第二章 基本理論
2.9 牛頓法
牛頓法(Newton’s method)是一種近似求解的方法，利用函數的泰勒級數來 逼近方程式 F(x)=0 的解。假設函數 F(x)的軌跡如圖 2-6 所示，首先寫出函數在 x0的一階泰勒展開式：
𝑆(𝑥) = 𝐹(𝑥0) + 𝐹′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) (2.31) 就幾何上來說，函數在 x0的一階泰勒展開式代表在 x0點對函數的切線。牛頓法 的核心想法就是假設當 x0為函數 F 與 x 軸的交點時，該點同時也是切線與 x 軸 的交點。令 S(x)=0 解變數 x 可得：
𝑥 = 𝑥0− 𝐹(𝑥0)
𝐹′(𝑥0)
� (2.32)
即使得到的變數不是 F(x)=0 的解，通常也會比原始的 x0更接近。只要函數的斜 率是連續的，且做為目標的零點是孤立的，則在零點周圍一定範圍內牛頓法必定
F(x1,x2)=d1
F(x1,x2)=d2
V(x1,x2)=c
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會收斂。因此可以將得到的變數重複代入公式(2.32)中，以迭代的方式逼近最佳 解：
𝑥n+1 = 𝑥n− 𝐹(𝑥n)
𝐹′(𝑥n)
� (2.33)
上式即是牛頓法的核心計算式。假如將拉格朗日法中得到的偏微分式做為函數代 入公式(2.33)，就能夠快速得計算求解。
圖 2-6 牛頓法利用對函數做切線來得到新的點，並藉由重複此過程逼近函數的零點 S(x)
x0
x1
F(x1) F(x)
x
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第三章
獨立成份分析演算法
本章節將深入介紹獨立成份分析法及分析流程。首先在 3.1 節簡略的介紹整個 分析流程的架構後，接著再根據獨立成份分析的流程逐一做介紹。雖然獨立成份 分析法的流程在得到獨立成份時便已完成，但為了建立特性化模型，還需要計算 連結系統特性矩陣與反射頻譜的係數，因此在本章節最後 3.6 節的部分會介紹如 何計算特性化模型的係數。
3.1 分析流程架構
圖 3-1 特性化模型之分析及建構流程圖
(1) 設定取樣點量測訊號
在現實中的物理訊號基本上都是連續訊號，例如聲波在時間域上連續、頻 譜在波長上連續。因此在進行分析之前必須先對連續訊號取樣得到離散訊號，並 表示成向量的形式才能進行線性轉換的計算。
資料前處理 設定取樣點量
測混合訊號 輸入最佳化演算法
結果是否具有最 大獨立性?
建立特性化模
型 輸出結果 是
否
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(2) 資料前處理
形，如圖 3-2 所示。其基本模型的建構，主要是使用統計上的潛在變數(latent
在獨立成份分析法中的第一個假設為「觀察資料與潛在成份的數量相同」，
前通常會先將資料轉換成一組具有非相關性的資料，以降低自由度並加速後續運
其中 Be代表對應此非相關矩陣的解混合矩陣，U 則是透過解混合矩陣得到的新
斯性的解必須使其與潛在獨立成分沒有線性組合關係，換句話說，向量 u 自身就
其中κ 為拉格朗日乘數。依照定義，當有極值時函數的偏微分為零： 速定點演算法(fast fix-point algorithm)對公式進行優化[24]。首先，由於矩陣 W 具有非相關性，因此可以對公式(3.14)的分母部分做以下近似：
佳化演算法。將初始矩陣輸入遞迴式後，重複遞迴直到收斂至穩定結果，再將輸 出的解混合矩陣代回公式(3.7)，就能得到系統的獨立成份。另一方面，這些獨立 成份在電子紙模型中代表系統的特徵頻譜，也就是構成特性化模型的系統特性矩 陣。
