由幾何光學之概念來說明柱面鮑爾透鏡，入射光束會在透鏡內聚焦之後發 散，發散光束形成線形之有效長度。此外，近軸光束會在較靠近透鏡頂點處聚焦，
較離軸的光束會在離透鏡頂點較遠處聚焦，光束在聚焦後迅速發散，此現象造就 了出射線形有效長度的良好均勻性，但是在此僅用光束光學說明，未涉及相位的 討論。
雷射光源具有同調性的特性，相位是個很重要的因素。在通過介質之後，波 前會因光程的之不同因而變形，在出射雷射空間最後之成像面上，要有均勻分佈 之雷射光，相位的一致性是必須的。換言之，我們需要一個平坦且夠大的等相位 面。在我們所設計的柱面鮑爾透鏡中，物空間的雷射光源會在透鏡中聚焦。由於 光程之不同，在焦點附近，會因為相位的不同造成建設性干涉或是破壞性干涉。
經過之前的幾何光學討論之後，我們亦關心在透鏡內的波光學之探討，藉由光強 及相位討論均勻性及線形分布的原因。
度
5-1 雷射光源在焦 (Intensity)分佈
Huygens-Fresnel 定理[20]可用來說明球面波在焦點附近 P 點之場分佈，如 圖5-2，表示為：
點的光強度
聚焦的波前可用球面[25]波說明，圓心就在焦點的位置，如圖 5-1 所示，原 本平面的入射波，經過完美成像透鏡的聚焦後，波前變成球面波。
∫∫
= W
ikS -ikf
S dS e f
Ae - i
U(P)
λ
， (5-1) 其中S 為在波前 W 上的位置，k 為波數(wave number)，f 為焦距，A 為光場的 振幅。當孔徑半徑a<<f 的情況下，可作近似如下：
圖5-2：聚焦球面波之系統參數示意圖 光束
波前
光束
焦距
波前
圖5-1：聚焦的波前示意圖
R
⎪⎪
0
5-1.2、模擬在焦點上的光強度(Intensit )分佈：
針對前面的解析討論，我們以ASAP模擬驗證。我們取
面透鏡，透鏡的焦點位置可由幾何光學的近軸成像公式(3-14)式計算：
式和圓形孔徑光 Fraunhofer 見圖5-4。
Cross section view
y
鏡之第一面。
Laser source Collimated source
Conic constant
Focal length for Laser source (mm)
2.0
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04
Delta z=0.02
焦距之位置和由幾何光學公式結果之不同。造成的原因在於雷射光束到透
Normalizaed Innsity distribution
Position near focus (mm)
nsity distribution
Position near focus (mm)
∆Z=-0.04
ity a t focus
Simulation result of cylindrical-Powell lens
Approximated spherical wave
ns Inte
Along y direction (mm)
情況下，所得的焦點大小要比理論上要來的小，但是在模擬上第零階亮點的兩旁 仍有微弱強度分佈，加上此寬度，會和理論上的第零階亮點的寬度相同。
模擬及理論上第零階亮點分佈不同的主要原因在於柱面鮑爾透鏡的第一面 為非球面，僅具有一個方向的光焦度。理論推導是針對球面透鏡，差異由此產生。
所造成的焦點成為線狀(如圖 5-9 所示)。
(3) 柱面鮑爾透鏡前加上孔徑光欄之光強度：
雖然鮑爾透鏡為柱非球面透鏡，但在近軸的條件下，其非球透面可以視為 球面，於是我們嘗試在透鏡前加上一個孔徑光欄(如圖 5-10
非近軸之光源，我們預期前述理論可用來驗證一維方向上的強度分布情況。
所示)，目的在阻擋
-0.80 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
r
Zsag
Comparison of Conic with Spherical surface
hyperbolic surface Spherical surface
圖5-10：鮑爾透鏡及球面鏡之差異 圖5-9：焦點位置之光強度分佈
底下我們分別討論孔徑光欄的半徑為1cm、0.5cm、0.25cm 以及 0.1cm 之
-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.0
Normalized Intensity Distribution
-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.0
Normalized Intensity Distribution
Approximated spherical wave Simulation of Powell lens with added aperture
-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.0
Normalized Intensity Distribution
-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.0
