題目:鎖相迴路頻率合成器之暫態響應及相位雜訊之研究

(1)

中華大學碩士論文

題目:鎖相迴路頻率合成器之暫態響應及相位雜訊之研究

A study of Transient response and Phase noise of PLL frequency synthesizer

系所別 : 電機工程學系碩士班通訊組學號姓名 : 8601531 蕭天岳

指導教授 : 田慶誠博士

中華民國九十年七月

(2)

摘要

快速的頻道切換及低相位雜訊乃是鎖相迴路頻率合成器在現代通訊系統中所要達到的主要目標，透過適當的數學模型並運用數學軟體 MATLAB 將可模擬出系統的暫態響應及相位雜訊。

在暫態響應方面

從控制系統的觀點來定義系統的轉換函數，並用 Laplace 轉換的技巧求出系統的暫態響應解。

在相位雜訊方面

將迴路內的各個雜訊源的雜訊頻譜代入其轉換函數，即可得到個別在輸出端所造成的雜訊，將個別的輸出雜訊作相加，即可得到系統的輸出雜訊。

最後將應用上述的模擬方法根據 GSM 的規範設計一個頻道間隔 200KHz，頻率變化範圍為 880MHz~915MHz，頻道切換時間小於 500us 的頻率合成電路，比較模擬及量測結果，找出可能的誤差原因，並加以改善。

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Abstract

In modern communication systems, fast channel switching and low phase noise are the major requirements of PLL Frequency Synthesizer.

By using the linear system model and MATLAB, we can simulate the transient response and the phase noise of PLL Frequency Synthesizer.

Transient Response:

Define the system transfer function in the viewpoints of control system then apply Laplace transform techniques to obtain the transient response.

Phase Noise:

Input the individual noise power spectrum of each noise source inside the loop into the transfer function then caculate the individual noise output of each input noise source. The summation of each output noise is the system total output noise.

With the simulation methods mentioned above and based on the GSM standard ,we design a frequency synthesizer ,each channel bandwidth is 200KHz, frequency range is 880MHZ ~ 915MHZ and the channel switch time is less than 500us. By comparing the data of simulation and real measurement, the error factors are analyzed and find the ways to improve the accurance of simulation .

(4)

誌謝

本論文得以完成，首先得感謝指導教授田慶誠博士，在求學態度及研究問題的方法上對我的教導，使我獲益良多。

也感謝這一群好伙伴的協助，在電路實作上感謝俊杰的協助，在口試過程中有士慶及英傑幫忙，嘉濱、子森、永勝及怡廷在百忙之中仍抽空協助我，來自教會團契的關心尤其是林長雄執事夫婦，感謝他們的支持與鼓勵，還有好友沂鋒哥多年對我的關心打氣，要感謝的人實在太多，對於許多幫助我的人在此一併獻上我由衷的感謝，並以繼續努力來回報大家。

最後我要感謝我的家人，他們無怨無悔的付出，使我求學過程中無後顧之憂，也體會到自己必須更加努力來回報他們，願神祝福他們，永遠平安，快樂。

蕭天岳謹識中華民國九十年七月于新竹

(5)

第一章緒論

1-1 研究動機

鎖相迴路頻率合成器早已被廣泛的使用在各種通訊裝置之中，然而隨著通訊系統的效能在質與量的要求不斷增加之下，高速切換及低相位雜訊的振盪源就成為提升系統性能的重要需求。若能掌握此兩種系統效能與迴路元件的關係，並找出具有關鍵性影響的元件，加以適當調整，進而有效的提升系統性能，將可提升電路設計的效率。

1-2 研究背景

在大於二階的系統中，系統的性能與迴路元件的關係變得比較複雜，

且要找出迴路元件與系統性能的關係必須透過複雜的數學式，不過藉由數學軟體如 MATLAB 等的輔助，將可大大降低分析系統性能的困難度，且可得到清楚的模擬結果，供電路設計者參考。

1-3 研究流程及方法

在暫態響應方面

首先以控制系統的觀點來描述鎖相迴路系統，建立 Laplace 平面的迴路轉換方程式，減低計算系統暫態解的複雜度，運用 MATLAB 的

(9)

在相位雜訊方面

先經由量測或藉由 datasheet 得知迴路中各個雜訊源的雜訊頻譜，將各雜訊源代入各自的轉換函數求出其在輸出端的輸出雜訊，將個別的輸出雜訊相加起來，即可得到系統的輸出雜訊。

1-4 各章節簡介

本論文共有五章，各章節之內容分別簡述如下

第一章緒論

說明研究動機、背景、研究方法及步驟。

第二章 PLL 頻率合成器的基本架構及線性模式

將 PLL 頻率合成電路架構作一簡介，並根據其線性的模式推導出迴路轉換函數，運用 Laplace 轉換求得其暫態響應模

擬。

第三章相位雜訊分析

介紹迴路中主要雜訊源其雜訊產生的機制與其數學上近似值，將此數值代入轉換函數中，即可得到在輸出端的雜訊效應，將各雜訊源的效應相加起來，將可得到系統的輸出雜訊模擬。並也對各雜訊源對系統雜訊的貢獻作一討論。

第四章電路模擬及實作驗證

(10)

利用前面兩章所提的方法並藉由數學軟體 MATLAB 來模擬系統的暫態響應及相位雜訊，簡述實作過程，最後將實作結果及模擬結果作一比較，並分析誤差的原因。

第五章結論

(11)

VCO,Kvco Phase

Detector Kd

Loop FIlter F(s)

Prescaler Divide

1/N XTAL

Reference Divider

1/R

參考頻率振盪器參考頻率除頻器

頻率預除器及除頻器

相位偵測器低通濾波器電壓控制振盪器

第二章 PLL 頻率合成電路基本架構及線性模式

2-1 PLL 頻率合成器基本電路架構

圖 2-1 是鎖相迴路頻率合成電路的基本架構，由 XTAL 所產生之信號相位θ_XTAL經過參考頻率除頻器(reference divider)除頻之後與電壓控制振盪器 (VCO) 的信號相位θ_OUT 通過除頻器(prescaler divider)除頻之後的相位，在相位比較器(phase comparator)中作比較，

