第二章、 基礎理論與數學模型之建立
2.2 飛彈模型建立
2.2.5 氣動力係數、氣動力矩係數
2.2.5 氣動力係數、氣動力矩係數
飛行載具的機身與尾翼在飛行時會產生氣動力、氣動力矩。而這些氣動力係 數、氣動力矩係數根據飛行高度、馬赫數、攻角、風向角等因素而不同，必須由 飛行測試推估而得。本論文使用文獻[1]的資料，其相關係數如表 2-1。
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色線為實際模擬結果，紅色線為近似方程式的結果。從這兩張比較圖中可以看出 實際的曲線與近似方程式的相似性。
圖 3-1 尾翼輸入 2 度步階命令所得到的加速度ay(t)比較圖，藍線為模擬輸出結 果，紅線為(3.1)式的圖形。
圖 3-2 尾翼輸入 2 度步階命令所得到的角速度q(t)比較圖，藍線為模擬輸出結果，
紅線為(3.2)式的圖形。
統整以上方程式，以時域系統表示:
δc(t) = 2(180π ) (rad) ay(t) = −4 + 4cos3.9t (m/s2) q(t) = −0.005 − 0.073sin3.9t (rad/s) 經由拉普拉斯轉換，以頻域表示:
δc(s) = 2(180sπ ) (rad)
ay(s) = −41s+ 4s2+15.2s (m /s2) q(s) = −0.0051s− 0.073s2+15.23.9 (rad /s)
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其中u為新的控制輸入。將(3.8)式代入(3.6)式可得新的狀態方程式為 [η̇
η̈] = [
0 1
−15.2 −8.1Kq] [η η̇] + [0
1] u [ay] = [−1743 0] [η
η̇] (3.9) 經過計算得到u 到ay的轉移函數為
a y (s)
u(s) = s 2 +8.1K −1743
q s+15.2
(3.10)圖 3-4 加入 q 回授的狀態方程式
由(3.10)式可知自然頻率wn = √15.2 = 3.9，如果要達到阻尼比為 1，則回授增益 Kq必須滿足
8.1Kq= 7.8 (3.11) 因此Kq = 7.8/8.1 ≈ 1。我們選擇Kq = 1，針對(3.10)式設計比例積分控制器，如 圖 3-5 所示。
圖 3-5 利用比例積分控制器設計(3.10)式系統，其中Kq= 1
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用圖 3-6 根軌跡圖找尋適當閉迴路極點位置的Ka，且已知KKi
a= 1，由Ka來決定Ki 的值。Ka選擇越小的閉迴路實根極點越遠離虛軸，而閉迴路複數根極點越遠離實 軸。因此Ka越小系統響應速度會增加，但超越量也會增加。
圖 3-6 零點在-1 的根軌跡圖(Ka < 0)
表 3-1 為線性模型開迴路零點在-1 時，選擇不同Ka及Ki加速度命令為 2g 的步階 函數暫態響應比較。線性模型中加速度系統響應不會有低射現象，上升時間為系 統從終值的 10%到 90%的時間，安定時間為系統進入終值±2%的時間。由表 3-1 可知選擇Ka、Ki值越小，系統響應速度越快但超越量越大。圖 3-7 及圖 3-8 分別 為加速度命令為 2g 的步階函數時，加速度和尾翼角響應圖比較。
表 3-1 線性模型零點在-1 時不同Ka、Ki的加速度暫態響應比較
Ka = Ki 最大超越量 最小低射 上升時間 安定時間 閉迴路極點位置
−0.01 0% 0g 2.298s 4.961s -0.6,-3.74±3.74j
−0.02 0% 0g 0.4125s 3.178s -0.78,-3.6±5.5j
−0.03 5% 0g 0.263s 2.449s -0.86,-3.6±6.9j
−0.04 12% 0g 0.201s 1.997s -0.88,-3.6±8.1j
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圖 3-7 線性模型零點在-1 時不同Ka、Ki的加速度響應比較
圖 3-8 線性模型零點在-1 時不同Ka、Ki的尾翼角響應圖比較 再來比較選擇開迴路零點位置在-2 時，即KKi
a = 2，不同Ka、Ki的情形，圖 3-9 為開迴路零點位置在-2 的根軌跡圖。零點位置在-2 的系統閉迴路實根極點比零
點在-1 時的系統遠離虛軸，閉迴路極點複數根稍微靠近實軸與虛軸。系統比較 受實根遠離的影響，使得系統響應越快，但超越量越大。輸入加速度命令為 2 g
的步階函數，表 3-2 顯示Ka、Ki越小系統響應越快，但超越量越大。與表 3-1 比較之，在相同的Ka情況之下，開迴路零點位置越遠離虛軸，系統響應越快，但
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超越量越大。圖 3-10 及圖 3-11 分別為加速度和尾翼角響應圖比較。
圖 3-9 零點在-2 的根軌跡圖(Ka < 0)
表 3-2 線性模型零點在-2 時不同Ka、Ki的加速度暫態響應比較
