第五章 適應性降峰值載波模擬與分析
5.2 模擬分析
在我們做任何模擬前，我們必須先對我們的 OFDM 傳輸訊號 做超取樣的動作。若沒做超取樣，則我們無法準確的估出訊號的 PAPR 值，因為連續時間 OFDM 訊號以奈氏取樣頻率（Nyquist sampling rate）不一定取樣的到真正的峰值，也就表示實際的 PAPR 值會比所估出來的 PAPR 值大。因此，我們將訊號做超取樣後可 以估出較精確的 PAPR 值。
圖 5.1 不同超取樣倍率的比較
我們在圖 5.1 針對不同倍率的超取樣做模擬，所採取的 FFT 大小為 128，調變模式為 QPSK，並假設使用者可以利用全部的 子通道做資料傳輸。其中我們跑了 1 萬個 OFDM 符元觀察到取 4 倍的超取樣就可以產生一個非常接近實際 PAPR 值的估測了，往 後的模擬圖我們也將以 4 倍超取樣為基準。
我們現在針對不同 FFT 大小的 OFDM 訊號來比較其 PAPR 的差異，如圖 5.2 所顯示，同樣是假設使用者可以使用全部的子 通道做傳輸，而調變模式為 QPSK。
圖 5.2 不同 FFT 大小的比較
圖 5.2 中我們可以觀察到隨著所使用的子載波數愈多，愈容 易產生較大的 PAPR 訊號。
現在我們來比較使用不同調變模式對 PAPR 值有何影響，如 圖 5.3 所示，使用的 FFT 大小為 512。圖中可以觀察到除了 BPSK 的訊號可以有稍低的 PAPR 外，其餘三種調變模式其實差異不 大。與調變模式比起來，所使用的載波數多寡對訊號 PAPR 值的 影響是比較明顯的。
圖 5.3 不同調變模式的比較
我們再從圖 5.4 中可以觀察到 QPSK、16QAM、64QAM 的 調變訊號之峰值功率與平均功率的比值是差不多的。而所統計出 的 QPSK 平均 PAPR 為 7.7383 dB，16QAM 平均 PAPR 為 7.7295 dB，64QAM 平均 PAPR 為 7.7349 dB。
圖 5.4 QPSK、16QAM、64QAM 調變訊號峰值與平均功率比較
再來我們來比較使用者針對不同子通道的使用量對 PAPR 值 的影響，如圖 5.5 所示。基於計算上的方便，我們選用 128-FFT 的系統，比較使用 1 個子通道與全部子通道來傳輸的 PAPR 值差 異。
圖 5.5 子通道使用數量的比較
圖中可以看出使用愈多子通道來傳輸所產生的訊號 PAPR 值 愈大。而用戶所能使用哪些子通道傳輸是由基地台分配的。
現在我們將適應性降峰值載波加入 OFDM 符元中，觀察訊號 PAPR 的變化，考慮 128-FFT 的系統，使用者只使用一個子通道 做資料傳輸，比較沒有 PRC 的訊號 PAPR 與加了 1 個和 2 個 PRCs 的訊號 PAPR 之差別，如圖 5.6 所示。明顯看出加入 PRCs 後的訊 號 PAPR 可以被有效的降低。
圖 5.6 原 PAPR 與加入 PRCs 之 PAPR 比較
現在我們考慮使用者可以使用多個子通道的情況，PRCs 的 位置可以分為兩種配置方法：第一種方式是從個別的子通道中來 選取，選擇子通道內通道狀況最差的幾根作為 PRC；第二種方式 是從所有子通道內的子載波中選取通道狀況最差的幾根作為 PRCs。
圖 5.7 中，我們在 128-FFT 系統使用 2 個子通道做傳輸，分 別比較兩種不同 PRC 配置方法對訊號 PAPR 的影響。可以從圖中 看出兩種方法的效果差異不大，也就表示 PRCs 的位置並不會影 響降低訊號 PAPR 值的成效。因此，我們選擇從所有子載波中通 道狀況最差的幾根做 PRCs，使傳輸率可以達到最好效果。
圖 5.7 不同 PRC 配置方法比較圖
先前我們提到若使用愈多 PRCs，可使訊號 PAPR 值降愈多，
但相對也壓縮了可以傳送資料的子載波數量，我們現在針對不同 FFT 大小的系統來探討 PRCs 數量對訊號 PAPR 值的影響，如圖 5.8、圖 5.9、圖 5.10 與圖 5.11 所示。
圖 5.8 128-FFT 系統下不同 PRCs 使用數比較圖
圖 5.9 512-FFT 系統下不同 PRCs 使用數比較圖