如果兩者之間相位差不等於零，相位比較器將會輸出一誤差電壓或電流，依相位比較器的型式而定，像我們所採用的相位比較器是 Charge Pump 的型式，其輸出為電流。此相位誤差電壓或電流在通過迴路低

圖 2-1 PLL 頻率合成器基本電路架構圖

FXTAL,èXTAL

FOUT,èOUT

(12)

通濾波器之後(low pass loop filter)，會得到一個與相位誤差有比例常數關係 Kd的直流電壓，此電壓用來調整 VCO 輸出信號的頻率，當迴路呈鎖定狀態，輸出相位與輸入相位的關係為：

XTAL OUT RN θ

θ = (2-1) 輸出頻率與輸入頻率的關係為：

XTAL

OUT F

R

F = N (2-2) 鎖相迴路為一迴授的控制系統[1]，有關迴授系統的性能分析，及設計方面的問題均可用 Laplace Transform 的方法來求得，以下便是一些常用的分析方法。

2-2 迴授系統基本理論

2-2-1 系統轉換函數的定義

我們可將一迴授系統的時域響應(time response)分成兩方面，暫態(transient)解及穩態(steady state)解，運用 Laplace 轉換，在複數平面 (S - domain)作運算可大大降低計算的複雜度，所以我們將一迴授系統表示如下

(13)

θI(s)=輸入信號θI(t)的 Laplace 轉換 θo(s)=輸出信號θo(t)的 Laplace 轉換 θe(s)= θI(s)-θo(s)

G(S)=迴路順向增益的 Laplace 轉換 H(s)=迴路迴授路徑增益的 Laplace 轉換則系統的開迴路增益(open loop gain)為:

G(s)H(s) (2-3) 系統的閉迴路增益(close loop gain)為：

) ( ) ( 1

) ( )

( ) (

s H s G

s G s

s

o i

= + θ

θ

(2-4)

2-2-2 迴授系統的型式(type)與階數(order)：

迴授系統的型式(type)是指在轉換函數 G(S)H(S)中，位於原點的極點(pole)數量，例如有一系統

) 10 ( ) 10 ( )

( = +

S S S

H S

G (2-5) 圖 2-2 迴授系統基本方塊圖

(14)

在原點 s=0 處，極點的數目為一，故稱為Ⅰ型系統，對於階數(order) 的判定，是依據其特性方程式(characteristic equation)，1+G(S)H(S)=0 的多項式中，s 的最高次方而定，對於同一系統

其特徵方程式為：

) 0 10 ( 1 10 ) ( ) (

1 =

+ +

=

+G S H S S S (2-7) 所以

(2-8) 由於式中 s 的最高次方為 2，所以其階數為二，由此可知此為一Ⅰ型 (type Ⅰ)2 階(2_ndorder )的迴授系統。

2-2-3 穩態誤差：

由圖 2.2 可知系統誤差響應θ_e與輸入信號θ_i的轉換函數為：

) ( ) ( 1

1 )

( ) (

s H s G s

s e

i

= +

θ

(2-9)

在穩態(steady state)時(即時間趨向無窮大)之誤差θess，可利用 Laplace 轉換式之終值理論(The Final Theorem of Laplace Transforms)求得，如 2-10 式所示，

) ( )

( lim

lim

0

s s

t

_e

S e

t

ess

θ θ

θ

→

∞

→

=

(2-10) 輸入信號θ(t)的型式，常見有三：

(15)

(1)步階偏移(step position)

θI(t)=Cp t≧0 (2-11) 其 Laplace 轉換為

s s Cp i ( ) =

θ

(2-12)

θ_i為相位時，Cp 指其在時間 t≧0 時輸入信號的相位偏移量。

(2)步階速度(step velocity)

0 )

( t = Cvt t ≥

θ i

(2-13) 其 Laplace 轉換為

(2-14) 上式是指在時間 t≧0 時輸入信號的相位隨時間增大而變化，為一斜坡(ramp)函數，斜率為 Cv。可將其視為頻率值的步階偏移變化，大小為 Cv。

(3)步階加速度(step acceleration)

0 )

( t = Cat

²

t ≥

θ i

(2-15) 其 Laplace 轉換為

3

) 2

( S

S Ca

i =

θ

(2-16)

上式是指在時間 t≧0 時輸入信號的頻率(對相位作微分)，隨時間增大

(16)

而變化，為一斜坡(ramp)函數，斜率為 Ca。

典型的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型系統，其轉換函數分別為

) ) (

( ) (

1 S S a

S K H S G

Type = + (2-17)

2

) ) (

( ) (

2 S

a S S K

H S G

Type +

= (2-18)

3

) )(

) ( ( ) (

3 S

b S a S S K

H S G

Type = + + (2-19) 由(2-9)式及(2-10)式可知，當輸入為步階相位信號時，可求得Ⅰ型系統的穩態誤差θess，已知

(2-20) 相位誤差的終值θ_ess為

(2-21) 由此可知，當輸入為步階偏移信號時，Ⅰ型系統在穩態時之相位誤差為零。同樣的，運用終值定理，將這三種輸入信號，代入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 型系統，可求得穩態誤差，如下表所示

表 2-1 typeⅠ、Ⅱ、 Ⅲ型系統的穩態相位誤差

(17)

運用表 2-1 我們可以根據輸入信號的型式，選擇我們系統的所要的型式 (type)，舉例來說鎖相迴路的輸入信號相位為一步階速度 (step velocity)信號(從頻率來看即為步階偏移(step position)，因為頻率為相位對時間作微分)，而我們希望最後相位穩態誤差為零，