Ka Ki 最大超越量 最小低射 上升時間 安定時間 閉迴路極點 -0.01 -0.02 0% 0g 0.627s 1.883s -1.6,-3.3±3.4j -0.02 -0.04 9.4% 0g 0.308s 1.401s -1.8,-3.1±5.4j -0.03 -0.06 18.4% 0g 0.219s 1.162s -1.9,-3.1±6.7j
圖 3-10 線性模型零點在-2 時不同Ka、Ki的加速度響應比較
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圖 3-11 線性模型零點在-2 時不同Ka、Ki的尾翼角響應圖比較
選擇開迴路零點位置在-3 時，輸入加速度命令為 2g 的步階函數，表 3-3 為加速 度暫態響應比較，圖 3-12、圖 3-13 分別為加速度和尾翼角響應圖比較。表 3-3 顯示暫態響應很快但超越量變得很大，也造成安定時間很長，不符合我們的要求。
因此不再討論零點小於-3 的情況。
表 3-3 線性模型零點在-3 時不同Ka、Ki的加速度暫態響應比較
Ka Ki 最大超越量 最小低射 上升時間 安定時間 閉迴路極點 -0.01 -0.03 9% 0g 0.452s 1.441s -3.02,-2.5±3.2j -0.02 -0.06 22.3% 0g 0.315s 1.422s -3.01,-2.5±5.3j
圖 3-12 線性模型零點在-3 時不同Ka、Ki的加速度響應比較
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圖 3-13 線性模型零點在-3 時不同Ka、Ki的尾翼角響應圖比較
在線性模型中相同Ka的情況下，開迴路零點位置越遠離虛軸，系統響應越快，
但超越量越大。相同開迴路零點位置的情況下，Ka越小系統響應速度會增加，但 超越量也會增加。尾翼角響應與超越量的大小有關，超越量越大則尾翼角需要的 角度也越大。從以上討論中選擇一組數據使系統最大超越量不大且響應速度快。
選擇開迴路零點位置在-2 時，Ka= −0.02、Ki = −0.04，為線性模式系統較佳 的響應設計。
再來討論比例積分控制器在實際非線性飛彈模型中進行步階響應的模擬。輸 入加速度命令 2g 的步階函數，討論閉迴路零點位置在-1、-2 及-3 時，不同Ka及 Ki值非線性系統的暫態響應比較。表 3-4 為選擇開迴路零點位置為-1 系統輸入 加速度命令 2g 步階響應的比較，圖 3-14、圖 3-15 分別為加速度和尾翼角響應。
表 3-4 非線性模型零點在-1 時不同Ka、Ki的加速度暫態響應比較 Ka = Ki 最大超越量 最小低射 上升時間 安定時間 閉迴路極點
−0.01 0% -0.172g 2.388s 5.372s -0.6,-3.74±3.74j
−0.02 0% -0.392g 1.072s 3.183s -0.78,-3.6±5.5j
−0.03 0% -0.648g 0.122s 2.453s -0.86,-3.6±6.9j
−0.04 29% -0.904g 0.062s 1.982s -0.88,-3.6±8.1j
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圖 3-14 非線性模型零點在-1 時不同Ka、Ki的加速度響應比較
圖 3-15 非線性模型零點在-1 時不同Ka、Ki的尾翼角響應圖比較 若選擇開迴路零點位置為-2，表 3-5 為加速度命令為 2g 的步階函數時不同Ka、Ki 值的加速度暫態比較，圖 3-16、圖 3-17 分別為加速度、尾翼角響應圖。
表 3-5 非線性模型零點在-2 時不同Ka、Ki的加速度暫態響應比較 Ka Ki 最大超越量 最小低射 上升時間 安定時間 閉迴路極點 -0.01 -0.02 0% -0.181g 0.799s 1.529s -1.6,-3.3±3.4j -0.02 -0.04 1.5% -0.401g 0.257s 1.503s -1.8,-3.1±5.4j -0.03 -0.06 13.1% -0.675g 0.101s 1.475s -1.9,-3.1±6.7j
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圖 3-16 非線性模型零點在-2 時不同Ka、Ki的加速度響應比較
圖 3-17 非線性模型零點在-2 時不同Ka、Ki的尾翼角響應圖比較 若選擇開迴路零點位置為-3，輸入加速度命令為 2g 的步階函數，表 3-6 為不同 Ka、Ki值的加速度暫態比較，圖 3-18、圖 3-19 分別為加速度、尾翼角響應圖。
表 3-6 非線性模型零點在-3 時不同Ka、Ki的加速度暫態響應比較 Ka Ki 最大超越量 最小低射 上升時間 安定時間 閉迴路極點 -0.01 -0.03 6.6% -0.188g 0.497s 1.906s -3.02,-2.5±3.2j -0.02 -0.06 12.9% -0.411g 0.189s 1.112s -3.01,-2.5±5.3j
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圖 3-18 非線性模型零點在-3 時不同Ka、Ki的加速度響應比較
