槡 ! !

!!将"代入$得

$"'

%!%

槡

^%^" ^%

!!当且仅当 ^%^#^%^$^#^"$#^""

!!即 ^"$%^#!

!!也就是高和底面直径相等时^$"%等号成立^"此时^"圆柱的表面积

$$'槡^'%!%^%

最小^"容器用料最省^"同时可算得^#$

槡

^'_%^%^!""$

'!%

槡

^!^!

例!!如图^{! %"}有一张边长为^&()的正方形硬纸板^!我们可以将它的四角分别剪去一个相同的小正方形^"再将四周沿虚线折起构成一个没有盖的纸盒^"如图^{! '!}自然^"我们希望知道剪去多大的小正方形使得纸盒的容积最大^!

图^{! %}

图^{! '}

解!设剪去的小正方形边长为^'()"那么所得!盒子的容积是

%$'#&*%'$#&*%'$! &

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5!!!6

!!为了消去变量^(#稍作变形

H3$

5.5(!%%!("!%%!("#

!!这时⁵^(#%%!^(#%%!⁽三个数的和为常数^#于是根据三个数的平均值不等式^#有

!!!!!!!H #$ 5

5(1!%%!("1!%%!("

!

"

3$ 5

! "

!!为使^H有最大值^#须上述不等式的等号成立^#因此^#有

5(3%%!(3%%!(# )

!!这就要求⁽³^%₇^#即可剪去四角上边长为^%₇的小正方形再做成的无盖纸盒容积最大^#

上面两个例子^#代表了一种解决实际问题的数学模型^#要注意的是^#用这种方法解决问题时^#一定要检验等号是否成立^#并确定等号成立的条件^#

图5 5

习题 !! #

$&某工厂需制造一批容积一定的长方体铁皮箱^#问怎样才能用料最省⁾

!&木梁的强度与梁宽成正比^#与梁高的平方成正比^#从圆柱形的木材截取横截面是矩形的木梁^#问如何去截能使木梁的强度最大⁾

"&如图^{5 5#}在一张半径是^;的圆桌的正中央上空挂一盏电灯^#大家知道^#灯挂得太高了^#桌子边缘处的亮度就小^%挂得太低^#桌子的边缘处仍然是不亮的#从物理学知道^#桌子边缘一点处的照度⁷和$的正弦成正比^#而和这一点到光源的距离的平方成反比^#

!!即!!73@@'($

G^! #

!!这里^@是一个和灯光强度有关的常数^#那么究竟应该怎样选择灯的高度^#才能使桌子边缘处最亮⁾

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#!!!;

阅读与思考

个正数的平均值不等式

!!我们知道对两个正数%^!'^!有

%1'

! $槡^%^'^!

当且仅当^%3'时等号成立#在上一节我们又知道了^#对于三个正数

%^!'^!+有

%1'1+

" $^"槡^%^'⁺^!

当且仅当%3'3+时等号成立#实际上^!我们已运用数学归纳法证明了^#对于!^.个正数%$!%!!-!%!^.!有

%$1%!1-1%!^.

!^. $^!

%$%!-%!

槡 ^.^#

如果说^!前面的成功已给了我们极大的鼓舞^!那么现在我们渴望乘胜追击^#对于任意.个正数%$!%!!-!%.!是否又有不等式

%$1%!1-1%.

. ^$

.%$%!-%

槡 ^. ^$ 成立^" 这是一个非常优美的不等式^!获取它的证明无疑是大家十分乐意接受的挑战^/

为方便起见^!记

$.3%$1%!1-1%.

. ^!

:.3^.槡%$%!-%^.^!

于是$即 $.$:.# %

!!这是个与正整数.有关的命题^!运用数学归纳法证明如下^# 证明! %$&.3!时^!不等式即基本不等式显然成立#

%!&假设.3@时不等式成立^!那么^!因

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#!!!$

$@1$3%$1%!1-1%@1%@1$

@1$ !

%$1%!1-1%@1%@1$3%@1$&$@1$!

而 ^%@1$&$@1$1%@%$&$@1$3!@$@1$!

所以!!!!$@1$3%$1%!1-1%@1%@1$1%@%$&$@1$

%$1%!1-1%@

@ ¹

%@1$1%@%$&$@1$

! # &

!!根据归纳假设及基本不等式^!由&得

!!!!!!$@1$$

@槡%$%!-%^@¹^@

槡

^%^@1$^$^@%$^@^1$

槡

^@槡%$%!-%^@^,^@

槡

^%^@1$^$^@%$^@^1$^!