Normalizedsity Distribution Inten
5-2 柱面鮑爾透鏡在焦點前後的相位變化分析
在相位方面，我們模擬在焦點(離透鏡頂點 3.6mm)前後的位置的情況。模擬 結果如圖5-12 及 5-13 所示。圖 5-12(a)為雷射光源進入到透鏡前(Δz=-3.61mm) 的相位分佈。可以明顯看到因雷射光源具有同調性，使得光源的相位呈階梯函 數分佈。5-12(b)說明在透鏡內焦點附近之相位分佈。5-13(c)為雷射光源剛離開 透鏡(Δz=11.9mm)之情形。圖 5-13 為圖 5-12(b)之二維空間的分佈圖。
-0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004
∆z=0.07
∆z=0.05
∆z=0.03
∆z=0.01
∆z=-0.03
∆z=-0.07
X Axis
∆z=0
∆z=-0.01
∆z=-0.05 O
al axis ∆z=-0.09
-6 -4 -2 0 2 4 6
Distance along y axis (mm) ∆z=-3.61mm
(a)
(c)
-3 -2 -1 0 1 2 3
(b)
ptic
-3 -2 -1 1 3
Distance along y axis (mm)
∆z=11.9mm
圖5-12：(a) 雷射光源未入射透鏡前之相位分佈 (b) 焦點位置前後沿Y軸之三維相位分佈 (c) 雷射光源剛出射透鏡沿Y軸之相位分佈
0 2
所示，發現偵測面位置位於焦距前-0.09
行走了 的光程
如圖5-13 至0.09 位置時，等相位
面逐漸縮小，表示了靠近軸的光束所走的光程較短，而較離軸的光束 較長
。當越靠近焦點位置時，越靠中間光束的相位就愈領先兩旁光束的相位。
但重點在偵測面置於離透鏡頂點3.59mm(∆z=-0.01)處，相位分佈和之前的結果 截然不同，當在焦點處(距離透鏡 3.6mm，即 ∆z=-0.01)，發現中間光束的相位 突然落後了較兩旁光束的相位。
經過焦點處之後，明顯可看到中間光束的相位已和焦點前的相位有了翻轉 的現象，經過越長的光程距離，數據顯示兩旁的光束相位已經慢慢趕上了中間光 束的相位，說明中間光束聚焦之後開始發散，所行走的光程也會較兩旁之光束 長。此外，由圖發現在離焦點越遠之處，雷射光源光束的相位也愈一致，此結果 可造成在像平面的線型雷射可達良好的均勻性。若無相位翻轉之現象，則等相位 面會越來越小，造成出射雷射會因相位之不同造成破壞性干涉，降低均勻性。
此現象可以由球面鏡推導之(5-11)式近似說明，在焦點附近的相位表示為：
- 2 v) (u, -u a) (f v)
(u, 2
χ π
φ
= ， (5-21) 圖5-13：焦點位置前後之二維相位分佈∆z=0.09
∆z=0.07
∆z=0.05
∆z=0.03
∆z=0.01
∆z=0
∆z=-0.01
∆z=-0.03
∆z=-0.05
∆z=-0.07
∆z=-0.09
Distance along y axis (mm) Phase distribution near focus
其中 Gouy 所提出[26，27]，稱為 Gouy 相位偏移(Phase shift)。它亦被實驗驗證[28，
29]。
分佈。
圖 5-16(a)及(b)分別為模擬在出射雷射在像平面 z=90mm 處之光強度及相 位分佈。設定 ASAP 之圍繞光束數為 12 且雷射光束射設定為九萬條，由(a)可 發現出射雷射具有良好的均勻性，但在上仍有小鋸齒分佈。由(b)可知雖然等相 位面平均來說已經夠大，但是在上的相位具有微幅震盪，造成在像平面上之均勻 性亦有微幅的擺盪。
Position along x axis (mm)
Delta z=-0.01
Delta z=-0.02 Delta z=0.02
Delta z=0.01
Delta z=0 Phase distribution near focus
-6 -4 -2 0 2 4 6
Distance along y axis (mm)
∆z=-3.61mm
-3 -2 -1 0 1 2 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
Distance along x axis (mm)
∆Z=11.9mm
(c) (a)
(b)
圖5-15：(a) 雷射光源未入射透鏡前之相位分佈 (b) 焦點位置前後沿x軸之三維相位分佈 (c) 雷射光源剛出射透鏡沿x軸之相位分佈
由本節之敘述，我們清楚了解到要達成均勻性出射雷射，相位必須經過翻 轉的Gouy 偏移現象，使等相位面在焦距後能隨光程之增加而增大。但在第三章
所敘述的鮑爾透 為負之透鏡，見圖5-17，
在此情況下，雷射光源經過透鏡第一面之後必不會有聚焦之情形，也因此相位不
將透鏡參數設定(曲率半徑為-1.2mm，錐面係數為-2.8)之後，在透鏡中的相 位分佈結果如圖5-18。圖(a)為雷射光源進入透鏡前的相位分佈，為均勻分佈。
圖(b)為距離透鏡頂點 0.1(∆z=0.1) ∆z=0.9)mm 之相位分佈，可發現越遠 離透鏡頂點，則相位呈發散之現象。由於相位應介
