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数 学 数 学
普通高中课程标准实验教科书
数 学
不等式选讲选修-普通高中课程标准实验教科书 数 学 4 5
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不等式选讲
普通高中课程标准实验教科书
选 修 4-5
数 学
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书 书 书
主
!!编
!张 景 中
!黄 楚 芳 执行主编
!李 尚 志
本册主编
!朱 华 伟
编
!!委
!钱 展 望
!郑 志 明 查 建 国
普通高中课程标准实验教科书 数!学
选修! "
不等式选讲 责任编辑!甘!哲
湖南教育出版社出版"长沙市韶山北路!!#号# 电子邮箱!$%&'()*!*+%,-(./
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书 书 书
探寻现实生活中的不等关系
自来水管的横截面为什么总是圆的!而不是方的"
圆柱体容器的容积一定时!怎样的圆柱体容器用料最省"
表面积一定时!怎样的长方体容积最大"
晚上在灯下做功课时!怎样选择灯的高度!才能使桌子边缘处 最亮"
亲爱的同学们!这类问题在现实生活中随处可见!它们都与不 等式有关!可以利用不等式来解决!
不等式是数学的重要内容!是研究数量的大小关系的必备知识! 是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具!
在本专题中!我们将回顾和复习不等式的基本性质和基本不等 式!介绍一些重要不等式#绝对值不等式$平均值不等式$柯西不 等式$排序不等式$贝努利不等式%和证明不等式的基本方法#比 较法$分析法$综合法$反证法$放缩法%!以及数学归纳法和它的 简单应用!
同学们通过本专题的学习!不仅要掌握不等式涉及的基本知识 和基本技能!还要主动地探寻现实生活中存在的不等关系!逐步形 成和努力增强数学应用意识!走进数学应用的天地&
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书 书 书
!!
!
!
!
目录
第
!
章!
基本不等式和证明不等式的基本方法"
!数学实验 ! ! 的近似值 "
"!!!#!!实数可以比较大小
"
$!! 习题!!
"
%!!!#"!比较法证不等式
"
&!! 习题!"
"
'!!!#(!基本不等式
"
'!! 习题!#
"
!"!!!#)!基本不等式实际应用举例
"
!(!! 习题!$
"
!)阅读与思考 ! 算术平均数与几何平均数 "
!%!!!#$!分析法与综合法
"
!*!! 习题!%
"
"!!!!#%!反证法和放缩法
"
""!! 习题!&
"
")第
"
章!
绝对值不等式"
"$!!"#!!含有绝对值的不等式
"
"%!! 习题!'
"
"*!!"#"!解含绝对值的不等式举例
"
"'!! 习题!(
"
("阅读与思考 ! 距离的性质 "
((第
#
章!
数学归纳法与不等式证明"
(%!!(#!!数学归纳法
"
(&!! 习题!)
"
)+湖南教育出版社 贝壳网
"
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!
目录
!!(#"!数学归纳法证不等式
"
)+!!习题!!*
"
)(第
$
章!
平均值不等式"
))!!)#!!三个正数的平均值不等式
"
)$!!习题!!!
"
)&!!)#"!三个正数平均值不等式的实际应用举例
"
)&!!习题!!"
"
)'阅读与思考 ! ! 个正数的平均值不等式 "
$+数学建模 ! 洗衣服的数学 "
$"第
%
章!
三个重要不等式"
$&!!$#!!柯西不等式
"
$*!!习题!!#
"
%!!!$#"!排序不等式
"
%!!!习题!!$
"
%%!!$#(!贝努利不等式
"
%&数学建模 ! 增设汽油中转站 "
%'课程总结报告参考题
"
&"附录
!! 数学词汇中英文对照表 "
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比较法、 分析法、 综合法、 反证 法 、 放 缩 法 是 证 明 不 等 式 的 基 本 方 法, 本章将复习不等式的基本性质和 基本不等式, 通过一些简单问题学习 证明不等式的基本方法.