所以!!!!$^!@1$^@ $%$%!-%@%@1$$^@%$@1$#

!!化简得!!!$^@1$@1$$%$%!-%@%@1$#

!!进而有!!!$@1$$^@1$槡%$%!-%@%@^1$^#

根据^%$&!%!&!不等式对任意正整数. ^%.$!&成立#

从上面的证明过程中^!可以看出当且仅当%$3%!3-3%.时等号成立#

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#!!!!

数学建模

洗衣服的数学

!!我们爱清洁^!衣服脏了要洗#

我们要节约用水^!希望用一定量的水把衣服尽量洗干净#

这就提出了数学问题#本来嘛^!当你用数学家的眼光看周围事物的时候^!处处都能提出数学问题#

但是^!数学家不喜欢含含糊糊的问题^!先要把问题理清楚^!把现实世界的问题化为纯数学的问题^!这叫作建立数学模型#

现在衣物已打好了肥皂^!揉搓得很充分了^!再拧一拧^!当然不可能把水完全拧干^!设衣服上还残留含有污物的水$EF#用!;EF

清水来漂洗^!怎样才能漂得更干净^"

如果把衣服一下放到!;EF清水里^!那么连同衣服上那$EF水^! 一共!$EF水#污物均匀分布在这!$EF水里^!拧干后^!衣服上还有

$EF!所以污物残存量是原来的_!^$_$#

通常你不会这么办#你会把!;EF水分两次用^!比如第一次用

#EF!使污物减少到^$₇^!再用$#EF!污物又减少到^$₇的_$^$₇^!即

$ 7M$73$

67!分两次洗^!效果好多了#

同样分两次洗^!也可以每次用$;EF!每次都使污物减少到原有量的_$^$_$^!两次可以达到_$^$_!_$的效果^/

要是不怕麻烦^!分四次洗呢^" 每次#EF水#第一次使污物减少到原有的^$₇^!四次之后^!污物减少到原有的₇^$53 $

$!67!效果更佳^/ 但是^!这样是不是达到最佳效果了呢^"

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#!!!"

进一步问^!如果衣服上残存水量是$&#EF或!EF!洗衣用水量是"9EF!那么又该怎么洗呢^"

你会想到用字母代替数了^!这样能使问题一般化#设衣服充分拧干之后残存水量IEF!其中^!含污物1;F!漂洗用的清水$EF#

我们把$_EF水分成.次使用^!每次用量是%$!%!! -!

%.%EF&!经过^.次漂洗后^!衣服上还有多少污物呢^"

第一次^!把带有1;F污物和IEF水的衣服放到%$EF水中^!充分搓洗^!使1;F污物溶解或均匀悬浮于^%I1%$&EF水中#

把污水倒掉^!衣服拧干的时候^!衣服上还残留多少污物呢^" 由于1;F污物均匀分布于^%I1%$&EF水中^!所以衣服上残留的污物量1$与残留的水量I成正比^#

1;3 I I1%$

! $

故 1$31;, I

I1%$3 1;

$1%$

!

"

# %

!!类似分析可知^!漂洗两次以后衣服上污物量1!为

1!3 1$

$1%!

3 1;

$1%$

!

"

^$1

!

"

# &

!!而.次洗涤之后衣服上残存污物量1.为

1.3 1;

$1%$

!

"

^$1

!

"

^{- $1}

!

"

# '

有了这个公式^!也就是建立了数学模型#下一步的问题是^#

%$&是不是把水分得越匀^!洗得越干净^"

%!&是不是洗的次数越多越干净^"

先考虑第一个问题#对固定的洗涤次数.如何选取%$!%!!-!

%.!才能使1.最小^" 也就是使'的右端的分母最大^"

这个分母是.个数之积#这个.个数之和是

$1%$

!

"

^{1 $1}

!

"

^{1-1 $1}

!

"

³.1$

I^# ⁽

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#!!!5

于是问题化为^#当.个数之和为一定值43.1$

I时^!.个数的乘积何时最大^"

利用平均值不等式^#

.+$+!-+

槡 ^.^#_.^$ ^%⁺^$¹⁺^!^1-1⁺^.^&^! ⁾ 得到 $1%$

!