即θeSS=θI-θo/N=0 則系統型式(type)至少要大於二。

2-2-4 迴路的穩定性

我們可從 S-平面或頻域(frequency domain），來判定系統的穩定性 [1]。

例如一型式為二的迴路系統

2

) ) (

( ) (

2 S

a S S K

H S G

Type = + (2-22) 利用根軌跡法(root loucs），我們可以將閉迴路增益(close loop gain)的極點(poles)即系統特徵方程式 1+G(s)H(s)=0 的根(roots)，在 s 平面上的位置與系統增益(改變 k 值，k=0~∞)的關係以圖描示出來，不同的 k 值系統便會有不同的系統響應，根據我們所要的系統響應來決定 k 值的範圍，在這些範圍之內，為求系統的穩定，系統極點的位置必須落在 S-平面的左半邊，即極點實部(real part)必須小於零。

另一方法是將系統的相位邊界(phase margin)設計在 40-45 度之間來保證系統的穩定性，這是一個經驗法則[2][3]，相位邊界是指系統開迴

(18)

路增益(open loop gain)值(magnitude of G(s)H(s))等於 1(0 dB)時的相位 (phase)與 180 度的相位差如圖 2-3 所示，詳細的證明可從控制理論中得到[5]。

圖 2-3 相位邊界ψp圖

2-2-5 系統的暫態(transient)響應

在電路及控制系統理論中，常把二階系統的特徵函數表示成(2-23) 式，稱為正規化型式(normalized form)，有時也可將高階的系統近似成而二階來分析其暫態響應。

2 2

2 )

( ) (

1 + G S H S = S + ζω

_n

S + ω

_n (2-23) 其中ω_n稱作自然角頻率(natural frequency)，ζ稱作阻尼因素(damping ratio)，運用這兩個參數，可以輕易的把系統的暫態響應的規格

(19)

(specification)描述出來。

已知一系統閉迴路增益轉換函數(close loop gain)如下：

36 2 . 4

36 )

( ) ( 1

) (

2+ +

+G s H s = S S s

G (2-24) 比較(2-23)及(2-24)式我們可以得到ωn=6，ζ＝0.35 及系統的兩個

極點各為

S

_1,2

= − ςω

_n

± ω

_n

ς

²

− 1

(2-25)

當此系統輸入一個相位步階偏移信號θI（t）=Cp t≧0，令 Cp=1，

我們可以得到

s S

i

) 1 ( =

θ ，則其步階響應為

) 2

( )

( ₂

2

n n n

o S S S

s ςω ω

θ ω

+

= + (2-26) 作 Laplace 反轉換得到

) 1

cos(

1 1 1 )

( ²

2

ω ς φ

θ ς

^ςω

− −

= e

⁻

t

^t _n

o

n (2-27)

其中，

φ = tan

⁻¹

( ς / 1 − ς

²

)

(2-28) 由上可知不同的ζ可得到不同的暫態響應，下圖表示步階響應θ

o(t)與ζ值的關係

(20)

圖 2-4 系統步階響應圖

根據上圖可以得知當ζ＝0.35 其步階響應介於ζ＝0.3 及ζ＝0.4 之間。再來我們把步階響應的規格分成下列幾項[5]並表示如圖 2-5：

1. 峰值時間(peak time) ,Tp：達到響應峰值(θ_o(t)_max)所需的時間 2. 超越量百分比（percent overshot），%os：響應峰值θ_omax超過穩θ

oss態值（steady state）的量與穩態值的比值。

3. 趨穩時間(settling time)，Ts:當響應值變動範圍小於±2%穩態值時的時間。

4. 上升時間(rise time)，Tr：響應值從 0.1 倍穩態值到 0.9 倍穩態值所需的時間。

(21)

圖 2-5 步階響應規格示意圖

由之前定義的兩個參數ζ、ω_n，可以將響應的規格表示如下

1 ς2

ω π

= −

n

Tp (2-30)

100

%

) 1

( 2

×

= ⁻ ⁻^ς

ςπ

e

OS (2-31)

n

Ts ςω

= 4

(2-32)

5.迴路的 3-dB 頻寬

當 0.707

) ( ) ( 1

)

( =

+ ω ω

ω j H j G

j G

) 0 ( ) 0 ( 1

) 0 (

H G

G

+ ，此時的ω就是迴路的 3-dB 頻

1.02 èoss

0.98 èoss

Tp

θ_oss

0.9θ_oss

Tr Ts

0.1 è^oss t

θ

(22)

寬，對 type 1 second -order 的系統來說，其 3-dB 頻寬為 )

2 4 4 ) 2 1

(

−

²

+

⁴

−

²

+

= ω ς ς ς

ω

BW n (2-32) 將ωn=4/Tsζ代入(2-32)式，可以得到 3-dB 頻寬與 settling time Ts的關係

) 2 4 4 ) 2 1

4 ( ₂ ₄ ₂

+

− +

−

= ς ς ς

ω ς

S

BW

T

(2-33) 根據這些資訊，設計者可以根據系統參數對系統性能的影響，找出適合的元件來達到系統規格的要求。

綜合上述，我們可整理出系統的設計流程，

圖 2-6 系統設計流程圖

NO

規格系統架構

type、order

實作與量測選擇元件值穩定性

stability 迴路參數 ζ、ωⁿ

YES

NO

YES NO

YES

(23)

2-3 鎖相迴路的線性模式

由於相位比較器的關係，鎖相迴路是一個非線性(nonlinear)的裝置，但在大部分的操作範圍下，依然可用線性模式來分析[5]。

2.3.1 線性模式中的迴路參數

所以我們可將圖 2-1 鎖相迴路電路架構的線性模式建構如下：

圖 2-7 PLL 頻率合成電路的線性模式將各個方塊所代表之意義簡述如下：

方塊 1/s 表示積分的意思，由於 XTAL 輸出的值為頻率，但相位比較器的輸入為相位，將頻率轉成相位故作一積分的動作。

由於本論文所採用的相位比較器為 charge pump 的型式，所以方塊 Kd 表示相位差與輸出電流的比例常數，單位為(mA/2πrad)。

方塊 F(s)表示迴路低通濾波器的轉換函數，本論文採用的是三階被動 F(s)

