由定理 4 得知
𝜋𝑖= 𝑝𝑖= [(𝑖 + 1)𝜇 𝜆 ] 𝑝𝑖+1
第三章 模擬及結果分析
由於範例中逆向過程已知，故可以證明出等式關係的結果。但是在其他 的隊伍系統中，其逆向過程目前未知，故我們假設系統為平穩狀態，顧客也 都已進入了平穩狀態，在此假設下初步估計等式關係式。隨後利用此初步估 計值，來觀察在不同的系統中，其估計結果會產生何種誤差。
3-1. 初步估計值
在此，我們要初步估計以下機率的值
𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑐𝑜𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠
我們假設系統處於平穩狀態，正在服務的人同樣進入平穩狀態，因 此剩餘時間的機率密度函數是𝐺̅(𝑡) 𝐸(𝑆)⁄ [7]，所以上式機率可被估計
11
12
3-2. 模擬結果
在此本文模擬三種排隊模型，𝑀/𝐺/𝑘、𝐺/𝑀/𝑘和𝐺/𝐺/𝑘，在此三種 系統中，逆向過程目前為止還未能找出，故可以利用初步估計值，觀察 當零散的顧客還未進入平穩狀態時，其估計結果會是高估還是低估。每 次模擬次數為 10,000,000 次，總服務人數𝑘 = 5。
所選的分配可能為 IFR(increasing failure rate)或 DFR(decreasing failure rate)，如果顧客到達分配為 IFR，則表示時間越久，顧客進入系 統的機率越高，如果顧客到達分配為 DFR，則表示時間越久，顧客進 入系統的機率越低；如果服務時間分配為 IFR，則表示時間越久，顧客 服務完成離開系統的機率就越高，如果服務時間分配為 DFR，則表示 時間越久，顧客服務完成離開系統的機率就越低。
排隊理論中，顧客進來的平均頻率一定要小於服務的平均頻率(遍 歷性)，否則的話，整個系統會不收斂，因為服務未結束則一直會有人 進入，到最後整個系統是發散的，所以顧客進來的平均時間一定要大於 服務的平均時間，也就是交通密度(traffic intensity)𝜌必須小於 1。
為了清楚顯示估計值的誤差會是高估或低估，我們定義誤差百分比 為初步估計值和模擬真實資料的誤差比率，也就是
誤差百分比= (初步估計值 − 真實值) 真實值⁄
模擬次數不同，其模擬的數值精確度也不同，由於等式關係為顧客 平均值和時間平均值的分式，當精確值不高的時候，分式的誤差就會越 大，故要求模擬次數需達到一千萬次。在三種排隊模型中，各種分配都 有模擬過，在此只挑出其中幾個代表性的分配，無論所選的分配為何，
其估計的結果都是相同的。
13 𝑴/𝑮/𝒌
顧客進來時間服從指數分配𝐸𝑥𝑝(𝜆)，期望值為1/𝜆，服務時間服從 任意分配𝐺，期望值為1 𝜇⁄ ，則交通密度𝜌 = 𝜆/𝑘𝜇。
< 個案 1 >
𝜆 = 2 3⁄ ，服務時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.9,6)，𝜇 = 0.1584007，
則𝜌 = 0.841747。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.009840332 0.0093157 0.2260496 0.2376 0.05110159 1 0.04121087 0.0390595 0.4524543 0.4752 0.05027673 2 0.08632806 0.0816412 0.6795374 0.7128 0.04895363 3 0.1201423 0.1136212 0.9128055 0.9504 0.0411905 4 0.1244747 0.1178745 1.166803 1.188 0.0181713 5 0.1010235 0.0956686 1.13331 1.188 0.04826192 6 0.08441523 0.0799141 1.12172 1.188 0.05909249 7 0.07124245 0.0674711 1.117197 1.188 0.06338075 8 0.06039321 0.0572443 1.113087 1.188 0.06730692 9 0.05142841 0.0487636 1.109169 1.188 0.0710772 10 0.04396409 0.0416247 1.106069 1.188 0.07407921 11 0.03763301 0.035588 1.106494 1.188 0.07366599 12 0.03216284 0.030496 1.108832 1.188 0.07140261 13 0.02750281 0.0260089 1.108407 1.188 0.07181341 14 0.02346512 0.0221348 1.105473 1.188 0.07465831 15 0.02002293 0.0189883 1.105039 1.188 0.07508022 16 0.01718338 0.0162728 1.104259 1.188 0.07583987 17 0.0147364 0.013928 1.098576 1.188 0.0814053 18 0.01267824 0.0120212 1.104821 1.188 0.07529179 19 0.01088067 0.0102814 1.108932 1.188 0.07130572
14
5 10 15 20
0.01.02.03.0
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0.0 0.4 0.8
0.6600.6660.672
Interarrival Hazard rate
x
value
0 5 10 15
0.300.40
Service Hazard rate
x
value
15
< 個案 2 >