"

^$1

!

"

^{- $1}

!

"

^{# $1}

!

.I$

"

# *

!!这就告诉我们^!每次用水量相等的时候^!洗得最干净^!而残存污物的量是

$1$

!

"

.# +

!!这就肯定地回答了刚才的问题^%$&#

是不是分成.1$次要比.次洗得更干净呢^" 确实是的#又可以用平均值不等式来证明#对.1$个正数+$!+!!-!+.1$用平均值不等式^!这里取

+$3+!3-3+.3$1$

.I^!!2.1$3$# ,

!!把它们代入)便得

$1$

!

"

M$#.$1$

!

"

^1$

0 1 2

8 9 1$ :

.1$

-. /

!!!!! 3 $1 $

%.1$&

!

"

.1$

!!这表明^!把水分成^.1$次洗^!要比分成^.次洗好一些#

那么^!如果洗上很多很多次^!那么是不是能用一定量的水把衣服洗得要多干净就有多干净呢^"

不会的#仍然可以用平均值不等式证明#考虑.1@个正数+$!

+!!-!+.!+.1$!-!+.1@!这里@是一个比^$_I大的正数#再令'3

$%$

@I^!取

!!!+$3+!3-3+.3$1$

.I^!+.1$3-3+.1@3'#

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#!!!#

!!于是^!把它们代入平均值不等式)以后得到

$1$

!

"

,'^.#.$1$

!

"

¹@' .1

0 1 2

8 9

@ :

.1@

3$! -.0

!!也就是

$1$

!

"

#$ '^.³

@%$

1 2

# -.1

因为取@是任一个大于^$_I的整数时^!不等式-.1都对^!所以不妨取个@使-.1变得清楚一些^!具体地^!用$^'表示不小于^!_I^$的最小整数#取@3$^'^!则因@$!$

I^!可知^@

@%$ I

#!!于是由-.1便得

$1$

!

"

#!^$

# -.2

!!例如^!当_I^$3$时^!$^'3!!-.2的右边是5'当_I^$3"&#时^!$^' 39!-.2右边是$!8'当_I^$3$&9时^!$^'35!-.2的右边是$7#

总之^!_I^$越大^!洗得越干净^!这是我们意料之中的事#但有个限度#按-.2可知^!用!;EF水洗^!又设衣服拧干后仍有$EF水^!则不论怎么洗^!污物不会比原有的^$

!⁵^;更少^/

从上面分析的过程看出^!用数学方法研究实际问题^!常常是这样做^#

$&选择有实际意义的问题^'

!&建立数学模型^!把实际问题化成数学问题^'

"&找寻适当的数学工具来解决问题⁰⁰⁰这里用的工具是^$平均值不等式⁽^'

5&把数学上的答案拿到实际中去运用^.检验#

其实^!数学模型和实际情形常常有不一致之处#比如^!我们假设在每天漂洗的时候^!污物能均匀分布在水里^!这就很难办到#另

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#!!!7

外^!我们只考虑到节约用水^!还没有考虑到节约宝贵的时间#多洗几次固然省水^!可又多用了时间^!怎么办^" 算出来^!.越大越好^! 但洗的次数太多^!衣服又会洗破#所以^!实际上分三四次漂洗也就足够了#如果把时间耗费^.衣服磨损再考虑进去^!那就是一个新的更复杂的数学模型了#

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柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式都是很重要的不等式，在许多领域中都能看到它们的影子．本章将讨论这三个重要不等式的背景、证明和简单应用．

第章

三个重要不等式

５

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#!!!8

!!证明柯西不等式^$

!%^$'^$1%^!'^!"^!#!%^!^$1%^!^!"!'^!^$1'^!^!"#

!!证明$!我们将同一长方形进行不同的分割^!与勾股定理证明有类似之处^"^#如图# !#

!,"

!K"

图# !

4图^!^,"阴影3,%^$,,%^!,1,'^$,,'^!,#

'"!!^{柯西不等式}

任取四个实数^%^$^#%^!^#'^$^#'^!^#以它们为坐标可以构造两向量^"^;

图^{# $}

3!%$#%!"##^;3 !'$#'!"#其中

%$#%!#'$#'! 为非零实数^#如图^{# $}所示#"

;##^;的夹角$满足

!!G=@$3"

;.#^; ,"

;

即^!!!G⁼^@$3 ^%^$^'^$¹^%^!^'^!