第 章
基本不等式和证明不等式的基本方法
1
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!!
!
!
!
数学实验
!的近似值
!!我国古代著名数学家祖冲之用"$#$#"作为!的近似值!如果要找比
"##
$$"更接近!的分数!而且想让分母尽可能地小!怎么办呢"
这个问题的数学表达!就是#
$找一对正整数!!"!使满足
%$&"
!比"$#$#"更接近!!也就是
!%"
! "
"##
$$"%! '
%!&要求!尽可能小#(
这就看到!要把问题说清楚!要用不等式来表达#
可以想到!取一个一个分数来试验!找到一个满足上述条件的 就可以了#
分母为!的正分数很多!要有限制#若"
!#"!不用考虑'若"
!
$"&!!也不用考虑#用不等式估计分子"的范围# 由"
!%"!得"%"!'
由"
!""&!!得"""&!!#
这又用到不等式!'()*+,-'./"的基本性质#
对于!!由"开始一个比一个大的来试!用计算机搜索!可以找 到一个分数!看看分母有多大#
用手算或计算器算太慢了!使用$010超级画板(的程序工作 区要方便得多#
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"
!
!
!
!
把下列程序键入$010超级画板(的程序工作区#
23"##
$$"' 4'3"&$5$#6!7#"#8696'
:32%4''
&%";$55"#"9"&)%$$";;;;;;;;;;;;;;&"
,32'
<=>%43"'4"$;;;'4341$&
*
<=>%*3<-==>%4'%4'%:&&'*"<-==>%4'%4'1:&&1$'*3*1$&
!!!!!!!*
!!!!!!!'<%%*)4%4'&?!"%2%4'&?!&
!!!!!!!!!!!*,3*)4'+
!!!!!!!)-@)*,'+
!!!!!!!+
+
把光标放在最后的花括弧左边!按住A.>-键单击B(.)>!程序开始运 行#不久!结果出现#
&"##)$$""
这表明!分母不超过$;;;的所有分数中!最接近!的是"$#$#"#
注意程序中有一行
<=> %43"'4"$;;;'4341$&C
这一行中的"改成$;;;!$;;;改成!;;;!再运行!结果仍是"$#$#"#
可见!分母不超过!;;;的所有分数中!最接近!的仍是"$#$#"#
耐心地做下去!你会看到!分母不超过$7;;;的分数中!最接 近!的仍是"$#$#"#
下面再做!把这一行改成
<=>%43$7;;;'4"$79;;'4341$&!
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!5
!
!
!
你会找到一个分母为$77;5的分数!算一算就知道它确实比"$#$#"更接 近!#
在$7;;;#$77;5之间!有没有比"$#$#"更接近!的分数呢!只要 把这一行改成#
<=>%43$7;;;'4"$77;5'4341$&C
运行一下就知道了#没有#
我们找到了比"$#$#"更接近!的分数是#$!$777;"5#
实际上!如果多用点不等式知识!工作量可以小得多!能大大 简化计算!甚至得到更漂亮的结果#
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!#
!
!
!
!"!!实数可以比较大小
我们知道#实数集与数轴上的点集是一一对应的#在数轴上不 同的两点中#右边的点所表示的实数比左边的点表示的实数大#如
图$ $
!
图$ $所示#点$表示实数%#点&
表示实数'#点$在点&右边#那么
%%'#从图$ $中#我们还可以看到$ 如果%%'#那么%%'是正数%反 之#%%'是正数#则%%'#
类似地#如果%"'#那么%%'是负数%如果%3'#那么%%'3
;#它们的逆命题也都正确# 这里表明了
%%'(%%'%;%
%3'(%%'3;%
%"'(%%'";#
由此可见#实数可以比较大小#要比较两个实数的大小#可通 过考察它们的差与;的大小关系来完成#
例!!比较!%%$"!%15"与%!1"%的大小# 解!!!%%$"!%15"%!%!1"%"
3!%!1"%%5"%!%!1"%"
3%5";#
D!!%%$"!%15""!%!1"%"#
例#!比较(!1"与"(的大小# 解!!!(!1""%"(
3(!%"(1"
3
!
