一、比例推理的意義
Chaim、Fey、Fitzgerald、Benedetto 和 Miller(1998)表示，比例是兩個比相 等的一種陳述，一般而言，定義「兩個相等的比稱為比例，即a/b= c/d」(Heller et al., 1989; James & James,1 976; Mueller, 1969; Narins, 2001; Rees & Sparks, 1967;
Richardson, 1996; Tourniaire & Pulos, 1985)，或其他類似的定義「兩個分數相等則 稱為比例」(McConnell, Brown, Usiskin, Senk,Widerski, & Anderson, et al., 1998;
Robison, 1966)，比例的定義內容主要是強調兩個比或兩個分數之間相等的關 係，透過四個數或量的相等關係可以用來尋求其中一個未知數或未知量，即可形 成一個比例的問題(郭佩儀,民 96)。
Inhelder 和 Piaget(1958; 引自 Lamon, 1994)認定能夠成功解決比和比例問 題的過程稱之為比例推理，因為兒童可以辨識比例等式兩端的相似性而成功得到 正確答案並包括能夠構思及解決比例的代數問題。Lamon(1994)表示，比是表達 相對大小抽象概念的一種比較指標，也是一個數量相對於另一個數量大小的數值 表示方法。依據皮亞傑的論點，認為兒童在進入形式操作期後才真正具有比例的 概念，所以比例概念對認知發展階段具有其特殊的意義，是由具體操作期進入到 抽象的形式操作期。
比和比例的概念發展是一起的(Lo & Watanabe, 1997)，他們牽扯到個人概念 領域，包括乘法、除法和有理數等相關概念，因此，在發展比和比例的基模時，
有用的數學知識包括下列各項：
(1)數的結構，如：除數和倍數。
(2)多位數乘法和除法的概念基礎。
(3)熟悉乘法和除法的變化，包括商和部分的除法。
(4)有意義的乘法和除法運算。
(5)整合上面有理數概念的發展(郭佩儀,民 96)。
Lamon(1994)認為比例概念必須具有以下的重要數學要素：相對與絕對改 變、共變性與不變性。
其中，共變性與不變性是指運算的等價性(covariance and invariance：
operational equivalence)，即形成一個比的數量之間，會有一起改變的關係，也會 有保持不變的關係。例如一個比和它的倍數比之間，兩個比的數量大小不同，同 時變為原來的整數倍，但是兩個比的比值大小保持不變(Lamon，1994)。假設 4 個人分 3 個西瓜等同於 8 個人分 6 個西瓜，雖然兩組比的數量不同，但是第二個 比等同於第一個比，所以可以察覺某些關係有改變，但是有些關係依舊保持不變。
另外，Lamon(1994)認為比例推理中最重要的部份就是要能判斷相對改變與 絕對改變之差別。
相對改變原則(relative change)的意義為以兩數相減所產生的差值除以原來 的數量，來代表兩數之間相對的變化量，用來比較數量大小的解題方法。絕對改 變原則(absolute change) 的意義為以兩數相減所產生的差值，來代表兩數之間絕 對的變化量，用來比較數量大小的解題方法。
舉例說明，如果題目是：有甲、乙二條蛇，原來的長度甲蛇為 50cm，乙蛇 為 80cm，經過三個月的成長後，甲蛇長度變為60cm，乙蛇變成 90cm，請問哪 一隻蛇長得比較快？
若回答的答案是甲蛇，表示答題者有考慮到蛇本身原來的長度，是以前後相 減的差值除以原來的數量來回答此題，就是傾向以相對改變原則解題 。
若回答的答案是一樣，表示答題者是以前後相減的差值來回答此題，就是傾 向以絕對改變原則解題 。
二、比例推理的相關研究
Gabel et al.(1984)利用橘子與砂糖表示組成物質的粒子去探討學生在莫耳問 題上的困難，研究發現學生的問題並非所用粒子的大小，而是數學的能力，包括：
科學記號的計算、解題步驟的多寡、除法運算。Hudson(1976)指出比例問題與除 法問題是造成學習困難的原因之一(王碧鴻,民 87)。
Noelting (1980a, 1980b)設計橘子水問題，以測驗比例推理能力，其為橘子汁 與水的比任意改變，形成一份包含各種程度的比例推理測驗。在Noelting 的解題 策略分析中，可看出等價的比值間以通分、約分做比較的能力，是在具體運思期 發展而成，而任意比例與分數的通分的統整能力，要等到形式操作期才完成(引 自李家言,民 91)。
江南青(民 74)指出研究國中生的比例推理能力發展時，發現其中有 1/3 的 國中生，很習慣地使用一種錯誤的方法：加法策略來解題。這些學生由於無法進 行正確的比例推理，影響他們在數學和其他課業上的學習。
歐瑞賢(民 85)採用實驗研究法，研究對象為國小二年級到六年級的學生 491 人，進行不等量組實驗組及控制組的比例推理評量實驗，研究結果採用動態評量 提示量較靜態評量有區辨的敏銳性，動態評量對比例推理能力具有區辨力。
郭佩儀(民 96)設計包含數字形式、語意種類及量的性質三個比例推理的表
構的晤談質性研究，結果發現學生受表面結構影響的先後順序為數字形式、語意 種類及量的性質；而深層結構的認知順序由易到難為共變原則、不變原則，最後 是相對改變原則。
如上述所言，比例推理的分類方式很多，本研究依Lamon(1994)將比例推理 分為共變原則、不變原則及相對改變原則等三個比例推理深層結構，而本研究目 的欲了解學生解題策略，故以此深層結構進行深入探究。
第五節 解題
一、有關數學解題的相關研究
本研究所謂的數學解題是指個體遭遇一個陌生的工作(novel task)時，運用高 層次思考的心智歷程(如回憶事實、概念推理或使用運算法則)與內容知識 (content knowledge)相連結，企圖解答此工作的過程。(Greehowe,1983；引自連 秀玉,民 84)，所以，指涉及運用高層次的思考歷程，並經過多步驟解題過程，
並不包括所有的問題解決，尤其是單一步驟，或直接判斷即可回答的問題，並不 在本研究數學解題的探討之列。
美籍匈牙利裔數學家George Pólya 在 1945 年的名著「怎樣解題」(How To Solve It)一書當中，將數學問題解決的流程分為四個步驟(Pólya,1945)，並在四個 解題步驟分別建議幫助完成該步驟的解題策略，稱為啟思策略，該書已由閻育蘇 (民 82) 翻譯，整理內容如下：
(一)了解題意：由問題所給予的提示，來了解已知與未知的關係，並且根據學 習之前所具備的知識與概念，以尋找未知的關係。其啟思策略為：1.未知 數是什麼? 2.已知的數據是什麼? 3.題目的限制條件是什麼？ 4.條件充 份嗎?是否有不足、多餘或互相矛盾的條件? 5.畫圖，並引入適當的符號 幫助解題。 6.把條件的各部份分開。
(二)擬定計劃：包含判斷解題所需的公式、應用輔助的工具、思考教師課堂上 是否有相關或類似的例題講解。其啟思策略為：1.解一個曾解過或與本題 類似的問題。2.解一個和本題相關的問題。3.想出可能用得到的定理。4.