%^!$1%^!

槡 ^!槡^'^!^$¹^'^!^! ^#

!!由^G⁼^@^!$#$可以得出不等式

G=@^!$3 !%$'$1%!'!"^!

!%^!$1%^!!"!'^!$1'^!!"#$#

即 ^!^%^$^'^$¹^%^!^'^!^"^!#!%^!$1%^!!"!'^!$1'^!!"# $

其中等号成立的条件是^G⁼^@^!$3$#即$3;或!#也就是说"

;与_#^; 平行^#坐标^!^%^$^#^%^!^"与^!^'^$^#^'^!^"成比例^#其中一个是另一个的实数倍^#即

%D3%'D!D3$#!"时等号成立^#

函数的性质往往是我们证明不等式的重要依据^#以下我们利用二次函数性质证明^$式^#

我们知道二次函数

0!("3!%^!$1%^!!"(^!1!!%$'$1%!'!"(1!'^!$1'^!!" %

的判别式

!!!!335!%$'$1%!'!"^!%5!%^!$1%^!!"!'^!$1'^!!"

35'!%$'$1%!'!"^!%!%^!$1%^!!"!'^!$1'^!!"(#

!!欲证$式^#即证明3#;#这对二次函数0!("来说^#也就是

0!("$;

恒成立^#事实确实如此^* 这是因为对任意实数^(#有

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#!!!6

!!!!0!("3!%^!$(^!1!%$'$(1'^!$"1!%^!!(^!1!%!'!(1'^!!"

3!%$(1'$"^!1!%!(1'!"^!$;# ⁴图^!K"阴影

!,%$,,%!,1$

!,'$,,'!,1

!,'$,,'!,1$

!,%$,,%!, 3,%$,,%!,1,'$,,'!,#

从而图^!,"与图^!K"中非阴影部分面积也相等C

即!!,%$,,'$,1,%!,,'!, 3 ,槡%^$,^!1,%^!,^!^.

,'$,^!1,'!,

槡 ^!^.^@^'^($#

于是!,%$'$1%!'!,#

,%$,,'$,1,%!,,'!,#

,%$,^!1,%!,

槡 ^!^{. ,}槡^'^$^,^!^1,^'^!^,^!^#

即!!%$'$1%!'!"^!#

!%^!$1%^!!"!'^!$1'^!!"#

!!证明!!如图# "#很明显

4图^!G"#4图^!:"#

!G"

!:"

图# "

即!!,%$,1,'!,"!,%!,1,'$,"#

! $

!,%$,,%!,1$

!,'$,,'!

! ^{, 1}"

%^!$1%^!

槡 ^!^{. '}槡^!^$¹^'^!^!^#

展开^#整理得^$

,%^$,,'^$,1,%^!,,'^!,#

%^!$1%^!

槡 ^!^{. '}槡^!^$¹^'^!^!^#

D!,%$'$1%!'!,#

,%$'$,1,%!'!,#

%^!$1%^!

槡 ^!^{. '}槡^!^$¹^'^!^!^#

即!!%$'$1%!'!"^!#

!%^!$1%^!!"!'^!$1'^!!"#

当且仅当^'^D3%%^D !D3$#!"时等号成立^#

上述方法不仅新颖^#而且显而易见可将不等式$推广到一般情形^$ 设有非零实数组^%^$^#%^!^#+#%^.及^'^$^#'^!^#+#'^.^#则

!!!%$'$1%!'!1+1%.'."^!#!%^!$1%^!!1+1%.^!"!'^!$1'^!!1+1'.^!"# &

当且仅当^'^D3%%^D !D3$#!#+#."时等号成立^# 证明^'!设二次函数

!!0%(&3%%^!$1%^!!1-1%.^!&(^!1!%%$'$1%!'!1-1%.'.&(1

!%'^!$1'^!!1-1'.^!&!

因 %^!$1%^!!1-1%^!.%;!

且对任意实数(

0%(&3%%$(1'$&^!1%%!(1'!&^!1-1%%.(1'.&^!$;! '

故其判别式

5%%$'$1%!'!1-1%.'.&^!%5%%^!$1%^!!1-1%.^!&%'^!$1'^!!1-1'^!.&#;#

化简即得&式^#

从'可看出^!当且仅当

(3%'$

%$3%'!