圖 5.10 1024-FFT 系統下不同 PRCs 使用數比較圖
圖 5.11 2048-FFT 系統下不同 PRCs 使用數比較圖
由前面的圖中可以發現第ㄧ根 PRC 可以使訊號 PAPR 值降最 多，而隨著 PRCs 個數的增加，所能降低訊號 PAPR 值的幅度卻 會愈來愈小。換言之，所使用 PRCs 的數量愈多並無法產生降低 訊號 PAPR 對等的效果，還會造成資料傳輸率的損失。因此，我 們必須同時考慮降低訊號 PAPR 的效能與資料傳輸率來找出一個 最佳的 PRCs 使用個數。而從圖中我們發現到使用第三根與第四 根 PRC 時，降低訊號 PAPR 值的效果差異度已經不會很大了，第 四根 PRC 平均也只比使用三根 PRCs 後的訊號 PAPR 值降低 1%
的幅度而已。所以為了兼顧降低系統 PAPR 效能與訊號傳輸率，
依系統需求不同可選擇使用二到三根 PRCs 使 PAPR 值降低。
第四章中我們討論過訊號 PAPR 的降低主要取決於 PRCs 上 參數值的決定方式，不同決定參數的演算法會產生出不一樣降低 訊號 PAPR 值的效果。在我們的演算法中，每根 PRC 的參數值主 要是搜尋出最佳的
β
值，β
是一個小於 1 的比例值，而我們所搜 尋的方式是以遞迴式的先從β
等於 1/10 開始，不合則減小β
到 1/20、1/30、1/40 等等，最小到β
等於 1/200。下面的模擬圖我們 將針對β
值做探討。圖 5.12 128-FFTβ值統計圖
圖 5.13 128-FFTβ累積分布圖
圖 5.14 512-FFTβ值統計圖
圖 5.15 512-FFTβ累積分布圖
圖 5.16 1024-FFTβ值統計圖
圖 5.17 1024-FFTβ累積分布圖
圖 5.18 2048-FFTβ值統計圖
圖 5.19 2048-FFTβ累積分布圖
我們針對不同 FFT 大小來探討對β值的影響，其中β統計圖 所顯示的是我們跑了 1 萬個加入 1 個 PRC 的 OFDM 符元後，每 個符元所選用之β值的統計圖。而β累積分布圖是β遞迴次數與 有效降低系統 PAPR 的機率分布圖。觀察任一個 FFT 大小的系統 中可以發現當β為 1/10 時，通常有最高的機率使系統 PAPR 值降 低，而當β遞迴到 1/20 時就有超過一半的機率可以使 OFDM 訊 號的 PAPR 值下降。若比較四個不同 FFT 大小對β值的影響，我 們發現到對同一個β值而言，點數比較少的 FFT 系統可以有較高 的機率使訊號 PAPR 降下，而點數愈多的 FFT 系統能降低訊號 PAPR 的機率愈低，這是因為 FFT 點數愈多的系統會使新峰值大 於舊峰值的機會增加所造成的。因此，若想要使降低訊號 PAPR 值的機率相同，則點數愈多的 FFT 系統β值需遞迴愈多次。舉個 例子來說，在圖 5.13 中 128-FFT 系統只需遞迴到β為 1/70 就可 以有 90%的機率使訊號 PAPR 降低，在圖 5.15 中 512-FFT 卻需遞 迴到β為 1/90，而在圖 5.17 中 1024-FFT 需遞迴到β為 1/100，在 圖 5.19 中 2048-FFT 需遞迴到β為 1/110。
現在我們來比較三種不同演算法對降低訊號 PAPR 成效上的 差異，第一種就是我們所提出的在適應性 PRCs 上應用可調式β 值的方法，第二種是在固定 PRCs 上使用固定β值為 1/10 的方 法，第三種是在固定 PRCs 上產生 64 種不同相位選擇的方法，而 我們產生 64 種相位選擇的方式主要是參考[29]在 PRCs 的時域訊 號產生 64 個不同延遲的訊號，而從中選擇最佳的相位使訊號 PAPR 值可以最低。不同 FFT 點數的系統如下面圖所示。
圖 5.20 128-FFT 系統 PAPR 成效比較
圖 5.21 512-FFT 系統成效比較
圖 5.22 1024-FFT 系統成效比較
圖 5.23 2048-FFT 系統成效比較
