鮑爾透鏡之鏡頭設計與物理光學之詮釋

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(1)國立交通大學光電工程研究所碩士論文. 鮑爾透鏡之鏡頭設計與物理光學之詮釋 Lens design of Powell lens and its wave-optics interpretation. 研究生：劉家佑指導教授：陳志隆教授. 中華民國九十四年六月.

(2) 鮑爾透鏡之鏡頭設計與物理光學之詮釋 Lens design of Powell lens and its wave-optics interpretation. 研究生：劉家佑指導教授：陳志隆. Student: Chia-Yu Liu Advisor: Jyh-Long Chern. 國立交通大學光電工程研究所碩士論文 A Thesis Submitted to Institute of Electro-Optical Engineering National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Electro-Optical Engineering June 2005 Hsinchu, Taiwan. 中華民國九十四年六月.

(3) 誌謝論文即將完成之際，心中百感交集，回想四年來的中央生活與兩年的交大點滴，許多貴人的相助，迫使我不斷的往前進，我確是由衷感謝。首先，最是要非常感謝耐心指導我的指導教授陳志隆老師，在考上交大之時，能夠願意指導成績普通的我，教導我做事前都必須要先有計畫，一件事一件事按部就班，並且今日事今日畢，讓我能夠順利的畢業，並提供良好的實驗室環境，讓我能夠充分的學習。此外，我也從老師身上學到許多專業上的知識與模擬上的技巧，奠定了日後發展的基底。也很感謝老師時常關心我的日常生活，提供寶貴的意見，並且讓我的生活不虞匱乏。感謝交大光電所的教授們，提供了優良的教學品質以及知識傳遞。很幸運能和工研院量測中心王浩偉、楊富翔先生合作學習並感謝提供論文指導。感謝我的父母親，在我十年多來的求學生涯的支持與幫助，總能讓我能夠專心在課業上，並能勇敢面對困難。感謝辰昀在四年多來的陪伴，讓我的生活更多加了歡樂，在我疲累灰心之際，適時的鼓勵我，重新讓我精神抖擻，時時保有愉悅的心情。感謝辰昀的爸媽，總是能夠時時照顧與鼓勵我。感謝實驗室的慈方學姊引領我做實驗的方法與邏輯，兆璽學長引發我的思考與生活上的互動，並感謝伊凱、介任、淑君學長姐們兩年來的大力相助。感謝我的同學們在兩年中的陪伴：清祥、森年、晟傑、慧文，讓我在實驗室的日子裡有許多的歡笑與回憶。感謝實驗室的學弟妹們，因為有你們才有了實驗室的團購，畢業之後有好東西也要記得我唷。感謝我的摯友們：家興、世昌、照中、正宏、春巖、小莊、祐賢、彧煇、仕銘等等，感謝你們一路上在生活與課業上的支持與幫助。感謝再感謝. 2005.6 風城交大. I.

(4) 鮑爾透鏡之鏡頭設計與物理光學之詮釋. 學生劉家佑. 指導教授陳志隆. 國立交通大學光電工程研究所碩士班. 摘要. 本篇論文主要的目的在於研究鮑爾透鏡作為雷射整型元件的特性，並提出新的設計以及由波光學出發詮釋其可作為雷射整型元件之原因。整型目的在於將雷射光之高斯強度分佈整型為高均勻性之強度分佈，並把圓形對稱之形狀改變為具有邊界定義之線形。我們設計了針對高功率雷射應用的單透鏡，並提供更佳的均勻性以及明確之邊界定義。實驗上，我們驗證了商用的鮑爾透鏡與模擬之可靠度，用以說明設計之透鏡具有實現性。除了用幾何光學的概念說明整型之原理外，我們也分析雷射光源入射至透鏡內的物理光學，說明了透鏡提供邊界定義及均勻性之原因，並用模擬軟體驗證。. II.

(5) Lens design of Powell lens and its wave-optics. Student：Chia-Yu Liu. Advisor：Dr. Jyh-Long Chern. Institute of Electro-Optics Engineering National Chiao Tung University. Abstract. The major concern of this thesis is to explore the Powell lens in application to laser beam shaping, its design and wave-optical interpretation. The objective of beam shaping is to reshape the Gaussian distribution into a uniform distribution, where the circular shape of laser beam is changed to linear shape with well-defined boundary. We consider a lens design in providing better uniformity and clear boundary. Furthermore, we experimentally verify commercially available Powell lens with simulation to which ensure the reliability of the ASAP. We also provide san interpretation of wave optics to show how the lens with excellent uniformity as well as well-defined boundary.. III.

(6) 目錄誌謝. Ⅰ. 中文摘要. Ⅱ. Abstract. Ⅲ. 目錄. Ⅳ. 圖表目錄. Ⅶ. 表格目錄. Ⅻ. 第一章. 緒論. 1. 1-1 光束整型的簡介與歷史. 1. 1-2 本論文之目的與雷射光束整型的方法. 5. 1-3 本論文的架構簡介. 第二章. 10. 雷射整型的幾何方法理論. 2-1 能量平衡理論推導. 11 11. 2-1.1 光通量守恆定理. 11. 2-1.2 光追跡方程式. 14. 2-1.3 等光程差限制. 16. 2-1.4 能量平衡方法的求解. 17. 2-2 能量平衡方法求解流程. 20. 2-3 小結. 21. 第三章. 傳統單透鏡的雷射整型方法. 3-1 柱透鏡與模擬分析驗證. 22 23. IV.

(7) 3-1.1 利用柱透鏡整形雷射光束的概念. 23. 3-1.2 柱透鏡的理論分析. 23. 3-1.3 小結. 28. 3-2 鮑爾透鏡的簡介與模擬分析. 30. 3-2.1 鮑爾透鏡工作原理. 30. 3-2.2 鮑爾透鏡的模擬分析. 32. 3-2.3 鮑爾透鏡之光束光學詮釋. 34. 3-3 鮑爾透鏡的實驗與模擬之比較. 35. 3-4 鮑爾透鏡容忍度分析. 40. 3-5 小結. 44. 第四章. 新元件概念與設計. 46. 4-1 柱面鮑爾透鏡之概念與模擬. 47. 4-1.1 幾何光學設計概念. 47. 4-1.2 模擬與結果. 50. 4-1.3 小結. 52. 4-2 柱面鮑爾透鏡之延伸研究與設計. 52. 4-2.1 彎角柱面鮑爾透鏡之說明. 53. 4-2.2 模型建立之模擬. 54. 4-2.3 九十度彎角柱面鮑爾透鏡之模擬結果. 55. 4-2.4 其他彎角度柱面鮑爾透鏡之模擬結果. 56. 4-3 柱面鮑爾透鏡之容忍度模擬分析. 58. 4-3.1 透鏡參數的容忍度分析. 58. 4-3.2 透鏡錯位的容忍度分析. 60. 4-4 小結. 第五章. 61. 柱面鮑爾透鏡內的波光學探討 V. 63.

(8) 5-1 柱面鮑爾透鏡在焦點上的光場強度分佈分析. 64. 5-1.1 焦點附近的光場強度分佈. 67. 5-1.2 模擬在焦點上的光場強度分佈. 68. 5-2 柱面鮑爾透鏡在焦點附近的相位變化分析 5-2.1 ASAP 模擬之驗證. 79. 5-3 小結. 第六章. 73. 81. 總結. 83. 6-1 工作回顧. 83. 6-2 未完成的工作及繼續發展的可能性. 84. 參考文獻. 85. 附錄 A CVI 柱面透鏡規格表. 87. 附錄 B 柱透鏡之 ASAP 模擬程式碼. 88. 附錄 C 鮑爾透鏡之 ASAP 模擬程式碼. 90. 附錄 D 柱面鮑爾透鏡之 ASAP 模擬程式碼. 93. 附錄 E 九十度彎角柱面鮑爾透鏡之 ASAP 模擬程式碼. 95. 附錄 F 其他彎角柱面鮑爾透鏡之 ASAP 模擬程式碼. 98. 附錄 G 柱面鮑爾透鏡光強度及相位分佈之 ASAP 模擬程式. 101. 作者簡歷. 103. VI.

