例&!已知,%,"$#,',"$#求证$
%1'
$1%'"$#
证明 $1%1'%'"$
-,%1',",$1%',
-!%1'"!"!$1%'"!
-%!1!%'1'!"$1!%'1%!'!
湖南教育出版社 贝壳网
!!!!8
-%!1'!"$1%!'!
-%!'!%%!%'!1$%;
-!%!%$"!'!%$"%;#
由,%,"$#,',"$知%!"$#'!"$#故!%!%$"!'!%$"%;#于是#自下 至上即可推得$1%1'%'"$成立#
利用绝对值不等式#可以很漂亮地解决第$章数学实验中提出的 问题#
根据!3"&$5$#6!7#"#869+可得"$#$#"%! ";&;;;;;;!7799#
如果有个分数!"比"$#$#"更接近!#一定会有
"##
$$"%"
! "!M;&;;;;;;!7799#
也就是
,"##!%$$"",
$$"! "!M;&;;;;;;!7799#
!!如此简单初等的推 理得到这样好的成绩# 可谓鸡刀宰牛#
数学问题的解决# 常有,出乎意料之外#又 在情理之中-的情形#
!!因为!"不等于"$#$#"#所以,""#!%$$"",不是;#但它是正整数#应 大于或等于$#所以
$
$$"!"!M;&;;;;;;!7799#
!!由此推出
!% $
$$"M!M;&;;;;;;!7799%$7#87#
这表明#若分数!"比"$#$#"更接近!#其分母!一定大于$7#87#
习 题 !*
$&设!%;#,(%%,"!
5#,,%%,"!
7#求证$
湖南教育出版社 贝壳网
!!!!6 ,!(1",%!%%"',"!#
!&已知,$%%,"!
!#,&%',"!
!#求证$
!$",!$1&"%!%1'","!%
!!",!$%&"%!%%'","!#
"&已知,($%%,"!#,(!%%,"!#,("%%,"!#求证$
!$",($1(!
! %%,"!%
!!",($1(!1("
" %%,"!#
5&求证$
!$",(%%,1,(%',$,%%',%
!!",(%%,%,(%',#,%%',#
#&若"##为实数#+%;#求证$
,"1#,!#!$1+",",!1 $1
!
$+"
,#,!#7&求证$ %!%%'! $,%,%,',#
#"#!解含绝对值的不等式举例
解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义&几何意义及不等式 的基本性质&
例!!解不等式
$#,"%!(,"##
解!原不等式可化为
$#,!(%","##
!!即 ,!(%",$$#
,!(%","#
0 1
2 #
$
%
!!由$得 !(%"$$#
!!或 !(%"#%$#
!!解得 ($!或(#$#
湖南教育出版社 贝壳网
"!!!;
!!由%得 %#"!(%""##
!!解得 %$"("5#
综上所述#原不等式的解集为!%$#$(3'!#5"#
我们可将原不等式变为
$
!# (%"
! "#
!#
如图! 7#根据绝对值在数轴上的表示可知不等式的解集为
!%$#$(3'!#5"#
图! 7
!!例#!解不等式 !
,!(1$,1,!(%",$5#
分析!!(1$#!(%"的零点分别为%$!#"!#它们在区间
!
%P#%$!"
# %$!#
!
"!"
# "!#1P
! "
内的符号如图! 9所示#于是可根据绝对值的定义分段讨论#
图! 9
解!!$"当(#%$
!时#原不等式可变为
%!!(1$"%!!(%""$5#
!!解得 (#%$
!#
!!"当%$!"(""
!时#原不等式可变为
!!(1$"%!!(%""$5#
湖南教育出版社 贝壳网
"!!!$
!!即 ;.($;#
此不等式恒成立#故此时%$!"(""
!#
!""当($"
!时#原不等式可变为
!!(1$"1!!(%""$5#
!!解得 ($"
!#
综上所述#原不等式的解集为%#
可能有同学对最后获取的结果一点也不感到意外#这是因为他们 从另外一个角度看到
!!!!!,!(1$,1,!(%",
!!!!3! (1$
! 1 "
!%
!
("
!!!!$! (1
!
$!"
1 "!%
!
("
!!!!35#
这是一个恒成立的不等式#与(的取值无关*
图! 8
! !!!
例$!解不等式
,!(!%$,%(#
解!设,$3,!(!%$,#,!3(#分别 作出两个函数的图象!如图! 8"#
,$与(轴交点为%槡!
!#; #槡!
!#; #
在区间;#槡!
! 内#,$3$%!(! 与
,!3(的图象的交点的横坐标为(3$!%
在区间槡!!#1P 内#,$3!(!%$与,!3(的图象的交点的横坐标为
(3$#由图! #可知不等式的解集为
!
%P#$!"
3!$#1P"#湖南教育出版社 贝壳网
"!!!!
