Lee-Carter 模型

基準死亡率，因此先探討 Lee-Carter 的特性及影響 Lee-Carter 的因素。

第二節 Lee-Carter 模型

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分，𝛽𝛽̂𝑥𝑥比𝛼𝛼�𝑥𝑥更為敏感，𝛼𝛼�𝑥𝑥在人數 100 萬以上時幾乎沒有偏差，𝛽𝛽̂𝑥𝑥則在人數 500 萬 時才沒有明顯偏差，但是兩者都是在年齡 20 歲左右偏差最大。變異數方面，𝛼𝛼�_𝑥𝑥 在人數 100 萬以上變異數較趨緩，而𝛽𝛽̂𝑥𝑥則是在 500 萬時變異數才趨緩。

由電腦模擬得知，使用 Lee-Carter 模型在五齡組 500 萬以上人數的區域不需 要擔心死亡率偏差及變異數過大的問題。

圖 3-1、Lee-Carter 模型在不同人數的參數估計值α ˆ_x

圖 3-2、Lee-Carter 模型在不同人數的參數估計值 ˆ βx

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接下來繼續討論人數少於 500 萬時，Lee-Carter 模型的穩定性及使用時機。

以類似 t 檢定的統計方法來評估參數估計值𝛼𝛼�_𝑥𝑥和𝛽𝛽̂_𝑥𝑥，一般常態分配檢定在顯著水 準 0.05 之下，常態分配臨界值為 1.96，分別計算𝛼𝛼�𝑥𝑥和𝛽𝛽̂𝑥𝑥估計值的平均偏誤(Bias) 除以標準誤(Standard Error)，以檢定比值大於 1.96 視為參數估計值不佳。

圖 3-3 為𝛼𝛼�𝑥𝑥和𝛽𝛽̂𝑥𝑥參數估計值的檢定比值，兩個參數的檢定比值都隨著人數增 加比值越小，而估計值𝛼𝛼�_𝑥𝑥相對較好，𝛼𝛼�_𝑥𝑥在人數 2 萬以下檢定比值才會大於 1.96。

𝛽𝛽̂𝑥𝑥則是在人數 5 萬以下檢定比值會大於 1.96。因此，隨人數(樣本數)增加，Lee-Carter 各參數趨於穩定，套用 Lee-1.96。因此，隨人數(樣本數)增加，Lee-Carter 模型時，當人數介於 100 萬至 500 萬時，

預期產生的死亡率基準還算穩定；當人數少於 100 萬時，則需要注意死亡率的震 盪；當人數少於 5 萬時不建議使用。

圖 3-3、Lee-Carter 模型在不同人數的α 、ˆ_x β^ˆ_x檢定比值

(二) 人口結構差異

本文目標為小區域生命表編算，直接使用小區域資料做電腦模擬會造成死亡 率震盪太大，例如澎湖縣(10 萬)或金門縣(13 萬)在各年齡組死亡人數經常為 0，

本文想以全臺灣的人口結構縮小至 5-10 萬左右來模擬小區域的情境，由於已經 知道人數的影響，因此想測試不同地區的人口結構對參數估計的影響程度。

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我們以電腦模擬方式探討人口結構對 Lee-Carter 參數的影響程度，實際做法 為先取得全台灣地區與澎湖地區相同年度的資料，從 1992 至 2011 年，共二十個 年度，採用澎湖男性五齡組(0~4 歲、5~9 歲、…、80~84 歲)與全台灣男性五齡組 資料來做電腦模擬。為求公平仿照之前的做法，固定 Lee-Carter 參數，利用參數 所生成的死亡率當作理論值，再將人數等比例調整，假設死亡人數服從卜瓦松 (Poisson)分配，模擬並估計各年齡層的死亡率，再帶入 Lee-Carter 模型以奇異值 分解法(Singular Value Decomposition；SVD)估計出各參數值的誤差。

