國
立
交
通
大
學
統計學研究所
碩
士
論
文
隊伍系統顧客平均極限分配與時間
平均極限分配之間的關係
On The Relationship between Time-Average
Distribution and Customer-Average Distribution of
Queues
研 究 生：趙于翔
指導教授：彭南夫 教授
隊伍系統顧客平均極限分配與時間
平均極限分配之間的關係
On The Relationship between Time-Average Distribution and
Customer-Average Distribution of Queues
研 究 生：趙于翔
Student ： Yu-Sean Chao指導教授：彭南夫
Advisor ： Dr. Nan-Fu Peng國 立 交 通 大 學
統計學研究所
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Institute of Statistics
College of Science
National Chiao Tung University
in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master
in
Statistics
June 2013
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
中華民國一零二年六月
i
隊伍系統顧客平均極限分配與時間
平均極限分配之間的關係
研究生：趙于翔
指導教授：彭南夫 博士
中文摘要
國立交通大學統計學研究所
摘要
本文目的在於找出顧客平均極限分配和時間平均極限分配之間的關係式。我 們的方法利用到了隨機觀察者和逆向過程的觀念，證明出顧客平均極限分配與時 間平均極限分配之間的函數關係式，接著舉了𝑀/𝐺/𝑘/𝑘和𝑀/𝑀/𝑘二個排隊模型 的範例。本文最後推導出初步估計值，模擬了各種的排隊模型，來分析初步估計 值和模擬值的估計結果，並說明初步估計值何時會高估或是低估。 關鍵字：隨機觀察者；逆向過程ii
On The Relationship between Time-Average
Distribution and Customer-Average Distribution
of Queues
Student：Yu-Sean Chao
Chao Advisor：Dr. Nan-Fu Peng
Institute of Statistic
National Chiao Tung University
ABSTRACT
This paper is to find the relationship between customer-average distribution and
time-average distribution. Our method includes random observers and reversed
process, and in steady-state we prove the relationship, and then give two examples in
𝑀/𝐺/𝑘/𝑘 and 𝑀/𝑀/𝑘 models. Finally we derive the preliminary estimation to analyze when it will overestimate or underestimate in various queue models.
iii
誌 謝
轉眼間，六月已經到了，感覺好像才剛剛進入研究所一樣，現在即將要離開 學校了。在求學的過程中，我非常高興能就來交大統計研究所，在這邊認識了很 多很好的朋友，從他們那邊吸收了很多豐富的知識，也學到了各種做人處事的道 理。 在研究所的二年，我要謝謝各位老師，提供了這麼多的知識給我，在我遇到 問題時，可以適時的在旁邊幫助我。特別要感謝彭南夫老師，他讓我學會了在遇 到困難時，如何去分析解決問題，也在論文的指導中，不厭其煩的指出我的矛盾 和改善我的方法，如果要我重來一次，我還是會選擇彭南夫老師，謝謝您。還有 在所辦中的郭姐跟怡君姐，當我們在行政方面或是器材方便需要幫忙的時候，第 一個到的總是你們。這邊也要特別感謝我們口試委員們，在口試的過程中，點出 了我在研究過程中沒有思考過的問題點，也讓我學會了如何去更精確的描述一個 複雜的問題，並且以清楚的方式去敘述它。 再來，我這邊一定要提到我的同學們。你們是我一生中遇過最好的好朋友， 在學業上在生活中是我遇過最聰明的一群人，平常會互相嘴砲，遇到困難時會互 相幫忙，陪著我度過訓練精實的研究所生活，沒有你們，我不會有這麼愉快的回 憶。我不知道如何用文字來表達我的感受，但是我想說，謝謝你們。 最後，我想感謝我的爸媽，他們一路上都是挺著我，讓我自己做決定，並且 在想需要幫忙的時候在背後大力的幫助我。還有我的女朋友，妳毅然決然的陪著 我考研究所，陪我度過最難熬的考試時期，在這一路上也是我最不可或缺的人。 六月鳳凰花開，大家將要離別，希望之後可以互相聯絡，互相打氣，希望我 們之間的友情可以陪著我們到終點，謝謝大家。 趙于翔 謹誌於 交通大學統計學研究所 中華民國一百零二年六月iv
目 錄
中文摘要………i 英文摘要………...………ii 誌 謝………..…………iii 目 錄………..…………iv第一章
導論………1
1-1 研究動機………2 1-2 文獻探討………2 1-3 研究方法………3第二章
理論與範例………..………..……3
2-1 主要定理………3 2-2 例子驗證………8第三章
模擬及結果分析………..…10
3-1 初步估計值………..10 3-2 模擬結果………..…12 3-3 結果分析………..…33第四章
結論………..………34
參考文獻………..…351
第一章
導論
在日常生活中，到處可以見到有形或無形的排隊或擁擠現象，如旅客購票排 隊、交通系統、電話線路等等，進而發展出一套研究系統隨機聚散現象，和服務 系統工作過程的數學模型，稱為排隊理論。排隊理論一方面可以有效解決系統中 人員及設備配置的問題，為公司提供可靠的決策依據；令一方面通過系統優化， 找出客戶和公司之間的平衡點，既減少排隊的等候時間，又不浪費公司的財物人 力，從而使公司與客戶之間到雙贏。 排隊論的基本構想，是 1910 年丹麥電話工程師埃爾朗在解決自動電話設計 問題時開始形成的，當時稱為話務理論。他在熱力學統計平衡理論的啟發下，成 功地建立了電話統計平衡模型，並由此得到一組遞推狀態方程，從而導出著名的 埃爾朗電話損失率公式。自 20 世紀初以來，電話系統的設計一直在應用這個公 式。30 年代蘇聯數學家欣欽，把處於統計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流，瑞 典數學家巴爾姆又引入有限後效流等概念和定義。他們用數學方法深入地分析了 電話呼叫的本征特性，促進了排隊論的研究。50 年代初，美國數學家關於生死 過程的研究、英國數學家肯德爾提出嵌入式馬可夫鏈理論，以及對排隊模型的分 類方法，為排隊理論奠定了理論基礎。在這以後，塔卡奇等人又將組合方法引進 排隊理論，使它更能適應各種類型的排隊問題。70 年代以來，人們開始研究排 隊網路和複雜排隊問題的近似解等，成為研究現代排隊理論的新趨勢。 在本文中，我們將討論在排隊理論中一直未解的疑問：顧客平均極限分配與 時間平均極限分配，在各種顧客到達過程中，它們之間存在著何種確切的函數關 係。2