鏡型式中，其中一種為第一面曲率半徑
會發生翻轉之現象，應該會造成出射光束之低均勻性，接下來我們將驗證其結果。
圖5-17：負透鏡示意圖 圖5-16：(a)像平面在z=90mm處之光強度 (b)像平面在z=90mm處之相位分佈
(b)
(a) (b)
至 0.9(
於-π 至 π 之間，故相位原
來之分佈會是如圖(c)之震盪分佈。圖(b)是把圖(c)之不連續點作平移後所得知結 果。
模擬的光場強度結果如圖5-18(a)所示，大致上可看出如圖 5-16(a)的輪廓，
但是具有強烈震盪的鋸齒狀強度分佈。由5-18(b)可說明因為相位之大幅震盪導
致均勻性降低， 的好。
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
說明了負透鏡對於整型元件的能力不如正透鏡來
Distance along y axis (mm) -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
-4
Dsitance along y axis (mm)
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
0 Distance along y axis (mm)
∆z=0.7mm
∆z=0.1mm
-6 -4 -2 0 2 4 6
Distance along y axis (mm)
∆z=-0.1mm
(a) (b)
∆z=0.5mm
∆z=0.3mm
(c)
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
∆Z=0.1mm ∆Z=0.5mm ∆Z=0.9mm
-4
Distance along y axis (mm)
圖5-18：(a) 入射雷射光之相位分佈 (b) 在負透鏡中的相位分佈
(c) 在負透鏡內未經處理之相位分佈
圖5-19：(a)第一面為凹面鏡的光強度分佈(像平面置於z=70mm處) (b)第一面為凹面鏡的相位分佈
(a)
(b)5-2.1、ASAP 模擬之驗證：
我們對於不同的圍繞光束及光數量(如圖 5-20)模擬出射雷射之相位分佈之 可靠性。
模擬之結果如圖 5-21。結果發現不論調高圍繞光束數或是雷射光束數量，
其震盪的空間頻率為每厘米具有7.5 個峰值。當雷射光束數量為 90 萬條時，在 模擬時並設定在像平面上每平方厘米具有6400 個畫素，平均每平方毫米之面積 可有1.44*105條光束線到達。亦即每個畫素會有225 條光束線到達，如此，ASAP 模擬之結果已具有可靠性。由於90 萬條光束追跡需要花上 1 小時以上之時間，
其結果接近於設定 9 萬條光束之模擬，表示設定光束圍繞數量為 8 及雷射光束 數量為9 萬條已經是足夠。
由以上之說明表示模擬所得之相位分佈為正確的，但還是需要藉由實驗驗 圍繞光束數量
光束數量
圖5-20：ASAP模擬雷射光源之示意圖
證真實性。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
圖5-21：(a)雷射光束圍繞數為4，光線數量為1萬條 (b)雷射光束圍繞數為4，光線數量為9萬條 (c)雷射光束圍繞數為4，光線數量為90萬條 (d)雷射光束圍繞數為8，光線數量為1萬條 (e)雷射光束圍繞數為8，光線數量為9萬條 (f)雷射光束圍繞數為8，光線數量為90萬條 (g)雷射光束圍繞數為12，光線數量為1萬條 (h)雷射光束 為9萬條 (i)雷射光束圍繞數為12，光線數量為90萬條
圍繞數為12，光線數量
5-3 小結
本章我們使用波前繞射理論推導在焦點位置的光強度分佈及前後的相位變 化，而 ASAP 模擬柱面鮑爾透鏡內的波光學情況仍是用八條光束模擬高斯波前 [24] 實際計算每條光束所走的光程，計算的方法和理論上有所差異，所得的結 果再次整理如下：
(1) 光強度：繞射理論所計算焦點位置的光強度分佈為已熟知的 Airy 環，而 ASAP 模擬的結果在第一階亮點的邊緣位置強度迅速遞減，為非球面之影 響，較邊緣的入射雷射在經過透鏡內的光程之後，相位和較中間之入射雷 射形成破壞，縮減了第一階亮點的寬度。
(2) 相位 中間光束 先較兩旁的相位，但在焦點處，
相位分佈已經突然變形，經過焦點之後，中間光束之相位已經反轉落後兩 旁光束的相位，此現象即為Gouy 相位偏移。在離焦點越遠之處，整個近 軸光束漸漸形成等相位面，如此的結果使出射的整型雷射不會有鋸齒狀的 強度分佈，
從幾何光學之 迅速聚焦，在經過焦點
之後，發散之光束提供有效長度，藉由非球面破壞原來的高斯強度分佈，將強度
整型為均勻的出射雷射光。由於 ，我們分析
內的強度及相位情況。雷射在鏡內聚焦之後 率增大，提供有效長度。
相位在接近焦距時，等相位面逐漸縮小，但在焦點處，相位突然有了翻轉，隨著 光程增大，並使等相位面亦逐漸增大，提供了出射雷射在有效長度方向上的良好
相位在接近焦距時，等相位面逐漸縮小，但在焦點處，相位突然有了翻轉，隨著 光程增大，並使等相位面亦逐漸增大，提供了出射雷射在有效長度方向上的良好