澎湖地區的模擬結果以類似 t 檢定角度評估參數估計值𝛼𝛼�_𝑥𝑥及𝛽𝛽̂_𝑥𝑥，在使用相同 資料年度下，𝛼𝛼�𝑥𝑥的偏差與變異數與臺灣地區相比差異不大，𝛼𝛼�𝑥𝑥約 100 萬時較穩 定；𝛽𝛽̂_𝑥𝑥的偏差與變異數則比臺灣地區來的小(參考附圖 1、2)。圖 3-4 為使用澎湖 人口結構 𝛼𝛼�𝑥𝑥和𝛽𝛽̂𝑥𝑥參數估計的檢定比值，比較臺灣地區(圖 3-3)與澎湖地區，𝛼𝛼�𝑥𝑥的 檢定比值在人數 2 萬以下檢定比值會大於 1.96，台灣與澎湖差異不大；在澎湖人 口結構之下，𝛽𝛽̂𝑥𝑥的偏差(Bias)較小以致於𝛽𝛽̂𝑥𝑥的檢定比值較好，但是整體來說，臺 灣地區與澎湖地區的差異並不大。因此，我們在接下來的各種修勻探討中使用全 臺灣資料，再依照全臺灣人口結構將人數等比例縮小至小區域的大小，來代替澎 湖、金門等小區域的狀況做電腦模擬測試。

圖 3-4、Lee-Carter 模型使用澎湖資料，在不同人數的α 、ˆ_x β^ˆ_x檢定比值 22

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(三) Lee-Carter 求解方法

除了人數及人口結構的影響之外，探討 Lee-Carter 求解方法是否會造成參數 估計的誤差，Lee-Carter 參數求解方式有相當多種，本文先比較奇異值分解法 (Singular Value Decomposition；SVD)與近似法(Approximation)。實際做法為使用 相同的資料，採用全臺灣男性 1992-2011 年資料做 Lee-Carter 參數估計時，分別 使用 SVD 法與近似法找出固定的參數值，將此組參數當作理論參數值，再仿照 先前電腦模擬步驟生成各年齡層的死亡率，最後套用 SVD 法與近似法比較此兩 種求解方法的參數估計值𝛼𝛼�_𝑥𝑥及𝛽𝛽̂_𝑥𝑥。

圖 3-5、圖 3-6 為 SVD 法與近似法，以類似 t 檢定方式評斷各參數估計值𝛼𝛼�𝑥𝑥

和𝛽𝛽̂_𝑥𝑥，由於𝛼𝛼�_𝑥𝑥部分在求解過程中步驟相同，先算出中央死亡率後取平均數，因此 所估計出來的𝛼𝛼�𝑥𝑥會完全相同。𝛽𝛽̂𝑥𝑥部分，使用 SVD 法與近似法都是在人數 100 萬 以上，各年齡層才有較穩定的參數估計(MSE 與檢定比值相似，可參考附圖 3、

4) 。

圖 3-5、Lee-Carter 模型不同求解方法下的參數估計值α ˆ_x

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圖 3-6、Lee-Carter 模型不同求解方法下的參數估計值 ˆ βx

除此之外，利用統計方法中的涵蓋機率來探討不同人數下各年齡層參數的穩 定程度，實際做法為仿照先前 Lee-Carter 測試參數步驟，使用電腦模擬 1000 次 分別算出參數的標準差，並建構 1000 個信賴區間，最後將理論值帶入算出涵蓋 機率(附表 1、2、3)，以涵蓋機率數值介於 0.936 及 0.964 代表大略滿足 95% 信 心水準，以 17 個年齡組中有 15 個以上的年齡組能落在此區間內表示參數具相當 穩定性。表 3-3 為比較𝛼𝛼�𝑥𝑥參數在 SVD 法與近似法，17 個年齡組中有多少個年齡 組落在信賴區間 0.936~0.964 中。由於兩種方法的𝛼𝛼�_𝑥𝑥求解過程相同，因此兩者的 參數穩定度相同，當人數在 100 萬以上時，17 個年齡組中有 15 個年齡組覆蓋機 率在 0.936~0.964。然而，𝛽𝛽̂_𝑥𝑥求解方式不相同，不同人數下落在 0.936~0.964 的年 齡組次數，雖然隨著人數越多而有越多年齡組落在區間內，但是卻沒有收斂的趨 勢，因此兩種方法無法判別優劣，由於 15 個以上的年齡組的條件過於嚴苛，若 放寬至 13 個以上的年齡組，SVD 法在人數為 500 萬以上才穩定；而近似法在人 數為 200 萬以上較穩定，因此 Lee-Carter 在求解方法中，使用近似法優於 SVD 法。整體 SVD 法在 500 萬以上才穩定的結果與第一部分 Lee-Carter 受到人數影 響有相同的結論。

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我們使用 Lee-Carter 參數所生成的理論死亡率當作基準。由上一章 Lee-Carter 模擬測試得知人數大於 500 萬的區域，Lee-Carter 參數非常穩定；人數介於 100 萬至 500 萬的區域，Lee-Carter 參數震盪算小；人數小於 100 萬的區域則多注意