模糊理論及隸屬度函數

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2 思維的模糊性

2.1 模糊理論及隸屬度函數

        人類的思維主要是來自於對自然現象和社會現象的認知意識，而人類的知識 語言也會因本身的主觀意識、時間、環境和研判事情的角度不同而具備模糊性。

模糊理論(吳柏林，2005)的產生即是參考人類思維方式對環境所用的模糊測度與 分類原理，給予較穩健的描述方式。因為人類思維本身就具有不確定性，故模糊 理論是以模糊集合為基礎，而已處理概念模糊不確定的事物為目標，以對不確定 的事物做決策。 

        隸屬度函數是模糊理論最基本的概念，它不僅可以描述模糊集合的性質，更 可以對模糊集合進行量化，並且利用精確的數學方法，來分析和處理人類模糊性 的資訊。然而，要建立一個足以表達模糊概念的隸屬度函數，並不是一件容易的 事。其原因在於隸屬度函數仍舊脫離不了個人的主觀意識，故沒有通用的定理或 公式。一般而言，解決的辦法是根據經驗法則，或是利用以往的統計資料來輔助 加以確定，很難像客觀事物一樣有很強的說服力。因此，隸屬度函數的建立經常 最具有爭議性的，也沒有一種隸屬度函數是可以被廣泛接受而使用。隸屬度函數 可分為離散型(discrete type)與連續型(continuous type)兩種。離散型的隸屬度函數 是直接給予有限模糊集合內每個元素的隸屬度，並以向量的形式表現出來；而連 續型隸屬度函數則有幾種常用的函數形式(S-函數、Z-函數、-函數、三角形函數、

梯形函數、高斯(鐘形)函數)來描述模糊集合。函數定義的表現，可以是無限模糊 集合的元素及其隸屬度之間的關係，也可以是有限模糊集合的元素及其隸屬度之 間的關係。 

定義 2.1 隸屬度函數 (吳柏林，2005)

設在論域 U ^{上給定映射} ，即u U: [0,1]，則說u U: [0,1]確定 U 上一個模糊集 合A，_A^稱為A 的隸屬度函數，_A( )u ^稱為u 對 A 的隸屬度，它表示 u 隸屬 A 的程度。

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例 2.1：離散型模糊數表達法

假設X 為「學生一星期來學校購買早餐的天數」，以模糊數表示為n

 

X ，論域U 可視為整數論域，即購買早餐的天數。假設論域U={0,1,2,3,4,5}。則隨機抽樣 10 位學生 一星期來學校購買早餐天數的隸屬度函數整理如表2.1

表2.1 學生對「一星期來學校購買早餐天數」隸屬度函數

購買天數 0 1 2 3 4 5

學生1 0 0.5 0.3 0.2 0 0 學生2 0 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1

學生3 0.9 0.1 0 0 0 0

學生4 0 0.5 0.3 0.2 0 0 學生5 0 0.3 0.5 0.1 0.1 0

學生6 1 0 0 0 0 0

學生7 1 0 0 0 0 0

學生8 0 0 0 0 0.9 0.1

學生9 0 0 0 0.2 0.2 0.6

學生10 1 0 0 0 0 0

其中學生4「一星期來學校購買早餐的天數」隸屬度函數為

{0

 

X 0,1

 

X 0.3,2

 

X 0.5,3

 

X 0.1,4

 

X 0.1,5

 

X 0 } 亦可以模糊數表示為

 

0 0.3 0.5 0.1 0.1 0 0 1 2 3 4 5

U X

      

以直角坐標圖表示如圖2.2

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6  例 2.2：連續型模糊數表達法

學生因通勤時間過長以至於要早起搭車，調查學生晚上睡眠時間。

(1) 如果學生一天晚上睡眠時間約晚上 7~8 小時，我們可得到一組實數區間模糊數

（圖2.3），記為[7, 8]。

x( )x



1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

圖2.3 一組區間模糊數 且對應的隸屬函數關係如下:

