相位雜訊分析

3-1 何謂相位雜訊

一個理想的振盪器會產生一個完美的弦波

) sin(

)

(t A ω

S = (3-1) 實際上，信號一定會含有雜訊，可把雜訊分成相位及振幅兩方面，通我們把一個振盪器產生的信號如下表示：

)) ( sin(

)) ( ( )

(t A a t t

S = + ω+φ (3-2) 此處

a(t)表示信號振幅隨著時間變化的變化量，稱作“振幅雜訊”。

)

φ(t 表示信號相位隨時間而變的變動量，稱作“相位雜訊”。

一個設計良好的振盪器，其振幅雜訊會受到本身電路振幅增益的限制，所以振幅的變動非常的小[7]，但相位雜訊卻不是這樣，相位雜訊非常的難以消除，所以我們可以把振盪器的信號，看成只有相位雜訊，表示如下：

)) ( sin(

)

(t A t

S = ω+φ (3-3) 在通訊系統中，相位雜訊會降低系統對頻道的選擇能力，並提高在接收機端的誤碼率[8]。故在射頻頻率合成器中，低相位雜訊是系統性能

設計上的重要考量之一。

3-2 相位雜訊的量測：

在介紹相位雜訊量測方法之前，先定義一些描述信號頻譜的參數，再來便是利用窄頻調變的理論來分析相位雜訊，並用此結果來量測信號的相位雜訊。

以式(3-3)來說

)) ( sin(

)

(t A t t

S = ω +φ

一般定義[7]

spectrum) power

noise phase band side (double

(t) )

( 相位偏移量φ 的雙邊功率頻譜

φ fm =

S (3-4)

n) fluctuatio phase

of density (spectral

dt (t) ) d

( 頻率偏移量 φ 的雙邊功率頻譜

φ^• fm =

S (3-5)

⁽ ⁾ ^(fm) ^1Hz ⁽ ⁾

Hz fm dBc

L = 距載波頻率處頻寬的雜訊功率與載波功率的比值

(3-6) 3-2-1 相位調變簡介

在式 3-3 中，我們把φ(t)當成一個弦波信號，表示如下

t

t θ

_PK

ω

ϕ ( ) = sin

(3-7)

θPK表示調變相位偏移的最大值，將(3-4)式代入(3-3)式

) sin(

sin(

)

(t A t t

S = ω_c +θ_PK ω_m ) (3-8) 從時域來看，此信號的相位會因相位調變信號的緣故，而有抖動(jitter) 的現象，從頻域上來看，在距中心頻率ω_c兩旁，n 倍ω_m處(n =±1,±2,...

圖 3-1 相位調變頻譜圖

理論上 n 等於無限大)，都會有頻譜分佈，且諧波振幅大小可由 Bessel 函數來決定[9]，如圖(3-1)所示，一個頻率等於 100MHz，功率 0dBm 的載波受頻率為 100KHz，但θ_PK各為 0.1,0.5,1,5(rads)的弦波作相位調變之後的頻譜分佈圖。

相位調變是一個非線性的調變，當我們要得到載波受到由兩個信號相加所產生的信號而調變的結果，是無法由兩個信號個別調變載波

的結果相加而得到。從圖(3-1)可知，當θ_PK增加時，頻譜並非以線性方式增加，相位調變的非線性特性，一直是分析雜訊調變問題所需要考慮的因素，幸運的是對於程度不大的相位調變，可用線性的方式來描述。目前主要採用的方法是把雜訊當作是弦波的相加，將個別弦波調變的效應相加起來，即可得到其總和效應[9]。

3-2-2 相位調變與頻率調變的關係

如式(3-8)所示為一相位調變信號

) ) sin(

sin(

)

(t A t t

S = ω_c +θ_PK ω_m (3-9) 此信號的相位與時間的關係為

) sin( t

t _PK _m

c θ ω

ω + (3-10) 對上式作微分可以得到信號的頻率與時間的關係為

( )

m^t m

c θ ω ω

ω + cos (3-11) 其頻率偏移最大值ω_PK為

m PK

PK θ ω

ω = (3-12) 由此可知相位偏移峰值與頻率偏移峰值的關係，並定義一調變指數

β(Modulation Index)使得

m PK m

PK f

= f

= ω

θ ω

β (3-13) 調變指數便是指頻率漂移峰值與調變頻率f_m的比值，因此可把一個頻率調變信號表示成

( )

^t ^A

(

( )

)

