第二章 田口法
2.6 田口式實驗計畫法流程
田口式實驗計畫法(如圖 2.2)包括五個步驟：(1)找出變數和其水準(2)決定直 交表(3)收集數據(4)建立變異數分析表 (5)確認實驗並分析結果。這五個步驟補充 敘述如下：(1)所選擇的變數取決於影響系統的特性，而每個變數的水準皆應決 定，使它們能儘量涵蓋較大的範圍。(2)直交表的決定是依照變數的數目及其水 準。(3)數據則是根據直交表，在隨機順序下收集。(4)由變異數分析表的結果中，
可發現每一個顯著變數及其最佳操作狀況。(5)確認步驟是要確認變異數分析的結
15
果是否合理和計畫未來。總結來說，田口法是利用直交表以簡化實驗設計，然後 再利用變異數分析表來分析數據，最後利用驗證實驗來驗證分析結果的正確性。
圖 2.2 田口式實驗計畫法之流程圖 開始
找出變數 和其水準
決定直交表
收集數據
建立變異數分析表
實驗分析 結果合理
結束 是 修改實驗
設計
否
16
17
連接鍵(權重值)
圖 3.1 類神經網路架構圖
3.2 倒傳遞類神經網路
類神經網路的學習方式可分為監督式學習(supervised learning)網路和非監督 式學習(unsupervised learning)網路兩種。監督式學習網路輸入層的向量值有目標值 與之對應，並可藉此來調整處理單元間的權重值，而非監督式學習網路則無對應 的目標值，故本論文選擇了屬於監督式學習網路的倒傳遞類神經網路
(Back-Propagation Neural Network, BPN)當作我們建構的模式。
倒傳遞類神經網路的架構包括輸入、輸出與隱藏層。輸入層和輸出層的處理 單元數目依問題而定，而隱藏層的數目與隱藏層裡處理單元的個數則沒有一定規
處理單元
輸入
輸出
輸入層
隱藏層
輸出層
18
19
架構模式愈好。
3.3 牛頓演算法
類神經網路的強健性是建立在理想的網路權重值與相關參數，利用最佳化
搜尋法來尋求誤差函數的最小值，以調整網路連結權重值與相關參數為類神經網 路學習過程關鍵所在。
最簡單的倒傳遞演算法是在性能函數降低最快的方向中，即負梯度的方向 中，學習更新網路的權重值與相關參數，此為梯度坡降演算法(Gradient descent algorithm)。梯度坡降法的疊代式如下[28]：
(3.4)
其中， 為目前權重值向量， 為下一個權重值向量， 為學習速率，
表示性能函數負的梯度方向。學習速率 的大小會影響到疊代次數與搜尋穩定
性，若 愈大，表示每次變化量就愈大，如果 太大，演算法將變得很不穩定，
如果 太小，演算法將花很多時間才會收斂。
梯度坡降法在選擇搜尋方向時，使用函數的一階微分(梯度)來做為搜尋方 向，但這種策略有的時候並非是最有效的搜尋策略，因此，若能使用高階微分項 來做為疊代搜尋的方向，其搜尋效率與結果一般而言將較坡降法為佳。基於此觀 念下，牛頓法(Newton method)就是使用目標函數的一階微分與二階微分來進行搜 尋，如果搜尋的初始點在接近最小值解附近，此演算法會較坡降法有效率地搜尋
20
到最佳解。首先對性能函數F(x)在 附近作泰勒級數展開式(Taylor series expansion)，其一階與二階微分項展開如下式[28]：
(3.5)
其中， 為性能函數的梯度，即性能函數的一階偏微分， 為赫森矩陣
(Hessian matrix)，即性能函數的二階偏微分； ， 。
此時再對(3.5)式作 的偏微分，可以得到下式：
(3.6) x 以 代入(3.6)式，即可得到牛頓法的疊代式：
(3.7) 牛頓法的收斂效能在搜尋的初始點接近最佳解附近的確是相當快速，但當搜 尋初始點離最佳解較遠時，就無法保證能夠找到最佳解了。尤其是牛頓法的搜尋 方向不一定是函數值下降的方向，也就是說，在搜尋的過程中也有可能發生
。此外，牛頓法還有一個缺點就是需要計算 Hessian 矩陣，若遇 到高維度的輸入向量時，此矩陣之計算量就耗費相當多的時間。
3.4 Levenberg-Marquardt 演算法
Levenberg-Marquardt 演算法是牛頓法的變形，用以最小化那些非線性函數平 方和的函數，這非常適合於性能函數是均方誤差的類神經網路訓練。
首先假設性能函數 F(x)是誤差函數平方之和[28]：
21
(3.8)
其中， (x)為誤差函數， 為誤差矩陣。
那麼 F(x)第j 個梯度分量為：