_x( )x = 1 7≦x≦8 0 x＜7；x＞8

(2) 如果學生一天睡眠時間約 7 小時且不少於 6 小時，不多於 8 小時，則我們可得 到一組三角形模糊數（圖2.4），記為[6, 7, 8]。

權重數值

隸屬度

1  2  3  4  5 

圖 2.2  學生 4「一星期來學校購買早餐的天」隸屬度函數  0.5 

1 

0.3  0.1 

0 

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8  例 2.3：離散型問卷調查

因為學校位置關係，以致於大部分學生上學通勤時間過長，而在通勤過程中，學生 們往往都在做什麼？是休息補眠？還是聽音樂、玩手機？會利用時間看書嗎？若以傳統 的問卷調查形式，也就是規定每位受訪者只能勾選一個項目，研究調查結果會捨去許多 額外資訊。因此採用模糊問卷，更貼近實際情形及較為合理。本調查抽樣班上10 位同 學，得到10 組離散型模糊數，並將結果整理如下表：

表2.2 學生上學通勤時間都在做什麼之隸屬度

唸書 使用3C 產品 休息 其他(發呆、聊天)

學生1 0.1 0.5 0.2 0.2

學生2 0.1 0.4 0.2 0.3

學生3 0.1 0.5 0.3 0.1

學生4 0 0.2 0.1 0.7

學生5 0.2 0.5 0.1 0.2

學生6 0.2 0.4 0.1 0.3

學生7 0 0 0.9 0.1

學生8 0.1 0.3 0.5 0.1

學生9 0.5 0 0.2 0.3

學生10 0.1 0.4 0.2 0.3

總計 1.4 3.2 2.8 2.6

例 2.4：連續型模糊問卷：學生上第一節上課的精神狀態

非常不滿意 普通 非常滿意

0 20 40 60 80 100

圖2.6 自我評估第一節上課專注度滿意程度

定義 2.4 語言變數之偏好權重 (吳柏林，2005)

設U 為一論域，令_{L {L1 ,L2 , ,Lk}}為佈於論域U 上的 k 個語言變數，對應各語 言變數，分別賦予語言變數之偏好權重為_{r {r1 ,r2 , ,rk}}，若偏好權重

} , , ,

{r₁ r₂ r_k

r   為一有序序列，且_{0 r1  r2   rk 1}，則定義_{r {r1 ,r2 , ,rk}}為 偏好遞增序列；反之，若_{1 r1  r2   rk  0}，則定義_{r {r1 ,r2 , ,rk}}為偏好遞減 序列。

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例 2.5： 學生對學校合作社的滿意程度之語言偏好序列

經調查，五位學生對學校合作社滿意程度的隸屬度之看法整理如表2.3：

表2.3 學生對學校合作社滿意度之看法隸屬度

學生 非常不滿意 不滿意 普通 滿意 非常滿意

A 0.5 0.5

B 0.2 0.8

C 0.4 0.6

D 0.7 0.3

E 0.6 0.4

我們分別賦予五個語言變數的好壞程度權重為

非常不滿意= 0，不滿意= 0.25，普通= 0.5，滿意= 0.75，非常滿意= 1 此為一偏好遞增序列。

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表3.1 一週至合作社購買早餐天數模糊數及反模糊化值 一週購買天數

編號 0 1 2 3 4 5 ^{反模糊化值}

1 0.5 0.5 1.6

2 1 0

3 0.1 0.2 0.3 0.4 3.16

4 0.3 0.7 3.784

5 0.1 0.4 0.3 0.2 3.76

6 1 5

7 0.3 0.5 0.1 0.1 2.12 由於樣本數n = 7 為奇數，根據定義 3.3，故模糊樣本中位數為

) 4

x( =0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 1  2  3  4 5

值得注意的是離散型模糊樣本之中位數仍為離散型模糊數，不應以諸反模糊化值之 中位數為離散型模糊樣本之中位數。

定義 3.4 連續型模糊樣本中位數 (吳柏林，2005)

令_{A =i [ai,bi,ci,di]}，i =1, 2,…, n，是一組梯形模糊數。根據在實數線上的反模糊 化值定義，計算出_{A =i [ai,bi, ci,di]}之反模糊化值RA_i，令RA_(i)為將RA_i排序後而得 到的有序樣本值，則定義梯形模糊樣本中位數為：