(9) 圖表目錄圖1-1：(a)Fresnel透鏡結構示意圖…………………………………………………2 (b)用於燈塔之實際Fresnel透鏡探照燈……………………………………2 圖1-2：用在固態雷射整形透鏡示意圖………………………………………………2 圖1-3：環形雷射整形透鏡示意圖……………………………………………………3 圖1-4：2D高斯分佈的雷射光源………………………………………………………5 圖1-5：光束整型概念…………………………………………………………………5 圖1-6：光束均勻性定義示意圖………………………………………………………6 圖1-7：遮擋式光束整形示意圖………………………………………………………7 圖1-8：反射式光束整形示意圖………………………………………………………7 圖1-9：折射式光束整形示意圖………………………………………………………8 圖1-10：繞射式光束整形示意圖……………………………………………………8 圖2-1：光通量守恆…………………………………………………………………13 圖2-2：透鏡系統參數標示圖………………………………………………………13 圖 2-3：不同出射雷射整型與入射光雷射的強度…………………………………14 圖2-4：光束介面折射參數示意圖………………………………………………… 15 圖2-5：不同錐形係數的鏡面………………………………………………………19 圖3-1：入射光源及設計出射光源說明……………………………………………22 圖3-2：(a) 圓形雷射光通過柱透鏡在X-Z平面的截面示意圖……………………23 (b) 圓形雷射光通過柱透鏡在Y-Z平面的截面示意圖……………………23 圖3-3：雷射經薄透鏡的計算參數標示圖…………………………………………25 圖3-4：(a)柱透鏡的程式碼 ………………………………………………………26 (b)入射雷射光源的程式碼 ………………………………………………26 圖3-5：柱透鏡曲率半徑對焦距的作圖……………………………………………27 圖3-6：最小線形寬度對柱透鏡曲率半徑的作圖…………………………………27. VII.

(10) 圖3-7：柱透鏡曲率半徑為38.1mm的線形光強度分佈……………………………28 圖3-8：鮑爾透鏡的截面圖…………………………………………………………30 圖3-9：第二面為球面鏡的鮑爾透鏡截面圖………………………………………31 圖3-10：鮑爾透鏡在像平面Z=1m處線形長度的光強度分佈示意圖………………32 圖3-11：第一面光焦度為負的鮑爾透鏡在像平面Z=1m處的線形長度之強度分佈 …………………………………………………………………………32 圖3-12：ASAP模擬雷射光半徑為5mm通過鮑爾透鏡在像平面Z=1m處的線形長度之光強度分佈圖 …………………………………………………………33 圖3-13：ASAP模擬雷射光源之示意圖………………………………………………33 圖3-14：光束在鮑爾透鏡內之情況…………………………………………………34 圖3-15：鮑爾透鏡……………………………………………………………………35 圖3-16：30度發散角鮑爾透鏡在Z=1m處的有效長度分布 ………………………35 圖3-17：30度發散角鮑爾透鏡在Z=1m處的場型分佈 ……………………………36 圖3-18：氦氖雷射整型實驗系統……………………………………………………36 圖3-19：(a) 屏幕距離透鏡224mm的線形情況. …………………………………37. (b) 屏幕距離透鏡1140mm的線形情況 …………………………………37 圖3-20：鮑爾透鏡實驗裝置…………………………………………………………38 圖3-21：實驗及模擬在出射雷射線形方向強度分布的比較………………………38 圖3-22：有效長度為5cm的出射線形分佈…………………………………………39 圖3-23：半導體雷射的入射光場之形狀……………………………………………40 圖3-24：量測鮑爾透鏡功率容忍度實驗裝置………………………………………40 圖3-25：鮑爾透鏡對808nm雷射的穿透率 …………………………………………41 圖3-26：出射雷射在偵測器之線形示意……………………………………………41 圖3-27：測量鮑爾透鏡對氦氖雷射穿透率的實驗裝置圖…………………………42 圖3-28：鮑爾透鏡對氦氖雷射的穿透率……………………………………………42 圖3-29：鮑爾透鏡對偏移光軸的容忍度數據………………………………………43 VIII.

(11) 圖3-30：鮑爾透鏡對旋轉軸心的容忍度數據………………………………………43 圖3-31：鮑爾透鏡在OSLO的設定……………………………………………………44 圖3-32：鮑爾透鏡的像差分析………………………………………………………45 圖4-1：3D物體檢測…………………………………………………………………46 圖4-2：柱面鮑爾透鏡示意圖………………………………………………………47 圖4-3：(a) 利用薄透鏡計算出所欲設計的柱面曲率……………………………48 (b) 鮑爾透鏡(第二面為平面)的模擬示意圖……………………………48 (c) 利用(b)的透鏡在z=100mm處的場形…………………………………48 圖4-4：(a) 雷射光半徑等於透鏡之曲率半徑示意圖……………………………49 (b)雷射光半徑等於透鏡之曲率半徑示意圖 ……………………………49 圖4-5：(a) z=90mm的光強度分佈…………………………………………………49 (b) z=100mm的光強度分佈 ………………………………………………49 圖4-6：柱面鮑爾透鏡的程式碼……………………………………………………50 圖4-7：(a) 線形出射雷射在長度方向上的光強度分布…………………………51 (b) 線形出射雷射在寬度方向上的光強度分布…………………………51 圖4-8：檢測系統示意圖……………………………………………………………53 圖4-9：九十度彎角柱面鮑爾透鏡…………………………………………………54 圖4-10：其他角度彎角柱面鮑爾透鏡示意圖………………………………………54 圖4-11：九十度彎角柱面鮑爾透鏡的程式碼………………………………………55 圖4-12：其他角度彎角柱面鮑爾透鏡的程式碼……………………………………55 圖4-13：30度彎角柱面鮑爾透鏡在像平面的線形分佈……………………………57 圖4-14：柱面鮑爾透鏡之曲率半徑與錐形係數的容忍度…………………………59 圖4-15：柱面鮑爾透鏡之厚度容忍度………………………………………………59 圖4-16：(a) 以x軸為旋轉軸的容忍度分析………………………………………60 (b) 以y軸為旋轉軸的容忍度分析………………………………………60 圖4-17：柱面鮑爾透鏡對於X及Y軸旋轉之厚度容忍度……………………………60 IX.

(12) 圖4-18：柱面鮑爾透鏡相對於Y軸偏心之厚度容忍度……………………………61 圖5-1：聚焦的波前示意圖…………………………………………………………64 圖5-2：聚焦球面波之系統參數示意圖……………………………………………64 圖5-3：P、Q點的座標轉換標示圖…………………………………………………65 圖5-4：理論上焦點附近之光強度分佈……………………………………………68 圖5-5：不同錐面係數之焦距………………………………………………………69 圖5-6：透鏡前未加孔徑光欄在焦點前後之三維光強度分佈……………………69 圖5-7：透鏡前未加孔徑光欄在焦點前後之二維光強度分佈……………………70 圖5-8：焦點位置之光強度分佈……………………………………………………70 圖5-9：焦點位置之光強度分佈……………………………………………………71 圖5-10：鮑爾透鏡及球面鏡之差異…………………………………………………71 圖5-11：(a) 孔徑光欄半徑為1cm的焦點位置光強度……………………………72 (b)孔徑光欄半徑為0.5cm的焦點位置光強度 …………………………72 (c)孔徑光欄半徑為0.25cm的焦點位置光強度…………………………72 (d)孔徑光欄半徑為0.1cm的焦點位置光強度 …………………………72 圖5-12：(a)雷射光源未入射透鏡前之相位分佈…………………………………73 (b)焦點位置前後沿Y軸之三維相位分佈 ………………………………73 (c)雷射光源剛出射透鏡沿Y軸之相位分佈 ……………………………73 圖5-13：焦點位置前後之二維相位分佈……………………………………………74 圖5-14：焦點位置沿Z方向之光場相位分佈………………………………………75 圖5-15：(a)雷射光源未入射透鏡前之相位分佈…………………………………76 (b)焦點位置前後沿x軸之三維相位分佈 ………………………………76 (c)雷射光源剛出射透鏡沿x軸之相位分佈 ……………………………76 圖5-16：(a)像平面在z=90mm處之光強度 (b)像平面在z=90mm處之相位分佈. ………………………………………77 ……………………………………77. 圖5-17：負透鏡示意圖………………………………………………………………77 X.

(13) 圖5-18：(a)入射雷射光之相位分佈………………………………………………78 (b)在負透鏡中的相位分佈………………………………………………78 (c)在負透鏡內未經處理之相位分佈……………………………………78 圖5-19：(a)第一面為凹面鏡的強度分佈(像平面置於z=7mm處)…………………79 (b)第一面為凹面鏡的相位分佈…………………………………………79 圖5-20：ASAP模擬雷射光源之示意圖………………………………………………79 圖5-21：(a)雷射光束圍繞數為4，光線數量為1萬條 ……………………………80 (b)雷射光束圍繞數為4，光線數量為9萬條 ……………………………80 (c)雷射光束圍繞數為4，光線數量為90萬條……………………………80 (d)雷射光束圍繞數為8，光線數量為1萬條 ……………………………80 (e)雷射光束圍繞數為8，光線數量為9萬條 ……………………………80 (f)雷射光束圍繞數為8，光線數量為90萬條……………………………80 (g)雷射光束圍繞數為12，光線數量為1萬條……………………………80 (h)雷射光束圍繞數為12，光線數量為9萬條……………………………80 (i)雷射光束圍繞數為12，光線數量為90萬條 …………………………80. XI.