(3.9) 我們再把梯度寫成矩陣型式：
(3.10) 其中，J(x)為雅可比矩陣(Jacobian matrix)：
J(x)＝ (3.11)
接下來，我們計算赫森矩陣(Hessian matrix)，赫森矩陣的第k、j 元素為：
(3.12) 赫森矩陣於是可以表示為：
(3.13) 其中，
(3.14) 如果假設 S(x)很小，那麼赫森矩陣就可以近似為：
(3.15)
22
若我們把(3.10)式和(3.15)式代回(3.7)式，就可以得到高斯--牛頓演算法的疊代 式：
(3.16) 高斯--牛頓演算法的優點是不必計算二階導數，但現有一問題為矩陣
可能不可逆，為了克服此一問題，可採用近似赫森矩陣的改進 式：
(3.17) 其中，I(x)為單位矩陣(Identity matrix)， 為一數值，使得 為正定，且為可逆
矩陣。為看出 是可逆的，可由以下說明：
我們先設 H(x)的特徵值和特徵向量為{ }和{ ， ，…， }，
則有：
(3.18) 由上式可知， 的特徵向量與 H(x)的特徵向量相同，且 的特徵值為
。對所有 而言，增加 就可保證 ，所以可使 成為正定，
因此 為可逆。
最後把(3.17)改進式代入(3.16)疊代式中，我們就可以導出 Levenberg-Marquardt 演算法的疊代式：
23
(3.19) 由上式可看出這個演算法有一特點，當 增加至很大時，它就接近具有小的 學習速率的梯度坡降演算法：
(3.20)
而當 下降到 0 的時候，它則成為高斯-牛頓演算法。
通常演算法開始時 取小值(例如 )，如果某一步不能減少 F(x)值，
則將 乘以一因子θ ＞1(例如θ ＝10)，然後重複這一步，因為使用最速下降方向
的一小步，最後 F(x)會下降。然而，如果某一步產生了更小的 F(x)值，則 在下 一步會被除以θ ，這樣演算法就接近於高斯-牛頓演算法，而高斯-牛頓法可以提 供一個較快的收斂速度。Levenberg-Marquardt 演算法可算是提供了牛頓法的速度 和保證收斂的梯度坡降法之間的一個折衷方法。
24
25
格的用量標準。所以，基於環保的趨勢下，貧油(Minimal quantity of lubricant，簡 稱 MQL)法切削，就成爲最新改進研究的方向。
本研究內含兩個領域，即 BTA 深孔鑽的制振和貧油實驗。在制振實驗上，
我們自行在鑽床上裝設一台 MR damper 以作為抑制刀桿振動的方法。而在貧油實 驗上，我們把輸油管線與氣壓機的輸氣管線作連結，以達到省油的目的。而為了 區別制振與貧油對實驗結果的影響，我們分別在單純供油、貧油、制振和貧油與 制振混合的情況下，做了一系列的實驗。欲探討在這四種不同的鑽削情況下，鑽 孔表面粗糙度值與各項加工參數之間的關係。
4.2 實驗設備
本研究主要的設備是深孔鑽床，鑽頭、鑽軸與其它各項器具及設備的規格型
號簡單介紹如下：
1.鑽床：SAN SHING SK26120 高精度深孔鑽床(如圖 4.1、圖 4.2)。
2.鑽頭：SANDVIK 420.6-0014D 24.11 70，直徑：24.11mm(如圖 4.3)。
3.鑽軸：SANDVIK 420.5-800-2，長度：1600mm。
4.工件：AISI 1020 鑄鐵圓棒，直徑：50mm，長度：300mm。
5.油壓機：VCM-SF-30D-20，工作壓力：5kg/cm2(如圖 4.4)。
6.氣壓機：H80T-50150，最大輸出壓力：16kg/cm2(如圖 4.5)。
7.切削油：R32。
26
圖 4.1 深孔鑽床 3D 示意圖
圖 4.2 BTA 深孔鑽床實景圖
27
圖 4.3 直徑 24.11mm BTA 鑽頭
圖 4.4 油壓機 圖 4.5 氣壓機
4.3 實驗規劃
4.3.1 單純供油實驗
在單純供油實驗中(如圖 4.6)，在考量到可能會影響圓孔粗糙度最大的因素
後，我們選定主軸轉速 N(rpm)、刀具進給率 S(mm/sec)及中間支承位置 L(mm)這 三項加工參數來當作我們的控制因子。其中，轉速與進給率被視為切削加工中影 響工件品質的重要因素，而中間支承的位置會影響到刀桿的振動，所以也把它納 入加工參數之一。
28
