第三章 類神經網路
3.4 Levenberg-Marquardt 演算法
Levenberg-Marquardt 演算法是牛頓法的變形，用以最小化那些非線性函數平 方和的函數，這非常適合於性能函數是均方誤差的類神經網路訓練。
首先假設性能函數 F(x)是誤差函數平方之和[28]：
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(3.8)
其中， (x)為誤差函數， 為誤差矩陣。
那麼 F(x)第j 個梯度分量為：
(3.9) 我們再把梯度寫成矩陣型式：
(3.10) 其中，J(x)為雅可比矩陣(Jacobian matrix)：
J(x)＝ (3.11)
接下來，我們計算赫森矩陣(Hessian matrix)，赫森矩陣的第k、j 元素為：
(3.12) 赫森矩陣於是可以表示為：
(3.13) 其中，
(3.14) 如果假設 S(x)很小，那麼赫森矩陣就可以近似為：
(3.15)
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若我們把(3.10)式和(3.15)式代回(3.7)式，就可以得到高斯--牛頓演算法的疊代 式：
(3.16) 高斯--牛頓演算法的優點是不必計算二階導數，但現有一問題為矩陣
可能不可逆，為了克服此一問題，可採用近似赫森矩陣的改進 式：
(3.17) 其中，I(x)為單位矩陣(Identity matrix)， 為一數值，使得 為正定，且為可逆
矩陣。為看出 是可逆的，可由以下說明：
我們先設 H(x)的特徵值和特徵向量為{ }和{ ， ，…， }，
則有：
(3.18) 由上式可知， 的特徵向量與 H(x)的特徵向量相同，且 的特徵值為
。對所有 而言，增加 就可保證 ，所以可使 成為正定，
因此 為可逆。
最後把(3.17)改進式代入(3.16)疊代式中，我們就可以導出 Levenberg-Marquardt 演算法的疊代式：
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(3.19) 由上式可看出這個演算法有一特點，當 增加至很大時，它就接近具有小的 學習速率的梯度坡降演算法：
(3.20)
而當 下降到 0 的時候，它則成為高斯-牛頓演算法。
通常演算法開始時 取小值(例如 )，如果某一步不能減少 F(x)值，
則將 乘以一因子θ ＞1(例如θ ＝10)，然後重複這一步，因為使用最速下降方向
的一小步，最後 F(x)會下降。然而，如果某一步產生了更小的 F(x)值，則 在下 一步會被除以θ ，這樣演算法就接近於高斯-牛頓演算法，而高斯-牛頓法可以提 供一個較快的收斂速度。Levenberg-Marquardt 演算法可算是提供了牛頓法的速度 和保證收斂的梯度坡降法之間的一個折衷方法。
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格的用量標準。所以，基於環保的趨勢下，貧油(Minimal quantity of lubricant，簡 稱 MQL)法切削，就成爲最新改進研究的方向。
本研究內含兩個領域，即 BTA 深孔鑽的制振和貧油實驗。在制振實驗上，
我們自行在鑽床上裝設一台 MR damper 以作為抑制刀桿振動的方法。而在貧油實 驗上，我們把輸油管線與氣壓機的輸氣管線作連結，以達到省油的目的。而為了 區別制振與貧油對實驗結果的影響，我們分別在單純供油、貧油、制振和貧油與 制振混合的情況下，做了一系列的實驗。欲探討在這四種不同的鑽削情況下，鑽 孔表面粗糙度值與各項加工參數之間的關係。
4.2 實驗設備
本研究主要的設備是深孔鑽床，鑽頭、鑽軸與其它各項器具及設備的規格型
號簡單介紹如下：
1.鑽床：SAN SHING SK26120 高精度深孔鑽床(如圖 4.1、圖 4.2)。
2.鑽頭：SANDVIK 420.6-0014D 24.11 70，直徑：24.11mm(如圖 4.3)。
3.鑽軸：SANDVIK 420.5-800-2，長度：1600mm。
4.工件：AISI 1020 鑄鐵圓棒，直徑：50mm，長度：300mm。
5.油壓機：VCM-SF-30D-20，工作壓力：5kg/cm2(如圖 4.4)。
6.氣壓機：H80T-50150，最大輸出壓力：16kg/cm2(如圖 4.5)。
7.切削油：R32。
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圖 4.1 深孔鑽床 3D 示意圖
