第二章 文獻回顧
第二節 極端風險值之相關文獻
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第二節 極端風險值之相關文獻
VaR(Value at Risk)是一種評估風險的方法，Duffie and Pan(1997)文中提到在 正常情況與特定信賴水準下，某特定期間內所衡量出來最大的預期損失即為 VaR，
其中有三點應特別注意:一、VaR 的單位為金額；二、VaR 為一個估計值，而非 確定的值；三、VaR 是在市場處於正常情況下進行估算，因此無法求算出市場劇 烈變動時的最大預期損失。傳統上計算 VaR 的方法有三種:一、歷史模擬法 (Historical simulation)；二、變異數-共變異數法(Variance-Covariance method)；
三、蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo simulation)。
此後，學者為了能更精確估計風險值，所以漸漸開始將極端值理論(EVT)應 用至此，McNeil and Frey(2000)將極端值理論(EVT)搭配 GARCH 模型得以較準確 估算尾端分配，以求出極端風險值，此外並提倡 CVaR(Conditional Value at Risk) 的運用，而 CVaR 即為超過傳統 VaR 部分的期望值，作者認為此方法更能有效 反映未來最大可能損失。
由於大部分的風險值計算都得先假設其分配，因此分配的正確性將會決定風 險值估算的準確性，不過事實上真實分配是不可知的，所以就有學者開始質疑其 風險值估算的準確性，為了改進這缺點，Engle and Manganelli(2004)提出
CAViaR(Conditional Autoregressive Value at Risk)的概念，其主要概念是以分量迴 歸避開分配的假設，直接求取其各分位線，並用以推估出未來最大預期損失，由 於不用假設分配，而是直接用樣本資料即可求得各分位線，因此作者認為此方法 的準確性比以往來的更佳。
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2007 年底次級房貸爆發，投資人開始對抵押債權證券失去信心，因而引發 流動性危機，多國央行為防止其近一步擴大，並紛紛向金融市場注入資金，但在 2008 年 9 月雷曼兄弟的倒閉為此次金融海嘯開啟了序幕，之後也陸續有多家大 型銀行發生財務危機，造成了整個金融市場完全陷入風暴之中，因此就有學者質 疑目前金融市場上的風險值並不恰當，因為此次風暴得知當大型金融機構倒閉時，
將大大提升整個市場的風險值，主要原因是未考慮金融機構風險外溢的效果。
Adrian and Brunnermeier(2009)有鑒於金融市場的系統性風險並未考慮到個 別金融機構對其的風險外溢程度，以至於在風暴來臨時，市場所採用的風險評估 方法嚴重低估真實的風險，進而造成市場遭受嚴重的衝擊。Adrian and
Brunnermeier 因而提出新的風險衡量方法「CoVaR」，其定義為在條件市場發生 特定事件時，目標市場一定機率下的對大可能損失，而其可以說是在特定情況下 的 VaR，然而作者為了考慮金融機構對整個系統的外溢效果，所以將特定情況設 定為金融機構發生危難，此時的 CoVaR 即代表當金融機構發生危難時，整個金 融市場的最大可能損失。由於此風險值包含了金融機構對整個金融市場的影響，
所以運用在政府控管金融市場系統性風險上，將可以有效判斷個別金融機構對於 金融市場的風險貢獻程度，以防止低估風險值的情況發生。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 研究方法
第一節 分量迴歸