(14) 表格目錄表1-1：線型雷射整型之歷史簡介……………………………………………………4 表1-2：本論文所使用的雷射光源特性整理…………………………………………6 表 1-3：雷射整型方法的比較 ………………………………………………………9 表3-1：柱透鏡的模擬分析整理表 …………………………………………………28 表3-2：鮑爾透鏡的其他形狀 ………………………………………………………31 表4-1：柱面鮑爾透鏡的模擬結果分析 ……………………………………………51 表4-2：九十度彎角柱面鮑爾透鏡的模擬結果分析 ………………………………56 表4-3：其他彎角柱面鮑爾透鏡的模擬結果分析 …………………………………56 表 4-4：柱面鮑爾透鏡的容忍度整理表. …………………………………………61. XII.

(15) 第一章緒論. 光束整型(Beam shaping)之光學設計在於改變光源的照度分佈，設計之光學系統可廣泛應用在照明、面板、物體量測等。雷射光源的發明，提供了更多的學術及工業上的研究。雷射具有高功率(High power)、單頻(Monochromatic)、同調(Coherent)、指向性高(High directional)的獨特性質，雷射的強度分佈是中間往周圍遞減之高斯分佈(Gaussian distribution)，強度為圓形分佈。正因為雷射的發明，使得雷射光束整型(Laser beam shaping)是光束整型中的一種新穎技術，提供了許多學術上與工業上的新應用。雷射整型的目的在於改變雷射的兩個性質，說明如下： [1]. 雷射光束的形狀：一般的雷射光束形狀為圓形，針對不同的應用，所需要雷射光束的形狀會有所不同。例如線形可應用在量測物體建築物高度或雷射切割，十字型可應用在對位等等。. [2]. 雷射光束的場分佈(強度分佈)：雷射光的強度分佈為高斯分佈。在精密的量測技術中，需要均勻性高的雷射強度。. 1-1 光束整型的簡介與歷史在最早之西方歷史記載中，光束整型技術是應用在西元前213至211年的希臘與羅馬的西拉鳩斯市(Syracuse)戰役中，阿基米德(Archimedes)命令數百名希臘軍人利用鏡子系統反射太陽光燃燒羅馬人的船隻。這是史上第一個使用多面 (multi-faceted)光束整型技術，根據Edge-ray原理[3]，可利用數個小面的光學系統將光源投射至一小區域，此方法也在現代被實驗驗證。第一個實際應用的光束整型技術是Fresnel為減輕放置在燈塔上的探照燈鏡組的重量，保持傳統的透鏡的曲率，於是把透鏡的厚度縮小。如圖1-1，此透鏡可將原本發散的燈泡光源整型為一方向性高的光束，此透鏡也因此命名為Fresnel透鏡[3]。沿用至今仍然有 1.

(16) 許多相關的應用與研究。 (a). (b). 圖1-1：(a) Fresnel透鏡結構示意圖 (b)用於燈塔之實際Fresnel透鏡探照燈. 在雷射整型技術方面，1965年，Fridden發表了第一篇無損耗雷射整型技術 [4]，其利用幾何的方法將單模的高斯光束整型為均勻光束。近年來，線形雷射光束整型的文獻日益增多。1986年，日本人Nakamura使用複雜的旋轉反射面機構使出射光束為線形分佈[5]。1989年，Powell設計了一個單透鏡[2]，藉由控制曲率半徑及錐形係數(Conic constant)，可以使圓形的雷射光束整形為均勻的線形光束。此後，Powell在1996年發表了可以將雷射光束整形為D型光束的光學元件[6]。1994年，Frady由Powell的概念，發覺Powell透鏡難以使用在固態雷射上，設計了非對稱的單透鏡元件[7]，見圖1-2，在兩垂直軸的曲率半徑及錐形係數不相同，此元件可用在非圓形入射的雷射光源，將光源整形為均勻線形光源，但缺點為在不易對位(Alignment)且製作複雜。. Y. X-Z view. Y-Z view. X Z. 圖1-2：用在固態雷射整形透鏡示意圖 2.

(17) 2000年，Bietry設計第一面為環形面(Toroidal surface )透鏡[8]，其形狀見圖 1-3，將光源置於固定位置後，可以在像平面得到均勻性佳的線形出射光束，但缺點一樣為製作相當困難。2004年，Thibault設計線形整形雷射光源的繞射元件 [9]，在繞射元件前要加上擴束透鏡組，藉由繞射元件的出射光源階數(Order)互相重疊(Overlay)，達成均勻性的要求。但目前繞射元件的問題就在於難以提供較佳的均勻性及製作困難。 Y. X-Z view. Y-Z view. X Z. 圖1-3：環形雷射整形透鏡示意圖近年因提高發光二極體(Light Emitting Diode, LED)的亮度及其有節省能源的概念，所提供之LED光源整型課題也愈加頻繁。. 3.

(18) 以上線型雷射整型方法整如表1-1：時間/ 發明人. 方. 法. 優. 點. 1. 名稱：Optical type measuring 1. 良好的線形出 1986/ 射光束形狀 Nakamura scanner 2. 為透鏡及鏡子系統 2. 均勻性高 3. 說明：將雷射光束投射至多邊形的旋轉反射鏡上，藉由反射鏡的快速旋轉再將出射光束導至目標物上呈線形的雷射出射光束。. 缺. 點. 1. 系統複雜 2. 系統龐大 3. 價格高. 1989/ Powell. 1. 名稱：Linear divergence lens 2. 為透鏡系統 3. 說明：藉由控制透鏡的一維表面曲率，達到發散出射線形光束的方法。. 1. 良好的線形出射光束形狀 2. 製作較簡易 3. 體積小 4. 效率高 5. 均勻性高. 1. 僅適用在源對稱的雷射光束 2. 線形寬度無法小於入射光束直徑. 1994/ Frady. 1. 名稱：Line projection lens 2. 為透鏡系統 3. 說明：藉由控制透鏡的二維表面曲率，即透鏡相對於光軸為非對稱，達到發散出射線形光束的方法。. 1. 體積小 2. 效率高 3. 適用於非圓形光之入射光束 4. 均勻性高. 1. 製作複雜 2. 入射光相對於透鏡之對位困難. 2000/ Bietry. 1. 名稱：Laser line generator. 1. 體積小 2. 效率高 3. 均勻性高. 1. 製作複雜 2. 入射光相對於透鏡之對位困難. 1. 體積小 2. 適用於非圓形對稱光束. 1. 製作複雜 2. 效率低 3. 均勻性低. system 2. 為透鏡系統 3. 說明：使用環形面的透鏡方法。. 2004/ Thibault. 1. 名稱：Line generator optical apparatus 2. 繞射元件系統 3. 說明：使用擴束光學系統及繞射元件做置線形雷射，藉由繞射元件階數的互相重疊呈線形光束。. 表1-1：線型雷射整型之歷史簡介. 4.

(19) 1-2 本論文之目的與雷射光束整型的方法本篇論文在於研究雷射整型的方法，調整其與生俱來的高斯強度分佈，以光學設計方式，結合光耦合、光能量傳遞、光能量重新分布、光聚焦功能，建立修正圓對稱高斯分布(Gaussian distribution)雷射光束，見圖 1-4，成為線形(Line shape)光源的方法，並以此發展線光源光學模組的製作方式，除此之外，定義模組參數對線光源光束品質的影響。. 圖1-4：2D高斯分佈的雷射光源. 在思考我們設計時，我們是依實體，由左到右分別為入射光源空間、光學系統空間、出射光源空間，如圖 1-5。. 入射光源空間. 出射光源空間光學系統空間. 圖1-5：光束整型概念三個空間之中，尤已知條件給定入射光源空間及出射光源空間的特性或要求。入射光源空間要由使用何種雷射所決定。不同的雷射具有不同的強度分佈及光束形狀。本論文所提供之雷射以波長為 633nm 之氦氖雷射及波長為 532nm 的雷射. 5.

(20) 為主，規格分別整理如表 1-2。此二種雷射的光束形狀均為圓形，且強度分佈為高斯分佈，如圖 1-4 所示：名. 稱. 波. 長. 光束半徑. 強度分佈. 功. 率. 氦氖雷射. 632.8nm. 0.4cm. 高斯分佈. 5mW. 高功率雷射. 532nm. 1.15cm. 高斯分佈. 2W. 表1-2：本論文所使用的雷射光源特性整理. 在出射光源空間，我們希望將圓形高斯射光束整型為線型均勻性光束。所謂的均勻性(Uniformity)是本論文用來定義出射光束品質的重要參數。如圖1-6，我們先要知道欲設計的光場形的邊長﹝Xmax，Xmin﹞，藉由定義出在邊界之間所得的功率最小值與最大值﹝Pmin， Pmax﹞的相除值，便可以得到均勻性，物理意義是要定義出射光束均勻的參數，均勻性的值會介於0到100之間，單位為%。若U越大，則表示出射光束的均勻性越佳，數學表示可以寫為： U=. Pmin Pmax. (1-1). Powe rPmax Pmin Xmin. Xmax. 圖1-6：光束均勻性定義示意圖此均勻性之定義雖然簡單，但對我們目前的應用已經足夠說明雷射整型元件的品質。介於入射光源空間及出射光源空間的是光學系統空間，我們必須設計此空間的光學元件將入射光源空間分佈整型為出射光源分佈。雷射整型的困難在於要把原來的高斯分佈整型為均勻分佈，且要把形狀改變成線形的出射雷射。對此規格. 6.