想出和本題有相同或相似未知數的熟悉問題。5.將已解決問題的結果或方 法運用在本題解題過程中。6.加上輔助元素，以助運用以解過問題的結果 與方法。7.使用另一種方式重新描述本題。8.先解決問題的一部份。9.
視情形而定，先解決與本題相關的較簡單、普遍、特殊或是類比的問題。
10.將題目的已知數據先改成更容易計算的數據。11.將未知數與某個已知 數的角色互換，並指定一個或一組簡單的數據給這個互換後的已知數。12.
解題過程中，隨時檢查自己是否用到了所有題目所給的條件、數據與概 念。13.隨時回到定義。
(三)實施計劃：根據之前所擬定的計劃，進行策略執行。其啟思策略為：1.
實現求解計劃，並檢驗每一步驟。2.確認每一步驟的正確性。3.嘗試證明 所做步驟的正確性。
(四)回顧解答：回顧所得之答案是否合理，或者是否有其他解答。其啟思策略 為：1.嘗試檢驗結論。2.用別的方法導出同一個結果。3.嘗試能立刻看出 所得結果。4.嘗試運用這題的結果或方法求解另一個問題。
Mayer(1986)根據認知的觀點提出成功解出數學問題所需的四個要素及知識 如下(引自李佳奇,民 89)：
(一)問題轉譯：解題者需要有能力將問題中的每一個句子轉換成某個內在表 徵。在轉譯的過程中，解題者必須了解每個句子的意義。
(二)問題整合：解題者能夠將問題中的每個陳述句整合成為連貫而一致性的問 題表徵。
(三)解題計畫與監控：解題者必須能夠想出及監控解題計畫。
(四)解題執行：當順利執行完前三步驟後，最終即是解題者能夠運用算術的法 則進行求解。
關於數學解題的文獻相當多，相關文獻探討可以參閱吳美滿(民 87)之論文，
由於吳美滿(民 87)及劉力為(民 91)的論文較少人知道，本研究特別介紹此兩人 之研究結果如下：
吳美滿(民 87)以不等群前後測實驗設計方式，針對臺北市兩班國二的學生 進行 16 節課的國中比例單元教學。實驗組是透過波利亞的解題步驟來教導比例 的概念；控制組也是以波利亞的解題步驟方式教學，但是，過程中未明確告知學 生採用波利亞的理論及未鼓勵學生以畫圖的方式解答。研究結果，關於波利亞解 題步驟的第一步驟了解題意階段，經教學後，不管在了解題意或畫圖方面，實驗 組的表現都優於控制組。波利亞的第二及第三個步驟的教學效果就不如了解題意 明顯。整體來說，實驗組學生在教學後解題能力比教學前有所提昇，但兩組學生 解題的差異並未達統計上的顯著效果。
劉力為(民 91)以波利亞解題策略透過認知師徒制教導五位國一學生學習比 例單元，上課教材為以學生實際校園生活經驗為背景的五個劇本，並經由劇本教 材的分析教導學生波利亞的解題策略。研究結果是學生們在接受比例教學前，計 算比例問題幾乎都使用國小六年級所教的倍數法。學生解文字題時不容易想到使 用比例式，尤其是比值形式的直式比例式；但是圖形題則容易使學生想到要列比 例式。如果問題直接給比值形式的比例式，則學生大部分都能自行推出解答。在 波利亞啟思法的問題解決上，學生們對第一步驟「了解題意」之「已知數是什麼」
劉力為(民 91)以波利亞解題策略透過認知師徒制教導五位國一學生學習比 例單元，上課教材為以學生實際校園生活經驗為背景的五個劇本，並經由劇本教 材的分析教導學生波利亞的解題策略。研究結果是學生們在接受比例教學前，計 算比例問題幾乎都使用國小六年級所教的倍數法。學生解文字題時不容易想到使 用比例式，尤其是比值形式的直式比例式；但是圖形題則容易使學生想到要列比 例式。如果問題直接給比值形式的比例式，則學生大部分都能自行推出解答。在 波利亞啟思法的問題解決上，學生們對第一步驟「了解題意」之「已知數是什麼」