迴歸分析的主要目的在於給定解釋變數下去描述被解釋變數，而較佳的模 型能解釋的部分也就越多，也就是模型的誤差越小越好。最小平方法(Ordinary Least Squares, OLS)和最小絕對離差法(Least Absolute Deviations, LAD)為兩種求 取誤差極小化的方法，而分量迴歸屬於後者。
分量迴歸(Quantiles Regression)最早由 Koenker and Bassett(1978)所提出，其 與最小平方法的差別在於，最小平方法乃指解釋變數對被解釋變數的「平均」邊 際效果，而分量迴歸是指解釋變數對被解釋變數在「特定分位點」上的邊際效果。
在許多研究中可以發現，大家目前所關注的往往不只是該變數的平均表現，而更 在意其分配兩端的情形，因此分量迴歸得以被廣泛的應用在研究中，其理論模型 如下。
假設 F 和 {𝑦𝑡: 𝑡 = 1, … , 𝑇}分別為隨機變數 Y 的分配和隨機樣本，而隨機變 數 Y 的α分位數為𝐹𝑌−1(α) ≡ 𝑄α(𝑌)，其中α ∈ (0,1)。因此隨機變數 Y 會有α部分 小於或等於𝑄α(𝑌)，(1 − α)部分大於或等於𝑄α(Y)，最後將可用下式求解得𝑄α(𝑌):
min � � 𝛼|𝑦𝑡− 𝑄𝛼(𝑌)|
𝑡∈{𝑡:𝑦𝑡≥𝑄𝛼(𝑌)}
+ � (1 − 𝛼)|𝑦𝑡− 𝑄𝛼(𝑌)|
𝑡∈{𝑡:𝑦𝑡<𝑄𝛼(𝑌)}
� (3.1.1)
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若 X 為 k 維隨機向量且與隨機變數 Y 存在𝑦𝑡 = 𝑥𝑡′𝑏 + 𝑢𝑡之關係，此時在給 定 X 的情況下，隨機變數 Y 的條件𝜃分位數為𝐹𝑌|X−1(α) ≡ 𝑄α(𝑌|𝑋)。𝑥𝑡為k × 1的 向量，由 k 個解釋變數的第 t 個觀察值所構成，b 為k × 1的向量，由各解釋變數 的迴歸係數組成，𝑢𝑡為誤差項，而分量回歸第α分位數所估計的參數可以透過不 對稱誤差絕對值和極小化(Least Absolute Deviations)求得，然而不對稱之意是因 為對負的誤差項給予(1 − α)的權數，對正的誤差項給予α的權數，因此估計參數 為:
𝑄α� = argmin �(𝑌|𝑋) � 𝛼|𝑦𝑡− 𝑄𝛼(𝑌|𝑋)|
𝑡∈{𝑡:𝑦𝑡≥𝑄𝛼(𝑌|𝑋)}
+ � (1 − 𝛼)|𝑦𝑡− 𝑄𝛼(𝑌|𝑋)|
𝑡∈�𝑡:𝑦𝑡<𝑄𝛼(𝑌|𝑋)�
� (3.1.2)
然而計算此估計參數可視為一個線性規劃問題:
min � � α|𝑢𝑡|
𝑡∈{𝑡:𝑢𝑡≥0}
+ � (1 − α)|𝑢𝑡|
𝑡∈{𝑡:𝑢𝑡<0}
� (3.1.3)
s. t. 𝑦𝑡 = 𝑥𝑡′𝑏 + 𝑢𝑡 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑎 𝑡
此線性規劃問題的最適解 𝑏� = 𝑏𝛼，𝑏𝛼代表著α 分位數下的迴歸係數，所以由此 可以得到α 分位數下的迴歸線為
𝑄α� ≡ 𝑦(𝑌|𝑋) 𝑡𝛼= 𝑥𝑡′𝑏𝛼+ 𝑢𝑡 (3.1.4)
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第二節 極端風險值
VaR(Value at Risk)為特定標的於特定期間內，某一機率百分比下之最大可能 損失。傳統𝑉𝑎𝑉α𝑖(Value at Risk on the q quantile)的定義式為:
Pr�𝑋𝑖 < 𝑉𝑎𝑉α𝑖� = α (3.2.1)
其中𝑋𝑖為標的 i 的變數。
VaR 的求取方法主要有三種:第一歷史模擬法(Historical simulation)，此方法 主要是假設未來的市場結構與過去相同，所以由實際歷史資料來推估是未來價格 可能的波動；第二變異數-共變異數法(Variance-Covariance method)，此方法主要 特色在於假設未來市場報酬率為常態分配，因此在特定期間與信賴水準下內，只 需運用標準差便可估算出風險值；第三蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo simulation)，