圖 4.2 BTA 深孔鑽床實景圖
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圖 4.3 直徑 24.11mm BTA 鑽頭
圖 4.4 油壓機 圖 4.5 氣壓機
4.3 實驗規劃
4.3.1 單純供油實驗
在單純供油實驗中(如圖 4.6)，在考量到可能會影響圓孔粗糙度最大的因素
後，我們選定主軸轉速 N(rpm)、刀具進給率 S(mm/sec)及中間支承位置 L(mm)這 三項加工參數來當作我們的控制因子。其中，轉速與進給率被視為切削加工中影 響工件品質的重要因素，而中間支承的位置會影響到刀桿的振動，所以也把它納 入加工參數之一。
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再來就是決定各項加工參數進行實驗的水準值，N 和 S 這兩項加工參數為參 考本實驗室歷來實際鑽削時所採用之數值，選取的原則是以鑽削時不發生明顯顫 振的現像為原則。L 為自行假設裝置於刀桿左右等距兩端和中點(註)。這三個加 工參數各取三個水準值，表 4.1 為單純供油實驗各項控制因子與其設定之水準 表。(註)：刀桿由左至右起算位置，總長 1600mm。
圖 4.6 單純供油實驗示意圖
表 4.1 單純供油實驗各項控制因子與其設定之水準表
理論上，我們有三項控制因子，而每項因子又有三個水準，所以會有 組
實驗組數，如果要把全部的實驗做完可謂是相當繁瑣又耗時耗力。因此我們這裡
採用田口式直交表 (如表 4.2)作為其實驗因子的配置，故可把整個實驗縮減
為 9 組實驗。表 4.3 為單純供油實驗完整的實驗因子配置圖。
代號 控制因子 水準 1 水準 2 水準 3
A 主軸轉速 N 390(rpm) 585(rpm) 855(rpm) B 刀具進給率 S 0.05(mm/rev) 0.07(mm/rev) 0.10(mm/rev) C 支承位置 L 400(mm) 800(mm) 1200(mm)
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及壓縮氣壓 P(kg/cm2)這四項加工參數來當作我們的控制因子，這四個加工參數各 取三個水準值，表 4.4 為貧油實驗各項控制因子與其設定之水準表。
圖 4.7 貧油實驗 MQL 示意圖
圖 4.8 油氣混合器
表 4.4 貧油實驗各控制因子與其設定之水準表
代號 控制因子 水準 1 水準 2 水準 3
A 主軸轉速 N 390(rpm) 585(rpm) 855(rpm) B 刀具進給率 S 0.05(mm/rev) 0.07(mm/rev) 0.10(mm/rev) C 支承位置 L 400(mm) 800(mm) 1200(mm) D 壓縮氣壓 P 7(kg/cm2) 10(kg/cm2) 12(kg/cm2) 輸氣管線 輸油管線
31 速 N(rpm)、刀具進給率 S(mm/sec)、MR damper 位置 H(mm)及 MR damper 電流 I(A) 這四項加工參數來當作我們的控制因子，這四個加工參數各取三個水準值，表
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圖 4.9 制振實驗示意圖
圖 4.10 MR damper(左)與中間支承(右)圖
圖 4.11 MR damper 裝於 BTA 鑽床圖
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我們選定主軸轉速 N(rpm)、刀具進給率 S(mm/sec)、MR damper 位置 H(mm)、MR damper 電流 I(A)及壓縮氣壓 P(kg/cm2)這五項加工參數來當作我們的控制因子，這
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五個加工參數各取三個水準值，表 4.8 為貧油與製振混合實驗各項控制因子與其 設定之水準表。
圖 4.12 貧油與製振混合實驗示意圖
表 4.8 貧油與制振混合實驗各控制因子與其設定之水準表
理論上，我們有五項控制因子，而每項因子又有三個水準，所以會有 組實
驗組數，這裡我們採用田口式直交表 (如表4.9)作為其實驗因子的配
置。
代號 控制因子 水準 1 水準 2 水準 3