S = sin ω_c +βcosω_m (3-14) 也可將其頻譜如前面相位調變的信號頻譜般圖示出來，但不同的是相位調變時比較θ_PK的不同，頻率調變時比較的是β。

圖 3-2 頻率調變頻譜圖

正如相位調變一般，頻率調變也是非線性調變。

3-2-3 窄頻的相位及頻率調變

當調變指數β<<1(FM)，也就是θ_PK<<1(PM)時，我們可將調變信號加以簡化並求得其近似值，這就是所謂窄頻調變，如式(3-5)所示，一個相位調變信號

( )

^t ^A

(

( )

)

S = sin ω_c +θ_PKsin ω_m

假如θ_PK<<1，可將上式近似成

( )

^t ^A

(

( )

)

S = sin ω_c +θ_PKsin ω_m

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )

{

^t ^t ^t ^t

}

Asin ω_c cosθ_PKsin ω_m +cosω_c sin θ_PKsin ω_m

( ) ( ) ( )

{

^t ^t ^t

}

Asin ω_c +θ_PKcosω_c sin ω_m

≅

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

{

^t ^t ^t

}

A ω_c + θ_PK ω_c +ω_m − θ_PK ω_c −ω_m

= sin 0.5 sin 0.5 sin (3-15) 我們知道當^x<<1 時，^sin

( )

x ≈x^,^cos

( )

x ≈¹，所以窄頻相位或頻率調變在載波兩旁距離中心頻率ω_m處會產生一對的旁波帶，其單邊振幅與載波振幅比值為

V Vn θ

= (3-16) 而功率比值為

( ) 4 2

2 pk rms

Vn θ θ

= (3-17) 式中

pk rms

θ =θ (3-18)

根據(3-2)式定義，可得知

) 2 (

fm rms

L ≅θ (3-19) 根據(3-1)式定義，可得知

) 2

(fm _rms

S_φ =θ (3-20) 所以

2 ) ( ) 2

(

2 S fm

L ≅θ^rms = ^φ (3-21) 應用前列各式所得的結果，可藉由頻譜分析儀量測出 1Hz 頻寬雜訊功率與載波功率的比值而求得相位雜訊的值。

3-3 迴路中各組件之雜訊響應

圖 3-3 為一鎖相迴路的雜訊模型，其中包含幾個迴路中主要的雜訊源，每個雜訊源所產生的機制均不相同，此處先討論系統輸出雜訊與各雜訊源的關係。

XTAL PD LPF VCO

÷N

÷R

PLL output

( )

φVCO

( )

φLPF

( )

φpd

( )

φrd

( )

φXTAL

( ) ^f

φ

( )

^F^s

( )

^kd

圖 3-3 系統雜訊模型

圖中：φXTAL

( )

^f 表示參考振盪器的相位雜訊 φrd

( )

^f 表示參考除頻器的相位雜訊 φpd

( )

^f 表示相位比較器的相位雜訊 φLPF

( )

^f 表示迴路濾波器的相位雜訊

( )

φVCO 表示 VCO 的相位雜訊

在線性系統中，輸出功率頻譜(power spectral)與輸入功率頻譜關係為

( )

^f ^S

( ) ( )

^f ^H ^f ²

S_y = _x (3-22) 其中^Sx

( )

^f 表示輸入功率頻譜，^H

( )

^f 為系統的轉換函數[8]。且迴路組件雜訊源間的關係為 uncorrelatted，所以雜訊源在輸出端的總效應，

可由雜訊源個別的輸出效應相加而得[10]，舉例來說，要得到 VCO

的相位雜訊在輸出端的效應，可將其他雜訊源的值設為零，則由 VCO 所造成在輸出端的相位雜訊φV .O

( )

^f 為

( ) ( ) ( )

._O f _V f H f

V φ

φ = (3-23) 其中轉換函數

( ) ( )

Ns s F K f K

o d V

= 1

1 (3-24)

同理可以得到其它雜訊源在輸出端的個別效應，個別雜訊源所對應轉換函數如下：

Source Transfer function

XTAL

H s G

s G R• + •

) ( 1

R Divider

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( N Divider

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( Phase detector

K

^d • 1

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( N Divider

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( VCO

H s G • + ( ) 1

Passive third-order LPF 1+G(s)•H 1

表 3-1 不同的雜訊源所對應的換函數其中

S S KdKvF s

G ( )

)

( = (3-25) 則系統輸出的相位雜訊如下：

H s f G

H s G f S H

s G

s f G

H s G

s f G

H s G

s f G H

s G

s G f R

K K

VCO

LPF d

Nd rd

XTAL out

• + +

•

• + +

+ +

•

• +

•

) ( 1 ) 1 ) (

( )1 ) (

( 1

) ( ) 1

(

) ( 1

) ) (

) ( ( 1

) ) (

) ( ( 1

) ( ) 1

( )

