盲訊號分離法簡介

盲訊號分離法的基本架構如（圖 1-1）所示，假設有兩個聲音源 s1、s2，經過了一個 未知的混和過程，兩個麥克風所收到的訊號就是兩個聲源的混和訊號 x₁、x₂，可以寫成 下式：

其中 a₁₁、a₁₂、a₂₁、a₂₂取決於聲源到麥克風的距離，代表聲源到麥克風的衰減狀況，

這些係數皆為未知，盲訊號分離法的目標就是在混和過程與訊號皆未知的情況下，從混 和訊號中分離出訊號源。

1.2.1 即時性混和（instantaneous mixing）

將盲訊號分離法的數學表示法如下，假設有 N 個訊號源 s1…sN，M 個接收器收到 M 個混和訊號 x1...xM，寫成向量模式即為一個 N x 1 的訊號源向量 s=[s1…sN]^T，M x 1 的混 和訊號向量 x=[x1…xM]^T，最基本的混和過程假設就是即時性混和（instantaneous mixing）， 也就是如（圖 1-1）所示，混和訊號 x 為訊號源 s 和一個混和矩陣（mixing matrix）A 相 乘，其中 A 為一個 M x N 的矩陣，如下式：

x=As (1-2)

盲訊號分離法的目的就是找出一個分離矩陣（demixing matrix）W，使此分離矩陣 和混和訊號 x 相乘後，可以分離出訊號源 s（式 1-3）。可看出若是解出的分離矩陣 W 越 接近 A 的反矩陣 A^-1，y 就會越接近原本的訊號源 s。

(1-3)

(1-1)

圖 1-1 盲訊號分離法示意圖

要在只有混和訊號 x 的情況下，分離出矩陣 A 和訊號源 s，也就是對 x 的矩陣分解，

在 A 與 s 都沒有特別限制的情況下，是沒有辦法得到唯一解的，因此通常都會假設訊號 源滿足某種統計特性，利用這種統計特性來做分離，根據不同的假設，就發展出了不同 的演算法。如獨立成分分析法（Independent Component Analysis, ICA）便是假設訊號源 彼此是獨立的（independent）[1-9]，從混和訊號中抽取出獨立的成分；稀疏成分分析法

（Sparse Component Analysis, SCA）假設訊號源是非常稀疏的（sparse）[17-20]；非負矩 陣分解法（Non-negative Matrix Factorization, NMF）則是用在訊號源皆為非負值的假設 之下[21][22]，詳細的方法會在之後的章節裡介紹。

1.2.2 摺積混和（convolutive mixing）

最初 BSS 的基本假設很簡單，混和訊號只是訊號源與混和矩陣 A 的相乘，也就是

訊號源與矩陣係數的相加相乘（式 1-1），但在實際錄音環境下，聲音源到麥克風之間除

了直接路徑（direct path）以外，還會經由不同的反射路徑而產生不同的延遲（delay）

與衰減（圖 1-2），所以麥克風所收到的混和訊號其實是經過摺積混和（convolutive mixing）

的訊號，如（式 1-3）所示，其中 aik代表第 k 個訊號源到第 i 個麥克風的脈衝響應（impulse response），τ為時間延遲。

圖 1-2 摺積混和訊號示意圖

(1-3)

(1-4)

(1-5) 因此，原本只須解出一個分離矩陣 W，在此情況下卻變成了一個反摺積

（deconvolution）的問題。針對摺積混和的情況，P. Smaragdis 於 1998 年、S. Ikeda 於 1999 年提出了 Convolutive ICA[13][14]，主要概念就是將原本的時域（time domain）訊 號轉到頻域（frequency domain），如此一來在時域上的摺積就會在頻域上變成相乘（式 1-4），因此將混和訊號經過 Short-term Fourier Transform（STFT）後（式 1-5），對於每 個頻帶的成分而言都是即時性混和，此時就可以對每個頻帶的訊號分別使用即時性混和 的分離演算法，最後再用 Inverse STFT 重建回聲音，流程圖如（圖 1-3）[17]。

將摺積混和的訊號轉到頻域，再對每個頻率分別做 ICA，為目前很常見的一個方法 [13-16]，但此作法一直存在著一些潛在問題如排列問題（permutation）和縮脹問題

（dilation）。如（圖 1-4）所示，對每個頻帶的訊號都分別視為一個即時性混和的問題來 解，每次解的過程也是互相獨立的，因此每個頻帶所解出來的訊號順序及大小會不一樣，

如此在重建回聲音時，就會產生排列問題和縮脹問題。另外，訊號做了傅立葉轉換

（Fourier Transform）後會有虛數部分，因此若要直接於每個頻帶應用即時性混和的演 算法，也必須將演算法發展成適合虛數計算，如 Complex FastICA[7]。

圖 1-3 Convolutive ICA 流程圖

1.2.3 欠定問題（unter-determined problem）

盲訊號分離法中還有另一個問題，也就是訊號源的數量 n 與混和訊號的數量 m 可能 會不相等。一般最簡單的假設是 M=N，稱為 even-determined problem，此時 A 為方陣，

A

雖然無法直接求得 A^-1，但可用 pseudo-inversion。而當訊號源數量大於混和訊號數量，

也就是 M<N 時，稱為 unter-determined problem，此時就無法直接用矩陣計算將訊號源 解回來，因此 ICA 演算法通常都會假設混和訊號的數量要大於或等於訊號源的數量(M ≥ N)。