(21) 設計的光學系統通常體積大且效率低，我們的研究希望設計輕薄短小的光學元件，並且能提供較高的均勻性。在光學系統空間，雷射光束整型的光學方法可以概括下列四種： (1) 遮擋式[10]：此方式製作周圍不透光之孔徑(Aperture)，只要光源的面積大於孔徑之尺寸，便可達到光束整型的目的。工作示意見圖 1-7，其中最好的方式是在孔徑前加上擴束光源系統，如此在像面可得到較佳的光源均勻性。此方式的優點為方法容易及可以將光源的形狀整型為任意形狀，但缺點是大部分的光源能量都被孔徑所阻擋，造成效率極低。此外，此方式也不適用於雷射光源。. 出射場型. 入射場型圖1-7：遮擋式光束整形示意圖. (2) 反射式[11-12]：系統是由多面鏡子所組成，如圖 1-8。設計參數為鏡面曲率半徑(Radius of curvature)、非球面係數(Aspheric constant)及錐面係數(Conic constant)、鏡子間的位移及偏斜等。最有名的方法為利用快速旋轉的多邊形鏡子，將光束反射至所設定的區域[9]。此方法的優點為高效率、出射的光束均勻性高，缺點為系統體積大、複雜度高及價格亦高。. 圖1-8：反射式光束整形示意圖[12] 7.

(22) (3) 折射式[13-14]：折射式系統主要由透鏡系統構成，其示意如圖 1-9。設計參數為鏡面曲率半徑(Radius of curvature)、非球面係數(Aspheric constant)及錐面係數(Conic constant)、透鏡間的位移及偏斜等。此方式的優點為系統體積小及輕易的模組化、高效率、出射光束均勻性高。但缺點為設計困難，尤其是針對非對稱的出射光源形狀，設計的系統複雜度較高並需要製造上的配合。. 圖1-9：折射式光束整形示意圖[13] (4) 繞射式[15-16]：近年來此方式常被研究。藉由入射光源經由繞射元件後每個光波階數間的重疊，達到雷射整型的目的，示意如圖 1-10。優點為體積小。但缺點為製造困難、效率低、不適合用在高功率雷射上。此外，由於繞射元件對於波長非常敏感，因此也不適用非單頻的光源。. 圖1-10：繞射式光束整形示意圖[15] 綜括以上四種方式，每種方法都有其優缺點，整理如下頁表 1-3。本篇論文考慮設計輕薄短小及耐高功率的元件下，主要採用折射式的系統。 8.

(23) 雷射整. 體積. 效率. 均勻性. 型方式遮擋式. 製作難. 補. 充. 易 ☆☆☆. ☆. ☆. 最簡單. 大部分的光被阻擋，製作容易但效率差。. 反射式. ☆. ☆☆☆☆. ☆☆☆. 次簡單. 若要求均勻性高，系統設計需要偏心 (Decenter)及旋轉。對位複雜度高。. 折射式. ☆☆☆☆. ☆☆☆. ☆☆☆☆. 複雜. 易將系統與雷射系統整合模組化。. 繞射式. ☆☆. ☆☆. ☆☆. 最複雜. 製作過程相當複雜，微結構易因高功率雷射破壞。. 表 1-3：雷射整型方法的比較. 9.

(24) 1-3 本論文的架構簡介本篇論文的架構整理如下，第二章的 2-1 節在介紹使用光學幾何之方法[1] 推導雷射整型的初步設計與分析，全文由麥克斯威爾方程式(Maxwell’s equation) 出發，根據能量守恆，等光程、光束傳輸定理，此三幾何光學的原理，可得關於透鏡形狀的微分方程，解出微分方程，此方法基本上可提供簡單雷射整型元件的初階設計。在第三章，我們將介紹傳統上用在線形雷射整型的柱透鏡，並使用 ASAP 軟體模擬，分析優點與缺點，並和理論比較模擬的準確性；商用的鮑爾透鏡[2] 之特性分析會在 3-2 章節討論，我們將驗證文獻[2]提供鮑爾透鏡的參數，模擬確認鮑爾透鏡可達雷射整型的效果；在 3-3 節之後，我們將針對鮑爾透鏡做實驗驗證，分析模擬軟體之驗證與實際情況的差別，用以鑑別模擬軟體之準確性；在 3-4 章節，我們亦實驗說明鮑爾透鏡對於旋轉及偏移後的容忍度分析，提供鮑爾透鏡在實驗架設上的所需之準確度。在第四章，我們將改進傳統透鏡的缺點與不足之處，並根據我們的光源雷射需求設計柱面鮑爾透鏡，來增加鮑爾透鏡在不同情況下的實用性。文中的理論計算是以幾何光學作為基礎，模擬則是根據光學軟體 ASAP 來做分析；設計完成之後，我們將在 4-3 節討論柱面鮑爾透鏡的製造或對位誤差所造成的容忍度分析。在第五章，我們將說明光場強度分佈及相位在透鏡中的情況，分析柱面鮑爾透鏡作到雷射整型的原因。第六章將對於先前的範例與實驗做出總結，說明其他可以延伸的工作。. 10.

(25) 第二章雷射整型的幾何方法理論幾何方法是建立於光束之概念，包含以下四個基本條件，分別為反射定律(入射角等於反射角)、折射定律(Snell’s law)、光通量守恆條件、等光程差條件。本章的計算可應用在反射式系統(鏡子系統)或是折射式系統(透鏡系統及 GRIN 系統)。在此本論文主要以折射式系統為主軸，利用四個定理可得到一個透鏡相對位置之微分方程。解微分方程後，將方程對非球面方程式做擬合求出球面曲率及非球面係數，可以得到雷射整型元件之初階解。. 2-1 能量平衡理論推導 2-1.1、光通量守恆定理：由麥克斯威爾方程式(Maxwell’s equation)出發：. r ∇ • E(r, t) = 0 ，. (2-1). r ∇ • H(r, t) = 0 ，. (2-2). r r ∂H(r, t) ， ∇ × E(r, t) = -µ ∂t r r ∂E(r, t) ∇ × H(r, t) = ε ， ∂t. (2-3) (2-4). 其中 r 為電磁波傳播的距離， t 為時間， ε、µ 分別為介電常數 (Electric permittivity)及導磁係數(Magnetic permeability)。將(2-3)式左右乘上( ∇ × )，等式左方可得： r r v v ∇ × ∇ × E = ∇∇ • E - ∇ • ∇E = -∇ • ∇E = -∇ 2 E. 等式右方可得：. -µ. v ∂ ∂2E (∇ × H) = -µε 2 ∂t ∂t. 等式左右相等可得. 11.

(26) v ∂ 2 E(r, t) ∇ 2 E(r, t) = -n 2 ∂t 2 假設電場 E 為時間簡諧(Time harmonic)波，則可將其表示為： v v E(r, t) = u( r )exp(jωt). (2-5). (2-6). 將(2-6)式代入(2-7)可得： r r (∇ 2 + ω 2 εµ )u(r ) = (∇ 2 + n 2 k 02 )u( r ) = 0 (2-7)式中使用分別將 v =. (2-7). v0 ω ，v = εµ，k 0 = 替代 ω 2 εµ 可得最後之結果，其中 n v0. n為材料之折射率，v為電磁波在材料中之速度，k0為波數(Wave number)。. v 幾何光學之概念是使用光束來代表電磁波，可將(2-7)中的 u( r ) 表示為： r r r u( r ) = u 0 ( r )exp[ik 0 S( r )]. (2-8). r r u0(r)為電場在任意位置r之振幅， S( r ) 表示為波前，為光束之等相位面( S( r ) =常數)。對於一等向性(Isotropic)介質，光束方向可以表示為垂直波前的方向，可寫 r r ∇S( r ) ∇S( r ) v 為 a(r) = = r r 。將(2-8)式代入(2-7)式得： ∇S( r ) n( r ). (∇S) 2 = n 2 2u 0 ∇S • ∇u 0 + u 02 ∇ 2 S = 0. (2-9) (2-10). 方程式(2-9)即為已知的eikonal方程，(2-10)式之物理意義為能量守恆之敘述式。等式左邊為：. r 2u 0 (∇S • ∇u 0 ) + u 02 ∇ 2 S = u 02 (∇ • ∇S) + ∇S • ∇(u 02 ) = ∇ • (u 02 ∇S) = ∇ • (u 02 na) r = ∇ • (Ia)， r 加上等式左邊等於零，於是可得 ∇ • (Ia) = 0 將高斯理論(Gauss’ theorem)應用在等式兩端對光束通過之面積積分，如圖2-1，得 I1*A1= I2*A2。. 12. (2-11).