𝜆 = 2 3⁄ ，服務時間服從分配𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(8,2)，𝜇 = 0.25，則𝜌 = 0.53。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.06595811 0.0659489 0.3723401 0.375 0.007143731 1 0.1771201 0.1769925 0.7421523 0.75 0.01057423 2 0.2384854 0.2384565 1.104661 1.125 0.01841234 3 0.215864 0.2159229 1.451989 1.5 0.03306552 4 0.1487083 0.1487412 1.773207 1.875 0.0574061 5 0.08388259 0.0838729 2.058367 1.875 -0.08908364 6 0.0407473 0.0406966 2.29556 1.875 -0.1832059 7 0.0177284 0.0177735 2.482193 1.875 -0.2446195 8 0.007160403 0.0071967 2.624747 1.875 -0.2856454 9 0.002741864 0.002789 2.711345 1.875 -0.3084613 10 0.001028641 0.0010355 2.79847 1.875 -0.3299911 11 0.000370024 0.0003707 2.828423 1.875 -0.3370865 12 0.000131062 0.0001287 2.787007 1.875 -0.3272353 13 4.62E-05 4.41E-05 2.61047 1.875 -0.2817386 14 1.69E-05 1.96E-05 2.800337 1.875 -0.3304378 15 7.00E-06 8.10E-06 2.914264 1.875 -0.3566129 16 2.78E-06 1.80E-06 3.080019 1.875 -0.3912375 17 5.84E-07 5.00E-07 2.554478 1.875 -0.265995 18 1.96E-07 2.00E-07 1.491745 1.875 0.256917 19 1.34E-07 1.00E-07 30.6895 1.875 -0.9389042
16
5 10 15 20
01234
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
●
●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0.0 0.4 0.8
0.6600.6660.672
Interarrival Hazard rate
x
value
0 5 10 15
0.00.51.01.5
Service Hazard rate
x
value
17
< 個案 3 >
𝜆 = 1，服務時間服從常態分配𝑁(2,1) ，𝜇 = 0.5，則𝜌 = 0.4。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.133634 0.1325466 0.4946565 0.5 0.01080245 1 0.2679569 0.2668926 0.9914243 1 0.008649853 2 0.2692012 0.2689901 1.491252 1.5 0.005866484 3 0.1803788 0.1813793 1.981439 2 0.009367674 4 0.0915392 0.0922476 2.474199 2.5 0.01042801 5 0.03728382 0.0377794 2.776891 2.5 -0.09971263 6 0.01360493 0.0137496 3.053893 2.5 -0.1813728 7 0.004502319 0.0045182 3.312819 2.5 -0.2453557 8 0.001363854 0.0013649 3.485407 2.5 -0.2827237 9 0.000391604 0.0003823 3.679929 2.5 -0.3206391 10 0.000103888 0.000108 3.682697 2.5 -0.3211497 11 2.93E-05 2.90E-05 3.973419 2.5 -0.3708189 12 7.30E-06 8.80E-06 4.175747 2.5 -0.4013048 13 2.11E-06 2.40E-06 4.395256 2.5 -0.4312049 14 5.46E-07 6.00E-07 2.625117 2.5 -0.04766142 15 2.29E-07 3.00E-07 9.787012 2.5 -0.7445594 16 3.07E-08 2.00E-07 6.049785 2.5 -0.5867622 17 3.31E-08 1.00E-07 4.079633 2.5 -0.3871998
18
5 10 15
0246810
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ●
●
● ● ●
5 10 15
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0.0 0.4 0.8
0.9901.0001.010
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6 8
0123456
Service Hazard rate
x
value
19
< 個案 4 >