习 题 !+
$&解下列不等式$
!$",!(1$,$(%
!!",8%#(,""(%
!"",(%",%,!(1$,"5#
!&解关于(的不等式,(%",1,!(1$,%%#
"&若不等式,(%5,1,(%",%%的解集为%#求实数%的取值范围#
5&某环形公路旁有一中&二中&三中&四中&五中按顺序排列的五所中学#各校分 别有电脑$##9#$$#"#$5台#现在要使各校电脑的台数相等#问各校应分别调 出几台电脑给邻校#才能使调动的总次数最少)
湖南教育出版社 贝壳网
"!!!"
阅读与思考
距离的性质
!
!!!"欧氏距离
大家所熟悉的平面上两点<%($!,$&与=%(!!,!&之间的距离称 为欧氏距离!记作-!%<=&!由公式
-!%<=&3 %
槡
(!%($&!1%,!%,$&! $给出#
下面列举距离函数的性质&
%$&两点间的距离只依赖于这两个点的相对位置!即只依赖于它 们坐标的差(!%($及,!%,$#这个性质称为平移不变性%即当这两个 点沿同一方向移动同样的距离时!它们之间的距离不变&&
%!&从点<到点=的距离等于从点=到点<的距离&这可以通 过在$中验证
-!%<=&3-!%=<&
看出来&性质%!&通常称为距离函数的对称性&
%"&距离函数$满足三角形不等式
-!%<;&#-!%<=&1-!%=;&# %
这里;为三角形上另一点!若记;%("!,"&!则
!! %
槡
($%(!&!1%,$%,!&!1 %槡
(!%("&!1%,!%,"&!$ %槡
($%("&!1%,$%,"&!&不等式&通常称为平面三角不等式#
%5&任意两点<与=间的距离是非负的&即
-!%<=&$;'
当且仅当<与=两点重合时!等号成立!这个性质常常称为距离函 数的正性'这一点由定义$立即可得&
%#&如果<点坐标为%(!,&!=点坐标为%%(!%,&!其中%为一
湖南教育出版社 贝壳网
"!!!5
非负常数!那么
-!%8=&3%-!%8<&'
这里8表示原点%;!;&!这个性质称为距离函数的齐次性!它成立是 因为
!!!!-!%8=&3 %槡%(&!1%%,&!3槡%!%(!1,!&
3% (槡!1,!3%-!%8<&#
欧氏距离还有另一个性质#
%7&若(8,平面绕原点旋转某个角度!则两点间的欧氏距离保 持不变#这个性质称为旋转不变性&
#"城市街区距离
还可以定义许多其他有用而且有趣的$非欧(距离&为了能称之 为$距离(!<!=的一个函数必须具有我们刚刚对熟知的距离$所验 证过的性质%$&到性质%#&&唯有欧氏距离-!具有全部的7条性质&
作为一个例子!可以考虑用城里两地<%($!,$&与=%(!!,!&之 间道路的实际长度来虚构一个$城市街区距离(&假定所有的街道或 者是严格南北向的!或者是严格东西向的!而且没有空地可以穿行! 如图! 6&
图! 6!城市街区距离
从<到=的任何道路无一例外地只能由水平段落及竖直段落组成! !
这样我们所要通过的距离-$%<=&就由从<到= 的这条道路的所有 水平距离与竖直距离之和组成#因此!我们定义城市街区距离为
-$%<=&3,($%(!,1,,$%,!,# '
严格说来!这式子有时不能表示城市街区距离!图! $;就是一例#那 里的<!=两地位于相同的两条南北向%或东西向&街道之间#这时!
湖南教育出版社 贝壳网
"!!!#
图! $;!城市街区距离
!
行人在其行程中被迫要往回走!于是实际经过 的距离比'式右边的值要大些#但是!如果街 区非常小!也就是说街道之间靠得很近!那么
'就相当精确了#更确切地说!如果仅限于沿 着东.南.西.北这四个主要方向行走而不必
走回头路!那么新的距离函数'就是从<到=所要经过的最小距离#
因此!城市街区距离毕竟为我们提供了定义新的$非欧(距离的实际 背景#
下面我们来看看由'所定义的-$是否具有距离所要求的%$&#
%#&条性质#
因为表达式'中只包含坐标的差!所以新的距离当然是平移不 变的!因而具有性质%$&#
因为-$%<=&3-$%=<&!所以-$是对称的!这样也就具有性质
%!&#
为了建立三角形不等式
-$%<;&#-$%<=&1-$%=;&!
设<!=!;的坐标分别为%($!,$&!%(!!,!&!%("!,"&!则
-$%<;&3,($%(",1,,$%,",
3,($%(!1(!%(",1,,$%,!1,!%,",!
-$%<;&#,($%(!,1,,$%,!,1,(!%(",1,,!%,", 3-$%<=&1-$%=;&#
因而具有性质%"&#
城市街区距离当然也满足性质%5&!因为任何实数的绝对值总是 非负的#除非<与=重合!否则它总是正的#
性质%#&很容易验证!事实上!对于%$;!有
,%(,1,%,,3%%,(,1,,,&#
湖南教育出版社 贝壳网
数学归纳法是证明关于正整数 的有关命题的重要方法． 本章学习数 学归纳法和它的简单应用．
第 章
数学归纳法与不等式证明
３
湖南教育出版社 贝壳网
"!!!9
$"!!数学归纳法
对于基本不等式
%1'