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书 书 书
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例!"已知#!$为正实数!"$%#$%#&$'!求函数!&(
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解题思路分析"
这是一个二元函数的最值问题!通常有两个途径!一是通过消元!转化为一元函数问题!再 用单调性或基本不等式求解!对本题来说!这种途径是可行的#二是直接用基本不等式!对本 题 来说!因已知条件中既有和的形式!又有积的形式!不能一步到位求出最值!考虑用基本不等 式 放缩后!再通过解不等式的途径进行"
解"$方法一%#&$')"$
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经验"方法一!通过消元得到一个分式函数!在分子$或分母%中含有二次式"这种类型的函 数一般都可转化为'%(
'型!从 而 用 基 本 不 等 式 求 解"其 他 处 理 方 法!可 以 让 学 生 们 自 己 去 仔 细体会"实际上!一般含二次式的分式函数 !&#'"%$'%(
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此方法求解"
例""有一个阻值为.! 的电阻 ,(与一个最大阻值为",! 的滑动变阻器 ,"串联!接 在 电压-&,$/%的电源上!问,"为多少时!,"消耗的电功率 ."最大'
解 "$方法一%使用均值不等式 #%$ $%"%,#$!
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书 书 书
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例!#某公司欲建连成片的网球场数座#用#!)万元购买土地#))))*!#该球场每座的建 筑面积为#)))*!#球场总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有 关#当 该 球 场 建 &
个时#每平方米的平均建设费用用 '!&"表 示#且 '!(""'!)"#$(.)
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解#设建成& 个球场#则每平方米的购地费用为#!&0#))))
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书 书 书
!"! " "" #! "" "" 简单线性规划 "" "" "" "" "" "" ""
教科书首先通过一个具体问题!介绍了二元一次不等式组表示一个平面区域!再在这个 具 体实例的基础上!介绍了线性规划问题及有关的几个基本概念及一种基本解法"""图解法!并 举出两道例题说明线性规划在实际中的应用!
#!$了解二元一次不等式的几何意义!会画出二元一次不等式表示的平面区域!
#$$会用%选点法&确定二元一次不等式表示的平面区域!了解线性规划的意义和可行 域 的 意义!
#%$掌握简单的二元线性规划问题的解法!掌 握 如 何 用 图 解 法 求 线 性 目 标 函 数 的 最 大 值' 最小值!
##$能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题!会用画网格的方法求解整数 线 性规划问题!
!!教学重点(
#!$二元一次不等式的几何意义!
#$$二元一次不等式表示的平面区域的确定!
#%$二元线性规划问题的解法的掌握!
$!教学难点(
用画网格的方法求解整数线性规划问题!培 养 学 生 从 实 际 情 境 中 抽 象 出 一 些 简 单 的 二 元 线性规划问题!
%!最优整数解常有两种处理方法!一种是 通 过 打 出 网 格 求 整 点!关 键 是 作 图 要 准 确)另 一 种是普遍采用的方法!即先确定区域内点的横坐 标 范 围!确 定 " 的 所 有 整 数 值!再 代 回 原 不 等 式组!得出# 的一元一次不等式组!再确定# 的所有相应整数值!即先固定"!再用" 制约#!
说明!#!$解线性规划应用题的一般步骤(!设出未知数)"列出约束条件#要注意考 虑 数 据'变量'不等式的实际含义及计量单位的统一$)#建立目标函数)$求最优解!
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书 书 书
!!"对于有实际背景 的 线 性 规 划 问 题#可 行 域 通 常 是 位 于 第 一 象 限 内 的 一 个 凸 多 边 形 区 域#此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点!
!""引导学生对于不含边界的区域要将边界画成虚线!
!#"用选点法检验不等式表示的区域!
!$"用图形解决问题时应指导学生正确规范地作图!
!%"正确指导学生寻找满足例#$例$中不等式组的解!
