FastICA

FastICA 則是以訊號的分佈狀態作為獨立性的量測，通常語音訊號都會有多數的沉 默片段，所以在統計直方圖（histogram）上大部分的值都會在 0 附近，屬於超高斯分布

（Super-Gaussian Distribution）（圖 2-2），經過混和之後，根據中央極限定裡（Central Limit Theorem），當資料數越來越多時，混和的訊號會越趨近於高斯分布（Gaussian

Distribution）。（圖 3-3）顯示 16 個語音訊號的統計直方圖，可以看出混和成 2 個訊號後，

混和訊號會傾向高斯分布（圖 2-3）。因此 FastICA 的目的便是從混和訊號中分離出 Non-Gaussian 的訊號，也就是用常態性（normality）作為獨立性量測的依據。

圖 2-2 16 個訊號源的統計直方圖

圖 2-3 兩個混和訊號的統計直方圖

FastICA 是利用峰值（Kurtosis）來計算 normality，Kurtosis 為四階動差，對不同的

x=x-E[x]

首先對 x 的共變異數矩陣（covariance matrix）作特徵值分解（eigenvalue

decomposition）（式 2-6），分解成由特徵值（eigenvalue）所組成的對角矩陣 D，以及特 徵向量（eigenvector）所組成的矩陣 V，同時定義白化矩陣 U 如（式 2-7）。

(2-6)

(2-7)

如此一來白化訊號（whitening signal） z 就是白化矩陣 U 與原訊號 x 相乘（式 2-8），

而 z 的共變異數矩陣就會變成單位矩陣（式 2-9）。

(2-8)

(2-9)

(a) 訊號源 s1與 s2的散佈圖

(c) s2的統計直方圖 (b) s1的統計直方圖

圖 2-5 訊號源的散佈圖及統計直方圖

訊號源經過混和與 FastICA 處理後的變化如（圖 2-5）~（圖 2-6）所示，（圖 2-5(a)）

為訊號源的散佈圖（scatter plot），橫軸為音源訊號 s1的值，縱軸為音源訊號 s2的值，當 中的點座標為每個時間點 s1與 s2的值，也就是(s1(t), s2(t))，因為訊號源為超高斯分佈，

聚集在 0 附近的點很多，所以兩個訊號的分佈圖會呈現一個十字的狀態；（圖 2-5(b)）為 (a)圖對橫軸投影後的統計分佈圖，也就是音源 1 的統計直方圖，（圖 2-5(c)）為(a)圖對 縱軸投影後的統計分佈圖，也就是音源 2 的統計直方圖。

訊號源經過混和後的訊號散佈圖如（圖 2-6(a)），(b)圖為經過集中變數後的結果，

在此因為原本的混和訊號就是 zero-mean，所以與(a)圖無異。(c)圖為經過白化的訊號，

可看出 z1與 z2為非相關的，而分離矩陣則是進一步將非相關的訊號轉成獨立的訊號(d)，

由(c)到(d)圖可看出分離矩陣其實就是一個旋轉矩陣。

(b) 集中變數 (a) 混和訊號

(d) 分離矩陣 (c) 白色化

圖 2-6 訊號經過 FastICA 處理後的變化

2.3.2 解分離矩陣

前面提到 FastICA 是以最大化 Kurtosis 作為演算法目標，對 zero-mean、unit-variance 的訊號而言，Kurtosis 的公式可簡化為（式 2-10）。

假設分離矩陣為W，當中的每個行向量 wi可以解出一個訊號源，我們希望可以最 大化 的 kurtosis（式 2-11）。因為 W 實為一個旋轉矩陣，我們假設 wi 的 norm 皆 為 1。

(2-10)

(2-11)

(2-12)

對（式 2-11）取 gradient 會得到（式 2-12），因為||w||=||z||=1， ， 根據 fixed-point 演算法，我們可以得到解 的疊代公式如（式 2-13）。

(2-13)

FastICA 的整體計算流程如下：

(1) 集中變數，使訊號變成 zero-mean。

(2) 白化處理，使訊號變成 un-correlated。

(3) 隨機選擇分離矩陣 W 的初始條件，設定 i=1，k=1。

(4) 計算

(5) 使 wi變成 unit-norm，

(6) 若 ，表示 wi尚未收斂，繼續設定 k=k+1，回到(4) 再次疊代。