è_o

f_o VCO

1/S LPF

Divider XTAL

Kd

1/N f_i 1/S è_i

PD

Kv

(24)

(third-order passive)式濾波器其型式如下：

圖 2-8 三階被動式濾波器其轉換函數為

F(s)=

3 3

3

) 1 (

R SC S Z

S SC Z

+ +

•

(2-34)

其中

) 2 1 ( ) 2 2 1 ( 2

1 ) 2 2 ) (

( S C C R S C C

R C S S

Z • • + +

+

= • (2-35)

將(2-35)式代入(2-34)式，可以得到

S C C C S R C C C R C C C S R R C C C

S R S C

F • + + + + + •

+

= •

3 2 1 ]

2 2 ) 3 1 ( 3 3 ) 2 1 [(

3 2 3 2 1

1 2 ) 2

( ₃ ₂

(2-36) 為了簡化上式，我們令

K0=C2R2 (2-37)

(25)

K2=[(C1+C2)C3R3+(C1+C3)C2R2] (2-39) K3=C1C2C3 (2-40) 將(2-37)~(2-40)式代入(2-36)式，可得

S K S K S K

S S K

F • + + •

+

= •

3 2

1

1 ) 0

( ₃ ₂ (2-41) 方塊 Kv 表示 VCO 的輸入電壓輸出頻率轉換常數，單位為(MHz/v)。

方塊 1/N 表示除頻器的除值，使 VCO 輸出的頻率及相位在進入相位比較器之前降為原來的 1/n。

2-3-2 迴路的轉換函數

根據此迴路線性模式，我們可以推導出迴路的順向增益

G(S)=Kd•F(S)•Kv•

S

1 (2-42) 迴路的迴授路徑增益

H(S)=1/N (2-43) 迴路的開迴路增益

G(s)H(s)=

N S K S K S K S

KdKv S

KdKvK

/ ) 3 2

1 (

0

2

3+ + •

•

+

• (2-44)

迴路的閉迴路增益

KdKv KdKvK

S N K S N K S NK S

K S KdKvN S

S

i o

+

• +

•

= +

0 3

2 1

) 0 1

( )

( ) (

2 3

θ 4

θ (2-45)

由上可知，此為一 typeⅠ forth-order 的系統

(26)

根據(2-45)式，我們可以得到輸入相位與輸出相位的關係，若要得到輸入頻率與輸出頻率的關係，先對輸入相位及輸出相位作微分，即

) ) (

( f t

dt t d

i

i =

θ (2-46)

) ) (

( fo t dt

t o dθ =

(2-47) 在 S-domain 作運算，可得

) ( )

(s s f_i s

i = •

θ (2-48)

) ( )

(s s f_O s

O = •

θ (2-49) 將(2-48)及(2-49)式代入(2-45)式，便可得到

KdKv KdKvK

S N K S N K S NK S

K S KdKvN S

S S

S S S s

fi s fo

i o i

o

+

• +

•

= +

• =

= •

0 3

2 1

) 0 1

( )

( ) ( )

( ) ( ) (

) (

2 3

θ 4

θ θ

θ

(2-50)

2-3-3 迴路的暫態響應

輸入一步階偏移信號，此步階偏移信號的型式如下

S N

f s f

fi •

= 2− 1 )

( (2-51) 式中，f1 表示迴路輸出的初始頻率，然後改變除頻器的值等於 N 使輸出頻率值鎖在 f2，我們可把這個動作視為 N 值不變，改變的是我們輸入信號的頻率從 f1/N 至 f2/N。將(2-51)式代入(2-50)式，求其 Laplace 反轉換即可得到系統的輸出響應。此計算過程似乎非常複雜，我們可將此四階系統近似成一個二階的系統[6]，根據 Laplace 初

(27)

值定理(Initial value theorem)

(2-46) 我們可以發現，高次項(high order terms)對暫態響應像超越量(over shot)的影響非常的小，但對時間較長的暫態響應例如趨穩時間 (settling time)，有時卻不可忽略，但在此處，我們先假設可以忽略，

則簡化後的二階系統表示如下：

N K KdKvK S

S

N K K S

N KdKv

S fi

S fo S S

i o

• • +

•

• +

=

3 0

) 0 1

3( )

( ) ( ) (

) ( θ 2

θ (2-47)

將(2-40)、(2-37)代入上式，取正規化形式(normalize form)可得

(2-48)

(2-49) 依據此兩個參數，我們便可得到系統的暫態響應如趨穩時間(settling time）、超越量(over shoot）及上升時間(rise time)等與迴路元件值的關係，對於高次項不可忽略的系統，其暫態響應與迴路元件值的關係可藉由數學軟體如 MATLAB 等來獲得，設計者可以藉著這些資訊，選擇適當的元件值來製作出符合規格要求的系統。

(28)

2-3-4 迴路濾波器元件值的決定

在一般 PLL 頻率合成電路設計上，迴路參數像 Kv、Kd 及 N 值等均已固定，設計者可藉由調整迴路濾波器的元件值來達到系統規格

的要求。在此我們只討論被動式三階濾波器。

圖 2-9 三階被動式濾波器

如圖 2-9 所示，一個三階被動式濾波器是由一個二階濾波電路及一個 RC 電路所組成，RC 電路可提供一個額外的極點(pole)，以濾除相位比較頻率(comparison frequency)在中心頻率兩旁所產生的突刺頻帶 (spurious sideband)。這額外極點的位置必須小於相位比較頻率，才能有效的衰減突刺頻帶，為了迴路的穩定，其位置至少要大於迴路頻寬的五倍[6]，這是設計時要特別注意的。