(%"!"
!
1"
5%;#
D!!(!1""%"(#
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!7
!
!
!
例$!甲&乙两人同时同地出发#沿同一路线走到同一地点#甲 有一半时间以速度%行走#另一半时间以速度'行走%乙有一半路程 以速度%行走#另一半路程以速度'行走&如果%)'#问甲&乙两人 谁先到达指定地点#
解!设从出发地点至指定地点的路程是)#甲&乙走完这段路程 所用的时间分别为*$#*!#依题意#有
*$
!%1*$
!'3)#
)
!%1)
!'3*!#
从而*$3%1'!) #*!3)!!%1'"%' #于是
*$%*!3 !)
%1'%)!%1'"
!%' 3
)5'%'%!%1'"!(
!!%1'"%' 3%)!%%'"!
!%'!%1'"#
其中)#%#'都是正数#且%)'#于是*$%*!";#即
*$"*!#
从而知甲比乙先到达指定地点#
习 题 !!
$&已知();#比较!(!1$"!与(51(!1$的大小#
!&设%)'#比较下列各式的大小$
!$"%!!%1$"1'!!'1$"与%!%!1'"1'!'!1%"%
!!"%"1'"与%!'1%'!#
"&设%%'%;#比较%%!!%'!
1'!与%1'%%'的大小#
5&若+$$#求证$(!1+1$
(!1
槡+$+1$槡+#
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!9
!
!
!
#&某收购站分两个等级收购小麦#一等小麦每千克为%元#二等小麦每千克为'!'"
%"元#现有一等小麦(EF#二等小麦,EF#若以两种价格的平均数收购#对被 收购者是否公平合理)
!"#!比较法证不等式
一个不等式实际上表示的就是不等式两边的大小比较#从上一 节我们知道两实数大小的比较可通过考察两数的差与;的大小关系 来实现#因此#我们要证明一个不等式也就可以如同进行实数大小 比较一样#采用作差&变形&确定符号的方式进行#我们将这种方 法称之为比较法!G=H4,>'@=(H).I=:"#
以下我们利用比较法证明不等式的基本性质# 性质!!若%%'#+*%#则%1+%'1+#
证明!J!!%1+"%!'1+"3%%'#
又由%%'#知%%'%;#
D!%1+%'1+#
性质#!若%%'#'%+#则%%+#
证明!J!%%'#'%+#
D!%%'%;#'%+%;#
D!%%+3!%%'"1!'%+"%;#
D!%%+#
性质$!若%%'#+%-#则%1+%'1-#
!! !证明请同学们自己完成#" !!根据性质5#可得$
若'%;#则'%%$
(%%'#
这里为我们提供了 比较法证明不等式的另 一种方式$作商!注意
'%;*"变形#与$比 较大小#
性质&! !$"若%%'#+%;#则%+%'+%
!!"若%%'#+";#则%+"'+#
证明! !$"%+%'+3!%%'"+#
因+%;#故%+%'+与%%'同号#
J!%%'#!D!%%'%;#
D!%+%'+%;#
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!
!
!
D!%+%'+#
!!"!证明请同学们自己完成#"
性质'!若%%'%;#+%-%;#则%+%'-#
!! !证明请同学们自己完成#"
性质(!若%%'%;#.*)1#.$!#则
!$"%.%'.%!! !!".槡%%.槡'#
证明!!$"%.%'.3!%%'"!%.%$1%.%!'1+1%'.%!1'.%$"# $
因%%;#'%;#故$中第二个括号内各项和为正数#%.%'. 与%%'同号#
J!%%'#!D!%%'%;#
D!%.%'.%;#
即!%.%'.#
!!"用%$.#'$.代替$中的%#'#由$知.槡%%.槡'与%%'同号# 因此.槡%%.槡'#
比较法是证明不等式最基本的方法#下面我们利用比较法来证 明不等式#
例!!求证$(!1"!%!(C
证明!J! (
!