(

2 2

φ φ

φ

φ φ

(3-26) 由表 3-1 可明顯看出、相位比較器、N 值除頻器，R 值除頻器及參考頻率振盪器等的雜訊源、其轉換函數皆包含一個相同的因數，即為系統的閉迴路增益

) ( ) ( 1

) (

S H S G

S G

+ (3-27) 將頻帶寬度ω_C及相位邊界為φ定義如下：

1 )

(j •H =

G ω_c (3-28)

c H

G ω • =φ

∠

− ( )

180 (3-29) 根據定義，可以得到

(3-30) 其 Bode 圖為

圖 3-4 閉迴路增益轉換函數 Bode 圖

在迴路頻寬內，這些雜訊將被放大 N 倍，在頻帶外則開始衰減，因此這些雜訊源被稱作迴路頻寬內的雜訊源，VCO 則不同，其轉換函數為

H S

G •

+ ( ) 1

1 (3-30) 可將上式近似成

(3-31) 其 Bode 圖如下

圖 3-5 VCO 轉換函數 Bode 圖

此為一高通函數，在迴路寬內，VCO 的雜訊會受到抑制，頻帶外則會通過，但並未被放大。

在迴路頻寬內的主要雜訊來自於參考晶體振盪器，除頻器及相位比較器等，迴路頻寬外的雜訊頻譜則由 vco 主導。綜合迴路內幾個主要雜

圖 3-6 典型的迴路輸出頻譜

3-3-1 迴路頻寬ωc與相位雜訊的關係

圖 3-6 的輸出雜訊頻譜並非最佳化，由於迴路頻寬太寬使得除頻器、相位比較器等元件的雜訊在頻寬內未被抑制，此時若將頻寬縮減，由相位雜訊較低的 VCO 來主導，相位雜訊的表現應較佳。

根據經驗，將迴路頻寬ω_c選擇在頻寬內雜訊源所造成的雜訊頻譜曲線與迴路頻寬外雜訊源 VCO 的雜訊頻譜曲線的交點[11]，如圖 3-7 所示會得到最佳的相位雜訊輸出。但迴路頻寬變窄，會使得頻道切換時間變長，兩者之間的取捨，是在設計時所需考慮到的地方。

圖 3-7 迴路頻寬最佳化

3-3-2 各雜訊源的特性簡介

振盪器之相位雜訊：

根據 D.B.Lesson[12]所提出之線性振盪器模型，任何振盪器可以簡化為僅包含共振器(Resonator)與放大-限幅器(Amplifier-limiter)之迴路，

如圖 3-8 所示

圖 3-8 Lesson’s model PLL BW In band noise

floor

VCO noise

ù_c

A=1

) (

0 ω

ω ω

ω −

+ jQ

Sè Σ Sö

振盪，則放大器的增益 A 亦必須為 1。設在大器輸入端，以 Sè代表放大器雜訊功頻譜密度。則在放大器的輸入端，可得白色雜訊(white noise)每單位頻寬的功率 N 為

N=Ni+Na=FKT (3-32) 式中

N_i= 在輸入端的雜訊

N_a=自放大器中加入的雜訊

F=放大器的雜訊指數值(noise figure)

K=1.38×10⁻²³j/^οk （Boltsmana’s constant）

T=(273+^οC) (絕對溫度)

由上可得，單位頻寬的白色雜訊功率，與信號功率 PS 的比值為 FKT/PS，是為 Sè中的一部份。再者，由於電晶體中，電荷載子密度的變動，放大器會在載波信號頻左右，產生另一種雜訊功率，稱為 1/f 相位雜訊，或是閃爍雜訊(flicker)者。

圖 3-9 放大器雜訊頻譜

如圖 3-9 所示，為一典型的 S_è頻譜。當頻率低於 f_a時，S_è的頻譜為

f0 fá

K/f

FKT/PS

S_è

1/f。在高頻率時，頻譜趨於平坦，是為 FKT/Ps。頻率 fa 決定於所用放大器的特性。如圖 3-8 的電路，設為正回授而增益 A=1，在放大器的輸入與輸出之間，可得環路穩態轉換函數為

) ( 1

1 )

( ) (

ω ω

j H j

S j C

= − (3-33) 式中



 + −

) (

1 ) 1 (

0 ω

ω ω ω ω

jQ j

H (3-34)