迴路濾波器的參數值可由下列步驟求得[3]：

(29)

1. 從頻域分析(s=jω)來看，為求迴路穩定，先決定相位邊界 ψp(phase maegin)的值。

2. 再決定迴路頻寬ωp的值

3. 求出時間常數 T1、T2、T3，如下所示

p p

T p

ω φ φ ) tan( ) 1 sec( −

= (2-50)

1 2 ₂1

T T

C ⋅

= ω (2-51)

] 1 ) 3 1 ( [tan

3 1 ) 3 1 1 ( ] [ 3 1 ) 3 1 [(

) 3 1 ( tan

2 2

2 −

+

⋅

⋅ + + +

⋅ × + +

+

= ⋅

T T

T T T T T

T T T

T T

C φ

ω φ (2-52 )

) 2

(

1 3 10

20) ( /

COMP ATTN

T F

⋅

= − (2-53)

其中 ATTN 表示由 R3C3 所造成的的極點對相位比較頻率所產生的突波頻帶的衰減量，單位為 dB，假如我們希望衰減量為 20dB ，則 ATTN=20。

４.利用這些時間常數來求得元件值，C1、C2、C3、R2 及 R3

C1= (1 1 )( )

) 2 1

( 2

2 1

2 3 2 2

2 2 2

T T

T N

KdKv T

T

C C

C

c + ⋅ ⋅

⋅

× +

⋅ ω ω

ω

ω (2-54) C2=

¹ ⁾

1 ( 2 1 ⋅ −

T

C T

(2-55)

R2=

2 2 C

T

(2-56)

C3

R3

T3 = ⋅

(2-57) 根據(2-57)式便可決定 R3 及 C3 的值，這作法有某種程度上的隨意

(30)

性，卻不是十分精密，根據經驗法則，通常將 C3 的值小於或等於十分之一 C1 的值，R3 至少大於兩倍的 R2，另外決定 C3 值的時候必須考慮到 VCO 的變容二極體所造成的輸入電容，此輸入電容將會與 C3 產生並聯的效應。

在這一章我們介紹了預測二階及四階鎖相迴路頻率合成電路暫態響應的方法，四階系統我們將其近似成二階來分析，但一個最精確的模擬計算必須包含轉換函數的所有極、零點，為了處理這些計算過程，運用數學計算軟體如 MATLAB 等，將是一個理想的方式。藉助軟體運算的結果，可模擬出系統的暫態響應。

最後我們將一個使用三階被動濾波器的四階 charge-pump PLL 頻率合成電路的設計流程表示如下

NO 規格ω_3dB、

Ts、％OS 等

決定系統架構

type、order

實作與量測選擇元件值判斷系統

穩定性

調整迴路參數以符規格

ζ、ω、F(S)n

YES

NO

YES NO

YES

(31)

第三章相位雜訊分析

3-1 何謂相位雜訊

一個理想的振盪器會產生一個完美的弦波

) sin(

)

(t A ω

S = (3-1) 實際上，信號一定會含有雜訊，可把雜訊分成相位及振幅兩方面，通我們把一個振盪器產生的信號如下表示：

)) ( sin(

)) ( ( )

(t A a t t

S = + ω+φ (3-2) 此處

a(t)表示信號振幅隨著時間變化的變化量，稱作“振幅雜訊”。

)

φ(t 表示信號相位隨時間而變的變動量，稱作“相位雜訊”。

一個設計良好的振盪器，其振幅雜訊會受到本身電路振幅增益的限制，所以振幅的變動非常的小[7]，但相位雜訊卻不是這樣，相位雜訊非常的難以消除，所以我們可以把振盪器的信號，看成只有相位雜訊，表示如下：

)) ( sin(

)

(t A t

S = ω+φ (3-3) 在通訊系統中，相位雜訊會降低系統對頻道的選擇能力，並提高在接收機端的誤碼率[8]。故在射頻頻率合成器中，低相位雜訊是系統性能

(32)

設計上的重要考量之一。

3-2 相位雜訊的量測：

在介紹相位雜訊量測方法之前，先定義一些描述信號頻譜的參數，再來便是利用窄頻調變的理論來分析相位雜訊，並用此結果來量測信號的相位雜訊。

以式(3-3)來說

)) ( sin(

)

(t A t t

S = ω +φ

一般定義[7]

spectrum) power

noise phase band side (double

(t) )

( 相位偏移量φ 的雙邊功率頻譜

φ fm =

S (3-4)

n) fluctuatio phase

of density (spectral

dt (t) ) d

( 頻率偏移量 φ 的雙邊功率頻譜

φ^• fm =

S (3-5)

⁽ ⁾ ^(fm) ^1Hz ⁽ ⁾

Hz fm dBc

L = 距載波頻率處頻寬的雜訊功率與載波功率的比值

(3-6) 3-2-1 相位調變簡介

在式 3-3 中，我們把φ(t)當成一個弦波信號，表示如下

t

t θ

_PK

ω

_m

ϕ ( ) = sin

(3-7)

θPK表示調變相位偏移的最大值，將(3-4)式代入(3-3)式

(33)

) sin(

sin(

)

(t A t t

S = ω_c +θ_PK ω_m ) (3-8) 從時域來看，此信號的相位會因相位調變信號的緣故，而有抖動(jitter) 的現象，從頻域上來看，在距中心頻率ω_c兩旁，n 倍ω_m處(n =±1,±2,...

