第四章 研究方法
第二節 「異地同時」的探討
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圖 4-1、Greville 及 Whittaker 修勻的誤差比較（MAPE）
第二節 「異地同時」的探討
王信忠等人(2012)所探討的 Whittaker Ratio 和 Partial SMR，都是使用跨區域 的方法，借用大母體的資訊來修勻。當小區域的人數不足，死亡率估計不穩定時，
可以用當年度的大區域資料做輔助資料，為「異地同時」的想法。本節採用五齡 組的資料做「異地同時」電腦模擬，「異地同時」的方法包含 Whittaker Ratio 及 Partial SMR。Whittaker Ratio 為先計算大小區域各年齡組的死亡率比值，再套用 Whittaker 做死亡率比值的修勻。 Partial SMR 為考慮大小區域死亡率比值再與 SMR 做加權調整，因此兩者都有使用大母體的資訊做修勻，因此被我們列為「異 地同時」的修勻方法。由前一節得知人數對於死亡率的估計有很大的影響，因此 本節先探討跨區域大母體的影響程度。假設不同大小的大母體，包含大母體大小 為無窮大、500 萬、200 萬等，另外也探討大母體與小區域的相異程度，藉此來 測試「異地同時」的使用時機。
圖 4-2 為假設大母體為無窮大且大、小區域死亡率完全相同，此假設下的修
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勻誤差比較(MSE)，當人數在 100 萬以上完全不修勻都算是不錯(綠色線)，完全 不修勻在人數小於 50 萬，誤差很大(紅色線)。「異地同時」的修勻可以看到誤差 (MSE)都較完全不修勻來的好，Whittaker Ratio 比完全不修勻有小幅的下降一點；
Partial SMR 比完全不修勻好相當多，但是在高年齡層的均方误差(MSE)還是算高。
圖 4-3 為假設大母體為無窮大且大、小區域死亡率完全相同，使用異地同時 方法在各年齡層平均絕對誤差(MAPE)。完全不修勻在 20 歲以下及高齡的死亡率 相當不穩定，且誤差隨著人數變少而急遽上升，可看到 100 萬以上的小區域才較 穩定，人數少於 100 萬相當不樂觀；使用 Whittaker Ratio 及 Partial SMR 都會使 各年齡層的誤差降低，可看出修勻後在各年齡層的誤差(MAPE)調整都較一致。
換言之，參考一個完美的大母體，使用異地同時的修勻方法都可以減少各年度的 誤差幅度，而 Partial SMR 的表現最好(各年齡層 MAPE 都小於 20%)。
圖 4-2、不同研究方法之下的誤差（MSE）
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圖 4-3、不同研究方法之下的誤差（MAPE）
上述大母體的假設太過樂觀，因此考量大母體的震盪狀況，假設大母體大小 為動態的 200 萬、動態的 500 萬及無窮大，亦即利用相同組 Lee-Carter 參數分別 產生不同的死亡亂數，而小區域的大小依舊使用全臺灣人口結構等比例調整由 1 萬至 100 萬。表 4-5 為假設大母體為動態的兩百萬、五百萬及無窮大母體，再使 用「異地同時」的修勻結果，「異地同時」的方法包含 Whittaker Ratio 及 Partial SMR。當大區域大小為動態的 200 萬、500 萬及無窮大母體，在大母體不同大小 之下，使用 Whittaker Ratio 及 Patial SMR，修勻後誤差差異都在 2%以內。換句 話說，大母體人數 200 萬已經是一個相當穩定的大母體。
探討當大母體人數為 200 萬，以 Lewis 精確標準來評斷(MAPE<10%)，
Whittaker Ratio 可以修勻至 20 萬的小區域；Partial SMR 可以修勻至 2-5 萬的小 區域，若是大母體更大更穩定(無窮大母體)，甚至可以處理至 1 萬的小區域。
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值調整的 Whittaker Ratio 法也保留平滑的性質，整體平滑效果非常好；Partial SMR 在人數 1、2 萬也算良好，使用 Partial SMR 也能大幅提升平滑度。基本上，人數少於 10 萬完全不修勻的平滑性非常不好，使用「異地同時」
的方法確實能調整死亡率曲線的平滑性。由以上大致可以驗證適度性與平滑性兩
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個效果無法同時滿足，但是至少在穩定的大母體之下，Partial SMR 及 Whittaker Ratio 都算是不錯的修勻方法。
圖 4-4、異地同時的平滑性比較