!1"!"
%!( 3(!%!(1$1$! 3!(%$"!1$
!$$
!%;#
D!(!1"
!%!(C
例#!已知%#'*%#求证$
!!!!!%51'5%%"'1%'"C
证明!!!!%51'5"%!%"'1%'""
3!%5%%"'"1!'5%%'""
3%"!%%'"%'"!%%'"
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!6
!
!
! 3!%%'"!%"%'""
3!%%'"!!%!1%'1'!"
3!%%'"! %1$
!
!'"
!1"5''
!(
$;#D!%51'5$%"'1%'"#
习 题 !#
$&用,%-&,"-号填空$
!$"如果%%'#那么%% %'%
!!"如果%"'";#那么%$!!$ '%
!""如果%%'%+%;#那么%+!!+ '%
!5"如果;"%"'"$#.*)1#那么%$.%$
'.!!;#
!&求证$
!$"如果%%'#/%0#+%;#那么0%%+"/%'+%
!!"如果%%'%;#+"-";#那么%+"'-#
"&求证$%!1"'!$!'!%1'"#
5&求证$ 551%%!#$#
#&已知%#'#1都是正数#且%"'#求证$
!!!!!!!!!!%11 '11%%
'#
7&已知%%'%+#求证$%!'1'!+1+!%%%'!1'+!1+%!#
9&已知0!("3%(!1'(#且满足%$#0!$"#!#%!#0!!"#5#求0!""的范围#
!"$!基本不等式
现在我们用比较法来证明不等式
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$!!!;
%1'
! $槡%'!!%#'*%1"# $ 证明!J!%%;#'%;#
图$ !
!!这里是运用比较法结合 几何图形给出的另一证法$ 如图$ !#正方形$&23中#
4+$&214+$56%4矩形$&75$;#
!即%!1'
!$槡%.槡'#
由此得出$#
对实数(#有(!$
;#这是配方法的基础#
在运用比较法证明不等 式的过程中#常为我们 提供了赖以确定符号的 关键理由#
,几何平均数-这 个名词的来源可以从下 述简单的几何事实中得 到解释#如图$ "!,"
中表示长与宽的长度分 别为%#'的矩形#图
$ "!K"表示的则是与 矩形具有相同面积的正 方形#那么它的边长就 是%#'的几何平均数#
!! !,"!!! !!K"
图$ "
D!!!%1'
! %槡%'
3$
!!%1'%!槡%.槡'"
3$
!!槡%%槡'"!$;#
D %1'
! $槡%'!!当且仅当%3'时取等号"#
我们将%1'! 称为两个正数%#'的算术平均!,>'.IH).'GH),("
数#槡%'则称之为%#'的几何平均!F)=H).>'GH),("数#
$式告诉我们#两个正数的算术平均数不小于几何平均数#当 且仅当这两个正数相等时等号成立#
利用$可以很快地写出一些不等式$
%!1'!
! $%'#
%!1'!$!%'# %
%!1'!3,%,!1,',!$!,%,,',#
%!1'!%%'$%'
等等#
同学们还可以作进一步的探索#
不等式$#%我们称之为基本不等式!K,@'G'()*+,-'.')@"#现 在#我们可以从$#%这两个不等式出发#利用不等式的基本性质 得到一连串的不等式#例如$
$&由%得
%!1'!1!%'$!%'1!%'#
即 !%1'"!$5%'#
!&将!!!!!!!!%!1'!$!%'#
'!1+!$!'+#
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$!!!$ +!1%!$!+%
相加#再除以!#即得
%!1'!1+!$%'1'+1+%#
"&当%%;#'%;时#
!$"'
%1%
'$! '
%.%
槡
'3!%!!"!%1'"$
%1$
!