Fmedian(A)=

2) (n

RA ，若 n 為奇數

(

2) (n

RA +

1 2) (n+

RA )/2 ，若 n 為偶數

例 3.2 ：連續型模糊樣本中位數應用於學生上學通勤時間的探討

因學校地理位置關係，學生上下學交通不算方便，今以連續型模糊問卷調查學生上 學通勤時間為何？得10 組梯形模糊數，並計算出其反模糊化值，如表 3.2。

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表3.2. 10 位學生上學通勤時間梯形模糊數及反模糊化值

ai b_i c_i d_i RA_i

1 30 40 45 50 41.79

2 60 80 90 90 80.01

3 55 60 65 75 64.79

4 40 45 50 60 49.79

5 30 40 45 50 41.79

6 10 15 15 20 15.64

7 50 60 70 80 65.85

8 25 30 35 45 34.79

9 45 50 60 70 57.26

10 40 45 50 60 49.79 由於樣本數n = 10 為奇數，根據定義 3.4，故模糊梯形中位數為

79 . 2 49

79 . 49 79 . 49 2

6

5  X   

X

可知這10 位學生所代表的母體的上學通勤時間為 49.79 分鐘。

當研究時取樣之母體非為常態分配、其分配型態未知、或樣本數少時，若採 用傳統統計檢定法，將導致過多推論，使結論變得不可信。此時可採用無母數統 計方法。無母數統計常以中位數代表資料的集中趨勢，也特別適用於資料為序列 變項時的處理。無母數統計之中位數檢定，有多種方法。而由Mood 所提出之中 位數檢定法，採用卡方檢定法之統計量，可用於檢定兩組獨立樣本所來自的母體 是否具有相同的中位數，應用甚為廣泛。模糊數之中位數檢定，不論是離散型還 是連續型模糊數，以各模糊數之反模糊化值為之。此檢定方法是將兩組獨立樣本 混合後，找出共同中位數，再分別算出兩組樣本大於或小於共同中位數的個別次 數，製成一2×2 聯立表（表 3.3）：

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表3.4 A 組一週至合作社購買早餐天數之模糊數及反模糊化值 一週購買天數

編號 0 1 2 3 4 5 ^{反模糊化值}

1 1 0

2 1 0

3 1 0

4 1 0

5 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 3.24 6 0.2 0.2 0.6 4.544 7 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 2.968

8 0.5 0.3 0.2 1.84

9 0.5 0.3 0.4 0.1 2.962 10 0.2 0.4 0.3 0.1 2.452

表3.5 B 組一週至合作社購買早餐天數之模糊數及反模糊化值 一週購買天數

編號 0 1 2 3 4 5 ^{反模糊化值}

1 1 0

2 0.2 0.8 4.456

3 1 0

4 0.5 0.5 1.6

5 1 0

6 0.1 0.2 0.3 0.4 3.16 7 0.3 0.7 3.784 8 0.1 0.4 0.3 0.2 3.76

9 1 5

10 0.3 0.5 0.1 0.1 2.12

表3.6 A、B 兩組的反模糊化值由小到大排列

A 組 0、0、0、0、1.84、2.452、2.962、2.968、3.24、4.544 B 組 0、0、0、1.6、2.12、3.16、3.76、3.784、4.456、5

現以α＝0.05，檢定檢定 A、B 兩組學生一週至合作社購買早餐天數之中位數是否相等？

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3.3 變異數檢定

此檢定法由Mood 所提出，用於檢定兩個具有相同平均水準之母體是否具有 相同的變異數。採用此法檢定須有以下的假定：

(1) 兩個獨立樣本的抽取皆為隨機的。

(2) 資料的尺度至少為序列尺度。

(3) 兩母體除了變異程度外，其他性狀皆一致。

Mood 變異數檢定法的假設型式可為雙尾檢定，亦可為單尾檢定。雙尾檢定 的假設型式為：

H₀ ：σ = σ₁² ₂² 即第一組之變異與第二組無不同 H₁ ：σ₁² σ₂² 即第一組之變異與第二組不同

其中，σ不僅指母體的標準差，而泛指離勢量數。

以下僅就雙尾檢定做說明，單尾檢定之原理類同。

Mood 變異數檢定之統計量為： M＝ ^{1 1 2 2}

1

( 1)