其假設市場報酬波動服從某種隨機過程型態，進而藉由電腦進行模擬，產生出各 種可能的變動路徑，最後依據此資訊建構出報酬分配並估算其風險值。
VaR 被廣泛運用於各領域，但於 08 年金融海嘯爆發後，使用者發現其完完 全全低估市場真實的風險值，主要原因在於 VaR 假設大環境處於正常情況下，
因此當大環境發生特殊事件時，VaR 將無法充分反映真實的風險，所以 2008 年 底 Adrian and Brunnermeier 率先提出新風險評估方法 CoVaR，而此方法主要特色 在於其考慮了其他市場或大環境的外溢效果，使其更能貼近風暴來臨時的真實風 險值。
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CoVaR 為當其他標的發生特定事件時，原標的於特定期間內，某一機率百 分比下之最大可能損失。Adrian and Brunnermeier(2008)文中的定義式為:
Pr �𝑋𝑗 < 𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑗∣𝛿�𝑋𝑖�� = α (3.2.2)
其中 𝑋𝑗:標的 j 的變數
𝛿�𝑋𝑖�:標的 i 的一些特定事件，並稱此標的 i 為條件標的
𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉𝑞𝑗∣𝛿�𝑋𝑖�:在標的 i 的特定事件發生下，標的 j 的最大可能損失
CoVaR 中的 Co 有條件的概念，主要是想表達在特殊條件下的風險值，然而 此特殊條件通常都著重在其發生某一機率百分比下之最大損失時，因而此刻的 CoVaR 代表著當條件標的發生重大損失時，原標的於特定期內間，某一機率百 分比下之最大可能損失。此外，CoVaR 跟傳統的 VaR 主要差別在於其多考慮了 其他市場的影響，所以將可視其跟傳統風險值的差額為外溢效果的一種，並表示 其為:
∆𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑗∣𝑖 ≡𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑗∣𝑋𝑖=𝑉𝑉𝑉𝑞𝑖 − 𝑉𝑎𝑉α𝑗
𝑉𝑎𝑉α𝑗 (3.2.3)
本文的 CoVaR 計算方法主要是採用原文中所提供的，其詳細步驟如下：
步驟一：選取目標市場與條件市場並考慮相關因子予以建構迴歸模型
𝑦𝑡 = 𝑎𝑥𝑡+ 𝑏𝐹𝑡+ 𝑐 (3.2.4)
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𝑥𝑡:第ｔ期條件市場報酬 𝐹𝑡:第ｔ期的其他相關因子 𝑎、𝑏:迴歸係數
𝑐:常數項
步驟二：將數據帶入分量迴歸式，並整理成殘差形式
𝜀𝑡 = 𝑦𝑡− (𝑎𝑥𝑡+ 𝑏𝐹𝑡+ 𝑐) = 𝑦𝑡− 𝑎𝑥𝑡− 𝑏𝐹𝑡− 𝑐 (3.2.5)
步驟三：極小化 α ∑𝑡∈{𝑡:𝜀𝑡≥0}|𝜀𝑡|+ (1 − 𝛼) ∑𝑡∈{𝑡:𝜀𝑡<0}|𝜀𝑡|
= α � |𝑦𝑡− 𝑎𝑥𝑡− 𝑏𝐹𝑡− 𝑐|
𝑡∈{𝑡:𝑦𝑡≥𝑉𝑥𝑡+𝑏𝐹𝑡+𝑐}
+(1 − 𝛼) � |𝑦𝑡− 𝑎𝑥𝑡− 𝑏𝐹𝑡− 𝑐|
𝑡∈{𝑡:𝑦𝑡<𝑉𝑥𝑡+𝑏𝐹𝑡+𝑐}
(3.2.6)
以上等同於下方的線性規劃問題：
min �α � |𝜀𝑡|
𝑡∈{𝑡:𝜀𝑡≥0}
+ (1 − 𝛼) � |𝜀𝑡|
𝑡∈{𝑡:𝜀𝑡<0}
� (3.2.7)
s. t. 𝑦𝑡 = 𝑎𝑥𝑡+ 𝑏𝐹𝑡+ 𝑐 + 𝜀𝑡 𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑎 𝑡
步驟四：運用演算法求解線性規劃問題後可得最適解𝑎� = 𝑎α、𝑏� = 𝑏α、𝑐̂ = 𝑐α， 而𝑎α、𝑏α、𝑐α代表著α 分位下y目標市場報酬的迴歸係數與常數項，由 此可以得到α 分位下y目標市場報酬的迴歸模型