'"
$!槡%'.!槡
%$'35#上面这些不等式的证明实际上也可以看作是发现过程#从某种 意义上讲#当我们经历从已知条件出发#以不等式的基本性质&基 本不等式为依据进行思考&探求以至获取不等式的过程#其实也就 是对不等式给予证明#
例!设%#'是正数#求证$
!$"!%'
%1'#槡%'%
!!"%1'
! # %!1'!
槡
! #证明! !$"!J!%#'为正数#
D!%1'$!槡%'#
D! $
%1'# $
!槡%'#
D!!%'
%1'# !%'
!槡%'3槡%'#
!!"!J!!%1'"!3%!1'!1!%'#!!%!1'!"# D!%1'
! "
!!
#%!1'!
! #
D!%1'
! # %!1'!
槡
! #根据基本不等式$及例题可知$对于两个正数%#'#有
!%'
%1'#槡%'#%1'! #
槡
%!!1'!# &湖南教育出版社 贝壳网
$!!!!
在图$ 5中#8为圆心#
69"6:"68"6;# '
图$ 5
设6<3%#6=3'#!%%'"#!
!!则!683%1'
! #!!6:3槡%'#
!!693!%'
%1'#!!6;3 %!1'!
槡
! #!!'即&不取等号时的情形#
习 题 !$
$&已知%#'#+为正数#求证$
!$"!%1'"!'1+"!+1%"$8%'+%
!!"%1'1+$槡%'1槡'+1槡+%#
!&已知%#'#+及(#,#>都是正数#求证$
!!'1+
%(!1+1%
',!1%1'
+>!$!!(,1,>1>("#
"&求证$ %!1!
%!
槡1$$!#
5&求证$%!1'!1#$!!!%1'"#
#&已知%!$1%!!1+1%.!3$#(!$1(!!1+1(.!3$#求证$
%$($1%!(!1+1%.(.#$#
7&已知%#'#+*%1#%1'1+3$#求证$
%!1'!1+!$$
"# 9&已知!%1"'3!#求5%18'的最小值#
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$!!!"
8&求函数0! "( 3(!1 5
(!1$的最小值#并求出取得最小值时的(值#
6&已知(%;#且()$#.为正整数#求证$
!$1(."!$1(".%!.1$(.#!!!
$;&若正数(#,满足7(1#,3"7#求(,的最大值#
$$&求,37槡(!1$
(!15 的最大值#
$!&已知%#'#+为正数#求证$%'!1'+!1+%!$%1'1+#
!"&!基本不等式实际应用举例
例!!一家皮鞋零售店#平均每天售出皮鞋"双#已知每双皮鞋 的批发价57元#运费$元#零售价$;;元#一双皮鞋在商店保存一 天的费用为;&!8元#订货一次的组织费用为!;;元#批发的包装为 每箱$8双#以整箱批发#问这家皮鞋店应采用何种订货策略#可使 获利最大)
解!设每次订货(双#那么("天订货一次#一次的订货费用为
!;;1!571$"( !元"#
平均库存量为(!双#在一个订货周期中#保存费用为
(
!.;&!8.(
" !元"#
!!所以#每天的总费用
? 3!;;1!571$"(1;&!8(!L7 (
"
37;;
(1;&$5(1$5$!元"#
!!根据基本不等式可得
? $! 7;;
( M;&$5
槡
(1$5$湖南教育出版社 贝壳网
$!!!5
3$#6&"" !元"#
等号当且仅当7(;;3;&$5(#即(37#&57#时取得#
由于批发是整箱的#所以分别计算"箱和5箱!即(3#5和9!"