圖 3-1 相位調變頻譜圖

理論上 n 等於無限大)，都會有頻譜分佈，且諧波振幅大小可由 Bessel 函數來決定[9]，如圖(3-1)所示，一個頻率等於 100MHz，功率 0dBm 的載波受頻率為 100KHz，但θ_PK各為 0.1,0.5,1,5(rads)的弦波作相位調變之後的頻譜分佈圖。

相位調變是一個非線性的調變，當我們要得到載波受到由兩個信號相加所產生的信號而調變的結果，是無法由兩個信號個別調變載波

(34)

的結果相加而得到。從圖(3-1)可知，當θ_PK增加時，頻譜並非以線性方式增加，相位調變的非線性特性，一直是分析雜訊調變問題所需要考慮的因素，幸運的是對於程度不大的相位調變，可用線性的方式來描述。目前主要採用的方法是把雜訊當作是弦波的相加，將個別弦波調變的效應相加起來，即可得到其總和效應[9]。

3-2-2 相位調變與頻率調變的關係

如式(3-8)所示為一相位調變信號

) ) sin(

sin(

)

(t A t t

S = ω_c +θ_PK ω_m (3-9) 此信號的相位與時間的關係為

) sin( t

t _PK _m

c θ ω

ω + (3-10) 對上式作微分可以得到信號的頻率與時間的關係為

( )

m^t m

PK

c θ ω ω

ω + cos (3-11) 其頻率偏移最大值ω_PK為

m PK

PK θ ω

ω = (3-12) 由此可知相位偏移峰值與頻率偏移峰值的關係，並定義一調變指數

β(Modulation Index)使得

m PK m

PK

PK f

= f

=

= ω

θ ω

β (3-13) 調變指數便是指頻率漂移峰值與調變頻率f_m的比值，因此可把一個頻率調變信號表示成

(35)

( )

^t ^A

(

^t

( )

^t

)

S = sin ω_c +βcosω_m (3-14) 也可將其頻譜如前面相位調變的信號頻譜般圖示出來，但不同的是相位調變時比較θ_PK的不同，頻率調變時比較的是β。

圖 3-2 頻率調變頻譜圖

正如相位調變一般，頻率調變也是非線性調變。

3-2-3 窄頻的相位及頻率調變

當調變指數β<<1(FM)，也就是θ_PK<<1(PM)時，我們可將調變信號加以簡化並求得其近似值，這就是所謂窄頻調變，如式(3-5)所示，一個相位調變信號

( )

^t ^A

(

^t

( )

^t

)

S = sin ω_c +θ_PKsin ω_m

假如θ_PK<<1，可將上式近似成

(36)

( )

^t ^A

(

^t

( )

^t

)

S = sin ω_c +θ_PKsin ω_m

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )

{

^t ^t ^t ^t

}

Asin ω_c cosθ_PKsin ω_m +cosω_c sin θ_PKsin ω_m

=

( ) ( ) ( )

{

^t ^t ^t

}

Asin ω_c +θ_PKcosω_c sin ω_m

≅

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

{

^t ^t ^t

}

A ω_c + θ_PK ω_c +ω_m − θ_PK ω_c −ω_m

= sin 0.5 sin 0.5 sin (3-15) 我們知道當^x<<1 時，^sin

( )

x ≈x^,^cos

( )

x ≈¹，所以窄頻相位或頻率調變在載波兩旁距離中心頻率ω_m處會產生一對的旁波帶，其單邊振幅與載波振幅比值為

2

pk

V Vn θ

= (3-16) 而功率比值為

( ) 4 2

2

2 pk rms

V

Vn θ θ

=

= (3-17) 式中

2

pk rms

θ =θ (3-18)

根據(3-2)式定義，可得知

) 2 (

2

fm rms

L ≅θ (3-19) 根據(3-1)式定義，可得知

) 2

(fm _rms

S_φ =θ (3-20) 所以

2 ) ( ) 2

(

2 S fm

fm

L ≅θ^rms = ^φ (3-21) 應用前列各式所得的結果，可藉由頻譜分析儀量測出 1Hz 頻寬雜訊功率與載波功率的比值而求得相位雜訊的值。

(37)

3-3 迴路中各組件之雜訊響應

圖 3-3 為一鎖相迴路的雜訊模型，其中包含幾個迴路中主要的雜訊源，每個雜訊源所產生的機制均不相同，此處先討論系統輸出雜訊與各雜訊源的關係。

XTAL PD LPF VCO

÷N

÷R

PLL output

( )

^f

φVCO

( )

^f

φLPF

( )

^f

φpd

( )

^f

φrd

( )

^f

φXTAL

( ) ^f

φ

Nd

S

( )

kv

( )

^F^s

( )

^kd

圖 3-3 系統雜訊模型

圖中：φXTAL

( )

^f 表示參考振盪器的相位雜訊 φrd

( )

^f 表示參考除頻器的相位雜訊 φpd

( )

^f 表示相位比較器的相位雜訊 φLPF

( )

^f 表示迴路濾波器的相位雜訊

( )

^f

φVCO 表示 VCO 的相位雜訊

在線性系統中，輸出功率頻譜(power spectral)與輸入功率頻譜關係為

( )

^f ^S

( ) ( )

^f ^H ^f ²

S_y = _x (3-22) 其中^Sx

( )

^f 表示輸入功率頻譜，^H

( )

^f 為系統的轉換函數[8]。且迴路組件雜訊源間的關係為 uncorrelatted，所以雜訊源在輸出端的總效應，

可由雜訊源個別的輸出效應相加而得[10]，舉例來說，要得到 VCO

(38)

的相位雜訊在輸出端的效應，可將其他雜訊源的值設為零，則由 VCO 所造成在輸出端的相位雜訊φV .O

( )

^f 為

( ) ( ) ( )

²

._O f _V f H f

V φ

φ = (3-23) 其中轉換函數

( ) ( )

Ns s F K f K

H

o d V

+

= 1

1 (3-24)

