理論

2-1 近藤效應 (Kondo effect)

一般金屬在高溫時導電電子傳導機制主要是受電子與晶格震盪所產生的聲子 (Phonon)散射所支配，因此電阻會隨著溫度降低而減小，其行為可以用 Bloch-Gruneisen 理論的式子來描述，最後在低溫電阻會飽和至一有限值，稱為殘餘電阻，來源為電子與 random potential 散射，其對電阻的貢獻與溫度無關[14]。最後電阻的結果為兩個貢獻疊 加(圖 2-1)。但若金屬中含有微量的磁性雜質(或稱為稀磁合金)，如 Cu、Ag、Au 等金屬 中含有微量的 Cr、Fe、Mn 等雜質，在實驗觀察中，在高溫電阻的行為與前述類似，但 在低溫其電阻會發生反常現象：電阻會隨著溫度下降而增加，造成電阻對溫度的關係會 出現一個極小值，如圖 2-2。此即為近藤效應。

J. Kondo 在 1964 年提出[1]，使用二階波恩近似(the second Born approximation)計算 s-d 交換模型(s-d exchange model)，其結果可以解釋稀磁合金中電阻極小值的現象。在 稀磁合金中，磁性雜質可以提供侷域自旋(localized spin)，且因為雜質濃度很低，所以每 個侷域自旋可視為是孤立的，意即兩個自旋間沒有交互作用。Kondo 考慮導電電子與侷 域自旋存在反鐵磁(antiferromagnetic)交互作用的系統。此系統的 Hamiltonian 可表示為

H H

H  ₀ ， (2.1) 式(2.1)的第一項為非微擾(unpertubative)項，為導電電子的能量，表示為



^ operator)與創造算符(creation operator)，代表z軸的自旋方向。式(2.1)的第二項為微擾 (pertubative)項，為導電電子與侷域自旋的交互作用，表示為

}

0 100 200 300 68

72 76

 ₀ = 67.33 ( cm) thickness = 50 (nm)

_D = 238 K

_BG = 0.159 cm/K

 (  c m )

T (K)

Palladium film

圖 2-1 一般金屬電阻率隨溫度的關係。圖中粗實線為樣品Pd膜的實驗數據，細虛線為 Bloch-Gruneisen 理論[14]的擬合線。

圖 2-2 Au 樣品中電阻隨溫度存在極小值的實驗數據。[3]

作二階波恩近似得到其散射率，發現導電電子在散射雜質自旋的前後其自旋會反轉，造 成電阻隨溫度降低對數上升，結果表示為







 



 



 

 D

J T R

R_{sd 0} 1 (_F)log ， (2.4)

其中R₀ cJ²為與溫度無關的項，(_F)為能態密度，D導帶(conduction band)寬度。由 式(2.4)明顯的得知，電阻與溫度有logT 的依存關係，結合在高溫時其他物理機制對電 阻的貢獻，可解釋在稀磁合金中電阻隨溫度變化存在極小值的現象，如圖 2-2。但在T 0 的極限下，logT項會發散，原因是因為其取有限微擾項的近似。所以我們知道當溫度 低於某一特徵溫度後，其行為會偏離式(2.4)。此特徵溫度即為近藤溫度，定義為



 



  

 D J

T_K 1

exp 。 (2.5) 電阻的行為可由(2.4)描述的區域(T>T_K)稱為弱耦合區域(Weak coupling regime; WCR)。

在溫度低於T 之後[2]，雜質自旋與導電電子的等效耦合強度會由弱耦合過渡至強_K 耦合J ，這時雜質自旋會被導電電子完全屏蔽形成單重態(singlet)S=0 (圖 2-3)，即 等效系統中不再存在未抑制磁矩，因此其可被費米液體(Fermi liquid; FL)理論所描述，

結果導致電阻對溫度的關係為R



T/T_K



²(圖 2-4)。

經由數值重整化群(numerical renormalization group; NRG)的計算結果可近似得到一 個近藤經驗式(Kondo empirical form)來描述近藤效應從弱耦合至強耦合區域對電阻的修 正[15, 16]

s

K K

T T R T T

R 



 





