第二章 模擬退火演算法之理論
2.3 模擬退火演算法影響因子之探討
在模擬退火法中，各項參數值建立對最佳解之搜尋皆會直接影響其品質，若 是發生設定不恰當，即有可能造成搜尋時間上的增加或是降低最佳解之品質，因 此以下將針對各項參數值設定及影響因數作討論。然而並非同樣的退火時間表都 適用於每一種問題，須視其問題之尺度與規模而決定退火參數為何，以下為前人 針對退火參數設定之建議，但其適合之退火時間表，仍需要依照問題重新定義。
1. 初始溫度設定
起始溫度設定在模擬退火法中扮演著重要的角色，因溫度與目標函數差值變 化，決定劣解被接受機率之大小，因此溫度的變化在退火演算法中，佔有相當重 要的影響力，本研究利用波茲曼機率分佈公式(Boltzmann distribution)，來決定是否 接受劣解。在整個搜尋過程中，從波茲曼機率分佈
P exp( )
i
F T
= −Δ
可得出，機率基本上與溫度T 及目標函數之差值i Δ 相關，其中固定溫度F T 的條件下，劣解被接受的i 機率為P，與目標函數差值Δ 呈反比關係。一般來說，在退火程式開始前部分，F 起始溫度T 必需要夠大以確保搜尋初期時，對於所有鄰近解，有著相同的挑選機0 率，其溫度較高被接受機率值也相對提高，允許接受劣解機率較大，以避免落入 區域最佳解，雖然過高的溫度設定會造成計算上的浪費，不過設定高溫度的結果 普遍來說都優於設定過低的結果（Dougherty and Marryott, 1991），所以一般設定適
合溫度，就是讓初期鄰近解被接受率大約在 80%以上，期望搜尋過程中不要太快 收斂於某一區域最佳解中。隨著溫度降低至接近凝固點時，理論上此時已逼近全 域最佳解，達到最佳狀態，進而機率也隨著溫度而降低，無須再逆向搜尋。所以 在以模擬退火法解決一最佳化求解之問題時，不旦要定義出適當的限制式與目標 函數式，更要適時地調整其退火參數以及最重要之核心方程式，才能有效率地解 決問題(童慶斌，2008)。
2. 馬可夫鏈
馬可夫鏈的長度(length of Markov chain)(L)即為每一個溫度階段的最大搜尋次 數。模擬退火法可視為多階層之馬可夫鏈，每一溫度階段的搜尋次數長短，也將 影響到最佳解之品質，Kirkpatrcik et al. (1983) 建議搜尋次數為決策變數個數的倍 數；Arts and van Laarhoven (1985) 曾經證明只要搜尋次數夠多，模擬退火法最後 找到的最佳解，為全區域最佳解的機率可以高達百分之百，除此之外，一些前人 所建議每一溫度階段之搜尋次數：Huang et al. (1986) 則採用隨著不同溫度而改變 搜尋次數，當溫度愈降愈低時，接受鄰近解的機率已經大大的不如初始的接受機 率，便不再需要初期溫度階段的搜尋次數，而可以隨著溫度的降低減少搜尋次數，
以免造成效率上的浪費；Dougherty and Marryott (1991)，實際將搜尋次數訂為決策 變數個數的 100 倍。不過，至今相關的報告，大多無法肯定共通的準則來決定每 一溫度階段的搜尋次數，還是要視問題的尺度大小與特性而定。
3. 降溫梯度
降溫梯度
k
是退火時間表中控制溫度參數從初始高溫度經過退火降溫之過 程，最後到達最終溫度Ti → 的參數(童慶斌，2008)，其關係式如式(2.1)所示： 0Ti+1 = ×k Ti ， 0< <k 1 (2-1) 其中Ti+1代表降溫後溫度，T 代表降溫前溫度值，i
k
代表每次溫度改變速率。上式2.1 中，其降溫梯度(
k
)為 0~1 之間係數值，而降溫梯度的高低會影響到 求解品質與其運算時間；由前一節中，可瞭解 Metropolis 程式接受鄰近解的機率 程度受到溫度影響；k
值越大時，代表降溫速度越趨於緩慢，於整個退火過程有較 高接受率，能有足夠的空間搜尋，反之則代表降溫速度越快速，接受率較低，容 易導致陷入區域最佳解中。在各研究中，皆曾對於溫度下降速率與機制進行探討。一般而言，設定
k
值介於0.80～0.99 之間 (Kirkpatrick et al.,1984)，整個退火過程 皆有不錯的搜尋表現。不過降溫梯度與每一溫度階段的搜尋次數是有相關的，當搜尋次數設定不夠 時，降溫梯度則會變的更加重要，也就是說可以將降溫梯度設定為較大的值(趨近 於 1)，讓每一次降溫幅度不至於太大，不然的話，太快的降溫再加上每一個溫度 階段中搜尋次數又不夠多，這樣子所搜尋解空間範圍有限，無法有效的搜尋，而 且最後所收斂的結果也有可能不夠理想，所以在電腦運算合理時間內，設定最佳 的降溫梯度加上合適的馬可夫鏈長度，才能夠有效率的搜尋出最佳解(童慶斌，
2008)。
4. 停止條件
停止條件是判斷是否該終止演算法之搜尋，若設計不適宜，可能導致演算過 程中，結束時間過早或執行時間過長。一般設定的停止條件方式如下(Dougherty and Marryott, 1991)：
(1) 達到終止溫度，當溫度低於終止溫度則停止演算。
(2) 當連續降溫 K 次始終無法改善最佳解，則停止演算。
(3) 當搜尋解之數量已達到最大迭代次數，則停止演算。