𝜆 = 5，服務時間服從分配𝐵𝑒𝑡𝑎(2,3) ，𝜇 = 2.5，則𝜌 = 0.4。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.1337508 0.1338514 0.499138 0.5 0.001726935 1 0.2681651 0.2681723 0.9970131 1 0.002995803 2 0.2689757 0.2687152 1.49067 1.5 0.006258739
3 0.1802647 0.1804259 1.975517 2 0.01239305
4 0.09133096 0.0913596 2.432837 2.5 0.02760691 5 0.0375527 0.0375285 2.76586 2.5 -0.09612188 6 0.01356848 0.0135919 3.029401 2.5 -0.1747544 7 0.004486662 0.0044636 3.269444 2.5 -0.2353439 8 0.001365248 0.0013631 3.423466 2.5 -0.269746 9 0.000398164 0.0003868 3.663336 2.5 -0.3175619 10 0.000105587 0.0001063 4.003001 2.5 -0.3754685 11 2.66E-05 2.63E-05 3.895778 2.5 -0.3582796 12 6.75E-06 5.80E-06 3.469509 2.5 -0.279437 13 1.67E-06 1.70E-06 3.313203 2.5 -0.2454432 14 5.13E-07 8.00E-07 3.281432 2.5 -0.2381376 15 2.44E-07 2.00E-07 2.505826 2.5 -0.00232488 16 7.98E-08 4.00E-07 3.977306 2.5 -0.3714339 17 1.01E-07 2.00E-07 3.767671 2.5 -0.3364601
20
5 10 15
012345
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ●
5 10 15
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0.00 0.10 0.20
4.965.005.04
Interarrival Hazard rate
x
value
0.0 0.4 0.8
0100200300
Service Hazard rate
x
value
21 𝑮/𝑴/𝒌
顧客進來時間服從任意分配𝐺，期望值為1 λ⁄ ，服務時間服從指數 分配𝐸𝑥𝑝(𝜇)，期望值為1/𝜇
。
< 個案 1 >
顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.5, 2)，𝜆 = 0.25，μ = 0.1，
則𝜌 = 0.5。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.2132132 0.067059 0.3984163 0.4 0.003974982 1 0.1683139 0.117474 0.7974834 0.8 0.003155622 2 0.1473059 0.1428073 1.193974 1.2 0.005046835 3 0.1196067 0.1424614 1.593433 1.6 0.004121041 4 0.08940531 0.1233906 1.99404 2 0.002988889 5 0.0618797 0.0947479 1.991946 2 0.004043237 6 0.04756549 0.0726851 1.993742 2 0.003138741 7 0.03645662 0.055599 1.992869 2 0.003578224 8 0.02789897 0.0426642 1.991216 2 0.004411461 9 0.02142621 0.0327331 1.986309 2 0.00689288 10 0.01647936 0.0251659 1.991972 2 0.004030409
11 1.26E-02 1.93E-02 1.997113 2 0.001445532
12 9.68E-03 1.48E-02 1.996088 2 0.001959634
13 7.42E-03 1.14E-02 1.996168 2 0.001919448
14 5.69E-03 8.75E-03 1.983908 2 0.008111399
15 4.41E-03 6.73E-03 1.998887 2 0.000557046
16 3.36E-03 5.16E-03 2.00274 2 -0.00136827
17 2.58E-03 3.95E-03 1.996915 2 0.001544941
18 1.98E-03 3.03E-03 1.982735 2 0.008707698
19 1.53E-03 2.31E-03 1.967844 2 0.01634054
22
5 10 15 20
01234
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0 2 4 6 8 10
0.20.61.0
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6 8 10
0.09900.10000.1010
Service Hazard rate
x
value
23
< 個案 2 >
顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(2, 2)，𝜆 = 0.564，𝜇 = 1 7⁄ ， 則𝜌 = 0.79。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.004660409 0.009055 0.2543157 0.253208 -0.00435696 1 0.03560535 0.0547079 0.5057021 0.506415 0.001410499 2 0.1081821 0.1381523 0.7578078 0.759623 0.002395485 3 0.1823052 0.1989987 1.012131 1.012831 0.000690993 4 0.1966135 0.1879582 1.264268 1.266038 0.001400735 5 0.1486696 0.1288898 1.263705 1.266038 0.00184667 6 0.1019936 0.0885992 1.263897 1.266038 0.001694566 7 0.07010003 0.0608137 1.264836 1.266038 0.000951024 8 0.04808032 0.0416608 1.265662 1.266038 0.000297124 9 0.0329162 0.0284826 1.263986 1.266038 0.001623881 10 0.02253395 0.0195625 1.26377 1.266038 0.001794605 11 1.55E-02 1.35E-02 1.26864 1.266038 -0.00205097 12 1.06E-02 9.19E-03 1.268525 1.266038 -0.00196024 13 7.25E-03 6.29E-03 1.255539 1.266038 0.008362517 14 5.01E-03 4.36E-03 1.260301 1.266038 0.004552091 15 3.46E-03 3.03E-03 1.253078 1.266038 0.01034269 16 2.42E-03 2.10E-03 1.272847 1.266038 -0.00534928 17 1.65E-03 1.42E-03 1.268033 1.266038 -0.00157262 18 1.12E-03 9.83E-04 1.252612 1.266038 0.01071887 19 7.85E-04 6.95E-04 1.279208 1.266038 -0.01029492
24
5 10 15 20
0.01.02.03.0
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0 2 4 6 8 10
012345
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6
0.14150.1430
Service Hazard rate
x
value
25 𝑮/𝑮/𝒌
顧客進來時間服從任意分配𝐺，期望值為1 λ⁄ ，服務時間服從任意 分配𝐺，期望值為
1 𝜇 ⁄ 。
< 個案 1 >
顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.4, 2)，𝜆 = 0.15，服務時間 服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.3, 1.5)，𝜇 = 0.072，則𝜌 = 0.418。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.1869117 0.0702536 0.2783378 0.478497 0.7191232 1 0.2524041 0.1566771 0.7219103 0.956994 0.3256411 2 0.2170313 0.1982169 1.345692 1.435491 0.06673097 3 0.1472974 0.1838072 2.254546 1.913988 -0.151054 4 0.08152737 0.1347581 6.263774 2.392485 -0.6180442 5 0.02151388 0.058714 3.597489 2.392485 -0.334957 6 0.01632083 0.0365415 2.830342 2.392485 -0.1547012 7 0.01291063 0.0258553 2.454065 2.392485 -0.02509329 8 0.0105357 0.0195708 2.227203 2.392485 0.07421024 9 0.008787163 0.0154081 2.078057 2.392485 0.1513086 10 0.007414667 0.0124525 1.963324 2.392485 0.2185889 11 6.34E-03 1.03E-02 1.887484 2.392485 0.2675523 12 5.44E-03 8.65E-03 1.837637 2.392485 0.3019355 13 4.70E-03 7.31E-03 1.780994 2.392485 0.3433427 14 4.11E-03 6.31E-03 1.715617 2.392485 0.3945331 15 3.68E-03 5.46E-03 1.689408 2.392485 0.4161678 16 3.23E-03 4.77E-03 1.654671 2.392485 0.445898 17 2.89E-03 4.20E-03 1.616716 2.392485 0.4798423 18 2.60E-03 3.73E-03 1.615488 2.392485 0.4809673 19 2.31E-03 3.27E-03 1.596381 2.392485 0.4986925