(27) I2dA2. I1dA1 圖2-1：光通量守恆 A1為通過I1面積之光束流量，同理A2為通過I2面積光束流量，此方程式驗證了光通量守恆，提供之後雷射光束整型設計的基本方程式。現考慮一高斯強度分佈的雷射光源入射至雷射光束整型系統。系統如圖 2-2 所示：. (R, Z) (r, z) t2. t1. r. R. d n1. z. Z n0. n2. 圖2-2：透鏡系統參數標示圖其強度分佈可以描述為 σ (r) = exp[-2(r/r0 ) 2 ] 。r0為光束光腰，假設雷射光束離開光學系統後的半徑為R，且強度分布為 Σ(R ) 為常數(將雷射光束強度整型為均勻強度分布)。由光通量守恆(2-11)式(在此不考慮界面的部份反射和材料吸收)得：. ∫. 2π. 0. r. 2π. R. 0. 0. 0. dθ ∫ σ (r)rdr = ∫ dθ ∫ Σ(R)RdR 。. (2-12). 藉由設計射雷射光束在半徑 R 內為均勻強度分布，則可將 Σ(R ) 在半徑 R 的區域內設為常數。換句話說， Σ(R ) 可以表示為階梯函數，加上(2-12)式，可整理為. R=. r02 [1 - exp(- 2r 2 r02 )] ， 2Σ. 13. (2-13).

(28) 其中. Σ=. r02 2 [1 - exp(- 2rmax r02 )] 。 2 2R max. (2-14). rmax 表示為第一個透鏡的孔徑光欄半徑；Rmax 為光束在第二個透鏡最外圍的半徑，也可以說是雷射光束的出射半徑。在圖 2-3 裡，我們給出根據(2-13)及(2-14)式計算的結果。入射空間為強度是 5mW 的氦氖雷射，由於光通量守恆情形，當所欲設計的出射光束半徑越大，則強度就會越低。. -o- 入射氦氖雷射光之光強度(Intensity)分佈 *** 設定出射半徑為1 mm的整型雷射 ^^^ 設定出射半徑為1.5 mm的整型雷射. 圖2-3：不同出射雷射整型與入射光雷射的強度. 2-1.2、光束追跡方程式：根據幾何光學的概念，光的振幅和相位是分開計算。首先計算出光學系統的光束路徑，藉此可得相位相對光程在系統中的變化；振幅是由每條光束的強度變化決定。接下來推導光束追跡提供之後的設計，由司乃耳定律：. r r n(a × nˆ) = n' (A × nˆ) ，. (2-15). r r r a、A ：為入射光束與出射光束向量； n ：為界面的法向量。示意則見圖 2-4：. 14.

(29) nˆ. r 出射光束向量 A. r 入射光束向量 a. n. n’. 圖2-4：光束介面折射參數示意圖將(2-15)式左右乘以向量 nˆ 並簡化，得. r r n' A = na + [n' cosi'-ncosi]nˆ ，. (2-16). r r 其中 cosi' = A • nˆ，cosi = a • nˆ ，i 及 i’為入射角及折射角；此方程提供光束在光學. 系統中的光束路徑。根據費馬定律(Fermat’s principle)，若光束由起點 P 至終點 Q，則光束在 PQ 之間的路徑必為極值，且光程為 OPL(C) = ∫ n(x, y, z)ds ，光束路徑 C 可以用 C. r 微分變數(Variation of calculus)決定[17]，當 n( r ) 為平滑(Smooth)方程式，則光 r r r dr d 束路徑 C 可以滿足 (n( r ) ) = ∇n( r ) ，若材料為同質性(Homogeneous)，則光 ds ds 束的路徑方程式為直線，可以表示為：. r r r r (s) = as + b ，. (2-17). r r 其中 a、b 為常數向量，由設計的觀點出發，第一個透鏡的形狀必須將入射光束. 折射至第二面透鏡位於 R 之位置，再經由第二個透鏡整型為平行的均勻性雷射光，故在此設計之光學系統是由兩個透鏡組所構成。光束折射是由司乃耳定律所決定，其從第一個元件位置(r,z)至第二個元件位置(R,Z)之向量是由式(2-16)所決 r 定，而雷射光假設為平行光軸入射，則 a = kˆ ，可解出：. 15.

(30) r A = γkˆ + Ωnˆ ，. 其中 Ω =. 且 z' =. (2-18). - γ + 1 + (z' ) 2 (1 - γ 2 ) - z' rˆ + kˆ n ， nˆ = ，γ = ， n0 1 + (z' ) 2 1 + (z' ) 2. dz(r) 。 dr. 由式(2-17)可得知光束從第一個元件至第二個元件間的光程路徑為直線，故可表示為： (R - r )A z = (Z - z)A r ，. (2-19). r 其中 Ar、Az：為 A 對於 r 及 z 的分量。結合(2-18)及(2-19)式，整理後可得： (z' ) 4 [γ 2 (R - r) 2 + (γ 2 - 1)(Z - z) 2 ] - (z' ) 3 (R - r)(Z - z) - (z' ) 2 (1 - γ 2 )[(R - r) 2 + (Z - z) 2 ] 2z' (R - r)(Z - z) - (R - r) 2 = 0. 經簡化處理得： [(1 - γ 2 )(Z - z) 2 - γ 2 (R - r) 2 ](z' ) 2 + 2(R - r)(Z - z)z'+ (R - r) 2 = 0 ，即 z' =. - (R - r)(Z - z) ± n(R - r) (Z - z) 2 - (R - r) 2 (1 - n 2 )(Z - z) 2 - n 2 (R - r) 2. (2-20) (2-21). (2-21)式中的 R=R(r)可由式(2-13)所決定。由上述之結果得知(2-21)式為包含(z,r). 之微分方程，其中 Z 為未知，但因為面 S 是由(Z,R)所描述，故 Z 可表示為 Z=Z(R)。如此由(z,r)所表示的面 s 方程式可藉由解出微分方程而得；另一方面，. 光束整型的設計亦著重於出射光束的波形輪廓，由此則需要等光程差的條件限制，換言之，可得 Z 與 z 之關係式再加上解出的微分方程式，則面 S 的數學方程式可被算出。. 2-1.3、等光程差限制：. 為了避免出射光束間因為光程之不同造成干涉，使得均勻性降低，每條光束在系統中的光程必須相同。光程等於光束在系統中的所行走之幾何長度乘以該系 16.

(31) 統的折射率，所以平行於光軸之光束的光程可以表示為： (OPL) O = nt 1 + n 0 d + nt 2 。. (2-22). 任意高度 r 的光束光程為：. (OPL) r = nz + n 0 (R - r) 2 + (Z - z) 2 + n(t 1 + d + t 2 - Z) 。. (2-23). 在此二光束光程相等的限制下，可得：. n 0 (R - r) 2 − ( Z − z ) 2 = n ( Z - z) - d(n - n 0 ) ，即 (Z - z) =. n(n - n 0 )d + n 02 (n - 1) 2 d 2 + (n 2 - n 02 )(R - r) 2 n 2 - n 02. 。. (2-24). (2-25). 2-1.4、能量平衡方法的求解：. 決定系統的折射率n、兩透鏡間的距離d、第一面透鏡厚度t1與第二面透鏡的厚度t2後，透過(2-13)、(2-14)、(2-21)、(2-25)式，R(r)、Z(r)、z(r)均可利用數值解求出。由(2-21)式可以有兩個解，若z’小於零則表示第一面透鏡為負透鏡，反之若z’大於零則表示第一面透鏡為正透鏡；將(2-13)和(2-25)式合併，則可積分解出z(r)，接下來由(2-25)式可得面S2 的形狀。Cornwell[18]及Malyak[12]提供了一個解決的簡單方法，第一個元件的形狀可以表示為：. z(r) = ∫ f(r)dr + C 。. (2-26). Z(r) = z(r) + g(r) ，. (2-27). 第二個元件的形狀可寫為：. 其中 f(r)及 g(r)均為已知方程，C 為常數。由(2-13)及(2-25)式可得： n(n - n 0 )d + [n 02 (n - 1) 2 d 2 + (n 2 - n 02 )] × { Z=z+. n 2 - n 02. 和(2-26)式相比，可得： 17. r02 r2 [1 - exp(-2 2 )] - r } 2Σ r0. (2-28).

(32) n(n - n 0 )d + [n 02 (n - 1) 2 d 2 + (n 2 - n 02 )] × { g(r) =. r02 r2 [1 - exp(-2 2 )] - r } 2Σ r0. n 2 - n 02. 。 (2-29). 相同地，(2-20)式可以寫為： a(r)(z' ) 2 + b(r)z'+c 2 (r) = 0 。. (2-30). 其中 c(r) = (R - r) =. r02 r2 [1 - exp(-2 2 )] - r ， 2Σ r0. b(r) = 2c(r)g(r) ， a(r) = (1 - γ 2 )g 2 (r) - γ 2 c 2 (r) ， - b(r) ± b 2 (r) - 4a(r)c(r) 亦即 z' = f(r) = 。 2a(r). (2-31) (2-32) (2-33) (2-34). 將微分方程 (2-21) 式解出之後，透鏡的非球面可以由數個 (r,z) 及 (R,Z) 所表示，接下來的工作就在於把數值解換成已熟悉的光學參數，以供製造及分析，換句話說，必須把(r,z)及(R,Z)數值代入光學表面方程式(Opical surface equation) 做擬合(Fitting)分析： z=. cr 2. N. 1 + 1 - (1 + κ )c 2 r 2. + ∑ A 2i r 2i ，. (2-35). i =1. 其中c為曲率(Curvature)，κ為錐形係數(Conic constant)，A2i為多項式非球面係數；若A2i=0，但 κ ≠ 0 ，光學表面則為錐形面(Conic surface)，當κ>1 或-1<κ<0，透鏡面為橢圓面；當κ=-1 則為拋物面；當κ<-1 則為雙曲面。示意見圖 2-5。. 18.