同理可以得到其它雜訊源在輸出端的個別效應，個別雜訊源所對應轉換函數如下：

Source Transfer function

XTAL

H s G

s G R• + •

) ( 1

R Divider

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( N Divider

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( Phase detector

K

^d • 1

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( N Divider

H s G

s G

• + ( ) 1

) ( VCO

H s G • + ( ) 1

1

Passive third-order LPF 1+G(s)•H 1

表 3-1 不同的雜訊源所對應的換函數其中

S S KdKvF s

G ( )

)

( = (3-25) 則系統輸出的相位雜訊如下：

(39)

H s f G

H s G f S H

s G

s f G

H s G

s f G

H s G

s f G H

s G

s G f R

f

K K

VCO

LPF d

Pd

Nd rd

XTAL out

• + +

•

• + +

+ +

•

• +

•

=

) ( 1 ) 1 ) (

( )1 ) (

( 1

) ( ) 1

(

) ( 1

) ) (

) ( ( 1

) ) (

) ( ( 1

) ( ) 1

( )

(

v

2 2

2

φ φ

φ

φ φ

(3-26) 由表 3-1 可明顯看出、相位比較器、N 值除頻器，R 值除頻器及參考頻率振盪器等的雜訊源、其轉換函數皆包含一個相同的因數，即為系統的閉迴路增益

) ( ) ( 1

) (

S H S G

S G

+ (3-27) 將頻帶寬度ω_C及相位邊界為φ定義如下：

1 )

(j •H =

G ω_c (3-28)

C

c H

j

G ω • =φ

∠

− ( )

180 (3-29) 根據定義，可以得到

(3-30) 其 Bode 圖為

圖 3-4 閉迴路增益轉換函數 Bode 圖

(40)

在迴路頻寬內，這些雜訊將被放大 N 倍，在頻帶外則開始衰減，因此這些雜訊源被稱作迴路頻寬內的雜訊源，VCO 則不同，其轉換函數為

H S

G •

+ ( ) 1

1 (3-30) 可將上式近似成

(3-31) 其 Bode 圖如下

圖 3-5 VCO 轉換函數 Bode 圖

此為一高通函數，在迴路寬內，VCO 的雜訊會受到抑制，頻帶外則會通過，但並未被放大。

在迴路頻寬內的主要雜訊來自於參考晶體振盪器，除頻器及相位比較器等，迴路頻寬外的雜訊頻譜則由 vco 主導。綜合迴路內幾個主要雜

(41)

圖 3-6 典型的迴路輸出頻譜

3-3-1 迴路頻寬ωc與相位雜訊的關係

圖 3-6 的輸出雜訊頻譜並非最佳化，由於迴路頻寬太寬使得除頻器、相位比較器等元件的雜訊在頻寬內未被抑制，此時若將頻寬縮減，由相位雜訊較低的 VCO 來主導，相位雜訊的表現應較佳。

根據經驗，將迴路頻寬ω_c選擇在頻寬內雜訊源所造成的雜訊頻譜曲線與迴路頻寬外雜訊源 VCO 的雜訊頻譜曲線的交點[11]，如圖 3-7 所示會得到最佳的相位雜訊輸出。但迴路頻寬變窄，會使得頻道切換時間變長，兩者之間的取捨，是在設計時所需考慮到的地方。

(42)

圖 3-7 迴路頻寬最佳化

3-3-2 各雜訊源的特性簡介

振盪器之相位雜訊：

根據 D.B.Lesson[12]所提出之線性振盪器模型，任何振盪器可以簡化為僅包含共振器(Resonator)與放大-限幅器(Amplifier-limiter)之迴路，

如圖 3-8 所示

圖 3-8 Lesson’s model PLL BW In band noise

floor

VCO noise

ù_c

A=1

) (

1

0

0 ω

ω ω

ω −

+ jQ

Sè Σ Sö

(43)

振盪，則放大器的增益 A 亦必須為 1。設在大器輸入端，以 Sè代表放大器雜訊功頻譜密度。則在放大器的輸入端，可得白色雜訊(white noise)每單位頻寬的功率 N 為

N=Ni+Na=FKT (3-32) 式中

N_i= 在輸入端的雜訊

N_a=自放大器中加入的雜訊

F=放大器的雜訊指數值(noise figure)

K=1.38×10⁻²³j/^οk （Boltsmana’s constant）

T=(273+^οC) (絕對溫度)

由上可得，單位頻寬的白色雜訊功率，與信號功率 PS 的比值為 FKT/PS，是為 Sè中的一部份。再者，由於電晶體中，電荷載子密度的變動，放大器會在載波信號頻左右，產生另一種雜訊功率，稱為 1/f 相位雜訊，或是閃爍雜訊(flicker)者。

圖 3-9 放大器雜訊頻譜

如圖 3-9 所示，為一典型的 S_è頻譜。當頻率低於 f_a時，S_è的頻譜為

f0 fá

K/f

FKT/PS

S_è

(44)

1/f。在高頻率時，頻譜趨於平坦，是為 FKT/Ps。頻率 fa 決定於所用放大器的特性。如圖 3-8 的電路，設為正回授而增益 A=1，在放大器的輸入與輸出之間，可得環路穩態轉換函數為

) ( 1

1 )

( ) (

ω ω

ω

j H j

S j C

= − (3-33) 式中



 + −

=

) (

1 ) 1 (

0

0 ω

ω ω ω ω

jQ j

H (3-34)

由於 H(jω)為一高 Q 值濾波電路，同時討論的重點，為在ω0兩側的雜訊功率的配置，故 H(jω)可改以其低通等效電路取代，得

) 1

( ) 1 (

L L

j j

H

ω ω ω

= + (3-35)

Q

L

2 ω0

ω = (3-36) 式中ωL=等效頻寬

由一般關係式可知，在濾波電路的輸出端，以電壓轉換函數 G(ω) ，及輸入雜訊的功率頻譜密度 Si(ω) ，所表出的雜訊功率頻譜密度 So(ω)為

2 0(ω) S(ω)G(ω)