1-1. 研究動機
在排隊理論中，各式的排隊模型都已經有相當的發展。對於顧客平均極限分 配(customer-average distribution)和時間平均極限分配(time-average distribution)關 係的討論，也已有些許的研究。在我們的認知中，如果顧客到達過程為卜瓦松到 達，可得知顧客極限分配會與時間極限分配相同，但是在非卜瓦松到達的排隊模 型下，到目前為止，只有找到在某些條件下它們之間的不等式，或者存在著上界。 本文目的在於找出極限分配之間的關係式，因此將來可以利用此關係，來使得研 究領域方面會更加完善。
1-2. 文獻探討
在 1990[3]中，引進了 LBA(Lack of Bias Assumption)的概念，並且在 ASTA 下證明 LBA，且說明 LBA 包含了所有 ASTA 的模型及有名的 PASTA。最後提供 了 Arrival Theorem for product-form queueing networks 的新證明。
在 2008[5]中，作者進一步的延伸了 CFTP 演算法，利用此來模擬時間平均 極限分配，證明 PASTA 的性質，並且說明了當顧客到達的時間區段為 NBUE 或 NWUE 時，顧客平均極限分配會隨機的小於或大於時間平均極限分配，以此證 明顧客與時間極限分配之差的上限。在 1984[4]中也得出類似的結論。 2008[6]中進一步的探討顧客和時間極限分配的關係，試著說明顧客與時間 極限分配之間會有多接近，他們計算了二個分配之間的「距離」，並計算距離的 總變異，最後證明出了總變異的上界。 在本文，有別於以前的文獻，不再是說明顧客與時間極限分配之間的不等式， 或者是關係的上下界，而是找到了一個確實的函數關係。只是此函數與此隨機過 程的逆向過程有關，由於它的困難度，這是一個少被探討的研究領域，故本文只 表示分配之間的函數關係是如何，而無法求得此函數的特性。
3
1-3. 研究方法
在排隊模型中，先進來服務的人，會先被服務，且假設每一個服務過程，除 非服務結束，不然服務狀況不會在途中停掉。我們令旁邊有一系列的隨機觀察者， 以卜瓦松過程的方式進入系統觀察，而不打擾系統，此觀察者觀察系統中剩餘的 人數(不包含自己)。且在證明過程中，會用到逆向過程(reversed process)的性質， 逆向過程意指以時光倒流的方式來觀察系統，例如從正向來看有一顧客離開系統， 逆向則是一個顧客進入了系統中。 我們的方法利用到逆向過程與隨機觀察者，從顧客平均出發，進而導出顧客 平均極限分配與時間平均極限分配之間的函數關係。第二章
理論與範例
2-1. 主要定理
在本文所探討的排隊模型裡，我們假設一次只能進來一個顧客，一次只能出 去一名顧客。一個服務系統，進來的顧客依照更新過程的方式到達，而服務的時 間服從𝑖. 𝑖. 𝑑.任何的一般分配。顧客進入系統時，發現服務者是空閒的則進入服 務，否則加入排隊。在服務的過程中，我們假設沒有任何一個服務中途被打斷， 而且如果之前的服務沒有結束，新的服務不可能開始。服務的順序以先到者優先 服務。 令二相鄰顧客到達的時間區段的機率密度函數(p.d.f)為𝑓(𝑥)，其累積機率密 度函數(c.d.f)為𝐹(𝑥)，平均值為1 𝜆⁄ ；顧客進入系統的服務時間機率密度函數為 𝑔(𝑥)，其累積機率密度函數為𝐺(𝑥)，平均值為1 𝜇⁄ 。定義𝑋(𝑡)為𝑡時間點系統的人 數，在遍歷性(ergodicity)條件下可得到平穩狀態(steady-state)的機率為 𝑝𝑘 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑘)。 假設排隊系統在一段時間𝑇內進來了𝑁個顧客，我們定義一個隨機變數4 𝛱𝑘,𝑇 =𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑁 為此段時間𝑇內，顧客看系統人數的比例。 另外，我們定義一系列的隨機觀察者，以卜瓦松過程(發生率為𝑛𝜆)的方式進 入系統觀察，但不打擾系統，稱此類觀察者為𝑅𝑂(random observer)，定義 𝑃𝑘,𝑇,𝑛 = 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑇) 在我們假設的排隊模型裡，我們試著找出顧客平均極限分配和時間平均極限 分配之間的關係式。因為在任何顧客到達過程下，時間平均極限分配，和隨機觀 察者見到系統中人數平均極限分配會是相同的，也就是說，對所有的𝑛 𝑝𝑘 = 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑠𝑡𝑒𝑎𝑑𝑦 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒) = 𝑙𝑖𝑚 𝑇→∞𝑃𝑘,𝑇,𝑛 總整理之，我們得到 𝜋𝑘 = 𝑃(𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑠𝑡𝑒𝑎𝑑𝑦 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒) 𝑝𝑘= 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑘 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑠𝑡𝑒𝑎𝑑𝑦 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒) 因此𝜋𝑘是顧客平均極限分配，𝑝𝑘是時間平均極限分配。 換句話說 𝑙𝑖𝑚𝑇→∞𝑃𝑘,𝑇,𝑛 = 𝑝𝑘 , 𝑙𝑖𝑚𝑇→∞𝛱𝑘,𝑇 = 𝜋𝑘 𝑤. 𝑝. 1 (𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 1) time time 顧客到達的時間點 隨機觀察者到達的時間點 圖 2-1、系統狀態示意圖
5
定理 1. [2]
排隊模型在平穩狀態時，當一位顧客離開系統時，回頭觀看系統中剩餘人數 的機率分配與𝜋𝑘相同。
下面的定理 2，稱之為 PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages)
定理 2. [8]