(33) 圖2-5：不同錐形係數的鏡面. 19.

(34) 2-2 能量平衡方法求解流程我們將求解與驗證的流程整理如下：評估幾何方法之限制條件. (A) 光通量守恆：提供R和r之間的關係 (B) 等光程限制：提供Z和z之間的關係 (C) 光追跡方程：提供z(r)的微分方程. 將所得z(r)方程式對光學表面方程式對做光學表面方程式擬合，找出： (A) 透鏡的曲率半徑 (B) 錐形係數. 所得光學係數輸入製模擬軟體驗證. (A) 檢查計算過程中是否有錯 (B) 若結果和所欲設計出射場形有不同，則曲線擬合變數要加上多項式非球面係數，將擬合的誤差降低數個級數。. 和所欲設計的出射光束強度分布一致，則可將光學元件開模製造. 20.

(35) 2-3 小結設計前，可以利用繞射理論的參數估算幾何光學的可行性，其參數為[1]：. β=. 2πr0 D fλ. (2-36). 其中r0為入射光束的光腰，D為所欲設計出射光束的半徑，f為光學系統的焦距或是到目標平面的距離。當β<4 時，幾何方法所得之設計會和原來所預期有很大的落差；當 4<β<32 時，繞射的影響應該要被考慮在設計過程中；當β>32，其光學系統可以使用幾何方法設計，在一般的情況下，使用幾何方法的設計可以達到很好的效果。在本論文中，我們所設定的物空間光源為中心波長為 532nm、光腰為 2.3cm 且強度為高斯分布。在我們的設計中，β=33.93，雖然可以使用幾何方法提供初階設計。但是像空間之設計要把高斯分佈的雷射光源整型為均勻出射光束，並且形狀為線形分佈。對於物空間及像空間之對稱系統，集合能量守恆、等光程差、光追跡方程式條件，所得之微分方程已經非常複雜，難以用普通積分計算。而在我們設計出射光束為長度為 50mm、寬度為 0.5mm 的線形分佈，形狀並非以光軸為中心旋轉對稱，更造成積分的困難度。本章所介紹的幾何方法是藉由光束之幾何原理所建立，由以上的敘述可得知其方法雖然本質上可提供強而有利的設計，但是在實用上仍有些限制，我們可以總結幾何方法的適用範圍： (1). 當 β 值大於 32；. (2). 當出射設計光束的形狀分佈為以光軸為中心旋轉對稱；. (3). 設計容許大的透鏡系統體積。. 在我們的案例中，由於我們欲設計的出射雷射形狀不具有中心旋轉對稱，較不適合用此方法求解，加上我們希望設計體積較小的透鏡，在第三章提供了一個新的雷射整型方法。. 21.

(36) 第三章. 傳統單透鏡的雷射整型方法. 本論文第二章說明了一個強而有力的雷射整型設計方法，雖然其方法概念簡單，但計算過程中受限解微積分的困難度，若要設計非圓形的出射光束形狀，會使計算相當複雜，且有一定的困難度。在本章，我們將討論傳統雷射整型的方法，分析討論其優缺點。所用的入射雷射光源空間要求如下： (1) 入射光源中心波長：633nm之氦氖雷射； (2) 光能量及其分布：5mW，高斯分布；. 出射光源空間的設計要求如下： (1) 工作距離：>50mm； (2) 形狀：有效寬度為0.5mm，有效長度為50mm，見圖3-1； (3) 線光源光強均勻性：> 60%。. 入射光源空間. 出射光源空間有效寬度有效長度. 圖3-1：入射光源及設計出射光源說明. 22.

(37) 3-1 柱透鏡與模擬分析驗證 3-1.1、利用柱透鏡整形雷射光束的概念. 實施線形雷射的方法首先採用柱透鏡(Cylindrical lens，見圖3-2)。其原理就在於因為柱透鏡只在一個方向具有光焦度(Optical power，垂直柱軸的方向)，於是入射雷射光束強度就會只有在一個方向上會被透鏡聚焦，可以將圓形的入射雷射光束整形為線形。（a）. （b）. Cylindrical (x) axis. z z y. 圖3-2：(a) 圓形雷射光通過柱透鏡在X-Z平面的截面示意圖 (b) 圓形雷射光通過柱透鏡在Y-Z平面的截面示意圖. 3-1.2、柱透鏡的理論分析：. 雷射光束通常具有良好之準直性，可被視為近軸波(Paraxial waves)。假設光軸為Z方向，則近軸波之方程式可寫為平面波方程式 A ⋅ e -jkz 的變形，把常數A 改成和位置相關的函數A(r)[19]，且A(r)相對於位置的變動量很小，則近軸波方程式可寫為： U(r) = A(r)exp(-jkz). (3-1). 將(3-1)代入麥克斯威爾微分(2-7)式，可得： (. ∂2 ∂2 ∂A(r) + )A(r) + j2k =0 2 2 ∂z ∂x ∂y. (3-2). (3-2)稱為近軸漢姆霍茲方程式(Helmholtz equation)。此微分方程可得兩解，一. 為拋物波(Paraboloidal wave)： A(r) =. A1 r2 exp(-jk ) z 2z 23. (3-3).

(38) 另一解則為高斯光束(Gaussian beam)，表示為： A1 r2 ]， A(r) = exp[-jk 2q(z) q(z). (3-4). 其中q(z)=z-ξ，稱為q參數，且ξ為常實數或是虛數。當ξ為虛數時，(3-4)式仍為近軸漢姆霍茲方程式之解，則A(r)可表示為高斯光束的封包(Envelope)，將q參數改寫為q(z)=z+jz0，則：. λ 1 1 = -j ， q(z) R(z) πW 2 (z). (3-5). 將(3-5)及(3-4)代入(3-1)，近軸波方程式可改寫為：. U(r) = A 0. W0 ρ2 ρ2 exp[- 2 ]exp[-jkz - jk + jζ (z)] ， W(z) 2R(z) W (z). (3-6). 其中 W(z) = W0 1 + ( R(z) = z[1 + (. ζ (z) = tan -1 W0 = A0 =. z 2 ) ， z0. z0 2 ) ]， z. z0 ， z. λz 0 ， π A1 。 jz 0. (3-7). (3-8) (3-9) (3-10) (3-11). 圖3-3為標號說明圖。可(3-7)式是用來說明光束半徑(Beam radius)，W0為光束光腰(Beam waist)。入射光源之光腰假設在z=0的位置，而從光腰位置至光束寬度為 W0 之距離定義為z0。在此位置時，光束強度亦降至一半時的位置，兩倍 z0的距離長度稱為焦深(Depth of focus)。(3-8)說明高斯光束波前的曲率相對於光. 軸位置之關係。當高斯光束通過薄透鏡後，則波前的曲率在通過透鏡後，會受透鏡的曲率因而改變。. 24.

(39) 圖3-3：雷射經薄透鏡的計算參數標示圖[19]. 因為通過透鏡，在透鏡第二面的(3-6)式的相位要加上因為透鏡造成的相位增加量 exp(. jkρ 2 ) [20]，如此在第二面前後可提供相位匹配： 2f kz + k. ρ2 2R. -ζ - k. ρ2 2f. = kz + k. ρ2 2R'. -ζ ，. 1 1 1 = - 。 R' R f. 即. (3-12) (3-13). 其中薄透鏡的焦距公式可以近似為[21]： d (n − 1)C1C 2 1 = (n − 1)(C1 − C 2 + ) ， f n. (3-14). 其中C1及C2分別為透鏡第一面與第二面的曲率。由(3-5)式整理可得： - z0 '=. W0 ' =. R' ， λR' 2 1+ ( ) πW 2. W. πW 2 2 1+ ( ) λR'. ，. (3-15). (3-16). (3-15)式表示入射高斯光束經透鏡後光腰的新位置。(3-16)式顯示入射高斯光束. 經過透鏡後的最小出射光束光腰，其分別可藉由(3-7)、(3-8)、(3-13)、(3-14)計算；實作上我們必需考量可行性。在底下的分析裡我們會由CVI公司[22]所提供的透鏡參數求焦距並摹擬檢驗是否可行。藉由理論計算就可以得到最小的有效寬度W0’，於是可得理論值。接著利用 ASAP模擬軟體，將CVI公司的透鏡參數(請見附錄A)輸入之後模擬以檢驗其可行. 25.