再來就是決定各項加工參數進行實驗的水準值，N 和 S 這兩項加工參數為參 考本實驗室歷來實際鑽削時所採用之數值，選取的原則是以鑽削時不發生明顯顫 振的現像為原則。L 為自行假設裝置於刀桿左右等距兩端和中點(註)。這三個加 工參數各取三個水準值，表 4.1 為單純供油實驗各項控制因子與其設定之水準 表。(註)：刀桿由左至右起算位置，總長 1600mm。
圖 4.6 單純供油實驗示意圖
表 4.1 單純供油實驗各項控制因子與其設定之水準表
理論上，我們有三項控制因子，而每項因子又有三個水準，所以會有 組
實驗組數，如果要把全部的實驗做完可謂是相當繁瑣又耗時耗力。因此我們這裡
採用田口式直交表 (如表 4.2)作為其實驗因子的配置，故可把整個實驗縮減
為 9 組實驗。表 4.3 為單純供油實驗完整的實驗因子配置圖。
代號 控制因子 水準 1 水準 2 水準 3
A 主軸轉速 N 390(rpm) 585(rpm) 855(rpm) B 刀具進給率 S 0.05(mm/rev) 0.07(mm/rev) 0.10(mm/rev) C 支承位置 L 400(mm) 800(mm) 1200(mm)
29
30
及壓縮氣壓 P(kg/cm2)這四項加工參數來當作我們的控制因子，這四個加工參數各 取三個水準值，表 4.4 為貧油實驗各項控制因子與其設定之水準表。
圖 4.7 貧油實驗 MQL 示意圖
圖 4.8 油氣混合器
表 4.4 貧油實驗各控制因子與其設定之水準表
代號 控制因子 水準 1 水準 2 水準 3
A 主軸轉速 N 390(rpm) 585(rpm) 855(rpm) B 刀具進給率 S 0.05(mm/rev) 0.07(mm/rev) 0.10(mm/rev) C 支承位置 L 400(mm) 800(mm) 1200(mm) D 壓縮氣壓 P 7(kg/cm2) 10(kg/cm2) 12(kg/cm2) 輸氣管線 輸油管線
31 速 N(rpm)、刀具進給率 S(mm/sec)、MR damper 位置 H(mm)及 MR damper 電流 I(A) 這四項加工參數來當作我們的控制因子，這四個加工參數各取三個水準值，表
32
圖 4.9 制振實驗示意圖
圖 4.10 MR damper(左)與中間支承(右)圖
圖 4.11 MR damper 裝於 BTA 鑽床圖
33
我們選定主軸轉速 N(rpm)、刀具進給率 S(mm/sec)、MR damper 位置 H(mm)、MR damper 電流 I(A)及壓縮氣壓 P(kg/cm2)這五項加工參數來當作我們的控制因子，這
34
五個加工參數各取三個水準值，表 4.8 為貧油與製振混合實驗各項控制因子與其 設定之水準表。
圖 4.12 貧油與製振混合實驗示意圖
表 4.8 貧油與制振混合實驗各控制因子與其設定之水準表
理論上，我們有五項控制因子，而每項因子又有三個水準，所以會有 組實
驗組數，這裡我們採用田口式直交表 (如表4.9)作為其實驗因子的配
置。
代號 控制因子 水準 1 水準 2 水準 3
A 主軸轉速 N 390(rpm) 585(rpm) 855(rpm) B 刀具進給率 S 0.05(mm/rev) 0.07(mm/rev) 0.10(mm/rev) C Damper 位置 H 400(mm) 800(mm) 1200(mm)
D Damper 電流 I 0 0.5 1
E 壓縮氣壓 P 7(kg/cm2) 10(kg/cm2) 12(kg/cm2)
35
36
37
38
面。每組實驗預計量取 4 個數值，由表面粗度儀 HOMMEL TESTER T500(如圖 4.14) 量測，並採取中心線平均粗糙度 Ra 值當作我們的數據。
圖 4.13 剖開後之工件
圖 4.14 表面粗度儀 HOMMEL TESTER T500
39
40
表5.2 單純供油實驗各因子水準的平均S/N比
以上數據可繪製成因子效果圖(如圖5.1)：
圖5.1 單純供油實驗因子效果圖
根據 S/N 比的定義，S/N 比愈大代表品質愈佳，因此我們可以決定出單純供
油實驗的最佳參數水準組合為 ，也就是主軸轉速 855(rpm)、刀具進給率
0.05(mm/rev)及中間支承位置 800(mm)，為最佳的參數組合。
為了更進一步了解控制因子對實驗的影響性，可對各控制因子進行變異數分 析(ANOVA)，表5.3為單純供油實驗的變異數分析表：
代號 控制因子 水準1 水準2 水準3
代號 控制因子 水準1 水準2 水準3