在排隊理論中，當顧客到達過程為卜瓦松到達時，則顧客平均極限分配 與時間平均極限分配相同。 現在我們可以開始探討本文最主要的結果 𝛱𝑖,𝑇 = 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑁 =𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎𝑛𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑁 +𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎 𝑅𝑂 𝑁 =𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎𝑛𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 ×𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑁 + ∑𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅𝑂′𝑠 𝑠𝑒𝑒 𝑗 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑑 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑜𝑢𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅𝑂′𝑠 𝑠𝑒𝑒 𝑗 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑗 ×𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅𝑂′𝑠 𝑠𝑒𝑒 𝑗 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑓 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑖𝑛 (0, 𝑇] × 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑓 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑖𝑛 (0, 𝑇] 𝑁 =𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎𝑛𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 ×𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑛𝑔 𝑁 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑁6 +𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅𝑂′𝑠 𝑠𝑒𝑒 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑑 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑜𝑢𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅𝑂′𝑠 𝑠𝑒𝑒 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 ×𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅𝑂′𝑠 𝑠𝑒𝑒 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑓 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑖𝑛 (0, 𝑇] × 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑓 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑖𝑛 (0, 𝑇] 𝑁 由於隨機觀察者是以非常密集的方式到達系統觀察，則觀察者到達系統 之前不會有顧客離去，故前一位顧客看到系統中有𝑖個人，下一個到達系統 的隨機觀察者會看到系統中有𝑖 + 1人，所以上式最後一個等號𝑗會等於𝑖 + 1。 我們將上述式子左右各取極限(𝑇 → ∞)，則𝑁 → ∞ 𝑤. 𝑝. 1 。左式𝛱𝑖,𝑇會 趨近於𝜋𝑖 𝑤. 𝑝. 1；右式第一項會等於𝑂(1 𝑛⁄ ) 𝑤. 𝑝. 1，因為隨機觀察者(𝑅𝑂)以 𝑛𝜆的發生率到達；第二項趨近於𝜋𝑖 𝑤. 𝑝. 1；第三項趨近於 𝑃 (𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑜𝑢𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑙 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑒𝑖𝑛𝑔 𝑖 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚) = 𝑃 (𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠) 第四項趨近於𝑝𝑖+1 𝑤. 𝑝. 1；第五項趨近於𝑛。 因此，取極限(𝑇 → ∞)之後，上式將變為，𝑤. 𝑝. 1 𝜋𝑖 = 𝑂 (1 𝑛) 𝜋𝑖+ 𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑅𝑂 C C C
0 see i see i see i+1 T
no arrival no arrival
圖 2-2、系統狀態示意圖
𝐶 : customer
7 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠| 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠)𝑝𝑖+1 最後，讓 𝑛 → ∞，得到下面定理 3
定理 3.
𝜋𝑖與𝑝𝑖+1之間的等式關係為 𝜋𝑖 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠| 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠)𝑝𝑖+1註記
1. 定理 3 中的式子，基本上牽扯到此排隊隨機過程的逆向過程。 2. 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 )是 𝑂(1 𝑛⁄ )，因為 RO 是以 𝑛𝜆的發生率到達。定理 4.