 

 _{0 2} ² ₂ )

( ， (2.6)

其中T_K T_K /(2^1/s1)^1/2，對自旋 S = 1/2 其 s = 0.21。其電阻行為模擬如圖 2-4。

2-2 穿隧機制中的近藤效應

1964 年 Wyatt[17]在量測 Ta / Insulator / Al 穿隧接點電導的實驗中觀察到，在低溫下 其零偏壓電導G( T0, )會隨著溫度降低而呈對數上升，且量測其非平衡電導G(V,T)發現

e

Fully screened

Spin singlet

Dilute magnetic alloy

Strong coupling regime

e

Dilute magnetic alloy

Strong coupling regime Dilute magnetic alloy

e

Exchange interaction

Spin flip

Weak coupling regime Dilute magnetic alloy

e e e

Exchange interaction

Spin flip

Weak coupling regime

(a) (b)

Dilute magnetic alloy

Strong coupling regime

e

Dilute magnetic alloy

Strong coupling regime Dilute magnetic alloy

e

Exchange interaction

Spin flip

Weak coupling regime Dilute magnetic alloy

e e e

Exchange interaction

Spin flip

Weak coupling regime

(a) (b)

圖 2-3 近藤效應在稀磁合金中導電電子與雜質自旋交互作用的物理圖像[1, 2]。(a) 弱 耦合區域(weak coupling regime; WCR)。(b) 強耦合區域(strong coupling regime;

SCR)。

0.01 0.1 1

0.0 0.5 1.0

strong coupling regime weak coupling regime

R(T)/R 0

T/T_K

Kondo empirical form S=0.5

strong coupling regime weak coupling regime

R(T)/R 0

T/T_K

Kondo empirical form S=0.5

在零偏壓附近G(V,T)隨著偏壓降低而上升，在零偏壓存在一峰(peak)，且隨溫度下降峰 值愈高，圖 2-5，當時 Wyatt 的解釋為在接點中過渡金屬那一側電極的能態密度發生反 常變化造成此現象。Anderson 與 Appelbaum[18]則解釋此實驗觀察到的現象是由於磁性 雜質與穿隧電子交互作用所造成，即對應至近藤效應。

2-2-1 弱耦合區域 (Weak coupling regime; WCR)

在 1966 年 Appelbaum[18, 19]計算在穿隧機制下導電電子與磁性雜質對電導的修 正。他考慮一個一般 A(transition metal)/oxide A(insulator)/B(normal metal)的穿隧接點，

接點兩側的金屬都保持正常態(即非超導態)，在氧化層內或介面有磁性雜質形成侷域順 磁態(localized paramagnetic state)，如圖 2-6。他考慮經由與這些侷域態做交換散射 (exchange scattering)所造成穿隧電流的模型(s-d exchange model)，計算電導與溫度、偏 壓、磁場的關係。其 Hamiltonian 可表示為 用二階量子化形式(second quantized form)表示可寫為

1

(a) (b)

(a) (b)

圖 2-5 近藤效應效應在 Ta / Insulator / Al 穿隧接點的量測數據。(a) G(V,T)在不同T對 V 的行為。(b) G( T0, )對T的行為。[17]

A I B

Region a. Region b.

transition metal

normal metal

A I B

A I B

Region a. Region b.

transition metal

normal metal

圖 2-6 Appelbaum 所計算的穿隧接點模型示意圖。[19]

H

K 個代表近藤峰隨溫度變寬的係數(temperature broadening of the Kondo peak)，由理論預測

 與 為普適常數。

上面所討論的近藤效應的模型中為考慮一個自旋 1/2 的雜質對一個獨立的電子庫反 鐵磁耦合，在此種模型下的交互作用我們稱為一通道近藤效應(One channel Kondo effect;

1CK)。在模型中，侷域態的簡併數為2S 1，屏蔽通道數M 1，M 2S為完全屏蔽(fully 子庫反鐵磁耦合。其 Hamiltonian 可表示為[10]

 