由以上圖中的觀察，我們可以發現到利用可調式β值方法與 利用固定式β值方法明顯都可以比產生 64 種不同相位選擇的方 法降更多的 PAPR 值。這是因為前面兩種方法可以直接針對峰值 所要降的比例β來找出最佳的振幅與相位，而第三種方法卻只能 在有限的相位選擇內找出可降最多 PAPR 值的相位，相對能降的 幅度也就比較小。
而由圖中我們也可以觀察到雖然可調式β值的方法與固定 式β值的方法比較可使訊號 PAPR 值降低，但幅度不會很大，而 這中間的進步主要就是由調整β值所另外提供降低訊號 PAPR 的 表現。其幅度不會很大的原因是我們將β值調小則降低 PAPR 的 效果就會變弱，但相對的β調小卻提高我們降低訊號 PAPR 的機 率。
我們針對不同 FFT 點數的系統在β等於 1/10、1/20、1/30 做 了一個測試，在 3 萬個 OFDM 符元中加入 1 個 PRC，統計出不 同β值可以降低訊號 PAPR 的平均幅度，此平均幅度只考慮β值 有效降低訊號 PAPR 的狀況而不考慮無法降低的狀況，如下表所 示。而的確隨著所使用的β值愈小降低 PAPR 的效能愈差。
N-FFT 128 512 1024 2048 β=1/10 0.9491 dB 0.9004 dB 0.8752 dB 0.8352 dB
β=1/20 0.4334 dB 0.4265 dB 0.4194 dB 0.4025 dB β=1/30 0.2879 dB 0.2821 dB 0.2807 dB 0.2760 dB 表 5.6 加入 1 個 PRC 下不同β值在各系統之平均 PAPR 降幅比較
而從表中也可以觀察到隨著 FFT 點數的增加，同一個β值所 能降低 PAPR 的幅度也會變小。我們針對 128-FFT 系統另做一個 測試，我們總共跑了 1 萬個 OFDM 符元，其中 56%的符元在β 等於 1/10 時就可以成功降下訊號 PAPR 值，而其餘 44%的符元需 遞迴到β等於 1/20、1/30、1/40…等等。在β等於 1/10 的 PAPR 平均降幅為 0.9374 dB，而在等於其餘更小值時的 PAPR 平均降幅 為 0.2698 dB。固定式β與可調式β的主要差異就是這些其餘β所 產生的降幅。
我們另針對 3 萬個 OFDM 符元並統計出使用固定式β與可調 式β的平均降幅，同樣在 128-FFT 系統下如表 5.7 所示。
原訊號平均 PAPR 7.7335 dB
固定式β之平均 PAPR 7.2167 dB 降幅：0.5168 dB 可調式β之平均 PAPR 7.0860 dB 降幅：0.6475 dB 表 5.7 使用 1 個 PRC 下固定式β與可調式β之平均降幅比較
從表 5.7 中也可以看出使用可調式β之方法的確可以有比固 定式β之方法更多的訊號 PAPR 降幅。
當加入第 2 個或第 n 個 PRC 時，其β值所能降低訊號 PAPR 的平均幅度就不能參考表 5.6、表 5.7 了，因為所能降低的幅度會 隨著 PAPR 值的大小而影響表現，PAPR 欲小所能降低的幅度也 會相對變小。因此，第 2 個或第 n 個 PRC 所能降的幅度平均上不 會比第 1 個 PRC 多，只會愈降愈少。
我們將適應性 PRCs 的方法與 PTS 的方法做比較，如圖 5.24 所顯示的。從中我們可以發現到當我們加入 4 個 PRCs 就可以與 PTS 方法有差不多的成效了。其中 PTS 方法是將訊號分割成 4 個 子區塊，而所使用的分割方法為相鄰分割（adjacent partition）。
每個子區塊的相位權重是從
{ ± ± 1, j }
中所選出來的。圖 5.24 所提方法與 PTS 效能比較
圖 5.25 所提方法與 SLM 效能比較
而我們一樣將適應性 PRCs 的方法與 SLM 的方法做比較，如 圖 5.25 所示。由圖中也可以發現到當加入 4 個 PRCs 後，與 SLM 方法的成效差異也不會差很大。其中 SLM 方法所使用的相位序
而我們一樣將適應性 PRCs 的方法與 SLM 的方法做比較，如 圖 5.25 所示。由圖中也可以發現到當加入 4 個 PRCs 後，與 SLM 方法的成效差異也不會差很大。其中 SLM 方法所使用的相位序