A 主軸轉速 N 390(rpm) 585(rpm) 855(rpm) B 刀具進給率 S 0.05(mm/rev) 0.07(mm/rev) 0.10(mm/rev) C Damper 位置 H 400(mm) 800(mm) 1200(mm)
D Damper 電流 I 0 0.5 1
E 壓縮氣壓 P 7(kg/cm2) 10(kg/cm2) 12(kg/cm2)
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面。每組實驗預計量取 4 個數值，由表面粗度儀 HOMMEL TESTER T500(如圖 4.14) 量測，並採取中心線平均粗糙度 Ra 值當作我們的數據。
圖 4.13 剖開後之工件
圖 4.14 表面粗度儀 HOMMEL TESTER T500
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表5.2 單純供油實驗各因子水準的平均S/N比
以上數據可繪製成因子效果圖(如圖5.1)：
圖5.1 單純供油實驗因子效果圖
根據 S/N 比的定義，S/N 比愈大代表品質愈佳，因此我們可以決定出單純供
油實驗的最佳參數水準組合為 ，也就是主軸轉速 855(rpm)、刀具進給率
0.05(mm/rev)及中間支承位置 800(mm)，為最佳的參數組合。
為了更進一步了解控制因子對實驗的影響性，可對各控制因子進行變異數分 析(ANOVA)，表5.3為單純供油實驗的變異數分析表：
代號 控制因子 水準1 水準2 水準3
A 主軸轉速 －12.87 －11.30 －10.34
B 刀具進給率 －10.68 －11.19 －12.63
C 支承位置 －12.56 －10.58 －11.37
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表5.3 單純供油實驗之變異數分析表
接下來進行田口式參數設計的最後一步，也就是確認實驗。首先由(2.8)式預 測最佳因子組合下之 SN 比：
＝－11.5＋(－10.34＋11.5)＋(－10.68＋11.5)＋(－10.58＋11.5)＝－8.6(dB) 再由(2.9)式、(2.10)式計算 95%信賴區間：
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0.05(mm/rev)、中間支承位置 1200(mm)及壓縮氣壓 12(kg/cm2)，為最佳的參數組合。
代號 控制因子 水準1 水準2 水準3
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之期望 S/N 比的範圍為：－7.93±0.828(dB)。表 5.8 為貧油實驗以最佳參數組合所 進行確認實驗之結果：
表 5.8 貧油實驗之確認實驗結果
由上表顯示，兩組實驗結果之 S/N 比皆落在信賴區間之內，表示此貧油實
驗的田口式參數設計是成功的。
5.1.3 制振實驗之參數設計
依照表 4.7 進行實驗，並量取粗糙度值，所得數據結果如表 5.9 所示：
實驗 編號
粗糙度 Ra 值( )
平均值 S/N 比 10 2.32 2.27 2.33 2.18 2.28 －7.14 11 2.35 2.36 2.25 2.24 2.30 －7.24
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圖 5.3 制振實驗因子效果圖
根據 S/N 比的定義，S/N 比愈大代表品質愈佳，因此我們可以決定出制振實
驗的最佳參數水準組合為 ，也就是主軸轉速 855(rpm)、刀具進給率
0.05(mm/rev)、damper 位置 800(mm)及 damper 電流 0(A)，為最佳的參數組合。
為了更進一步了解控制因子對實驗的影響性，可對各控制因子進行變異數分 析(ANOVA)，表5.11為制振實驗的變異數分析表：
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表5.11 制振實驗之變異數分析表
＊表示合併為誤差項，接下來進行確認實驗。首先由(2.8)式預測最佳因子組
合下之 SN 比：
＝－10.92＋(－9.28＋10.92)＋(－10.05＋10.92)＋(－10.12＋10.92)
＝－7.61(dB)
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之期望 S/N 比的範圍為：－7.61±1.963(dB)。表 5.12 為制振實驗以最佳參數組合所 進行確認實驗之結果：