3.6 建立特性化模型
求得系統特性矩陣後，下一步是找到重建反射頻譜時各特徵頻譜對應的係 數，再藉以建立特性化模型。由於獨立特徵頻譜的均值為一且變異量為零，在重 建頻譜時我們會先對反射頻譜的均值及變異量作相同處理，並建立標準特性化模 型：
𝐫� = 𝐔 𝐜 (3.18) Where 𝐫 = 𝐫̅ + 𝜎𝑟𝑟𝐫� (3.19) 其中 r 代表電子紙的反射頻譜，𝐫̅代表反射頻譜的平均值，σr代表反射頻譜的變 異量，𝐫�代表標準化的反射頻譜，c 代表對應各特徵向量的純量值所組成的向量。
由於特徵頻譜彼此間互相獨立，此特徵頻譜矩陣為滿列秩矩陣，因此純量向量內 的係數將可以通過廣義反矩陣估計：
𝐜 = (𝐔𝐔T)−1𝐔𝐫� (3.20) 有了系統特性矩陣及對應的純量向量，就可以建立完整的電泳式電子紙之色彩特 性化模型，將電子紙畫面表現的反射頻譜改寫成獨立特徵頻譜的線性組合。
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第四章
實驗及分析
為了驗證此特性化模型的效果及準確性，我們設計了一系列實驗流程來檢驗 此模型對於新型電泳式電子紙的分析結果，以及利用其分析成果所重建的頻譜與 實際頻譜色彩上的差異程度。針對前述研究方法中所建立的特性化模型，我們使 用 CIEDE2000 來評估預測值與量測值之間的誤差。由於人眼對色差的辨識能力 大約是以ΔE00=1 為分界，若是實驗得到的ΔE00<1，則代表我們所提出之特性化 模型具有足夠的準確度。
4.1 實驗設置
在量測儀器的設置方面，我們所使用的分光光譜幅度計型號為 TOPCON®
SR-UL1R，在亮度 0.005~3000 cd/m2的範圍內亮度量測準確率為+-2%，色度量測 準確率為+-0.002。實驗時幅度計設置在電子紙平面的垂直方向，量測範圍為張 角兩度的圓形區域。實驗使用的標準光源為 CIE illuminant F7，以 45 度角入射電 子紙表面，整體配置如圖 4-1 所示。
圖 4-1 實驗儀器配置示意圖
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為了提高實驗數據的穩定性及準確度，每個數據都是經過五次量測後，取 五個數據平均值做為實驗數據。在實驗樣本的部分，首先會將模型套用於黑白微 杯型電泳電子紙，由於其結構較為單純，可以很容易地比較分析結果與電子紙實 際結構之間是否有連結關係，以此檢驗模型的可行性。接著會將其套用於較複雜 的全彩微膠囊型電泳電子紙建立色彩特性化模型，以實現我們重建全彩顯色機制 及其表現之全彩頻譜的目標。
4.2 實驗流程架構
圖 4-2 實驗分析流程圖
在實驗流程的部分，首先我們會量取一組作為訓練組的頻譜資料，用來分 析電子紙的色料特性。依照在第三章說明過的分析流程，首先對資料進行前處理 轉換成具有非相關性的資料，同時由變異量百分比篩選影響力較小的資料並移除。
前處理完成後將資料輸入最佳化演算法計算獨立特徵頻譜，並以此建立特性化模 型。為了檢驗此特性化模型的準確性，實驗中會另外量取一組頻譜資料作為測試 組，並計算由特性化模型重建之頻譜與實際頻譜之間的色差值。
資料前處理
量取訓練組 獨立成份分析
量取測試組
計算色差 重建頻譜 建立特性化模型
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4.3 樣本一：黑白微杯型電泳電子紙
實驗中選擇的第一個樣本是九吋大小的黑白微杯型電泳式電子紙，其結構 如圖 4-3 所示，包含聚合物材質的微杯、透明電泳液及帶有相反極性的黑白色料。