#!通过分组讨论#让学生在活动中学会沟 通 和 合 作#提 高 分 析 和 处 理 信 息 的 能 力#充 分 尊 重学生的自主性#以学生探究为主#教师点拨 为 辅#重 在 培 养 创 新!在 解 决 线 形 规 划 问 题 时#指 导学生学会将数据转换成表格形式#引导学生 正 确 建 模%用 图 形 解 决 问 题 时#指 导 学 生 正 确 规 范地作图!另外还要注意解答的完整性及其叙述要求是否合理到位!
不等式作为用来刻划不等关系的有效工具#有着丰富的现实背景#不等式也是刻划区域 的 重要工具#刻划区域是解决线性规划问题的一个基本步骤!在现实生产$生活中#经常遇到的资 源利用$人力调配$生产安排等问题常常可归结 为 二 元 线 性 规 划 问 题!线 性 规 划 是 数 学 规 划 中 理论较完整$方法较成熟$应用较广泛的一个 分 支#它 能 解 决 科 学 研 究$工 程 设 计$经 济 管 理 等 许多方面的实际问题!教学中要注意从实际问 题 引 入#着 眼 于 不 等 式 与 实 际 问 题 的 联 系#使 学 生明确数学问题源于生活且用于生活!由于线性规划属于多元条件极值问题#对高一学生有一 定难度#因此教学中应当强调借助几何直观解决一些简单的线性规划问题#引导学生体会线 性 规划的基本思想#在其它方面的一些应用不宜过多展开!
!&"对学生来说#二元一次不等式!组"表 示 平 面 的 区 域 是 一 个 比 较 陌 生 的 概 念#不 像 二 元 一次方程表示直线那样早有所知#为使学生对这一概念的引进不感到突然#应建立新旧知识 之 间的联系#以便自然地给出概念!
!!"建议将本节新课讲授分为五步!思考$尝试$猜想$证明$归纳"来进行#目的是为 了 分 散 难点#层层递进#突出重点#只要学生对旧知识掌握较好#完全有可能由学生自己主动去探求 新 知#得出结论!
!""要举几个典型例题#特别是似是而非的例 子#对 理 解 二 元 一 次 不 等 式 !组"表 示 的 平 面 区域的含义是十分必要的!
!#"建议通过本节教学着重培养学生掌握&数形结合'的数学思想#尽管侧重于用&数'研 究
&形'#但同时也要用&形'去研究&数'#这对 培 养 学 生 观 察$联 想$猜 测$归 纳 等 数 学 能 力 是 大 有 益处的!
!$"建议可适当采用多媒体和投影仪等先 进 手 段 来 辅 助 教 学#以 增 加 课 堂 容 量#增 强 直 观 性#进而提高课堂效率!
!%"若实际问题要求的最优解是整数解#而我们利用图解法得到的解为非整数解!近似 解"
时#应作适当的调整#其方法应以与线性目标函 数 的 直 线 的 距 离 为 依 据#在 直 线 的 附 近 寻 求 与
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书 书 书
此直线距离最近的整点!不要在用图解法所得到的近似解附近寻找!如果可行域中的整点数目 很少!则可采用逐个试验法!
"!#在线性规划的实际问题中!一般主要掌握两种类型$一是给定一定数量的人力%物 力 资 源!问怎样运用这些资源能使完成的任务量最 大!收 到 的 效 益 最 大&二 是 给 定 一 项 任 务 问 怎 样 统筹安排!能使完成的这项任务耗费的人力%物力资源最小!
例!!已知"!# 满足不等式组
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求使"&# 取最大值的整数"!#!
图)% ' 解!如图 )% ' 不 等 式 组 的 解 集 为 三 直 线$)$""###
$*%!$"$""&$##'*%!$$$$"#(##)(*%所围成的 三 角 形 内部"不含边界#!设$)与$"!$)与$$!$"与$$交 点 分 别 为 %!
