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不等式选讲

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Academic year: 2022

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全文

(1)

湖南教育出版社

经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过

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数 学 数 学

普通高中课程标准实验教科书

数 学

4 5

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(2)

不等式选讲

普通高中课程标准实验教科书

选 修 4-5

数 学

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(3)

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张 景 中

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黄 楚 芳 执行主编

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李 尚 志

本册主编

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朱 华 伟

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钱 展 望

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郑 志 明 查 建 国

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湖南出版中心重印

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(4)

探寻现实生活中的不等关系

自来水管的横截面为什么总是圆的!而不是方的"

圆柱体容器的容积一定时!怎样的圆柱体容器用料最省"

表面积一定时!怎样的长方体容积最大"

晚上在灯下做功课时!怎样选择灯的高度!才能使桌子边缘处 最亮"

亲爱的同学们!这类问题在现实生活中随处可见!它们都与不 等式有关!可以利用不等式来解决!

不等式是数学的重要内容!是研究数量的大小关系的必备知识! 是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具!

在本专题中!我们将回顾和复习不等式的基本性质和基本不等 式!介绍一些重要不等式#绝对值不等式$平均值不等式$柯西不 等式$排序不等式$贝努利不等式%和证明不等式的基本方法#比 较法$分析法$综合法$反证法$放缩法%!以及数学归纳法和它的 简单应用!

同学们通过本专题的学习!不仅要掌握不等式涉及的基本知识 和基本技能!还要主动地探寻现实生活中存在的不等关系!逐步形 成和努力增强数学应用意识!走进数学应用的天地&

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目录

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基本不等式和证明不等式的基本方法

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数学实验 ! ! 的近似值 "

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!!!#!!实数可以比较大小

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!! 习题!!

"

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!!!#"!比较法证不等式

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阅读与思考 ! 算术平均数与几何平均数 "

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!! 习题!%

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绝对值不等式

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阅读与思考 ! 距离的性质 "

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数学归纳法与不等式证明

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(7)

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目录

!!(#"!数学归纳法证不等式

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!!习题!!*

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平均值不等式

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!!)#!!三个正数的平均值不等式

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!!)#"!三个正数平均值不等式的实际应用举例

"

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阅读与思考 ! ! 个正数的平均值不等式 "

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数学建模 ! 洗衣服的数学 "

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三个重要不等式

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!!$#!!柯西不等式

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!!习题!!#

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!!$#"!排序不等式

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!!习题!!$

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!!$#(!贝努利不等式

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数学建模 ! 增设汽油中转站 "

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课程总结报告参考题

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附录

!! 数学词汇中英文对照表 "

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(8)

比较法、 分析法、 综合法、 反证 法 、 放 缩 法 是 证 明 不 等 式 的 基 本 方 法, 本章将复习不等式的基本性质和 基本不等式, 通过一些简单问题学习 证明不等式的基本方法.

基本不等式和证明不等式的基本方法

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!的近似值

!!我国古代著名数学家祖冲之用"$#$#"作为!的近似值!如果要找比

"##

$$"更接近!的分数!而且想让分母尽可能地小!怎么办呢"

这个问题的数学表达!就是#

$找一对正整数!!"!使满足

%$&"

!比"$#$#"更接近!!也就是

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! "

"##

$$"%! '

%!&要求!尽可能小#(

这就看到!要把问题说清楚!要用不等式来表达#

可以想到!取一个一个分数来试验!找到一个满足上述条件的 就可以了#

分母为!的正分数很多!要有限制#若"

!#"!不用考虑'"

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这又用到不等式!'()*+,-'./"#

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!如果多用点不等式知识!工作量可以小得多!能大大 !#

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!"!!实数可以比较大小

我们知道#实数集与数轴上的点集是一一对应的#在数轴上不 同的两点中#右边的点所表示的实数比左边的点表示的实数大#

$ $

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$ $所示#$表示实数%#&

表示实数'#$在点&右边#那么

%%'#从图$ $#我们还可以看到$ 如果%%'#那么%%'是正数%反 之#%%'是正数#则%%'#

类似地#如果%"'#那么%%'是负数%如果%3'#那么%%'3

;#它们的逆命题也都正确# 这里表明了

%%'(%%'%;%

%3'(%%'3;%

%"'(%%'";#

由此可见#实数可以比较大小#要比较两个实数的大小#可通 过考察它们的差与;的大小关系来完成#

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$!甲&乙两人同时同地出发#沿同一路线走到同一地点#甲 有一半时间以速度%行走#另一半时间以速度'行走%乙有一半路程 以速度%行走#另一半路程以速度'行走&如果%)'#问甲&乙两人 谁先到达指定地点#

!设从出发地点至指定地点的路程是)#&乙走完这段路程 所用的时间分别为*$#*!#依题意#

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从而*$3%1'!) #*!3)!!%1'"%' #于是

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其中)#%#'都是正数#且%)'#于是*$%*!";#即

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从而知甲比乙先到达指定地点#

习 题 !!