J

₁

J

₂

Blue Blue

Red

J

₁

J

₂

Blue Blue

Red

圖 2-7 2CK 模型示意圖。[4]

圖 2-8 2CK 模型不同參數條件下之 G-T 圖。[4]

J

₁

T

2CK(NFL)

J

₂

e e

e e e

e e

e

e e e

e

e e

e e e

e

overscreened

1CK(FL) 1CK(FL)

J

₁

T

2CK(NFL)

J

₂

e e

e e e

e e

e

e e e

e

e e

e e e

e

overscreened

1CK(FL) 1CK(FL)

圖 2-9 2CK 模型之相圖[4]。考慮一自旋 1/2 的雜質對兩的獨立的電子庫反鐵磁耦合(藍 電子庫與紅電子庫，對應的反鐵磁耦合分別為J 與₁ J )，不同的相對耦合大小₂ 會對應到不同相的基態，當J₁J₂時為過度屏蔽的情況。

 (non-Fermi liquid; NFL)。

一個自旋 1/2 的雜質分別以J 與₁ J 對兩個獨立的電子庫反鐵磁耦合的模型稱為二通₂ 雜質近藤模型(Two-impurity Kondo model; 2IK)，其 Hamiltonian 可描述為[5, 6]，

   

0 1 2

, 1,2

I I

k i

Ii i k

k

kc c J s r S K S S

H 







  





   ， (2.22) 其中S (_Ii i1,2)分別代表兩個自旋 1/2 的雜質在r 的位置，_i K₀S_I1S_I2代表兩雜質間的直 接耦合。式(2.22)的第二項除了表示兩雜質對電子庫的近藤耦合外，另外其會導致 RKKY 交互作用使兩雜質間存在ㄧ間接耦合K_RKKY。因此系統中等效雜質間耦合為K=K + ₀

KRKKY。若雜質間等效耦合為反鐵磁性(K>0)，此時近藤效應(特徵能量尺度 TK)與雜質間 反鐵磁耦合(特徵能量尺度 K)會產生一種競爭關係導致存在兩種可能的相(phase)之基 態，在 T=0 時經由兩效應競爭的相對強弱不同而發生量子相變，其存在一 quantum critical point 為(K/TK)C2.2 分離這兩相(圖 2-12)：當(K/TK)<(K/TK)C，在競爭中近藤效應較強，

因此雜質自旋會被導電電子所屏蔽形成單重態，稱為近藤屏蔽相 (Kondo screened phase)，反之，當(K/TK)>(K/TK)C，雜質反鐵磁耦合的效應強於近藤效應，因此雜質間傾 向相互屏蔽形成單重態 S=0，導致抑制近藤效應發生，此稱為侷域自旋單重相(local spin singlet phase)。文獻中指出[7, 8]在 2IK 模型中的 quantum critical point 等同於 2CK 模型 的 2CK fixed point ， 其 都 會顯 露出 非費 米液 體 的行 為， 在 transport 性 質方 面 其

T T

G(0, ) (圖 2-11)且G(V,T)也會遵守與 2CK 一樣的 scaling law。2IK 模型的相圖 之示意圖如圖 2-9。

J

J

K J

J

K

圖 2-10 2IK 模型示意圖。[8]

圖 2-11 2IK 模型不同參數條件下之 G-T 圖。[8]

K/T

_K

T

Quantum-critical phase (NFL)

e

KD↔AFM competition

(FL) (FL)

Kondo screened

phase

Local spin singlet

phase

(K/T

_K

)

_C

K/T

_K

T

Quantum-critical phase (NFL)

e

KD↔AFM competition

(FL) (FL)

Kondo screened

phase

Local spin singlet

phase

(K/T

_K

)

_C

圖 2-12 2IK 模型之相圖[8]。圖中 KD 代表近藤效應，AFM 代表雜質間等效反鐵磁耦 合。兩效應競爭的相對大小會對應到不同相的基態，其存在一 quantum critical point (K/TK)C分離此兩相。

在文檔中 鋁/氧化鋁/釔穿隧接點之二雜質近藤效應 (頁 13-27)