4. 研究方法
4.3. 樁基礎元素之發展
4.3.1. 樁-土壤複合元素(Sectional Pile Method)
素(Sectional Pile Method)，可利用此元素求解含樁結構之土壤結構互制問題，包括單樁與群樁 之阻抗問題等，可將此求得之樁阻抗用於土壤結構互制之簡化分析或後續發展之樁阻抗元 素；另一為隨頻率變化之樁阻抗元素(Simplified Pile Method)，可利用此元素模擬樁之阻抗以 減少大量之埋入互制點，大幅縮減SASSI 執行之時間。
4.3.1. 樁-土壤複合元素(Sectional Pile Method)
本研究發展之樁-土壤複合元素，主要是根據 Chin[52]的研究而來，該元素由樁的部分體 積區域和部分土壤組成，如圖 4 所示。每一個元素有六個整體座標點，和四個輔助點，其中
成，其中梁元素的功能在於模擬樁的勁度與質量。對於每一個樁-土壤複合元件，使用的樁-土壤複合元素數量由樁的截面形狀所決定；而樁-土壤複合元素的四個輔助點位移，則是由梁 的位移和旋轉自由度來決定，此乃根據Navier 對於梁變形的假設，梁平面在變形時依然保持 平面。
1. 定義樁-土壤元素
樁-土壤元素包含了樁體積部分和土壤部分如圖 5 (a)所示，元素有六個整體結點和四個 輔助結點，樁的體積範圍為上方和底部平面為水平必須和垂直於樁的縱軸，即假設為垂直樁，
土壤部分使用實體元素模擬，樁體積部分如圖 5(b)所以，主要模擬樁空的部份，因為沒有勁 度與質量，完整的土壤與樁元素如圖 4 所示，包含梁元素和土壤與樁元素，圖中顯示有八個 部分的樁-土壤元素。
土壤部分的元素為實體元素，含有四個輔助結點和四的整體結點，如圖5(c)所示，樁體 積部分和土壤部分的界面由樁的有效半徑和樁-土壤元素的高決定，實體元素的材料性質由土 壤決定，土壤元素的每個結點都有三個平移自由度，在樁軸上的兩個整體結點都含有三個平 移自由度與三個旋轉自由度。
圖4(a)所示為上平面圖，土壤與樁部分包括八個樁-土壤元素，圖 4(b)所示為實體圖，圖 4(c)虛線範圍為樁體積部分的周邊，增加或減少樁-土壤元素數量透過可調整樁體積部分的大 小，因使其有一個等效結合面積等於樁的橫斷面積，樁-土壤元素的數量由樁的形狀決定。
梁頂部和底部即樁的體積部份之頂部和底部，如圖4(b)所示，假設在變形間平面保持剛 性並且與梁軸垂直，由於這個假設四個輔助結點的位移可由梁端兩個結點的位移和旋轉決 定，對此新元素而言位移線假設沿著實體的部分所有邊緣，這樣的假設大幅簡化此元素的發 展，且從研究結果顯示，小位移的不相容不會影響結果的實用性。
2. 土壤部分的座標系統和位移場
實體元素具有八個結點，且每個結點均有三個自由度，圖6 為土壤元素的整體座標(
x
、 y 、z )和局部座標( r 、s
、 t )系統，整體座標和局部座標的關係定義如下：( )
8
1
i , , i
i
x N r s t x
=
=
∑
(20a)( )
三維度狀況下應變與位移關係如下式所示：
將式(22)與式(26)式(24)中可得到新的應變與位移關係：
{ }
ε= [ ] B
rst{ } u
(28)此處
[ ] B
為局部座標( r 、s
、 t )的函數。三維度等向性材料其線性與粘彈性之應力與應變關係如下：
rst rst
K B C B J drdsdt
ijk ijk ijk ijk
i j k
混合質量矩陣結合了一部分的諧合質量⎡⎣MC⎤⎦ 與一部分的集中質量⎡⎣ML⎤⎦，對於大部分之
ijk ijk ijk ijk
i j k
將式(38)與式(40)代入式(41)，可得：
{ }
R ( )m =[ ]
A ( )mT[ ]
K ( )m[ ]
A ( )m{ }
U ( )m (42)和
[ ]
( )mT[ ]
( )m[ ]
( )mKg A K A
⎡ ⎤ =
⎣ ⎦ (43)
使用同樣的原理，樁-土壤元素之質量矩陣可表示為：
[ ]
( )mT[ ]
( )m[ ]
( )mMg A M A
⎡ ⎤ =
⎣ ⎦ (44)
6. 轉換矩陣[A]的推導
式(40)之定義，轉換矩陣
[ ] A
乃連結樁-土壤元素的整體結點與其土壤元素結點位移之關係，位移向量
[ ] u
在局部土壤元素中定義為式(24)，整體位移向量[ ] U
在樁-土壤元素定義為：{ } U
T= { U
TBU
TT}
(45)此處
{ } {
UTB = Ux1 Uy1 Uz1θ
x1θ
y1θ
z1 Ux2 Uy2 Uz2 Ux3 Uy3 Uz3}
(46)和
{ } {
4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6}
T
T x y z x y z x y z x y z
U = U U U
θ θ θ
U U U U U U (47){ } U
B 和{ } U
T 分別為底部與頂部的結點位移向量。因為土壤元素中八個結點有四個結點為樁-土壤元素的整體結點，此四結點上轉換的自由 度可簡化為1，其餘轉換矩陣的項目取決於其他在樁上的兩個整體結點和土壤元素的四個輔 助結點間的位移關係，連接在這些結點之間的是樁體積部份的剛性頂部平面和底部平面，因 為上述平面垂直於樁且平面變形後須維持平面，因此輔助結點位移u 、x u 、y u 和樁軸上的整z
體結點位移U 、x U 、y U 之間的位移關係，乃建立在結點在樁體積部份有相同的頂部或底部z 平面，可表示為：
( ) ( )
xi xj yj i j zj i j
u =U +
θ
z −Z −θ
y −Y (48)( ) ( )
yi yj xj i j xj i j
u =U +
θ
x −X −θ
z −Z (49)( ) ( )
(48)、式(49)及式(50)和後面的式(52)與式(53)，譬如可選為打擊樁的情況。全部的轉換矩陣可寫為：
[ ]
[ ]
[ ]
102 105 420 140
11 13
0 0 0 0 0 0 0 0
102 105 420 140
1 1
420 140 102 105
13 11
0 0 0 0 0 0 0 0
420 140 102 105
L L