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!作一组平行线$$"&#*(平行于$%$"&#*%!.当$往$%右上方移动时!(随之增大!
/当$过' 点时"&# 最大为'$
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又由%#"#!(
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当"*)时!代入原不等式组得#*#"!/"&#*#)&
当"*"时!得#*%或#)!/"&#*"或)&
当"*$时!#*#)!/"&#*"!
故"&# 的最大整数解为 "*"!
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图)% ! 例"!")#已知 )')#*'"!
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解!")#不等式组表示的平面区域如图)% !所示!
作直线$%$,)#"**%!
作一组平行线$$,)#"**(!
由图知$由$%向右下方平移时!(随之增大!反之减小!
/当$经过% 点时( 取最小值!
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当!经过" 点时# 取最大值$
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由"##知!("!%#$$-!#0%$
图#0 1 例!%已知&')" 的三边长%!&!* 满 足&$*'%%!*$%'%&!求
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作出平面区域!如图#0 1!由图知&' % '!
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%$ 例"%投资生产 ' 产品时!每生产#002需要资金%00万元!需场地%00)%!可获利润'00 万元'投资生产 ) 产品时!每生产#00) 需 要 资 金 '00 万 元!需 场 地 #00 )%!可 获 利 润 %00 万 元$现某单位可使用资金#&00万元!场地300)%!问&应作怎样的组合投资!可使获利最大(
分析%这是一个二元线性规划问题!可先将题中数据整理成下表!以方便理解题意&
资%金"百万元# 场地")%# 利润"百万元#
4 产品 % % '
5 产品 ' # %
限制 #& 3
%%然后根据此表数据!设出未知数!列出约束条件和目标函数!最后用图解法求解6
图#0 3 解%设生产 4 产品+ 百吨!生产 5 产品, 百米!利润为 - 百万
元!
则约束条件为
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%+$,'3!
+*0!
,*0
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目标函数为 -"'+$%,$
作出可行域"如图#0 3#$
将目标函数变形为,"!'
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因此!生产 , 产品$-!)百吨!生产 .产品!-)百米时!利润最大! 且最大利润为'(+)万元-说明!"'#解线性规划应用题的一般步骤$!设出未知数%"列出约束条件"要注意考 虑 数 据&变量&不等式的实际含义及计量单位的统一#%#建立目标函数%$求最优解$
"!#对于有实际背景 的 线 性 规 划 问 题!可 行 域 通 常 是 位 于 第 一 象 限 内 的 一 个 凸 多 边 形 区 域!此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点$
例!!某运输公司向某地区运送物资!每天至少运送'/01-该公司有/辆载重为21的 , 型卡车与(辆载重为'01的 . 型卡车!有'0名驾驶员-每辆卡车每天往返的次数为 , 型车(
次!. 型车$次-每辆卡车每天往返的成本费为 , 型车$!0元!. 型车为)0(元-试为 该 公 司 设
计调配车辆的方案!使公司花费的成本最低-图'0 '0 解!设每天调出 , 型车# 辆!.型车" 辆!公司花费成本%元!
则约束条件为
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"+$)!0#不 是 整 点$由 图 可 知!经 过 可 行 域 内 的 整 点!且 与 原 点 距 离 最 近 的 直 线 是 $!0#%
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因此!公司每天调出 , 型车/辆时!花费成本最低$
相关链接
运筹学简介
英语全称为$34567189:7;<5=576>?"英国#或者是 34567189:=<5=576
>?"美国#-在中国战国时期!曾经有过一次流传后世的赛马比赛!相信大家都知道!这就是田忌赛 马-田忌赛马的故事说明在已有的条件下!经过筹划&安排!选择一个最好的方案!就会取得最好 的
效果-可见!筹划安排是十分重要的-现在普遍认为!运筹学是近代应用数学的 一 个 分 支!主 要 是 将 生 产&管 理 等 事 件 中 出 现 的