藉由調整上下電極板的電壓，可以使每個獨立像素表現出 16 種灰階。由於在實 際操作時輸入的電壓為交流電，微杯中的色料會隨著電壓變化鬆散分布，而不是 圖 4-3 所描繪的緊密堆積成色料層，因此黑白色料的混合結果很難以一個直觀的 物理模型描述。我們希望利用此種較為單純的黑白樣本，檢驗由獨立成份分析法 所建立的電泳式電子紙之特性化模型是否具有足夠的可靠性。從圖 4-3 的結構可 以發現對於此微杯型電泳電子紙來說，其灰階的變化主要來自黑白色料的頻譜表 現混合結果，可以預期系統特性矩陣內會有兩個主要特徵頻譜決定畫面呈現的灰 階頻譜。
圖 4-3 黑白微杯型電泳電子紙結構示意圖
我們根據前述實驗步驟，量測 16 個灰階的反射頻譜並輸入獨立成份分析 流程，以此找到足以代表電子紙的系統特性矩陣並建立色彩特性化模型。在計算 變異量百分比時，我們發現只要取兩個特徵向量，變異量百分比便已超過 99%，
如圖 4-4 所示。因此我們判斷只需要兩個獨立特徵頻譜就能代表系統的頻譜表現，
此分析結果也符合我們前述的預期結果。
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圖 4-4 取 1 至 4 個本徵向量之變異量百分比
而此黑白電泳電子紙經過獨立成分分析後得到的兩個獨立特徵頻譜，其頻 譜經過正規化的表現如圖 4-5 所示(IC1 與 IC2)。在此黑白樣本中，我們發現使用 前面介紹的所有非高斯度量測準則都會收斂到相同的獨立成份，在遞迴次數上也 沒有明顯差異，顯然使用不同的量測準則並不影響我們分析此黑白樣本的獨立特 徵頻譜。為了更進一步探討獨立特徵頻譜的物理意義，我們將灰階中的最暗態(G0) 及最亮態(G15)的反射頻譜正規化後加入圖 4-5 中比較。其中 IC1 與 G15 的曲線 幾乎完全相同，這表示 IC1 可以被視為子像素中白色色料的色彩表現。另一方面，
從圖 4-5 中可以看出 IC2 頻譜表現的整體強度比 G0 要來得小。由於在電子紙在 實際操作時色料是鬆散分布，且實際結構上白色色料的顆粒比黑色色料大，因此 即使利用電極板將黑色色料控制在溶液上層，其分布密度依然無法完全遮蓋白色 色料的反光而會產生漏光的情形。基於這個原因，我們認為 IC2 的頻譜曲線比起 代表暗態的零階頻譜，更真實地反映了黑色色料的頻譜表現。
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圖 4-5 獨立特徵頻譜之頻譜曲線(IC1、IC2)及灰階暗態(G0)及亮態(G15)之反射頻譜曲 線
建立電子紙的特性化模型後，就能利用模型預測或重建反射頻譜。由於黑 白電子紙只能表現出 16 個灰階，因此在這裡依然是使用灰階頻譜作為樣本。如 章節 3-6 所述，我們透過找到每個灰階對應特徵頻譜的係數，從而實現灰階反射 頻譜的重建，並且以 CIEDE2000 評估與實際反射頻譜的差異，其結果如圖 4-6 所示。平均的 CIEDE2000 色差值為 0.4，且每個灰階單獨的色差值都在 1 以下，
符合我們設定的評估標準。由此可知，對於具多重色料之黑白微杯型電泳式電子 紙，其隱含的色料表現可利用獨立成份分析法來尋找系統特性矩陣，且分析結果 具有相當的可靠性。
IC1 G15 IC2 G0
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圖 4-6 根據特性化模型預測之頻譜與實際灰階反射頻譜之色差值
4.4 樣本二：全彩微膠囊型電泳電子紙
4.4 樣本二：全彩微膠囊型電泳電子紙