所有以卜瓦松過程到達的排隊模型中，可根據 PASTA 定理，得到 𝑝𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 ) 𝑝𝑖+18
2-2. 例子驗證
由於逆向過程非常的難找到，在排隊理論中為一探討不多的領域，故本文目 前只找出等式關係式，無法求得此函數的特性。在本章節中，我們選了二種排隊 系統，此二種排隊系統的逆向過程已經被證明出來，故可利用此逆向過程來求得 等式關係式。𝑴/𝑮/𝒌/𝒌 損失排隊模型 [7]
我們討論一個損失排隊模型(Loss model) 𝑀/𝐺/𝑘/𝑘，其到達過程為卜瓦 松𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，通常稱之為 Erlang loss model。𝑀/𝐺/𝑘/𝑘損失排隊模型意指， 系統中最大容納人數為𝑘人，當𝑘個服務系統都滿人的話，後來的顧客則不 會進入系統中，造成損失。服務時間遵從任意連續分配𝑔，其故障率(hazard rate)為 𝜆(𝑡) = 𝑔(𝑡)/𝐺̅(𝑡)。Erlang Loss Formula
定義 𝐸[𝑆] = ∫ 𝐺̅(𝑥)𝑑𝑥 為平均服務時間，根據定理 2 系統中人數的極 限分配為 𝑝𝑛 = 𝜋𝑛 = 𝑃{𝑛 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚} = (𝜆𝐸[𝑆])𝑛 𝑛! ∑ (𝜆𝐸[𝑆])𝑖 𝑖! 𝑘 𝑖=0 , 𝑛 = 0, 1, … , 𝑘 此機率稱為 Erlang Loss Formula。
在此模型假設下，套入 Erlang loss formula (𝜆𝐸[𝑆])𝑖 𝑖! ∑𝑘 (𝜆𝐸[𝑆])𝑖! 𝑖 𝑖=0 = [ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑
9 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 | 𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 )] (𝜆𝐸[𝑆])𝑖+1 (𝑖 + 1)! ∑𝑘 (𝜆𝐸[𝑆])𝑖! 𝑖 𝑖=0
系理
𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠) = 𝑖+1 𝜆𝐸(𝑆) 此系理是正確的，因為由[7]的內容中得知，逆向過程(reversed process) 與正向過程(forward process)具有相同分配。換句話說，逆向過程也形成一個 𝑀/𝐺/𝑘/𝑘排隊系統，只是逆向過程表示在系統的剩餘時間，與正向過程的 經過時間是不同的。因此，以上機率可視為正向過程的機率。所以在𝑀/𝐺/𝑘/𝑘下，可經由 Erlang loss formula，得到顧客與時間極限 分配的函數關係
𝜋𝑖= 𝑝𝑖= [
𝑖 + 1 𝜆𝐸(𝑆)] 𝑝𝑖+1
由於此函數為利用 Erlang loss formula 求得，我們再證明等式關係證明 結果同樣為此函數，即可驗證此定理為正確的。其過程將在接下來的初步估 計值中證明。
𝑴/𝑴/𝒌 排隊模型
由[7]得知，此排隊系統是馬可夫鏈的生死過程(birth and death process)， 因此是時間可逆的，故正向過程與逆向過程完全相同。
𝑙𝑖𝑚
10 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑐𝑜𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑛𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 𝑝𝑟𝑐𝑜𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑛 (𝑖 + 1)𝜇 𝑛𝜆 + (𝑖 + 1)𝜇 =(𝑖 + 1)𝜇 𝜆 由定理 4 得知 𝜋𝑖= 𝑝𝑖= [(𝑖 + 1)𝜇𝜆 ] 𝑝𝑖+1
第三章
模擬及結果分析
由於範例中逆向過程已知，故可以證明出等式關係的結果。但是在其他 的隊伍系統中，其逆向過程目前未知，故我們假設系統為平穩狀態，顧客也 都已進入了平穩狀態，在此假設下初步估計等式關係式。隨後利用此初步估 計值，來觀察在不同的系統中，其估計結果會產生何種誤差。3-1. 初步估計值
在此，我們要初步估計以下機率的值 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑐𝑜𝑒𝑠𝑠|𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒𝑠 𝑖 + 1 𝑖𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠 我們假設系統處於平穩狀態，正在服務的人同樣進入平穩狀態，因 此剩餘時間的機率密度函數是𝐺̅(𝑡) 𝐸(𝑆)⁄ [7]，所以上式機率可被估計11 成 ∫ 𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝑛𝜆 +𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 因此定理 3 中的等式關係可被估計為 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞∫ 𝑛 𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝑛𝜆 +𝐺̅(𝑡)𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞∫ 𝑛𝑔(𝑡) 𝑛𝜆 +𝑔(𝑡)𝐺̅(𝑡) 1 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 = ∫ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛𝑔(𝑡) 𝑛𝜆 +𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 1 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 = 1 𝜆𝐸(𝑆) 我們推廣到當系統中總共有𝑖個人時，𝑖 ≤ 𝑘，𝑘為總服務人數。其 初步估計值為 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞∫ 𝑛 𝑖𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝑛𝜆 + 𝑖𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞∫ 𝑛𝑖𝑔(𝑡) 𝑛𝜆 + 𝑖𝑔(𝑡) 𝐺̅(𝑡) 1 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 = ∫ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛𝑖𝑔(𝑡) 𝑛𝜆 + 𝑖𝑔(𝑡)𝐺̅(𝑡) 1 𝐸(𝑆)𝑑𝑡 ∞ 0 = { 𝑖 𝜆𝐸(𝑆) , 𝑖 ≤ 𝑘 𝑘 𝜆𝐸(𝑆) , 𝑖 > 𝑘
12
3-2. 模擬結果
在此本文模擬三種排隊模型，𝑀/𝐺/𝑘、𝐺/𝑀/𝑘和𝐺/𝐺/𝑘，在此三種 系統中，逆向過程目前為止還未能找出，故可以利用初步估計值，觀察 當零散的顧客還未進入平穩狀態時，其估計結果會是高估還是低估。每 次模擬次數為 10,000,000 次，總服務人數𝑘 = 5。所選的分配可能為 IFR(increasing failure rate)或 DFR(decreasing failure rate)，如果顧客到達分配為 IFR，則表示時間越久，顧客進入系
統的機率越高，如果顧客到達分配為 DFR，則表示時間越久，顧客進 入系統的機率越低；如果服務時間分配為 IFR，則表示時間越久，顧客 服務完成離開系統的機率就越高，如果服務時間分配為 DFR，則表示 時間越久，顧客服務完成離開系統的機率就越低。 排隊理論中，顧客進來的平均頻率一定要小於服務的平均頻率(遍 歷性)，否則的話，整個系統會不收斂，因為服務未結束則一直會有人 進入，到最後整個系統是發散的，所以顧客進來的平均時間一定要大於 服務的平均時間，也就是交通密度(traffic intensity)𝜌必須小於 1。 為了清楚顯示估計值的誤差會是高估或低估，我們定義誤差百分比 為初步估計值和模擬真實資料的誤差比率，也就是 誤差百分比= (初步估計值 − 真實值) 真實值⁄ 模擬次數不同，其模擬的數值精確度也不同，由於等式關係為顧客 平均值和時間平均值的分式，當精確值不高的時候，分式的誤差就會越 大，故要求模擬次數需達到一千萬次。在三種排隊模型中，各種分配都 有模擬過，在此只挑出其中幾個代表性的分配，無論所選的分配為何， 其估計的結果都是相同的。