然而，在一般的情境下小區域不一定與大區域有相似的死亡率比值，因此本 文仿造王信忠等人(2012)、林志軒(2014)的情境設定，假設大小區域的死亡率比 值為定值、遞增及 V 型來模擬不同的情境。林志軒(2014)所探討的情境為，大、
小區域的死亡率比值由 0 至 0.2。本文擴大比值範圍，將死亡率比值由 0 至 0.9 進行電腦模擬，探討在極端小區域之下，各種修勻方法的適用時機。
圖 4-5 為假設三種情境設定：一、大、小區域死亡率比值為定值，定值幅度 從 1.1~1.9，表示小區域的生活水準或醫療機構比大區域來的差。二、大、小區域 死亡率比值隨年齡直線遞增，遞增幅度由 0.1 至 0.9 (亦即 0.9-1.1、0.8-1.2、0.7-1.3、…、0.1-1.9)，表示小區域高齡人口死亡率較高，可能發生在老年人口照顧 制度不佳的小區域。三、大、小區域死亡率比值隨年齡遞減再遞增(V 型)，V 型 幅度由 0.1 至 0.9 (亦即 1.1-0.9-1.1、1.2-0.8-1.2、1.3-0.7-1.3、…、1.0-0.1-1.9)，表
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示小區域中間年齡層的人口死亡率較低，可能發生在小區域意外死亡率較低的情 境。
圖 4-5、假設大、小區域死亡率比值
實際電腦模擬作法，假設大母體服從理論死亡率，將理論死亡率乘上各種情 境後為小區域死亡率，假設小區域死亡人數服從卜瓦松分配產生死亡率亂數，用 此生成死亡率同時考量大母體死亡率，再用「異地同時」的 Whittaker Ratio 及 Partial SMR 來做修勻，最後再還原各種情境下不同幅度的修勻效果。
假設大、小區域死亡率比值為定值且定值幅度從 0 至 0.9，使用全臺灣男性 五齡組資料，以上述方法做電腦模擬 1000 次，先探討小區域人數為二十萬的結 果。表 4-6 為定值情境小區域 20 萬人，定值幅度 0-0.9，異地同時的修勻效果 (MAPE)。完全不修勻的誤差，從定值幅度為 0 的 15%降至定值幅度 0.9 的 10.9%，
當死亡率比值為定值，誤差隨著幅度增加而越小、越穩定，其原因為隨著定值幅 度的增加，死亡率被放大(相當於增加死亡人數的樣本數)，進而降低死亡率震盪，
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大於 50%。由表可知使用 Partial SMR 及 Whittaker Ratio 有點差別，當幅度小於36
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0.3，Partial SMR 較好；當幅度大於 0.3(0.4)，反倒是 Whittaker Ratio 的效果較好。
異地同時的修勻方法會受到大小區域比值非定值幅度的影響，當大母體與小區域 的落差太大，使用 SMR 及大小區域比值就相當不穩定，隨著比值增加，Whittaker Ratio 的表現漸漸優於 Partial SMR；當比值幅度增加至 0.7 以上，完全不修勻的
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例如：Partial SMR 加上 Lee-Carter 死亡率模型，可視為結合不同區域的狀況後，
再經由 Lee-Carter 模型調整各年度的死亡率變化。另一種方式為 Li and Lee (2005) 的 Coherent Lee-Carter 模型，同時考量大小區域死亡率及各年度時間的方法 1， 因此整理這些「異地異時」的方法，試圖解決大、小區域死亡率比值過大的問題。
沿用上一節的情境，假設大、小區域死亡率比值為遞增、V 型，且幅度從 0 至 0.9。表 4-10、4-11 為使用電腦模擬 1000 次，在人數為二十萬下，比較異地同 時與異地異時的修勻效果，異地同時的方法包含 Whittaker Ratio 及 Partial SMR；
異地異時的方法包含 Partial SMR+Lee-Carter 模型、Whittaker Ratio+Lee-Carter 模 型及 Coherent Lee-Carter 模型。由表可知，異地異時無法有效修正非定值的情境，
至多修正 0.1 個幅度 (即非定值比值幅度至 0.4)，Partial SMR 或 Whittaker Ratio 修勻後再套用 Lee-Carter 模型都比單純使用 Partial SMR 及 Whittaker Ratio 誤差 來的小一些，而「異地異時」與「異地同時」的修勻效果類似，在比值幅度大於
1詳細的 Coherent Lee-Carter 介紹可參考第二章文獻回顧。
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