(40) 性，並和理論值相互對照，檢驗ASAP的準確性；ASAP模擬程式碼如圖3-4(a) 及圖3-4(b)，分別為柱透鏡及雷射光源的程式碼，詳細請見附錄B。. 圖3-4(a)：柱透鏡的程式碼. 圖3-4(b)：入射雷射光源的程式碼圖3-5為模擬厚度為12.7mm之不同曲率半徑之柱透鏡對最佳焦距(最小光束寬度位置)的作圖。由圖可發現隨著曲率半徑的增加，則會增加薄透鏡計算之不準確性。由此我們可知薄透鏡之計算只適用在厚度和曲率半徑接近或是小於曲率半徑之情形下。. 26.

(41) 400. ASAP simulation Thin lens theory. Best Focus position (mm). 350 300 250 200 150 100 50 20. 40. 60. 80 100 120 140 160 180 200 Radius curvature (mm) (mm) Radius ofofCurvature. 圖3-5：柱透鏡曲率半徑對焦距的作圖圖3-6是柱透鏡曲率半徑對最小有效寬度的分析，可以看到CVI公司所提供的柱透鏡都可使得有效寬度在0.5mm之下，但和薄透鏡理論有所差異，原因在於在我. Spot size(mm) (mm) Effective width. 的案例透鏡並不能被視為薄透鏡，造成光束聚焦無法達到理論值。 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010. ASAP simulation Thin lens theory. 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 20. 40. 60. 80 100 120 140 160 180 200 Radius of curvature (mm). 圖3-6：最小線形寬度對柱透鏡曲率半徑的作圖圖3-7是柱透鏡為曲率半徑為38.1mm的情況下，在最佳焦距所得的線形雷射的強度分佈與輪廓形狀。. 27.

(42) 圖3-7：柱透鏡曲率半徑為38.1mm的線形光強度分佈 3-1.3、小結：. 由圖 3-8 可以察覺柱透鏡的均勻度不佳，我們就 CVI 公司的柱透鏡作一檢查。部份結果列表至3-1所示： CVI 公司提供柱透鏡的 (a)最佳焦距(mm) 規格. (b)像平面位置(mm). 在最佳焦距的結果. 在像平面位置的結果. (a)寬度(mm). (a)寬度(mm). (b)長度(mm). (b)長度(mm). (c)長度方向均勻性(%). (c)長度方向均勻性(%) (d)寬度方向均勻性(%). 1 CLCX-50.8-38.1-C: f=75毫米;. (a)77.89. (a)0.01152. (a)0.5. (b)87.89. (b)50.6888. (b)50.807. (c)9.82. (c)10.06. X=50.8毫米; R=38.1毫米;. (d)92.3. TC=12.7毫米 2 CLCX-50.8-50.9-C: f=100毫米;. (a)101.5. (a)0.017. (a)0.5. (b)113.5. (b)50.814. (b)50.807. (c)11.67. (c)9.60. X=50.8毫米; R=50.9毫米;. (d)90.6. TC=10毫米 3 CLCX-50.8-76.3-C: f=150毫米; X=50.8毫米;. (a)149.75. (a)0.02376. (a)0.5. (b)163.75. (b)50.814. (b)50.807. (c)11.55. (c)9.38. R=76.3毫米; TC=8毫米. (d) 88.6. 表3-1：ASAP對柱透鏡的模擬分析整理表. 28.

(43) 由表3-1可以發現CVI所提供的柱透鏡皆可以達到有效寬度0.5mm，甚至所得的結果可以使有效寬度在0.5mm之下，但是在均勻性方面就沒辦法符合設計目標的60%，原因就在於所得的出射光強度分佈仍然是高斯分佈，造成光強度分佈在中心最強，並且往邊緣迅速遞減，使得均勻性都只有在10%之間。表示柱透鏡雖然可以將圓形的雷射光源整形為長寬分別為50*0.5mm2的線形形狀，但是對於光強度分佈之整型卻無能為力，出射光強度分佈仍為高斯分佈。. 29.

(44) 3-2 鮑爾透鏡的簡介與模擬 3-2.1、鮑爾透鏡工作原理：. 實施線形雷射的第二個方法是採用 StockerYale 公司的 SLH-50TL-30 透鏡 (亦稱為鮑爾透鏡(Powell lens)，見圖3-8)。鮑爾透鏡是以發明人Ian Powell為名，. 其想法發表在1986年的美國專利(專利號4826299)[2]。透鏡的最大優點在於經透鏡整形的雷射光束具有出色的均勻性，並可以達到線形雷射整形的目標。. 圖3-8：鮑爾透鏡的截面圖[2] 鮑爾透鏡的工作原理如下：利用一個單透鏡的設計達到上述的兩個設計目標(見圖3-9)，第一面的形狀類似三角稜鏡，由非球面函數描述：. z=. cy 2 1 + 1 − (1 + Q)c 2 y 2. (3-17). 其中Q為錐形係數(Conic constant)，值介於-4.5~-1.6之間；c為鏡面曲率。事實上它是一個非球面鏡(Aspheric surface)。當入射光接觸到第一面後會在透鏡內快速的聚焦，造成光束發散的發散角非常大，造成在像平面會有線形的效果；而由於第一面只有在一個方向具有非球面曲率，而在此方向上的出射光束直徑，就會等於在像平面的有效寬度。此外，鮑爾亦提出其他形狀的鮑爾透鏡，見表3-2，表中的發散角表示入射光經過不同曲率半徑及錐形係數之鮑爾透鏡後，出射光束在線形方向上的光束發散程度，發散角越大，在越近的工作距離內可得到越長的線形有效長度。. 30.

(45) 發散角(度). 第一面曲率半徑(mm). 第一面錐形係數. 透鏡形狀. 透鏡材料. 15º. 0.8. -10.0. BK7. 30º. 0.4. -3.2. BK7. 60º. 0.2. -1.6. BK7. 90º. 0.12. -1.2. BK7. 60º. 0.12. -1.6. BK7. 30º. 0.4. -4.5. BK7. 60º. 0.2. -2.5. BK7. 60º. 0.32. -2.5. BK7. 80º. 0.18. -1.6. BK7. 70º. 0.18. -1.6. BK7. 表3-2：鮑爾透鏡的其他形狀[2]. 除了在第一面有不同的曲率及錐形係數之外，在第二面也可作成有曲率，就功能而言，第一面的目的就在於使光束在像平面會具有好的均勻性，而第二面的作用就是在增加光束的發散角，如圖3-9所示。. 圖3-9：第二面為球面鏡的鮑爾透鏡截面圖[2] 在文獻[2] 中提及鮑爾透鏡只適用在波長為 632nm(He-Ne 雷射光源) 之圓形雷射 31.

(46) 光，並說明發散角為60度的鮑爾透鏡對雷射光整型模擬結果(如圖3-10)，可以看到在離透鏡第一面頂點z=1m的像平面處，其有效長度可達1.2m，引用的專利文獻中說明其均勻性可達80%：. 圖3-10：鮑爾透鏡在像平面Z=1m處線形長度的光強度分佈示意圖[2] 另一型式的鮑爾透鏡(曲率為-0.12mm，錐形係數為-1.2的負透鏡)的模擬結果如圖3-11，可以看到在像平面z=1m處，有效長度可達1.2m，且引用之專利文獻說明其均勻性可達80%。. 圖3-11：第一面光焦度為負的鮑爾透鏡在像平面 Z=1m處的線形長度之光強度分佈[2]. 3-2.2、鮑爾透鏡的模擬分析：. 我們在輸入參數並嘗試將透鏡厚度設為變數，經過優化之後，結果如圖 3-12，所得均勻性才近70%，程式碼請見附錄C。 32.

(47) 圖3-12：ASAP模擬雷射光半徑為5mm通過鮑爾透鏡在像平面Z=1m處的線形長度之光強度分佈圖由結果可發現均勻性離專利中的80%還有相當大的距離，所造成誤差的原因有下列幾項： (1) ASAP對於高斯光束之模擬方法是假設中心光束圍繞了四條至八條或十二條. 的光束去模擬雷射光源的波列 (Wavelet) ，如圖 3-13 。此模擬之方法是在 1966年的論文期刊中被發表[23]，表示ASAP對於高斯光束的模擬具有準確. 性。但在光線追跡過程中，常會因為周圍光束已經發散遠離中心光束，使得在計算過程中出現誤差；. 圖3-13：ASAP模擬雷射光源之示意圖[24] (2) 另一個原因在於因ASAP沒有Important sampling的功能，所以對於高斯光束. 的模擬亦會有些誤差。我們已嘗試用百萬條光束覓跡處理，平均每平方毫米的像平面空間上有10條之光束線，但仍無法作到專利所揭示結果；. 33.