圖 3-19 非線性模型零點在-3 時不同Ka、Ki的尾翼角響應圖比較 比例積分控制器放入非線性模型與線性模型的響應非常相近，非線性模型擁 有與線性模型相同的特性:開迴路零點位置選擇越遠離虛軸，系統的響應主要受 系統實根遠離所影響，因此響應速度越快，但超越量會越大。Ka值選取的越小，
代表系統實根越遠離虛軸，複數根越遠離實軸，因此響應速度越快，超越量會越 大。最大的不同是非線性模型的加速度響應有低射現象，實際上的非線性飛彈模 型具有右半面零點，而線性模型忽略了零點的影響，因此線性模型沒有低射的現 象。且相同的Ka、Ki數值下，非線性模型的響應速度較慢，超越量較大。由以上 數據分析，我們選擇一組數據使得系統最大超越量不大且響應速度快，與線性模 型相同仍然選擇零點在-2時，Ka = −0.02、Ki = −0.04，為較佳的響應設計。
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圖 4-1 輸入 40 度步階函數尾翼角加速度以及攻角響應圖
圖 4-2 輸入 8000N 步階函數的側向推力加速度以及攻角響應圖
4.1.2 線性化動態方程式的修正
實際上攻角不易量測，飛彈控制系統只能利用體座標方YB向的加速度ay以及
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系統加速度追上命令快速，且側向推力適中。因為切跳幅度不大，選取ε值可以 較小，使的整個響應更為精確。
4.1.4 修正型的切跳函數
一般來說順滑模控制雖然響應速度快，但卻有響應切跳的情形產生。可以利 用設立邊界層來解決問題，使的在邊界層內的切跳不要這麼大。文獻[10]提出了 一個修正型的切跳函數:
ν ρ (s) = s
(|s|+ρ)
(4.32) ρ設為一個小的正數。當ρ → 0，νρ(s)則為sign(s)的函數。ρ的設定可以使切 跳的函數更順滑，ρ越大則系統響應切跳越小但穩態誤差越不精確，越小則反之。圖 4-3 為不同ρ所形成的切跳函數比較。圖 4-4 為一般切跳函數sat(s, ε)，ε = 0.1 和修正後切跳函數νρ(s)，ρ = 0.005的比較。黑色線為sat(s, ε)函數，紅色線為 νρ(s)函數，修正後切跳函數νρ(s)響應較sat(s, ε)函數順滑，能降低切跳，因此我 們利用νρ(s)函數取代sat(s, ε)切跳函數。
圖 4-3 修正型的切跳函數不同ρ值得比較
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圖 4-4 修正型與一般切跳函數比較
4.1.5 設計一複合控制設計
在這裡我們將線性的尾翼控制命令視為干擾，利用順滑模控制對雜訊的穩健 性，直接設計側向推力控制器。我們設計複合控制的概念是尾翼為主要控制，系 統在追蹤時主要由尾翼來達到加速度控制要求，在需要使用側向推力時才將側向 推力打開。因此尾翼控制必須是個獨立的系統，在側向推力加進來時仍保有一部 分自己的響應。側向推力只是輔助的作用，藉由推力快速的改變攻角，使系統響 應速度加快。我們可以利用上述的順滑模控制來控制側向推力，作為輔助的配 合。
設計的方法為尾翼角負責 80%的加速度命令，讓尾翼控制做為主要的控制，
然而側向推力負責 20%的加速度命令，作為輔助的控制。我們在回授回來的資訊 後面加個切換開關，當開關打開時加速度命令和回授的加速度乘以 0.8 傳給線性 的尾翼控制，乘以 0.2 傳給順滑模側向推力控制。複合控制以及尾翼控制經由開
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關來作切換，以便能隨時快速的轉換。整體控制設計如下，線性尾翼控制設計:
Ka = −0.02、Ki = −0.04、Kq = 1 (4.33) 最後修正順滑模控制定律為
uTc= u1−1
gσ s (|s| + ρ)
ρ = 0.005，σ = 1200 (4.34) 接下來比較不同比例尾翼及側向推力所造成的結果，以(4.33)式的線性參數 以及(4.34)式的控制來做模擬。輸入加速度命令 2g 步階函數，比較其差異。表 4-1 中上升時間為系統從終值 10%到達 90%的時間，加入側向推力上升時間比尾 翼控制還要快。整體而言尾翼與側向推力比例為 9:1，8.5:1.5，8:2，7:3 這幾 組的響應的結果差不多，上升時間非常相近。從圖 4-5 可以看出 8:2 這組追加速 度 2g 的步階函數追得較精確，因此選擇尾翼 80%以及側向推力 20%的組合。
表 4-1 不同比例尾翼及側向推力的上升時間比較
尾翼比例 側向推力比例 上升時間
100% 0% 0.270
90% 10% 0.0148
85% 15% 0.0147
80% 20% 0.0146
70% 30% 0.0145
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圖 4-5 不同比例尾翼及側向推力的響應圖
將設計一複合控制先利用線性模型來作模擬，其線性模型為(4.22)式。輸入 加速度命令 2g 的步階函數來比較尾翼控制以及複合控制的響應。圖 4-6 為線性
將設計一複合控制先利用線性模型來作模擬，其線性模型為(4.22)式。輸入 加速度命令 2g 的步階函數來比較尾翼控制以及複合控制的響應。圖 4-6 為線性