表 5.12 制振實驗之確認實驗結果
由上表顯示，兩組實驗結果之 S/N 比皆落在信賴區間之內，表示此制振實
驗的田口式參數設計是成功的。
5.1.4 貧油與制振混合實驗之參數設計
依照表 4.11 進行實驗，並量取粗糙度值，所得數據結果如表 5.13 所示：
實驗 編號
粗糙度 Ra 值( )
平均值 S/N 比 10 2.18 2.24 2.15 2.10 2.17 －6.72 11 2.26 2.13 2.19 2.25 2.21 －6.88
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刀具進給率 0.05(mm/rev)、damper 位置 1200(mm)、damper 電流 1(A)及壓縮氣壓 12(kg/cm2)，為最佳的參數組合。
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析(ANOVA)，表5.15為貧油與制振混合實驗的變異數分析表：
表5.15 貧油與制振混合實驗之變異數分析表
＊表示合併為誤差項，接下來進行確認實驗。首先由(2.8)式預測最佳因子組
合下之 SN 比：
＝－8.83＋(－8.23＋8.83)＋(－7.98＋8.83)＋(－7.72＋8.83)＝－6.27(dB) 再由(2.9)式、(2.10)式計算 95%信賴區間：
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數值就當成是該網路的輸入資料，而網路的輸出目標就是 18 組實驗所量得的粗 糙度值(如表 5.13)。圖 5.5 為在 matlab 軟體中進行類神經網路的設計，網路的型 態設定為前饋式倒傳遞類神經網路，演算法選擇 Levenberg-Marquardt 演算法，性 能函數為 MSE，網路的訓練參數 ＝0.001，θ ＝10。
圖 5.5 以 matlab 軟體進行類神經網路的設計
為了決定最適合本實驗的網路模型，表 5.17 列出 9 種不同網路架構的 MSE 值，並與確認實驗的結果(如表 5.16)比較。
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圖5.6 5-7-1網路訓練過程
圖5.7 倒傳遞類神經網路5-7-1架構圖
5.2.2 控制因子最佳化
建立好本實驗的網路模型後，就可開始對各個加工參數進行最佳化的設計。
由圖5.4知貧油與制振混合實驗的最佳參數水準組合為 ，現在我們就
對此參數組合進行因子最佳化的設計，並且從對實驗影響最小的因子開始最化，
再到影響最大的因子，依序為：damper電流、壓縮氣壓、刀具進給率、主軸轉速、
damper位置。
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首先最佳化damper電流這個參數，在主軸轉速585(rpm)、刀具進給率
0.05(mm/rev)、damper位置1200(mm)、)及壓縮氣壓12(kg/cm2)的情形下，利用5-7-1 類神經網路針對不同damper電流作實驗的模擬(如圖5.8)。可由結果發現，在damper 電流為0.8(A)時，有最小的粗糙度值。
圖5.8 類神經網路對不同damper電流模擬實驗結果
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再來最佳化壓縮氣壓這個參數，在主軸轉速585(rpm)、刀具進給率
0.05(mm/rev)、damper位置1200(mm)及damper電流0.8(A)的情形下，利用5-7-1類神 經網路針對不同壓縮氣壓作實驗的模擬(如圖5.9)。可由結果發現，在壓縮氣壓為 11(kg/cm2)時，有最小的粗糙度值。
圖5.9 類神經網路對不同壓縮氣壓模擬實驗結果
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再來最佳化刀具進給率這個參數，在主軸轉速585(rpm)、damper位置
1200(mm)、damper電流0.8(A)及壓縮氣壓11(kg/cm2)的情形下，利用5-7-1類神經網 路針對不同刀具進給率作實驗的模擬(如圖5.10)。可由結果發現，在刀具進給率 為0.05(mm/rev)時，有最小的粗糙度值。
圖5.10 類神經網路對不同刀具進給率模擬實驗結果
圖5.10 類神經網路對不同刀具進給率模擬實驗結果