(48) (3) 最後一個可能性是連專利中已釋出的參數都要加入優化，或是文獻中所提及. 的均勻性為近似值，或是在過程中做了一些近似的動作。. 3-2.3、鮑爾透鏡之光束光學詮釋：. 由上小節之模擬結果，得知鮑爾透鏡可以將原來高斯強度分佈之雷射整型為較均勻型之出射雷射，我們由光束光學之概念來檢查其整型的原因。如圖3-14 所顯示，原來靠近中心強度較強相對於兩旁能量較弱之光束，焦點位置較靠近透鏡頂點處，經過焦點後迅速發散，形成出射雷射之有效長度。藉由近軸與離軸光束之焦距不同，將光源之能量重新分佈，而提升出射雷射之均勻性。由於雷射光源具有同調性，僅由光束光學說明是不能足以說明鮑爾透鏡如何達到良好之均勻性，在第五章我們將討論包含光強度及相位的物理光學現象。. 圖3-14：光束在鮑爾透鏡內之情況. 34.

(49) 3-3 鮑爾透鏡的實驗與模擬之比較我們購入商用鮑爾透鏡(見圖 3-15)，由圖可看出第一面是有如稜鏡面的非球面，第二面為平面。我們所購買的鮑爾透鏡在線形方向上之發散角為 30 度，透鏡的直徑約 1.1cm，透鏡的厚度約為 1.2cm，其值和我們在 3-2 節所最佳化的厚度相當一致。. 非球面平面. 圖3-15：鮑爾透鏡在第三章的模擬模型是針對發散角為 60 度的鮑爾透鏡，因此我們必須針對表 3-2 的第二個模型重新驗証，結果如圖 3-16。其顯示在透鏡距離屏幕 1 米情況下，線形的有效長度為 0.4m，可看出場分布在中間已被切平，具極佳的均勻性。. 100. Uniformity (%). 80 60 40 20 0 -300. -200. -100. 0. 100. 200. 300. Effective length (mm). 圖3-16：30度發散角鮑爾透鏡在Z=1m處的有效長度分布 35.

(50) 圖 3-17 為屏幕上的線形形狀與強度分佈。. 圖3-17：30度發散角鮑爾透鏡在Z=1m處的場型分佈接下來我們將對發散角為 30 度之鮑爾透鏡設計實驗系統，用以驗證模擬的準確性。圖 3-18 為簡單的鮑爾透鏡實驗系統驗證，由於氦氖雷射具有很高之準直性，所以透鏡位置擺放參數已非緊要。但在考慮實驗系統的校直下，透鏡與雷射的距離約為 5cm。. 圖3-18：氦氖雷射整型實驗系統. 36.

(51) 實驗裝置的鮑爾透鏡擺設方面，其非球面適合當作整型元件的第一面。原因在於可以容易判斷雷射是否對稱且垂直入射。另外，若將此面當作第二面，則出射線形雷射光場會碰觸到透鏡邊緣的框架。接著利用氦氖雷射對鮑爾爾透鏡做一些簡單的實驗驗證，由粗略的結果可看出圓形的氦氖雷射已經被整型為線形雷射，並擁有良好之均勻性。我們接下來討論鮑爾透鏡對於將圓形入射雷射整形為線形的結果。圖3-19 為以屏幕與透鏡距離為變數，在屏幕上所得線形出射雷射光，圖3-19(a)條件為屏幕距離透鏡224mm，用肉眼粗略量測，所得有效長度為115mm。而圖3-19(b) 條件為屏幕距離透鏡1140mm，用肉眼粗略量測，所得有效長度為460mm。. 圖3-19：(a) 屏幕距離透鏡224mm的線形情況 (b) 屏幕距離透鏡1140mm的線形情況由結果可以發現線形長度和模擬結果幾乎相同，模擬之有效長度約為 400mm，而實際量測情況為 460mm。除了線形形狀和實際相符合之外，我們必須針對均勻性比較模擬及實驗上鮑爾透鏡對於氦氖雷射整型的結果。實驗裝置如圖3-20，氦氖雷射入射至鮑爾透鏡，並將開口約1mm的孔徑光欄置於偵測器(Newport 1830C)前，使用LabVIEW 自動控制偵測器及孔徑在垂直光軸的方向移動，並自動擷取量側訊號存檔至電腦。在鮑爾透鏡的固定架下加上可旋轉及可移動的平台，可以做鮑爾透鏡的容忍度分析，此分析將在下一節討論。. 37.

(52) 5mW之氦氖雷射. 鮑爾透鏡. 線形出射雷射之長度偵測器(Newport 1830C): Æ在前面加上孔徑光欄精密旋轉平移台. 精密移動平移台圖3-20：鮑爾透鏡實驗裝置. 首先將偵測器置於距離透鏡頂端100cm處，實驗所得的結果如圖3-21。由圖可知在線形方向具有良好的均勻性，在均勻性方面，強度輪廓仍近似高斯分佈，和模擬之結果近似階梯方程有些差距。但實驗數據顯示出在接近峰頂位置有三個峰值，此在模擬上的結果中有相似的結果。綜合起來，ASAP對於雷射光束之模擬具有可靠度；在形狀方面，出射的線形光束有效長度與寬度和模擬結果相當一致；在應用方面，若量測系統需要較高的均勻性，則可在目標物之前應再加上線. Normalized intensity distribution (%). 形孔徑，可在線形方向上定義出高於80%的均勻性，但相對損失的能量亦較多。 simulating flux with normalization experimental flux with normalization 100 80 60 40 20 0 -300. -200. -100. 0. 100. 200. 300. Effective length (mm). 圖3-21：實驗及模擬在出射雷射線形方向強度分布的比較模擬中若將屏幕放置距離透鏡頂點10cm處，所得之線形長度約5cm，此長度和實驗結果的結果相當一致(見圖3-22)。數據顯示線形長度的強度已非原來的 38.

(53) 高斯分佈，在兩邊的邊緣強度迅速減弱，形成良好均勻性的線形出射雷射光束，但可用的線形長度約為4cm。若要得5cm的線形長度，與透鏡的距離必須再增加。. Line profile in length=5cm. Uniformity (%). 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0. 2. 4. 6. 8. Length (cm) 圖3-22：有效長度為5cm的出射線形分佈. 39.

(54) 3-4 鮑爾透鏡容忍度分析在本節，我們將討論鮑爾透鏡的容忍度，提供使用上的準則。主題可分為： 1.. 元件對於雷射功率的容忍度；. 2.. 透鏡對於位置對位(Alignment)的分析：我們將討論偏心及透鏡旋轉之後的表現。. 首先利用波長為808nm的高功率半導體雷射檢驗其耐功率的能力。半導體雷射的光腰為1.1cm，如圖3-23，功率可達2W。. 圖3-23：半導體雷射的入射光照度實驗裝置如圖3-24，我們將調整入射雷射的功率，並使準直入射至鮑爾透鏡，假設雷射穩定情況下，在偵測器接收到穿透的雷射功率，經由LabVIEW程式及數據擷取卡存檔至電腦，如此可計算出穿透率。藉由長時間觀察穿透率，若透鏡無法承受2W的雷射功率，則穿透率會有突然的遽變。. 風扇: 1) 用來散熱. 鮑爾透鏡緊貼偵測器. 鮑爾透鏡. 808nm波長雷射. 圖3-24：量測鮑爾透鏡功率容忍度實驗裝置. 40.

(55) 透鏡對功率容忍度實驗結果如圖3-25，當入射功率為1瓦時，穿透率維持在 56%，增加入射功率至2W後，穿透率亦保持在約55%，在過程中都沒有劇烈之. 變化，證明此商用鮑爾鏡片可以承受至少2W的雷射功率。 Transmittance for 2W power incident Transmittance for 1W power incident. Transmittance (%). 57. 56. 55. 54. 53 0. 10. 20. 30. 40. Time (minutes). 圖3-25：鮑爾透鏡對808雷射的穿透率而穿透率之所以只有55%的原因在於出射之雷射光為發散之線形，迅速發散的結果造成被偵測的能量僅為線形之部分。見圖3-26之示意圖。 2cm 感應器(Sensor). 808nm雷射出射之線形圖3-26：出射雷射在偵測器之線形示意除此，我們也研究鮑爾透鏡對氦氖雷射的穿透率，裝置如圖3-27。與之前之比較，裝置僅將雷射換成氦氖雷射。. 41.

(56) Newport 1830C 光偵測器. 鮑爾透鏡. 氦氖雷射圖3-27：測量鮑爾透鏡對氦氖雷射穿透率的實驗裝置圖. 結果如圖3-28結果發現穿透率遠較波長為808nm之半導體雷射要來得高，表示鮑爾透鏡有針對氦氖雷射作AR(Anti-Reflection)鍍膜，穿透率大約在70%，過程中穿透率的變化原因在於氦氖雷射的功率不穩定所致。而穿透率僅有70%的原因也在於偵測器無法完全接收全部的光通量所造成。 74. Transmittance (%). 72 70 68 66 64 62 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Time (minutes). 圖3-28：鮑爾透鏡對氦氖雷射的穿透率接下來將分析透鏡相對於光源位置有旋轉或平移之情況下，整型元件在有效長度上均勻性的改變，圖3-29為透鏡偏離光軸的實驗數據。. 42.