的结果#
当(3#5时#?3$#6&79$%
当(39!时#?3$#6&5$"#
所以每次批发5箱#每!5天批发一次#可获利最大#
例#!机动车过大桥#为了安全#同一股道上的两辆车的间距不 得小于@AB!#其中B是车速#A为平均车身长度#@为比例系数#经 测定$车速为7;EH/I#安全车距为$&55A#
!$"规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大) !车流量即 单位时间内通过的车辆数#"
!!"设过桥的车辆平均车身长度为#H#求同一股道上每小时的 最大车流量#
解!设安全车距为- H#车流量为,辆/I#则-3@AB!#由B3
7;EH/I#-3$&55A#得@3!#$;;#车速为B#若车速为$;;;B时# 车流量为$;-1A;;B#所以
,3$;;;B
-1A3$;;;B
@AB!1A3 $;;; A B
!#;;1$
!
B"
#!#;;;
A # $
当且仅当
B
!#;;3$ B#
!!即B3#;EH/I时$式等号成立#此时车流量最大# 当A3#H时#每小时的最大车流量为#;;;辆#
习 题 !&
$&一段长为C的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园#问这个矩形的长&宽各为多少
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$!!!#
时#菜园的面积最大) 最大面积是多少)
!&有一座被毁坏的房屋#留有一堵旧墙长$!H#现准备在原地重新建屋#平面图 形为矩形#面积为$$!H!#工程条件是$
!$"修$H旧墙的费用是造$H新墙费用的!#N%
!!"拆去$H旧墙用来造$H新墙的费用是造$H新墙费用的#;N#
问$应如何利用旧墙才能使建屋造价最低)
"&$地产汽油#&地的汽油需从$地运入#汽车从$地运汽油往&地#往返的油 耗正好等于其满载汽油的吨数#故无法将汽油直接运至&地#为解决问题#在 途中2设一油库中间站#先由往返于$#2间的汽车将汽油运至2地#再由往 返于2#&间的汽车将汽油运至&地#问2站设在何处时#运油率最大) 最大 为多少) '运油率3!&地收到的汽油量"L!$地运出的汽油量"(
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$!!!7
阅读与思考
算术平均数与几何平均数
!!设%与'是两个非负实数!%%'!记
%$3%1'
! !!'$3槡%'!
则%$!'$必定也是非负数!且
%$"%1%
! 3%!!'$% ',槡'3'!
根据基本不等式$!可知%$%'$!再记
%!3%$1'$
! !!'!3槡%$'$!
引进%!!'!!重复上面步骤!同理!有
%%%$%%!!!'!%'$%'
及 %!%'!!
图$ #
!
继续进行下去!一般地!我们可用递推公式
%.3%.%$1'.%$
! !!'3 %槡.%$'.%$ $
定义%.!'.#
进行到第@步时!得到数%$!%!!-!%@及'$!'!!-!'@!它 们满足
%%%$%%!%-%%@%'@%'@%$%-%'!%'$%'#
例如!当%35!'3$!把前面几个%D与'D表示在数轴上%如图
$ #&!可以看到!在所有的这些数当中!'最小而%最大!并且所 有的'D小于所有的%D#
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$!!!9
设想我们用递推公式$定义越来越多的%与'!这样定义的每一 对%D!'D都夹在前一对%D%$!'D%$之间#于是!看来有理由认为这些
%.随着.增大而减小!但始终大于每一个'D而趋近于某个固定的数 值$'类似地!这些'.随.增大而增大!但始终小于每一个%D!而 趋近于某个固定的数值&#实际上!$就是无穷数列*%.+的极限!
&则是无穷数列*'.+的极限#
此外!还有
%.1$%'.1$3%.1'.
! %槡%.'."%.!1'.%槡'.'.
3$
!%%.%'.&!
这表明!差%%.%'.&随.增大而迅速变小!数列*%.+!*'.+具有相同 极限!即$3&!而且$%&&只依赖于我们开始时所取的两个数%!'!
也就是说$%&&是%!'的函数#大数学家高斯曾指出!这个函数不 只是一个满足好奇心的玩艺!而且在数学上具有独特地位!它可以 用来建立一个叫作$椭圆函数论(的数学分支#