%!3-3%'.

也就是'D3%%^D %D3$!!!-!.&时等号成立#

不等式$#&称为柯西不等式^!A,+GI/'()*+,-'./"#它有着广泛的应用^#

例!!用柯西不等式证明^$

%'1'+1+-1-%#%^!1'^!1+^!1-^!#

证明!取两组数

%#'#+#-%

'#+#-#%#

则由柯西不等式有

' 此证明不作教学要求^#我们用仿宋体字排出C

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7!!!;

!%'1'+1+-1-%"^!#!%^!1'^!1+^!1-^!"!'^!1+^!1-^!1%^!"#

即 ^!^%^'1'⁺¹⁺^-1-%"^!#!%^!1'^!1+^!1-^!"^!# J!%^!1'^!1+^!1-^!$;#

D!%'1'+1+-1-%#%^!1'^!1+^!1-^!#

例#!已知^%^$^#%^!^#+#%^.都是实数^#求证^$

!%$1%!1+1%."^!#.!%^!$1%^!!1+1%.^!"#

证明!对于两组数^$

!!!$#$#+#$%

!!!%^$#%!#+#%.#

运用柯西不等式^#有

!$.%$1$.%!1+1$.%."^!#!$^!1$^!1+1$^!"!%^!$1%^!!1+1%^!."#

!!化简即得欲证之不等式^#当且仅当^%^$³^%^!³⁺³^%^.时等号成立^# 例$!已知(#,为实数^#且满足^"⁽^!^1!,^!#7#求证^$

!(1,#槡^$^$#

证明!根据柯西不等式^#有槡!^"^.槡^"(1槡^$^!^.槡^!^, ^!^#

^'

槡^!^"

!1 $

槡^!

(

_!'!槡"("^!1!槡^!^,"^!⁽^#

!!化简^#有

!!(1,"^!#$$

7 !"(^!1!,^!"# J!"(^!1!,^!#7#

D!!!(1,"^!#$$#

D!!(1,#槡^$^$#

!!例&!证明柯西不等式的向量形式^$ 设^"^;##^;为平面上的两个向量^#则

;

,,#

;

,$,"

;.#^;,# (

证明!如图^{# $#}设"

;##

;的夹角为$#则

G=@$3"

;.#^; ,"

;

,,#

;

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7!!!$

由,G=@$,#$得

;.#^;, ,"

;

,,#

;

#$#

D!,"

;

,,#

;

,$,"

;.#^;,#

等号成立当且仅当,G=@$,3$#即$3;或&#也就是说向量"

;##^;

共线^# 若取"

;

3!%^$#%!"##

;

3!'^$#'^!"#则(即为柯西不等式$#

习题 ^!! ^$

$&已知^%^!^$¹^%^!^!¹⁺¹^%^.^!^3$#⁽^!^$¹⁽^!^!¹⁺¹⁽^.^!^3$#求证^$

%$($1%!(!1+1%.(.#$#

!&已知(#,#>为正数#(1,1>3$#求证^$

!!(^!1,^!1>^!$$

"&已知^%^!¹^'^!^3$#求证$,%G=@"1'@'(",#$#

5&已知⁽^D$; !D3$#!#+#."#求证^$

!($1(!1+1(."!(^"$1(^"!1+1(.^"

槡 ^"$(^!^$¹⁽^!^!¹⁺¹⁽^.^!^#

#&设^%^$^#%^!^#+#%^.为正实数^#运用柯西不等式证明^$

%^!$1%^!!1+1%.^!

槡

^. ^$^%^$¹^%^!^.¹⁺¹^%^.^$_%^$ ^.

$1$

%!1+1$

7&已知实数^%#'#+#-满足

%1'1+1-3"#

%^!1!'^!1"+^!17-^!3##

求证$$#%#!#

'"#!^{排序不等式}

某班同学举行新年谜语竞猜比赛^#需要购买价格不同的奖品⁵

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在文檔中不等式选讲 (頁 55-80)

槡

槡

槡

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!

"

! "

习 题 !! #

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个正数的平均值不等式

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槡

槡

槡

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!

"

!

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'

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习 题 !! $

槡

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习题 !! #

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习题 ^!! ^$

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