13 𝑴/𝑮/𝒌 顧客進來時間服從指數分配𝐸𝑥𝑝(𝜆)，期望值為1/𝜆，服務時間服從 任意分配𝐺，期望值為1 𝜇⁄ ，則交通密度𝜌 = 𝜆/𝑘𝜇。 < 個案 1 > 𝜆 = 2 3⁄ ，服務時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.9,6)，𝜇 = 0.1584007， 則𝜌 = 0.841747。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.009840332 0.0093157 0.2260496 0.2376 0.05110159 1 0.04121087 0.0390595 0.4524543 0.4752 0.05027673 2 0.08632806 0.0816412 0.6795374 0.7128 0.04895363 3 0.1201423 0.1136212 0.9128055 0.9504 0.0411905 4 0.1244747 0.1178745 1.166803 1.188 0.0181713 5 0.1010235 0.0956686 1.13331 1.188 0.04826192 6 0.08441523 0.0799141 1.12172 1.188 0.05909249 7 0.07124245 0.0674711 1.117197 1.188 0.06338075 8 0.06039321 0.0572443 1.113087 1.188 0.06730692 9 0.05142841 0.0487636 1.109169 1.188 0.0710772 10 0.04396409 0.0416247 1.106069 1.188 0.07407921 11 0.03763301 0.035588 1.106494 1.188 0.07366599 12 0.03216284 0.030496 1.108832 1.188 0.07140261 13 0.02750281 0.0260089 1.108407 1.188 0.07181341 14 0.02346512 0.0221348 1.105473 1.188 0.07465831 15 0.02002293 0.0189883 1.105039 1.188 0.07508022 16 0.01718338 0.0162728 1.104259 1.188 0.07583987 17 0.0147364 0.013928 1.098576 1.188 0.0814053 18 0.01267824 0.0120212 1.104821 1.188 0.07529179 19 0.01088067 0.0102814 1.108932 1.188 0.07130572
14 5 10 15 20 0 .0 1 .0 2 .0 3 .0
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0.0 0.4 0.8 0 .6 6 0 0 .6 6 6 0 .6 7 2Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 5 10 15 0 .3 0 0 .4 0
Service Hazard rate
x
v
a
lu
15 < 個案 2 > 𝜆 = 2 3⁄ ，服務時間服從分配𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(8,2)，𝜇 = 0.25，則𝜌 = 0.53。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.06595811 0.0659489 0.3723401 0.375 0.007143731 1 0.1771201 0.1769925 0.7421523 0.75 0.01057423 2 0.2384854 0.2384565 1.104661 1.125 0.01841234 3 0.215864 0.2159229 1.451989 1.5 0.03306552 4 0.1487083 0.1487412 1.773207 1.875 0.0574061 5 0.08388259 0.0838729 2.058367 1.875 -0.08908364 6 0.0407473 0.0406966 2.29556 1.875 -0.1832059 7 0.0177284 0.0177735 2.482193 1.875 -0.2446195 8 0.007160403 0.0071967 2.624747 1.875 -0.2856454 9 0.002741864 0.002789 2.711345 1.875 -0.3084613 10 0.001028641 0.0010355 2.79847 1.875 -0.3299911 11 0.000370024 0.0003707 2.828423 1.875 -0.3370865 12 0.000131062 0.0001287 2.787007 1.875 -0.3272353 13 4.62E-05 4.41E-05 2.61047 1.875 -0.2817386 14 1.69E-05 1.96E-05 2.800337 1.875 -0.3304378 15 7.00E-06 8.10E-06 2.914264 1.875 -0.3566129 16 2.78E-06 1.80E-06 3.080019 1.875 -0.3912375 17 5.84E-07 5.00E-07 2.554478 1.875 -0.265995 18 1.96E-07 2.00E-07 1.491745 1.875 0.256917 19 1.34E-07 1.00E-07 30.6895 1.875 -0.9389042
16 5 10 15 20 0 1 2 3 4
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0.0 0.4 0.8 0 .6 6 0 0 .6 6 6 0 .6 7 2Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 5 10 15 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5
Service Hazard rate
x
v
a
lu
17 < 個案 3 > 𝜆 = 1，服務時間服從常態分配𝑁(2,1) ，𝜇 = 0.5，則𝜌 = 0.4。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.133634 0.1325466 0.4946565 0.5 0.01080245 1 0.2679569 0.2668926 0.9914243 1 0.008649853 2 0.2692012 0.2689901 1.491252 1.5 0.005866484 3 0.1803788 0.1813793 1.981439 2 0.009367674 4 0.0915392 0.0922476 2.474199 2.5 0.01042801 5 0.03728382 0.0377794 2.776891 2.5 -0.09971263 6 0.01360493 0.0137496 3.053893 2.5 -0.1813728 7 0.004502319 0.0045182 3.312819 2.5 -0.2453557 8 0.001363854 0.0013649 3.485407 2.5 -0.2827237 9 0.000391604 0.0003823 3.679929 2.5 -0.3206391 10 0.000103888 0.000108 3.682697 2.5 -0.3211497 11 2.93E-05 2.90E-05 3.973419 2.5 -0.3708189 12 7.30E-06 8.80E-06 4.175747 2.5 -0.4013048 13 2.11E-06 2.40E-06 4.395256 2.5 -0.4312049 14 5.46E-07 6.00E-07 2.625117 2.5 -0.04766142 15 2.29E-07 3.00E-07 9.787012 2.5 -0.7445594 16 3.07E-08 2.00E-07 6.049785 2.5 -0.5867622 17 3.31E-08 1.00E-07 4.079633 2.5 -0.3871998
