在本文所探討的排隊模型裡，我們假設一次只能進來一個顧客，一次只能出 去一名顧客。一個服務系統，進來的顧客依照更新過程的方式到達，而服務的時 間服從𝑖. 𝑖. 𝑑.任何的一般分配。顧客進入系統時，發現服務者是空閒的則進入服 務，否則加入排隊。在服務的過程中，我們假設沒有任何一個服務中途被打斷，
而且如果之前的服務沒有結束，新的服務不可能開始。服務的順序以先到者優先 服務。
令二相鄰顧客到達的時間區段的機率密度函數(p.d.f)為𝑓(𝑥)，其累積機率密 度函數(c.d.f)為𝐹(𝑥)，平均值為1 𝜆⁄ ；顧客進入系統的服務時間機率密度函數為 𝑔(𝑥)，其累積機率密度函數為𝐺(𝑥)，平均值為1 𝜇⁄ 。定義𝑋(𝑡)為𝑡時間點系統的人 數，在遍歷性(ergodicity)條件下可得到平穩狀態(steady-state)的機率為
𝑝𝑘 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑘)。
假設排隊系統在一段時間𝑇內進來了𝑁個顧客，我們定義一個隨機變數
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𝛱𝑘,𝑇 =𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑁
為此段時間𝑇內，顧客看系統人數的比例。
另外，我們定義一系列的隨機觀察者，以卜瓦松過程(發生率為𝑛𝜆)的方式進 入系統觀察，但不打擾系統，稱此類觀察者為𝑅𝑂(random observer)，定義
𝑃𝑘,𝑇,𝑛 = 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑇)
在我們假設的排隊模型裡，我們試著找出顧客平均極限分配和時間平均極限 分配之間的關係式。因為在任何顧客到達過程下，時間平均極限分配，和隨機觀 察者見到系統中人數平均極限分配會是相同的，也就是說，對所有的𝑛
𝑝𝑘 = 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑠𝑡𝑒𝑎𝑑𝑦 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒) = 𝑙𝑖𝑚
𝑇→∞𝑃𝑘,𝑇,𝑛 總整理之，我們得到
𝜋𝑘 = 𝑃(𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑠𝑡𝑒𝑎𝑑𝑦 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒) 𝑝𝑘= 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑠𝑡𝑒𝑎𝑑𝑦 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒) 因此𝜋𝑘是顧客平均極限分配，𝑝𝑘是時間平均極限分配。
換句話說
𝑙𝑖𝑚𝑇→∞𝑃𝑘,𝑇,𝑛 = 𝑝𝑘 , 𝑙𝑖𝑚𝑇→∞𝛱𝑘,𝑇 = 𝜋𝑘 𝑤. 𝑝. 1 (𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 1)
time
time
顧客到達的時間點
隨機觀察者到達的時間點
圖 2-1、系統狀態示意圖
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定理 1. [2]
排隊模型在平穩狀態時，當一位顧客離開系統時，回頭觀看系統中剩餘人數 的機率分配與𝜋𝑘相同。
下面的定理 2，稱之為 PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages)
定理 2. [8]
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no arrival no arrival
圖 2-2、系統狀態示意圖
𝐶 : customer
𝑅𝑂 : random observer
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𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠| 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠)𝑝𝑖+1
最後，讓 𝑛 → ∞，得到下面定理 3
定理 3.
𝜋𝑖與𝑝𝑖+1之間的等式關係為 𝜋𝑖 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠| 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖
+ 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠)𝑝𝑖+1
註記
1. 定理 3 中的式子，基本上牽扯到此排隊隨機過程的逆向過程。
2. 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚
𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 )是 𝑂(1 𝑛⁄ )，因為 RO 是以 𝑛𝜆的發生率到達。
定理 4.
所有以卜瓦松過程到達的排隊模型中，可根據 PASTA 定理，得到 𝑝𝑖 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚
𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 ) 𝑝𝑖+1
8 松𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，通常稱之為 Erlang loss model。𝑀/𝐺/𝑘/𝑘損失排隊模型意指，
系統中最大容納人數為𝑘人，當𝑘個服務系統都滿人的話，後來的顧客則不 會進入系統中，造成損失。服務時間遵從任意連續分配𝑔，其故障率(hazard rate)為 𝜆(𝑡) = 𝑔(𝑡)/𝐺̅(𝑡)。
Erlang Loss Formula
定義 𝐸[𝑆] = ∫ 𝐺̅(𝑥)𝑑𝑥 為平均服務時間，根據定理 2 系統中人數的極 此機率稱為 Erlang Loss Formula。
在此模型假設下，套入 Erlang loss formula (𝜆𝐸[𝑆])𝑖
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𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 )]
(𝜆𝐸[𝑆])𝑖+1 (𝑖 + 1)!
∑ (𝜆𝐸[𝑆])𝑖
𝑘 𝑖!
𝑖=0
系理
𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠
𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠) = 𝑖+1
𝜆𝐸(𝑆)
此系理是正確的，因為由[7]的內容中得知，逆向過程(reversed process) 與正向過程(forward process)具有相同分配。換句話說，逆向過程也形成一個 𝑀/𝐺/𝑘/𝑘排隊系統，只是逆向過程表示在系統的剩餘時間，與正向過程的 經過時間是不同的。因此，以上機率可視為正向過程的機率。
所以在𝑀/𝐺/𝑘/𝑘下，可經由 Erlang loss formula，得到顧客與時間極限 分配的函數關係
𝜋𝑖= 𝑝𝑖= [𝑖 + 1 𝜆𝐸(𝑆)] 𝑝𝑖+1
由於此函數為利用 Erlang loss formula 求得，我們再證明等式關係證明 結果同樣為此函數，即可驗證此定理為正確的。其過程將在接下來的初步估 計值中證明。
𝑴/𝑴/𝒌 排隊模型
由[7]得知，此排隊系統是馬可夫鏈的生死過程(birth and death process)，
因此是時間可逆的，故正向過程與逆向過程完全相同。
𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠
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𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑐𝑜𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 𝑝𝑟𝑐𝑜𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖
+ 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑛 (𝑖 + 1)𝜇 𝑛𝜆 + (𝑖 + 1)𝜇
=(𝑖 + 1)𝜇 𝜆 由定理 4 得知
𝜋𝑖= 𝑝𝑖= [(𝑖 + 1)𝜇 𝜆 ] 𝑝𝑖+1