S = ⁱ (3-37) 因此，在增益為１的放大器的輸出端，可測得閉環系統中，等效的相位雜訊對信號功率的比值Sφ 為

θ 1

φ S

S = ⋅

(45)

[

¹ ¹^/(¹ ^jω^/ω^L⁾

] [

^S ¹ ¹^/(¹ ^jω^/ω^L⁾

]

θ

−

⋅ +

= −

(1 )

/ ) / 1 (

2 2 2

L L

L S

S

ω ω ω

ω ω

ω θ

θ + = +

= (3-38)

參考(3-35)式，(3-36)及式(3-37)式中，(3-38)式可改寫為

4 ) 1 )(

( )

( ₂ ₂

2 0

ω ω ω

θ ω

φ S Q

S = + (3-39) 上式為由 D.B.Leeson 所導出者，用以說明振盪電路輸出端的雜性特性。以圖(3-9)中的 S_è，配合上式中，可得輸出相位雜訊的頻譜S_φ，如圖 3-10 所示。圖 3-10(a)為低 Q 值諧振電路的狀況，濾波電路的頻寬大於放大器的 f_a ，在接近於載波頻率 f₀處，雜訊功率以

1/f³(-18dB/octave)的斜率下降，在 f_a與 f_L之間，功率頻譜密度以 1/f²(-12dB/octave)的斜率降低。當頻率高於濾波電路頻寬後，輸出相位雜訊都屬等高的白色雜訊。在高 Q 值的諧振電路中，如圖 3-10(b) 所示，頻寬 f_L小於 f_a，在 f_L與 f_a之間，輸出雜訊功率以 1/f(-6dB/octave) 的斜率下降，當頻率高於 f_a後，輸出雜訊與頻率無關。(3-39)式中可用為振盪器雜訊性能，與理論上放大器的最小雜訊(基於放大器的 f_a 及雜訊因數 F),，兩者作定量比較的關係式。

振盪器在高頻時的雜訊基準，與振盪用放大器的雜訊因數 F 成正比。而最低的雜訊因數為 F=1，則最低的雜訊基準為 KT，或為 –174dBm/Hz(t=300K)，在接近於振盪頻率 f0的低頻率段，雜訊會隨之增大，但是由(3-39)式中可知，實際的幅度與諧振電路的 Q²成反比。

(46)

因此，如果電路 Q 值高，則在 f0附近的相位雜訊會減少。

圖 3-10(a) 低 Q 值諧振電路

3-10(b) 高 Q 值諧振電路

晶體振盪器的相位雜訊

因為 Crystal oscillators 有很高的 Q 值所以其頻譜寬度非常的窄，

跟前面 VCO 一樣，其頻譜也包含水平區及 1/f 區域，但在過了 1/f 區的轉折頻率之後，其斜率就比 VCO 來得陡峭，在靠近中心頻率的

f0 fá fL

K/f³

FKT/PS

K/f² SÖ

f0 fL fá

K/f³

FKT/PS

K/f SÖ

(47)

除頻器及相位比較器的相位雜訊

相位比較器及除頻器是除了VCO 及 Crystal 以外迴路中另一個主要的雜訊源。目前最常用的相位比較器為正反器的型式，用正反器作相位比較器最大的缺點在於靠近相位等於零的地方，會有非線性區，

即所謂的 dead zone，但此缺點已可用不同的設計方式來改善[13]。

相位雜訊隨頻率變化的特性，會因邏輯元件屬性不同而有所差異，像 ECL 的元件其 noise floor 約為-145~-150dbc/(Hz)，CMOS 的元件其 noise floor 約為-155~-165dbc/(Hz)，視輸入信號及輸出信號的操作頻率而定。一般來說變化速度快及電壓擺幅(swing)較大的元件，其相位雜訊較佳，這是由於雜訊主要產生於邏輯準位在 0 與 1 之間變化的時候，速度愈快的元件，花在轉態的時間愈低，所以相位雜訊也愈小[13]。

由於相位雜訊不高，要量測出數位元件的相位雜訊並不容易，一些 PLL IC 元件製造廠會提供其產品的 noise floor 值，例如 National Semicoductor 所提供的 PLL IC noise floor 如下所示：

(48)

圖 3-11 NS 所提供的 PLL IC Noise Floor

由於相位雜訊會隨相位比較器的比較頻率及除頻器的除值增大而增加，所以計算在迴路頻寬內，由數位元件所造成的相位雜訊可由以下公式求得[6]

迴路頻寬內(ω<<ωc)

Phase Noise In band=(1 Hz Normalized Phase Noise Floor from table) +10

•log(Comparison Frequency)+20•log(N) (3- 40)

迴路頻寬外(ω>>ω_c)

Phase Noise=(1 Hz Normalized Phase Noise Floor from table)

+10

•

log(Comparison Frequency)+20

•

log(G(S)) (3-41 ) 例如一個使用 lmx2326，操作在 900 MHz 的 VCO 其相位比較頻率為 200kHz，除頻器 N 值為 4500，則在迴路頻寬內由 PLL IC 所造成的相位雜訊為

-210+10•log(200000)+20•log(4500)=-84(dBc/Hz) (3-42 ) 此預測方法並不非常精準，然而對於設計者而言，仍有極高的參考價

(49)

值。

迴路濾波器的相位雜訊源

在被動式三階濾波器中如圖 2-8 所示，主要雜訊源為電阻 R2 及 R3 的熱雜訊(thermal noise)，此熱雜訊在 VCO 輸入端會造成一調變電壓源 V_tRn，其關係如圖 3- 12 所示

圖 3-12 (a)電阻 R2 熱雜訊與調變雜訊源關係圖

圖 3-12(b) 電阻 R3 熱雜訊與調變雜訊源關係圖 R2、R3 電阻之熱雜訊值如下

題目:鎖相迴路頻率合成器之暫態響應及相位雜 訊之研究

中 華 大 學 碩 士 論 文