18 5 10 15 0 2 4 6 8 10
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0.0 0.4 0.8 0 .9 9 0 1 .0 0 0 1 .0 1 0Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6
Service Hazard rate
x
v
a
lu
19 < 個案 4 > 𝜆 = 5，服務時間服從分配𝐵𝑒𝑡𝑎(2,3) ，𝜇 = 2.5，則𝜌 = 0.4。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.1337508 0.1338514 0.499138 0.5 0.001726935 1 0.2681651 0.2681723 0.9970131 1 0.002995803 2 0.2689757 0.2687152 1.49067 1.5 0.006258739 3 0.1802647 0.1804259 1.975517 2 0.01239305 4 0.09133096 0.0913596 2.432837 2.5 0.02760691 5 0.0375527 0.0375285 2.76586 2.5 -0.09612188 6 0.01356848 0.0135919 3.029401 2.5 -0.1747544 7 0.004486662 0.0044636 3.269444 2.5 -0.2353439 8 0.001365248 0.0013631 3.423466 2.5 -0.269746 9 0.000398164 0.0003868 3.663336 2.5 -0.3175619 10 0.000105587 0.0001063 4.003001 2.5 -0.3754685 11 2.66E-05 2.63E-05 3.895778 2.5 -0.3582796 12 6.75E-06 5.80E-06 3.469509 2.5 -0.279437 13 1.67E-06 1.70E-06 3.313203 2.5 -0.2454432 14 5.13E-07 8.00E-07 3.281432 2.5 -0.2381376 15 2.44E-07 2.00E-07 2.505826 2.5 -0.00232488 16 7.98E-08 4.00E-07 3.977306 2.5 -0.3714339 17 1.01E-07 2.00E-07 3.767671 2.5 -0.3364601
20 5 10 15 0 1 2 3 4 5
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0.00 0.10 0.20 4 .9 6 5 .0 0 5 .0 4Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0.0 0.4 0.8 0 100 200 300
Service Hazard rate
x
v
a
lu
21 𝑮/𝑴/𝒌 顧客進來時間服從任意分配𝐺，期望值為1 λ⁄ ，服務時間服從指數 分配𝐸𝑥𝑝(𝜇)，期望值為1/𝜇
。
< 個案 1 > 顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.5, 2)，𝜆 = 0.25，μ = 0.1， 則𝜌 = 0.5。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.2132132 0.067059 0.3984163 0.4 0.003974982 1 0.1683139 0.117474 0.7974834 0.8 0.003155622 2 0.1473059 0.1428073 1.193974 1.2 0.005046835 3 0.1196067 0.1424614 1.593433 1.6 0.004121041 4 0.08940531 0.1233906 1.99404 2 0.002988889 5 0.0618797 0.0947479 1.991946 2 0.004043237 6 0.04756549 0.0726851 1.993742 2 0.003138741 7 0.03645662 0.055599 1.992869 2 0.003578224 8 0.02789897 0.0426642 1.991216 2 0.004411461 9 0.02142621 0.0327331 1.986309 2 0.00689288 10 0.01647936 0.0251659 1.991972 2 0.004030409 11 1.26E-02 1.93E-02 1.997113 2 0.001445532 12 9.68E-03 1.48E-02 1.996088 2 0.001959634 13 7.42E-03 1.14E-02 1.996168 2 0.001919448 14 5.69E-03 8.75E-03 1.983908 2 0.008111399 15 4.41E-03 6.73E-03 1.998887 2 0.000557046 16 3.36E-03 5.16E-03 2.00274 2 -0.00136827 17 2.58E-03 3.95E-03 1.996915 2 0.001544941 18 1.98E-03 3.03E-03 1.982735 2 0.008707698 19 1.53E-03 2.31E-03 1.967844 2 0.0163405422 5 10 15 20 0 1 2 3 4
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0 2 4 6 8 10 0 .2 0 .6 1 .0Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 8 10 0 .0 9 9 0 0 .1 0 0 0 0 .1 0 1 0
Service Hazard rate
x
v
a
lu
23 < 個案 2 > 顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(2, 2)，𝜆 = 0.564，𝜇 = 1 7⁄ ， 則𝜌 = 0.79。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.004660409 0.009055 0.2543157 0.253208 -0.00435696 1 0.03560535 0.0547079 0.5057021 0.506415 0.001410499 2 0.1081821 0.1381523 0.7578078 0.759623 0.002395485 3 0.1823052 0.1989987 1.012131 1.012831 0.000690993 4 0.1966135 0.1879582 1.264268 1.266038 0.001400735 5 0.1486696 0.1288898 1.263705 1.266038 0.00184667 6 0.1019936 0.0885992 1.263897 1.266038 0.001694566 7 0.07010003 0.0608137 1.264836 1.266038 0.000951024 8 0.04808032 0.0416608 1.265662 1.266038 0.000297124 9 0.0329162 0.0284826 1.263986 1.266038 0.001623881 10 0.02253395 0.0195625 1.26377 1.266038 0.001794605 11 1.55E-02 1.35E-02 1.26864 1.266038 -0.00205097 12 1.06E-02 9.19E-03 1.268525 1.266038 -0.00196024 13 7.25E-03 6.29E-03 1.255539 1.266038 0.008362517 14 5.01E-03 4.36E-03 1.260301 1.266038 0.004552091 15 3.46E-03 3.03E-03 1.253078 1.266038 0.01034269 16 2.42E-03 2.10E-03 1.272847 1.266038 -0.00534928 17 1.65E-03 1.42E-03 1.268033 1.266038 -0.00157262 18 1.12E-03 9.83E-04 1.252612 1.266038 0.01071887 19 7.85E-04 6.95E-04 1.279208 1.266038 -0.01029492
