2.1 簡介
定性的理論分析，可以幫助我們瞭解半導體元件一些光電的輸出特性，
能夠對於輸出特性，做模組化和最佳化的模擬。
本論文中所使用的套裝軟體為 LASTIP (Laser Technology Integrated Program)以及 APSYS(advanced physical model of semiconductor devices)，這 兩套軟體都是由加拿大的Crosslight 公司所出版。模擬的數值分析是基於 k
･p 的理論，使用 Luttinger-Kohn 提出的 Hamiltonian 矩陣以及 envelope function 去解 quantum well subband 的結構。在物理的模型中包含基本的 Poisson’s equation、current continuity equations、photon rate equation 和 scalar wave equation 等等，以及對於載子特性、邊界條件的描述等基本的公式。
2.2 軟體的模型
LASTIP軟體結合了二維的載子傳輸、熱流、光增益的計算，以及橫截 面(transversal plane)波導等等。熱的影響對於半導體雷射來說非常的重要，
因此幾乎所有的可能和熱有關的因素都會被考慮進去，這包含了電流和光 吸收產生的Joule heating、recombination heat、Thomson heat、Peltier heat等 影響[1]。
在APSYS軟體，結合了三維的載子傳輸、量子效應以及光線追跡的模 型，傳輸模型方面包含了電子和電洞的漂流(drift) 和擴散(diffusion)的效 應、Fermi statistics、異質接面的極化和熱離子發散效應，以及考慮到載子 的Shockley-Read-Hall (SRH) recombination 的 模 型 。 在 量 子 理 論 中 ， 以 Schrödinger和Poisson equation並用疊代法，來求得改變不同偏壓時，量子井 產生的變化。在量子井中電子電洞再結合自發性輻射的計算是用free-carrier model，並且考慮wurtzite價電帶結構。
在光模的模型中，所有光的模態都會被盡可能的討論到，因為這些非同 調性的自發性輻射發光模態，都會對輸出功率做出貢獻。photon rate equation 與drift-diffusion equations耦合的機制，以及各個材料折射率的增益也會被考 慮進去。
2.2.1 漂流-擴散/流體動力模型(Drift-Diffusion/Hydrodynamic Models)
在半導體中許多的物理現象需要用不同的模型去敘述，drift-diffusion model是一個最普遍，能夠解釋許多已知的半導體元件的基本特性的一個模 型，描述元件的行為，可以從Poisson’s equation開始
(
0 dc)
D(1
D)
A A tj(
j tj)
電洞的
deep level trap
，spontaneous
，stimulated
，Auger
的復合速率。這些方 程式提供了描述半導體元件中電子的行為。2.2.2 增益模型(Gain Model)
在一般的增益模型理論中，對於塊材
(bulk)
和量子井而言，材料的增益 和損失可以視為是波長和載子密度的函數。由於寬能隙的氮化系材料擁有 較低的介電常數(dielectric constant)
，在AlGaInN
量子結構的光增益部分是由Coulomb enhanced gain spectral function[2]
來計算, (ith-subband holes) transition 之總和。Γcv 是代表 Lorenzian width 也等於
/ τ
cv價電帶中的次能階
(
ith-subband of valence band)
，所得到電子和電洞的能量。2
Mji 是
transition matrix element
。Cpl 是範圍從1
到4
的單位常數。N2D=n
×(quantum well thickness)
，代表在量子井中的二維載子密度。而增益光譜是以
Lorenzian function
延展開的。2.2.3 自恰載子密度模型(Self-Consistent Carrier Density Model)
當位能井
(potential well)
在強大的電場下，如壓電場(piezoelectric field)
造成的影響，這時量子井就會斜向一邊，被侷限的波函數也會跟著斜向一邊，
optical transition
的行為就會不同於在平坦下的量子井，因此對於元件的特性就會產生一些影響。圖
2.2.3(a)
為沒有壓電場影響的能帶圖；圖2.2.3(b)
為壓電場導致能帶彎曲，造成載子從新分佈，因此需要一個模型來重新計 算能帶和波函數。而自恰載子密度模型
(self-consistent carrier density model)
，就被用來解 出在量子井中的壓電場，來修正位能帶和波函數。( )
0{ ( ) }
2D
( , )
nj jln 1 exp
fn( , )
j) / ,
j
n x y =