2

n i i

n n r





^－  

其中，n₁ 為樣本數小的樣本數；n₂為樣本數大的樣本數，即n₁≤ n₂；r_i為 X、Y 混合排列後之第 i 個 X 值的等級，

 

2

2 1

1 n 

n 是X、Y 之各觀測值等級的平

均數。

M 值求得後，查表得兩臨界值M^'或M^"。雙尾檢定時，當M 居於兩臨界值之 間，即M^'M M ^''時，應接受H₀；否則拒絕H ，接受₀ H₁。

本檢定的理論基礎為：若兩母體的變異程度不同，則由變異程度大的母體抽 取之樣本，在混合排列後會趨向兩端，使等級太大或太小，並使統計量M 太大 或太小。故當檢定統計量M 大於等於大的臨界值M^"或小於等於小的臨界值M^'時，

應拒絕H 。 ₀

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例 3.4：檢定檢定上學通勤時間長與短學生一週至合作社購買早餐天數變異數是否相等 從例 3.3，以平均通勤時間 40 分為基準，A 組為通勤時間 40 分鐘以上，B 組為通 勤時間40 分鐘以下，得 A、B 兩組一週至合作社購買早餐天數中位數無顯著差異，今欲 檢定A、B 兩組學生一週購買早餐天數變異數是否相等。

【做法】

統計假設為 H₀：A（通勤時間 40 分鐘以上）一週至合作社購買早餐天數之變異 和 B（通勤時間 40 分鐘以下）並無不同。

H₁：A（通勤時間 40 分鐘以上）一週至合作社購買早餐天數之變異 和 B（通勤時間 40 分鐘以下）並不同。

表3.8 A 組、B 組一週至合作社購買早餐天數反模糊化值整理各觀測值等級

觀測值 0、 0、 0、 0 、 0 、 0 、0 、 1.6、1.84、2.12 組別 A、 A 、 A、 A、 B 、 B 、 B 、 B 、 A 、 B 等級 4、 4、 4 、4、 4 、 4 、 4 、 8、 9 、 10

觀測值 2.452、2.962、2.968、3.16、3.24、3.76、3.784、4.456、4.544、5 組別 A 、 A 、 A 、 B 、 A 、 B 、B 、 B 、 A 、 B 等級 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 19 、 20

以排序後之資料（表3.8）求統計量

在α=0.05 顯著水準下， (n₁+n₂+1)/2 = (10＋10+1)/2 = 10.5

M＝(4－10.5)²+ (4－10.5)²+ (4－10.5)²+ (4－10.5)²+ (9－10.5)²+ (11－10.5)²+ (12－10.5)²+ (13－10.5)²+ (15－10.5)²+ (19－10.5)²＝ 272.5

以α=0.05， n₁ =10，n₂ =10，查表得臨界值 M =198.50 ，^' M = 464.50， ^"

而 198.50 ＜ 272.5＜464.50，即M ＜ M ＜^' M ， ^"

故接受H0。

表示上學通勤時間長與短學生一週至合作社購買早餐天數變異數無顯著差異。

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4 實證分析

教育部希望學生能就近就讀所在社區高中，部分原因是希望學生能夠減少上 學通勤時間，為何希望要減少上學通勤時間？因為若通勤時間過長，對學生們來 說，就必須要早起搭乘交通工具，而早起搭交通工具，就不免要減少學生晚上睡 眠時間，睡眠時間的減少，最直接的就是會影響學生上課學習表現。藉此，本研 究透過收集高一41 位同學，透過調查問卷的資料，進行探討上學通勤時間的長 短，對於學生上課學習表現之模糊相關，分別對以下四個子題做模糊相關係數評 估：

(1)學生上學通勤時間與上課精神狀態的相關性 (2)學生上學通勤時間與上課專注度的相關性

(1)學生上學通勤時間與上課精神狀態的相關性 (2)學生上學通勤時間與上課專注度的相關性

在文檔中 上學通勤時間對於學生學習表現之模糊相關分析 - 政大學術集成 (頁 7-0)