24 5 10 15 20 0 .0 1 .0 2 .0 3 .0
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 0 .1 4 1 5 0 .1 4 3 0
Service Hazard rate
x
v
a
lu
25 𝑮/𝑮/𝒌 顧客進來時間服從任意分配𝐺，期望值為1 λ⁄ ，服務時間服從任意 分配𝐺，期望值為
1 𝜇
⁄ 。
< 個案 1 > 顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.4, 2)，𝜆 = 0.15，服務時間 服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.3, 1.5)，𝜇 = 0.072，則𝜌 = 0.418。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.1869117 0.0702536 0.2783378 0.478497 0.7191232 1 0.2524041 0.1566771 0.7219103 0.956994 0.3256411 2 0.2170313 0.1982169 1.345692 1.435491 0.06673097 3 0.1472974 0.1838072 2.254546 1.913988 -0.151054 4 0.08152737 0.1347581 6.263774 2.392485 -0.6180442 5 0.02151388 0.058714 3.597489 2.392485 -0.334957 6 0.01632083 0.0365415 2.830342 2.392485 -0.1547012 7 0.01291063 0.0258553 2.454065 2.392485 -0.02509329 8 0.0105357 0.0195708 2.227203 2.392485 0.07421024 9 0.008787163 0.0154081 2.078057 2.392485 0.1513086 10 0.007414667 0.0124525 1.963324 2.392485 0.2185889 11 6.34E-03 1.03E-02 1.887484 2.392485 0.2675523 12 5.44E-03 8.65E-03 1.837637 2.392485 0.3019355 13 4.70E-03 7.31E-03 1.780994 2.392485 0.3433427 14 4.11E-03 6.31E-03 1.715617 2.392485 0.3945331 15 3.68E-03 5.46E-03 1.689408 2.392485 0.4161678 16 3.23E-03 4.77E-03 1.654671 2.392485 0.445898 17 2.89E-03 4.20E-03 1.616716 2.392485 0.4798423 18 2.60E-03 3.73E-03 1.615488 2.392485 0.4809673 19 2.31E-03 3.27E-03 1.596381 2.392485 0.498692526 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0 2 4 6 8 10 0 .2 0 .6 1 .0Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 8 10 0 .2 0 .6 1 .0
Service Hazard rate
x
v
a
lu
27 < 個案 2 > 顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(0.5, 2)，𝜆 = 0.25，服務時間 服從卡方分配 𝜒2(11) ，𝜇 = 1 11⁄ ，則𝜌 = 0.55。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.2296135 0.064248 0.5242086 0.363636 -0.3063136 1 0.1225619 0.0943068 0.841812 0.727273 -0.1360628 2 0.1120283 0.1106014 1.09984 1.090909 -0.00812045 3 0.1005613 0.114724 1.31468 1.454545 0.1063875 4 0.08726382 0.1091422 1.484488 1.818182 0.2247868 5 0.07352176 0.0976768 1.614074 1.818182 0.126455 6 0.06051569 0.0838599 1.717586 1.818182 0.05856816 7 0.04882428 0.0696222 1.803074 1.818182 0.008378844 8 0.03861305 0.0563551 1.861576 1.818182 -0.02331045 9 0.03027279 0.045007 1.909865 1.818182 -0.04800497 10 0.02356554 0.0353343 1.943294 1.818182 -0.0643816 11 1.82E-02 2.76E-02 1.969982 1.818182 -0.07705656 12 1.40E-02 2.14E-02 1.985331 1.818182 -0.08419204 13 1.08E-02 1.65E-02 2.003964 1.818182 -0.09270739 14 8.21E-03 1.26E-02 1.999716 1.818182 -0.09077993 15 6.30E-03 9.71E-03 2.003458 1.818182 -0.09247831 16 4.85E-03 7.47E-03 2.011573 1.818182 -0.09613916 17 3.71E-03 5.69E-03 2.010438 1.818182 -0.09562879 18 2.83E-03 4.35E-03 2.014903 1.818182 -0.09763312 19 2.16E-03 3.31E-03 2.002413 1.818182 -0.09200442
28 5 10 15 20 0 1 2 3 4
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0 2 4 6 8 10 0 .2 0 .6 1 .0Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 8 10 0 .0 0 0 .1 0
Service Hazard rate
x
v
a
lu