26
5 10 15 20
0246810
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0 2 4 6 8 10
0.20.61.0
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6 8 10
0.20.61.0
Service Hazard rate
x
value
27
< 個案 2 >
顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.5, 2)，𝜆 = 0.25，服務時間 服從卡方分配 𝜒2(11) ，𝜇 = 1 11⁄ ，則𝜌 = 0.55。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.2296135 0.064248 0.5242086 0.363636 -0.3063136 1 0.1225619 0.0943068 0.841812 0.727273 -0.1360628 2 0.1120283 0.1106014 1.09984 1.090909 -0.00812045 3 0.1005613 0.114724 1.31468 1.454545 0.1063875 4 0.08726382 0.1091422 1.484488 1.818182 0.2247868 5 0.07352176 0.0976768 1.614074 1.818182 0.126455 6 0.06051569 0.0838599 1.717586 1.818182 0.05856816 7 0.04882428 0.0696222 1.803074 1.818182 0.008378844 8 0.03861305 0.0563551 1.861576 1.818182 -0.02331045 9 0.03027279 0.045007 1.909865 1.818182 -0.04800497 10 0.02356554 0.0353343 1.943294 1.818182 -0.0643816 11 1.82E-02 2.76E-02 1.969982 1.818182 -0.07705656 12 1.40E-02 2.14E-02 1.985331 1.818182 -0.08419204 13 1.08E-02 1.65E-02 2.003964 1.818182 -0.09270739 14 8.21E-03 1.26E-02 1.999716 1.818182 -0.09077993 15 6.30E-03 9.71E-03 2.003458 1.818182 -0.09247831 16 4.85E-03 7.47E-03 2.011573 1.818182 -0.09613916 17 3.71E-03 5.69E-03 2.010438 1.818182 -0.09562879 18 2.83E-03 4.35E-03 2.014903 1.818182 -0.09763312 19 2.16E-03 3.31E-03 2.002413 1.818182 -0.09200442
28
5 10 15 20
01234
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0 2 4 6 8 10
0.20.61.0
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6 8 10
0.000.10
Service Hazard rate
x
value
29
< 個案 3 >
顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(2, 3)，𝜆 = 0.376，服務時間服 從卡方分配 𝜒2(9)，𝜇 = 1 9⁄ ，則𝜌 = 0.677。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.002821631 0.0080079 0.1661216 0.295409 0.7782695 1 0.04820505 0.086596 0.4647413 0.590818 0.2712835 2 0.1863316 0.2439433 0.8188981 0.886227 0.08221882 3 0.2978921 0.3046322 1.195907 1.181636 -0.01193351 4 0.2547289 0.2130559 1.561574 1.477045 -0.05413084 5 0.1364366 0.0976499 1.873456 1.477045 -0.2115936 6 0.05212286 0.0334319 2.106611 1.477045 -0.2988525 7 0.01586999 0.0094714 2.245005 1.477045 -0.3420751 8 0.004218877 0.0024457 2.318906 1.477045 -0.3630423 9 0.001054678 0.0005916 2.455225 1.477045 -0.3984076 10 0.000240956 0.0001299 2.20614 1.477045 -0.3304844 11 5.89E-05 3.63E-05 2.465834 1.477045 -0.4009958 12 1.47E-05 6.60E-06 2.692039 1.477045 -0.4513285 13 2.45E-06 1.30E-06 2.475014 1.477045 -0.4032176 14 5.25E-07 1.00E-07 1.971548 1.477045 -0.2508197