由於 H(jω)為一高 Q 值濾波電路，同時討論的重點，為在ω0兩側的雜訊功率的配置，故 H(jω)可改以其低通等效電路取代，得

) 1

( ) 1 (

L L

j j

ω ω ω

= + (3-35)

2 ω0

ω = (3-36) 式中ωL=等效頻寬

由一般關係式可知，在濾波電路的輸出端，以電壓轉換函數 G(ω) ，及輸入雜訊的功率頻譜密度 Si(ω) ，所表出的雜訊功率頻譜密度 So(ω)為

2 0(ω) S(ω)G(ω)

S = ⁱ (3-37) 因此，在增益為１的放大器的輸出端，可測得閉環系統中，等效的相位雜訊對信號功率的比值Sφ 為

θ 1

φ S

S = ⋅

[

¹ ¹^/(¹ ^jω^/ω^L⁾

] [

^S ¹ ¹^/(¹ ^jω^/ω^L⁾

]

−

⋅ +

= −

(1 )

/ ) / 1 (

2 2 2

L L

L S

ω ω ω

ω ω

ω θ

θ + = +

= (3-38)

參考(3-35)式，(3-36)及式(3-37)式中，(3-38)式可改寫為

4 ) 1 )(

( )

( ₂ ₂

2 0

ω ω ω

θ ω

φ S Q

S = + (3-39) 上式為由 D.B.Leeson 所導出者，用以說明振盪電路輸出端的雜性特性。以圖(3-9)中的 S_è，配合上式中，可得輸出相位雜訊的頻譜S_φ，如圖 3-10 所示。圖 3-10(a)為低 Q 值諧振電路的狀況，濾波電路的頻寬大於放大器的 f_a ，在接近於載波頻率 f₀處，雜訊功率以

1/f³(-18dB/octave)的斜率下降，在 f_a與 f_L之間，功率頻譜密度以 1/f²(-12dB/octave)的斜率降低。當頻率高於濾波電路頻寬後，輸出相位雜訊都屬等高的白色雜訊。在高 Q 值的諧振電路中，如圖 3-10(b) 所示，頻寬 f_L小於 f_a，在 f_L與 f_a之間，輸出雜訊功率以 1/f(-6dB/octave) 的斜率下降，當頻率高於 f_a後，輸出雜訊與頻率無關。(3-39)式中可用為振盪器雜訊性能，與理論上放大器的最小雜訊(基於放大器的 f_a 及雜訊因數 F),，兩者作定量比較的關係式。

振盪器在高頻時的雜訊基準，與振盪用放大器的雜訊因數 F 成正比。而最低的雜訊因數為 F=1，則最低的雜訊基準為 KT，或為 –174dBm/Hz(t=300K)，在接近於振盪頻率 f0的低頻率段，雜訊會隨之增大，但是由(3-39)式中可知，實際的幅度與諧振電路的 Q²成反比。

因此，如果電路 Q 值高，則在 f0附近的相位雜訊會減少。

圖 3-10(a) 低 Q 值諧振電路

3-10(b) 高 Q 值諧振電路

晶體振盪器的相位雜訊

因為 Crystal oscillators 有很高的 Q 值所以其頻譜寬度非常的窄，

跟前面 VCO 一樣，其頻譜也包含水平區及 1/f 區域，但在過了 1/f 區的轉折頻率之後，其斜率就比 VCO 來得陡峭，在靠近中心頻率的

f0 fá fL

K/f³

FKT/PS

K/f² SÖ

f0 fL fá

K/f³

FKT/PS

K/f SÖ

除頻器及相位比較器的相位雜訊

相位比較器及除頻器是除了VCO 及 Crystal 以外迴路中另一個主要的雜訊源。目前最常用的相位比較器為正反器的型式，用正反器作相位比較器最大的缺點在於靠近相位等於零的地方，會有非線性區，

即所謂的 dead zone，但此缺點已可用不同的設計方式來改善[13]。

相位雜訊隨頻率變化的特性，會因邏輯元件屬性不同而有所差異，像 ECL 的元件其 noise floor 約為-145~-150dbc/(Hz)，CMOS 的元件其 noise floor 約為-155~-165dbc/(Hz)，視輸入信號及輸出信號的操作頻率而定。一般來說變化速度快及電壓擺幅(swing)較大的元件，其相位雜訊較佳，這是由於雜訊主要產生於邏輯準位在 0 與 1 之間變化的時候，速度愈快的元件，花在轉態的時間愈低，所以相位雜訊也愈小[13]。

