (3) 108 0 C′′ = 27 > ，
所以Q= 3是平均成本C Q( )的最小值点，也就是平均成本最小的产量水平，
此时
(3) 54 (3)
C = =C′
即Q= 3时，边际成本等于平均成本，也使平均成本达到最小．
5．库存管理问题
企业为了完成一定的生产任务，必须保证生产正常进行所需的原材料．但是，
在总需求一定的条件下，订购费用与保管费用是成反比的．订购批量大，订购次 数少，订购费用就低，而保管费用就要相应增加；反之，订购批量小，订购次数 多，则订购费用高，而保管费用就相对较少．因此就出现了如何确定订购批量以 使总费用最少的问题．
下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种物资的库存量下降到 零时，该物资随即到货，库存量由零恢复到最高库存Qmax，每天保证等量供应生 产需要，使之不发生缺货现象，如图3.10 所示．
假设某企业某种物资的年需用量为R，单价为P，平均每次订货费用为C1， 年保管费用率（即保管费用与库存商品价值之比）为C2，订货批量为Q，进货周 期为T，则年总费用C由两部分组成：
（1）订货费用．因按假设每次订货费用为C1，全年订购次数为R
Q，因此订
109 第3章 微分中值定理与导数的应用
货费用为C R1 Q ．
图3.10
（2）保管费用．因进货周期（两次订货间隔）T内都是初始库存量最大，到 每个周期末库存量为零，所以全年每天平均库存量为1
2Q，因此，保管费用为
2
1
2QPC ． 于是总费用
1
2
1 2
C C R Q C
= Q + P ．
由于C=C Q( )，故可用求最值法求得最优订购批量Q∗，最优订购次数 R Q* 以 及最优进货周期T ．
在经济学中，把最优订购批量称为经济订购批量，在经济订购批量处，订购 费用和保管费用之和即总费用最小．
例 3.6.8 某种物资一年需用量为24000件，每件价格为40元，年保管费率为 12%，每次订购费用为64元，试求最优订购批量、最优订购次数、最优进货周期 和最小总费用（假设产品的销售是均匀的）．
解 设最优订购批量为Q，则订购次数为24000 Q ； 于是订购费用为64 24000
× Q ，保管费用为1 40 0.12
2Q× × ；
从而总费用 C=C Q( )=64×24000
Q +1 40 0.12 2Q× × 64 24000
( ) 20 0.12
C Q Q
′ = − × 2 + × ，
110
111
112
高等数学（经管、文科类）上册
需求函数．
一般而言，商品价格低，需求大，商品价格高，需求小．因而一般需求函数 ( )
Q= f P 是单调减少函数．
定义 3.6.3 设某商品的需求函数Q= ( )f P 在P处可导，称 EQ ( )P EP f P′ Q
− = −
为商品在价格为P时的需求价格弹性，或简称需求弹性．记为η ，即 η= EQ ( )P
EP f P′ Q
− = − ．
需求弹性可以衡量需求的相对变动对价格相对变动的反应程度．
例 3.6.11 已知某商品的需求函数 e 10
P
Q= − ，求P=5，P=10，P=15时的需 求弹性并说明其意义．
解 ( ) 1 e 10 10
P
Q′= f P′ = − − ，需求弹性为
10
10
( ) 1 e
10 10
e
P
P
P P η P −
= − = ． (5) 0.5
η = ，说明P= 时，价格上涨 1%,需求量减少 0.5%. 5 (10) 1
η = ，说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同．
(15) 1.5
η = ，说明P=15时，价格上涨1%,需求量减少 1.5%．
由此例可以看出，当η < 时，需求的变动幅度小于价格的变动幅度；当1 η =1 时，需求的变动幅度等于价格的变动幅度；当η > 时，需求的变动幅度大于价格1 的变动幅度．
（2）供给弹性．
“供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且可供出售的商品 量．通常供给是价格的函数，P 表示商品的价格，Q表示供给量，Q= ( )ϕ P 称 为供给函数．
一般而言，商品价格低，生产者不愿生产，供给少；商品价格高，供给多．因 而一般供给函数为商品价格的单调增加函数．
一般用
D
表示需求曲线，用 S 表示供给曲线，如图 3.11 所示．定义 3.6.4 设某商品的供给函数Q=ϕ( )P 在 P 处可导，称EQ ( )P EP =ϕ′ P Q为商 品在价格为 P 的供给弹性，记作 ( )ε P ，即
( )P
ε =EQ ( )P EP =ϕ′ P Q．
（3）均衡价格．
均衡价格是市场上的需求量与供给量相等时的价格，在图3.12 中表示为在需
113 第3章 微分中值定理与导数的应用
求曲线D与供给曲线 S 相交点 E 处的横坐标P=P0，此时需求量与供给量均为 Q0， 称为均衡商品量．
图3.11 图3.12
当P<P0时，如图3.13 中P= 处，此时消费者希望购买的商品量为 QP1 D，生 产者愿意出卖的商品量为 QS， QS＜ QD，市场上出现供不应求的情况，商品短缺，
会形成抢购、黑市等情况．这种状况不会持久，必然导致价格上涨，P 增加．
图3.13
当P＞P 时，如图 3.14 中0 P=P2处，此时Q ＜D Q ，市场上出现供过于求的S 情况，商品滞销．这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，P 减小．
图3.14 总之，市场上商品价格将围绕均衡价格波动．
例 3.6.12 设某商品的需求函数 Q b aP= − （ ,a b> ），供给函数为 Q cP d0 = − ，
114
高等数学（经管、文科类）上册
（c d, >0），求均衡价格P ． 0
解 由b−aP0=cP0− 解得d 0 b d P a c
= +
+ ． 3．边际收益与需求弹性的关系
由于R=PQ=Pf P( )，而边际收益
[ ]
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
R f P Pf P f P Pf P f P P
f P′ η
⎡ ⎤
′= + ′ = ⎢ + ⎥= −
⎣ ⎦ ．
由此可知，当η( ) 1P < 时，R′> ，0 R递增，即价格上涨会使总收益增加；价 格下跌会使总收益减少．
当η( ) 1P = 时，R′= ， R 取得最大值． 0
当η( ) 1P > 时，R′< ，0 R递减，即价格上涨会使总收益减少，而价格下跌会 使总收益增加．
在经济学中，将η( ) 1P < 的商品称为缺乏弹性商品，将 ( ) 1η P = 的商品称为单 位弹性商品，而将η( ) 1P > 的商品称为富有弹性商品．