30
2 4 6 8 10 12 14
01234
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
●
● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
2 4 6 8 10 12 14
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0 2 4 6 8 10
0.01.02.0
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6 8 10
0.000.100.20
Service Hazard rate
x
value
31
< 個案 4 >
顧客進來時間服從分配𝐵𝑒𝑡𝑎(4, 5)，𝜆 = 9 4⁄ ，服務時間服從卡方分 配 𝜒2(1.5)，𝜇 = 2 3⁄ ，則𝜌 = 0.675。
系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比
0 0.01118421 0.022774 0.312736 0.296296 -0.05256746 1 0.0728218 0.1134831 0.6132627 0.592593 -0.03370518 2 0.1850481 0.2292356 0.9028543 0.888889 -0.01546803 3 0.253901 0.2569853 1.190165 1.185185 -0.00418452 4 0.215924 0.1828049 1.509739 1.481481 -0.01871659 5 0.1210838 0.0884889 1.40483 1.481481 0.05456251 6 0.06298903 0.0473751 1.385816 1.481481 0.06903218 7 0.03418572 0.0260048 1.377896 1.481481 0.07517638 8 0.01887283 0.0144025 1.367662 1.481481 0.08322169 9 0.01053074 0.0080759 1.372243 1.481481 0.07960587 10 0.005885183 0.0045213 1.366135 1.481481 0.08443232 11 3.31E-03 2.53E-03 1.364216 1.481481 0.08595831 12 1.86E-03 1.45E-03 1.362519 1.481481 0.08731066 13 1.07E-03 8.15E-04 1.357432 1.481481 0.09138526 14 6.00E-04 4.61E-04 1.368279 1.481481 0.08273312 15 3.37E-04 2.59E-04 1.373852 1.481481 0.07834152 16 1.88E-04 1.45E-04 1.416641 1.481481 0.04577067 17 1.02E-04 7.54E-05 1.307351 1.481481 0.1331936 18 5.77E-05 5.00E-05 1.362684 1.481481 0.08717917 19 3.67E-05 2.82E-05 1.364614 1.481481 0.08564121
32
5 10 15 20
0.01.02.03.0
模擬值
人數
數值
模擬資料初步估計值
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
5 10 15 20
-1.00.01.0
誤差百分比
人數
百分比值
0.0 0.4 0.8
0200400
Interarrival Hazard rate
x
value
0 2 4 6 8 10
0.60.8
Service Hazard rate
x
value
33
3-3. 結果分析
根據以上在各種隊伍系統下的模擬結果，會觀察到一個現象，當排 隊模型為𝑀/𝐺/𝑘時，如果服務時間分配為 IFR，我們得到的估計值會低 估，為 DFR 時，我們得到的估計值會高估。在𝐺/𝑀/𝑘下，無論顧客到 達分配為 IFR 或 DFR，都可以得到相當準確的估計。而在𝐺/𝐺/𝑘下，
當服務時間分配為 IFR 時，我們得到的估計值會低估，為 DFR 時，我 們得到的估計值會高估，反而顧客到達時間分配的 hazard rate 較不影響 結果。
我們試著猜測為何會發生此現象。由於本文中初步估計值是定義在 顧客已經進入平穩狀態，但實際上並不是每個客人都進入了平穩狀態。
假設排隊模型是𝑀/𝐺/𝑘，服務時間分配為 DFR，當有顧客還未進入平 穩狀態，顧客一進入系統，馬上就服務完畢的機率較高，所以顧客進入 系統中，看到系統通常會比較不擁塞，換句話說，𝑖較高的時候，
𝑃(𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚)就會較低，則 𝑃(𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚)
𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖+1 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚) 的值就會降低，此時我們的初步估 計值就會高估，反之亦然。
而在𝐺/𝑀/𝑘排隊模型中，由於服務時間分配為指數分配，其 hazard rate 為一水平線，無論顧客進入系統多久的時間，離開系統的機率都是 一樣的，此時顧客就會進入平穩狀態，故我們的初步估計值結果是相當 的準確。
34