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!"#!比较法证不等式

一个不等式实际上表示的就是不等式两边的大小比较#从上一 节我们知道两实数大小的比较可通过考察两数的差与;的大小关系 来实现#因此#我们要证明一个不等式也就可以如同进行实数大小 比较一样#采用作差&变形&确定符号的方式进行#我们将这种方 法称之为!G=H4,>'@=(H).I=:"#

以下我们利用比较法证明不等式的基本性质# !!若%%'#+*%#%1+%'1+#

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又由%%'#知%%'%;#

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即!%.%'.#

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比较法是证明不等式最基本的方法#下面我们利用比较法来证 明不等式#

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!"$!基本不等式

现在我们用比较法来证明不等式

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我们将%1'! 称为两个正数%#'算术平均!,>'.IH).'GH),("

#%'则称之为%#'!F)=H).>'GH),("#

$式告诉我们#两个正数的算术平均数不小于几何平均数#当 且仅当这两个正数相等时等号成立#

利用$可以很快地写出一些不等式$

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%!1'!$!%'# %

%!1'!3,%,!1,',!$!,%,,',#

%!1'!%%'$%'

等等#

同学们还可以作进一步的探索#

不等式$#%我们称之为基本不等式!K,@'G'()*+,-'.')@"#现 在#我们可以从$#%这两个不等式出发#利用不等式的基本性质 得到一连串的不等式#例如$

$&由%得

%!1'!1!%'$!%'1!%'#

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相加#再除以!#即得

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上面这些不等式的证明实际上也可以看作是发现过程#从某种 意义上讲#当我们经历从已知条件出发#以不等式的基本性质&基 本不等式为依据进行思考&探求以至获取不等式的过程#其实也就 是对不等式给予证明#

!设%#'是正数#求证$

!$"!%'

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根据基本不等式$及例题可知$对于两个正数%#'#

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在图$ 5#8为圆心#

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习 题 !$

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$!&%#'#+#$%'!1'+!1+%!$%1'1+#

!"&!基本不等式实际应用举例

!!一家皮鞋零售店#平均每天售出皮鞋"#已知每双皮鞋 的批发价57#运费$#零售价$;;#一双皮鞋在商店保存一 天的费用为;&!8#订货一次的组织费用为!;;#批发的包装为 每箱$8#以整箱批发#问这家皮鞋店应采用何种订货策略#可使 获利最大)

!设每次订货(#那么("天订货一次#一次的订货费用为

!;;1!571$"( !元"#

平均库存量为(!#在一个订货周期中#保存费用为

(

!.;&!8.(

" !元"#

!!所以#每天的总费用

? 3!;;1!571$"(1;&!8(!L7 (

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(1;&$5(1$5$!元"#

!!根据基本不等式可得

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等号当且仅当7(;;3;&$5(#(37#&57#时取得#

由于批发是整箱的#所以分别计算"箱和5!(3#59!"

的结果#

(3#5#?3$#6&79$%

(39!#?3$#6&5$"#

所以每次批发5#!5天批发一次#可获利最大#

#!机动车过大桥#为了安全#同一股道上的两辆车的间距不 得小于@AB!#其中B是车速#A为平均车身长度#@为比例系数#经 测定$车速为7;EH/I#安全车距为$&55A#

!$"规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大) !车流量即 单位时间内通过的车辆数#"

!!"设过桥的车辆平均车身长度为#H#求同一股道上每小时的 最大车流量#

!设安全车距为- H#车流量为,辆/I#-3@AB!#B3

7;EH/I#-3$&55A#得@3!#$;;#车速为B#若车速为$;;;B# 车流量为$;-1A;;B#所以

,3$;;;B

-1A3$;;;B

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当且仅当

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!!即B3#;EH/I时$式等号成立#此时车流量最大#A3#H#每小时的最大车流量为#;;;#

习 题 !&

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(22)

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算术平均数与几何平均数

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%$3%1'

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$ #&!看到!在所有的这些数当中!'最小而%最大!并且所 'D%D#

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(24)

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$%'! %D!'D%D%$!'D%$之间#于是!看来有由认

%..!但始终大于每一个'D而趋近于某个固定的数 $'!'..增大而增大!但始终小于每一个%D! &#实际上!$就是无穷数列*%.+的极限!

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!%%.%'.&.而迅速变小!数列*%.+!*'.+具有相同 !$3&!$%&&%!'!

$%&&%!'的函数#大数学家高斯曾指出!这个函数不 足好奇心的玩艺!而且在数学上具有独特地位!它可以 $(#

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參考文獻

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