由於相位雜訊不高，要量測出數位元件的相位雜訊並不容易，一些 PLL IC 元件製造廠會提供其產品的 noise floor 值，例如 National Semicoductor 所提供的 PLL IC noise floor 如下所示：

圖 3-11 NS 所提供的 PLL IC Noise Floor

由於相位雜訊會隨相位比較器的比較頻率及除頻器的除值增大而增加，所以計算在迴路頻寬內，由數位元件所造成的相位雜訊可由以下公式求得[6]

迴路頻寬內(ω<<ωc)

Phase Noise In band=(1 Hz Normalized Phase Noise Floor from table) +10

•log(Comparison Frequency)+20•log(N) (3- 40)

迴路頻寬外(ω>>ω_c)

Phase Noise=(1 Hz Normalized Phase Noise Floor from table)

+10

•

log(Comparison Frequency)+20

•

log(G(S)) (3-41 ) 例如一個使用 lmx2326，操作在 900 MHz 的 VCO 其相位比較頻率為 200kHz，除頻器 N 值為 4500，則在迴路頻寬內由 PLL IC 所造成的相位雜訊為

-210+10•log(200000)+20•log(4500)=-84(dBc/Hz) (3-42 ) 此預測方法並不非常精準，然而對於設計者而言，仍有極高的參考價

值。

迴路濾波器的相位雜訊源

在被動式三階濾波器中如圖 2-8 所示，主要雜訊源為電阻 R2 及 R3 的熱雜訊(thermal noise)，此熱雜訊在 VCO 輸入端會造成一調變電壓源 V_tRn，其關係如圖 3- 12 所示

圖 3-12 (a)電阻 R2 熱雜訊與調變雜訊源關係圖

圖 3-12(b) 電阻 R3 熱雜訊與調變雜訊源關係圖 R2、R3 電阻之熱雜訊值如下

R K T

V_nRN = 4• 0• • (3-43) 其中

K=1.38×10⁻²³j/^οk (Boltsmana’s constant) T=(273+^οC) (絕對溫度)

R=電阻值 (阻抗實部)

此熱雜訊在 VCO 輸入端會造成一調變電壓源 VtRn，其轉換函數如下先求 VtR2

Z ) Z

( Z Z )

Z ( Z V V

Z Z Z

Z (f) Z

3 (f) 1 Z

3 (f) Z

1 (f) 1 Z

2 2 1 (f) Z

R2_4 R2_5

R2_4 R2_2

R2_1 R2_2 nR2

tR2

R2_3 R2_2

R2_1 R2_2 R2_1 R2_5

R2_4 R2_3 R2_2 R2_1

• +

+ +

= •

= +

SC R SC R SC 令

(3-44) VtR3

3 _ 3 2 _ 3 1 _ 3

3 _ 3 3

3 3 _ 3

2 _ 3

1 _ 3

3 ) 1 (

3 ) (

) 2 2 //( 1 1 ) 1 (

Z Z Z Vn Z Vt

f SC Z

R f Z

SC R f SC

R = • + +

= 令

根據前面所提窄頻調變的理論，雜訊源 VtRn在迴路輸出端所造成的相位雜訊，轉換函數為

) ) ( 1

1 2

) ( ( 2

log 20 )

( ₁₀ ²

2 f G S H

Kv f f Vt

PhaseNoise_R ^R

•

• •

•

= (3-46)

) ) ( 1

1 2

) ( ( 2

log 20 )

( ₁₀ ³

3 f G S H

Kv f f Vt

PhaseNoise_R ^R

•

• •

•

= (3-46 )

由上可知，R2、R3 所造成的雜訊效應在迴路頻寬內並不明顯，主要是由於其轉換函數為高通，此點與 VCO 相同。若要降低電阻雜訊影響，在同樣的迴路規格參數下，增大電荷幫浦（Charge Pump）的輸出電流值，將可得到較低的電阻值[6]。

以上我們介紹了系統中各個雜訊源與輸出雜訊的關係，將雜訊源的值代入轉換函數中，配合數學運算軟體 Matlab 等，將可求得系統的輸出雜訊。

在文檔中題目:鎖相迴路頻率合成器之暫態響應及相位雜訊之研究 (頁 31-52)

t

t θ

ω

ϕ ( ) = sin

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )

{

}

( ) ( ) ( )

{

}

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

{

}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) f

φ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

K

K K

φ φ

φ

φ φ

φ φ

[

] [

]

•log(Comparison Frequency)+20•log(N) (3- 40)

•

•

( ) ^f