29 < 個案 3 > 顧客進來時間服從韋伯分配𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(2, 3)，𝜆 = 0.376，服務時間服 從卡方分配 𝜒2(9)，𝜇 = 1 9⁄ ，則𝜌 = 0.677。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.002821631 0.0080079 0.1661216 0.295409 0.7782695 1 0.04820505 0.086596 0.4647413 0.590818 0.2712835 2 0.1863316 0.2439433 0.8188981 0.886227 0.08221882 3 0.2978921 0.3046322 1.195907 1.181636 -0.01193351 4 0.2547289 0.2130559 1.561574 1.477045 -0.05413084 5 0.1364366 0.0976499 1.873456 1.477045 -0.2115936 6 0.05212286 0.0334319 2.106611 1.477045 -0.2988525 7 0.01586999 0.0094714 2.245005 1.477045 -0.3420751 8 0.004218877 0.0024457 2.318906 1.477045 -0.3630423 9 0.001054678 0.0005916 2.455225 1.477045 -0.3984076 10 0.000240956 0.0001299 2.20614 1.477045 -0.3304844 11 5.89E-05 3.63E-05 2.465834 1.477045 -0.4009958 12 1.47E-05 6.60E-06 2.692039 1.477045 -0.4513285 13 2.45E-06 1.30E-06 2.475014 1.477045 -0.4032176 14 5.25E-07 1.00E-07 1.971548 1.477045 -0.2508197
30 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 4 6 8 10 12 14 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0 2 4 6 8 10 0 .0 1 .0 2 .0Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 8 10 0 .0 0 0 .1 0 0 .2 0
Service Hazard rate
x
v
a
lu
31 < 個案 4 > 顧客進來時間服從分配𝐵𝑒𝑡𝑎(4, 5)，𝜆 = 9 4⁄ ，服務時間服從卡方分 配 𝜒2(1.5)，𝜇 = 2 3⁄ ，則𝜌 = 0.675。 系統人數 時間平均 人數平均 P(N=i)/P(T=i+1) 估計值 誤差百分比 0 0.01118421 0.022774 0.312736 0.296296 -0.05256746 1 0.0728218 0.1134831 0.6132627 0.592593 -0.03370518 2 0.1850481 0.2292356 0.9028543 0.888889 -0.01546803 3 0.253901 0.2569853 1.190165 1.185185 -0.00418452 4 0.215924 0.1828049 1.509739 1.481481 -0.01871659 5 0.1210838 0.0884889 1.40483 1.481481 0.05456251 6 0.06298903 0.0473751 1.385816 1.481481 0.06903218 7 0.03418572 0.0260048 1.377896 1.481481 0.07517638 8 0.01887283 0.0144025 1.367662 1.481481 0.08322169 9 0.01053074 0.0080759 1.372243 1.481481 0.07960587 10 0.005885183 0.0045213 1.366135 1.481481 0.08443232 11 3.31E-03 2.53E-03 1.364216 1.481481 0.08595831 12 1.86E-03 1.45E-03 1.362519 1.481481 0.08731066 13 1.07E-03 8.15E-04 1.357432 1.481481 0.09138526 14 6.00E-04 4.61E-04 1.368279 1.481481 0.08273312 15 3.37E-04 2.59E-04 1.373852 1.481481 0.07834152 16 1.88E-04 1.45E-04 1.416641 1.481481 0.04577067 17 1.02E-04 7.54E-05 1.307351 1.481481 0.1331936 18 5.77E-05 5.00E-05 1.362684 1.481481 0.08717917 19 3.67E-05 2.82E-05 1.364614 1.481481 0.08564121
32 5 10 15 20 0 .0 1 .0 2 .0 3 .0
模擬值
人數 數值 模擬資料 初步估計值 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 -1 .0 0 .0 1 .0誤差百分比
人數 百分比值 0.0 0.4 0.8 0 200 400Interarrival Hazard rate
x v a lu e 0 2 4 6 8 10 0 .6 0 .8
Service Hazard rate
x
v
a
lu
33
3-3. 結果分析
根據以上在各種隊伍系統下的模擬結果，會觀察到一個現象，當排 隊模型為𝑀/𝐺/𝑘時，如果服務時間分配為 IFR，我們得到的估計值會低 估，為 DFR 時，我們得到的估計值會高估。在𝐺/𝑀/𝑘下，無論顧客到 達分配為 IFR 或 DFR，都可以得到相當準確的估計。而在𝐺/𝐺/𝑘下， 當服務時間分配為 IFR 時，我們得到的估計值會低估，為 DFR 時，我 們得到的估計值會高估，反而顧客到達時間分配的 hazard rate 較不影響 結果。 我們試著猜測為何會發生此現象。由於本文中初步估計值是定義在 顧客已經進入平穩狀態，但實際上並不是每個客人都進入了平穩狀態。 假設排隊模型是𝑀/𝐺/𝑘，服務時間分配為 DFR，當有顧客還未進入平 穩狀態，顧客一進入系統，馬上就服務完畢的機率較高，所以顧客進入 系統中，看到系統通常會比較不擁塞，換句話說，𝑖較高的時候， 𝑃(𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚)就會較低，則 𝑃(𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚) 𝑃(𝑎 𝑅𝑂 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑒 𝑖+1 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚) 的值就會降低，此時我們的初步估 計值就會高估，反之亦然。 而在𝐺/𝑀/𝑘排隊模型中，由於服務時間分配為指數分配，其 hazard rate 為一水平線，無論顧客進入系統多久的時間，離開系統的機率都是 一樣的，此時顧客就會進入平穩狀態，故我們的初步估計值結果是相當 的準確。34
第四章
結論
本文目的在於找出顧客平均極限分配，和時間平均極限分配的等式 關係，由於此函數與隨機過程的逆向過程有關，這是一個少被探討的領 域，故本文只表示分配之間的函數關係，並無法求得此函數的特性。但 在𝑀/𝐺/𝑘/𝑘損失排隊模型與𝑀/𝑀/𝑘排隊模型中，由於逆向過程已經找 到，故可確實找出此等式函數。 本文模擬了𝑀/𝐺/𝑘、𝐺/𝑀/𝑘與𝐺/𝐺/𝑘排隊模型，觀察到服務時間分 配為 IFR 或 DFR 時，初步估計值會低估或高估。我們猜測因為有零散 的顧客還未進入平穩狀態，所以初步估計值會有誤差的現象。而在 𝐺/𝑀/𝑘排隊模型，由於服務時間分配為指數分配，其 hazard rate 為一水 平線，故初步估計值相當準確。 因此將來在做排隊模型的研究時，可以運用此定理，得到顧客平均 極限分配與時間平均極限分配之間的等式關係。35
參考文獻
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