第二章 文獻探討
第一節 模糊測度
第二章 文獻探討
模糊測度及模糊積分的概念已廣泛的應用在各種學科領域中，但教育測驗上 的應用仍然很少，尚有待努力。不過在應用時，宜發展出更適當及更有預測效力 的模糊測度及模糊積分迴歸模式為最重要的課題。本章除了介紹一些已經被常用 的模糊測度，並對模糊積分及Choquet 積分的迴歸模式加以探討，最後則闡述當預 測分析在自變數間具共線性時，傳統用來當作改善方法的EMS 脊迴歸模式。
第一節 模糊測度
壹、模糊測度
設(X,2X)為可測空間，若集合函數g:2X →[0,1]滿足下列條件時，則稱 g 為 )
2 ,
(X X 上的模糊測度：
0 ) (φ =
g 且g(X) =1 正規性（boundary conditions）
) ( ) ( ,
2
,B A B g A g B
A ∈ X ⊆ ⇒ ≤
∀ 單調性（monotonicity）
貳、基本測度
設
g
為 集 合 X 上 的 模 糊 測 度 ， 若 s:2X →[0,1]為 可 測 函 數 ， 且 滿 足 Xx x g x
s( )= ({ }),∀ ∈ ，則稱 s 是模糊測度
g
的基本測度（singleton fuzzy measure）。在教育測驗的應用中，通常以 x 為科目集合 X 中的單一科目，以每個 x 的重要度，
當作模糊測度 g 的基本測度，也就是單一科目的重要度就是基本測度。
參、可加性測度
設
s
為 集 合X
上 模 糊 測 度g
的 基 本 測 度 ， 若∑
∈
=
X x
x
s
( ) 1且∑
∈
=
A x
x s A
g
( ) ( ) ,X
A
⊂∀ ，則稱
g
為可加性測度（additive measure）。即當模糊測度為可加性測度時，需滿足基本測度總和等於1，且多科目合起來的重要度就是等於各個單一科目重要
6
度的總和。因此，可加性測度是指多科目的重要度時，其重要度是直接可由各個 單一科目的重要度相加而得，但是非可加性模糊測度則不能直接相加，必須要考 慮重疊性及互補性，並且需要滿足集合函數的單調性。
肆、模糊測度的分類
一般數學上常見的 Lebesgue 測度或機率測度，都是可加性測度的特殊情況。
由於滿足可加性測度必然滿足單調性，反之不然。因此，若將可加性測度中的可 加性以單調性給予取代，則為單調性測度，此時可加性測度即為單調性測度的特 殊情況。單調性測度又稱為模糊測度或非可加性測度，其初始概念首先由Dempster (1967) 提出，而完備的發展則是 Shafer (1976) 的貢獻。此外，菅野道夫曾提出模 糊測度的三種分類（Sugeno, 1974），劉湘川（2006a）增補第四種分類－混合模糊 測度，茲敘述如下：
令 g 為(X,2X)上之模糊測度：
一、若∀A,B∈2X,A≠φ,B≠φ,A∩B=φ,A∪B≠ X 都得
g
(A
∪B
)=g
(A
)+g
(B
)時，則 稱g
為(X,2X)的可加性測度（additive measure）。二、若∀
A
,B
∈2X,A
≠φ,B
≠φ,A
∩B
=φ,A
∪B
≠X
都得g
(A
∪B
)>g
(A
)+g
(B
)時，則 稱g
為(X
,2X)的超可加性測度（superadditive measure）。三、若∀
A
,B
∈2X,A
≠φ,B
≠φ,A
∩B
=φ,A
∪B
≠X
都得g
(A
∪B
)<g
(A
)+g
(B
)時，則 稱g
為(X
,2X)的次可加性測度（subadditive measure）。四、若
g
為(X
,2X)的模糊測度，且不恆為可加性測度、超可加性測度或次可加性測 度時，稱為混合模糊測度（mixture fuzzy measure）。伍、可能性測度（P-測度）
Zadeh (1978) 提出計算簡易的一種模糊測度，其定義如下：
令
X
={x
1,x
2,...,x
n}，n ≥ 3
，且(X
,2X)為可測空間，若g
p: 2
X→ [ 0 , 1 ]
滿足下列條7
件時，則稱
g
為可能性測度（Possibility fuzzy measure），簡稱 P-測度。1
劉湘川（2006a）指出可能性測度為封閉式（closed form）顯函數解，不靈敏，
只有唯一解可供選擇，是為單值模糊測度。可能性測度只可能為次可加性測度，
不可能為可加性測度或超可加性測度，亦不可能為混合模糊測度，不符合實際需 求。
陸、
λ-模糊測度
菅野道夫（Sugeno, 1974）提出一個最早的模糊測度，茲描述如下：
令X ={x1,x2,...,xn}，n≥3，且(X,2X)為可測空間，若gλ :2X →[0,1]為集合函
8
須利用數值方法求λ之一元
n − 1
次方程式的解。劉湘川（2006b）指出λ-模糊測度 不僅不恆存在非可加性測度解，且不可能存在混合模糊測度解，只有唯一解可供 選擇，亦為單值模糊測度，不符合實際需求。柒、R-模糊測度
劉湘川（2006a）指出 Zadeh (1978) 的可能性測度，對於全集合
X
的測度值，有矛 盾之處，因由（1）式知，gp(X)=1；但由（2）式卻知：當A
∩ B=φ且A
∪B
=X
時，得到gp(X)= gp(A∪B)=max{gp(A),gp(B)}<1的結果。造成關於 X 測度值的不一 致現象，亦即可能性測度只存在次可加性測度解。因此，提出關於空集合、各基 本集合及全集合測度值，均滿足一致性且完備化的測度，稱之為「R-模糊測度」，
茲說明如下：
∑
∑
∈ ∈=
=
X x
R X
x
x g x
s( ) ({ }) 1 )
, 0 [ ∞
∈
∃R 使得∀A⊂ X ,n− A +(A −1)R>0成立
)}) ( { max 1 ) ( 1 (
) ( )
1 ( )}
( { max )
( s x
R A A n
x s R A x
s A
g x A
A x A
R x ∈
∈
∈ −
− +
−
− +
=
∑
其中， n 是全集合 X 的元素個數， A 是集合 A的元素個數。
【性質1】(Liu et al., 2008)
一、R-模糊測度滿足正規性、單調性及完備一致性。
二、R-模糊測度為多值模糊測度。
三、當決定係數R=0，即為 Zadeh 的可能性測度，換句話說，可能性測度為 R-模糊測度的特殊情況。
四、 g 是 R 的遞增函數。