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𝑦𝑡α = 𝑎α𝑥𝑡+ 𝑏α𝐹𝑡+ 𝑐α (3.2.8)
其中 𝑦𝑡α:第ｔ期目標市場報酬分配的α 分位點 𝑥𝑡:第ｔ期條件市場報酬
𝐹𝑡:第ｔ期的其他相關因子 𝑎α、𝑏α:α 分位下的迴歸係數 𝑐α:α 分位下的常數項。
步驟五：VaR 的計算方法有三種，歷史模擬法、變異數-共變異數法和蒙地卡羅 模擬法，選擇其中一種方法計算出x條件市場的VaR𝛼𝑥
步驟六：將𝑥𝑡 = VaR𝛼𝑥代入𝑦𝑡α = 𝑎α𝑥𝑡+ 𝑏α𝐹𝑡+ 𝑐α，即可得知
𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑦𝑡∣𝑥𝑡=VaR𝛼𝑥 = 𝑦𝑡α = 𝑎αVaR𝑥𝛼+ 𝑏α𝐹𝑡+ 𝑐α (3.2.9)
而𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑦𝑡∣𝑥𝑡=VaR𝛼𝑥即代表當x市場發生VaR𝑥𝛼損失時，y市場有 100α%機 會發生之最大損失。
步驟七:最後根據∆CoVaR的定義
∆𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑦𝑡∣𝑥𝑡 ≡𝐶𝑓𝑉𝑎𝑉α𝑦𝑡∣𝑥𝑡=VaR𝛼𝑥− VaR𝛼𝑦𝑡
𝑉𝑎𝑉α𝑦𝑡 (3.2.10)
最後將可以計算出條件市場風險外溢的部分。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第四章 實證結果與分析
第一節 資料來源與處理
資料來源
本研究主要在探討在極端事件下股市與匯市之關聯性與傳染效果，其中股市 以台灣證券交易所中的台灣加權股價指數(TAIEX)做代表，資料來自於台灣經濟 新報 TEJ+；匯市以中央銀行每日所發布之美元兌台幣(USD/NTD)的名目匯率為 主，資料來自於中央銀行。
資料期間
採用 1993/01/07~2011/12/30 的日資料，共計 4708 筆
資料處理
台灣早期正常上班時間為周一至周六，隨者政府政策改變，投資大眾歷經了 隔周休二日，至目前的周休二日，這使得台灣股市開市時間隨著時間不同而有所 改變，這與台灣匯市固定的周一至周五開市有所差異，再加上兩者於過年期間的 休市長短也有所不同，所以股市與匯市存在資料期間不一致的現象。本文主要以 兩者皆有開市為主，所以刪除只有其一市場開市的日子，以達到資料期間的一致 性，但為了避免刪除資料後所計算出的報酬為橫跨兩日以上，而非單純的日報酬，
因此報酬的部分將得先計算出日報酬，再刪除其不一致的日報酬期間，以防止此 問題的發生。
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以下分別觀察美元兌台幣匯率報酬率和台灣加權股價指數報酬率兩組數據:
一、美元兌台幣匯率報酬率
表 4-1 美元兌台幣匯率報酬率之基礎統計量表
平均數 中位數 最大值 最小值 標準差 偏態 峰態 樣本數 ER(%) 0.0041 -0.0029 3.4434 -2.5259 0.2637 1.5309 30.4929 4708
圖 4-1 美元兌台幣匯率報酬率之次數分布圖
美元對台幣匯率之日報酬率簡稱 ER，由圖 4-1 次數分布圖和表 4-1 基礎統 計量得知其報酬率幾乎都集中在正負 1%內，且峰態系數為 30.4929 遠大於常態 峰的 3，這代表此分配有高狹峰的現象，由此可知台灣匯市處於一個較穩定的狀
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Histogram Normal ER
0 400 800 1,200 1,600 2,000
-Frequency次
數
美元兌台幣匯率報酬率
直方圖 常態分配