第二章 文獻探討
第五節 相關鑑別指數之系列研究
( )
( )( )
2 2
5
1
2 2
5
1
exp 2.42 ˆ
exp 2.42
N
s s
i s
i
N
s s
N q
y p
N q
θ θθ
=
=
⎡ ⎤
⎢− − ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= ⎡ ⎤
⎢− − ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑
(19)
其中
) ˆ
i(
θP
：表能力值為θ 的受試者s
在第i
試題之答對機率。s
：表受試者，s
=1,2,...,N
。i
：表試題，i
=1,2,...,n
。( )s
y
i ：表加權排序後第r
s序位受試者實際選答試題i
之反應指示值。q
s：表第r
s序位受試者加權總分經機率積分轉換之分位數，以代替受試者之能力 值。簡言之，Ramsay(1991)之核平滑化無參數 IRT 模式，有下列 RESS 四個步驟(劉 湘川，2001b)：
一、 求秩(Rank)：由統計量
T
s之排序，估計受試者s
之秩r
s。二、 計算(Enumerate)：以機率積分轉換，將受試者
s
之秩r
s轉換成標準常態 分配之分位數；q
1,q
2,...,q
N。三、 排序(Sort)：藉由被估計出之能力秩序，依序排出受試者
s
對應之原始 反應組型； (y
i(1),y
i(2),...,y
i(N)),i
=1,2,...,n
四、 平滑(Smooth)：藉由(4)式平滑化估計
P ˆ
i(
θ)
。第五節 相關鑑別指數之系列研究
劉湘川(2000a)提出重要性質，「受試者測驗總分不少於3相異值時，相關鑑 別指數之值譜數，恆多於高低鑑別指數者。」並指出Ramsay之擴張高低鑑別指數 有下述五項缺失：
一、受試者人數須為四之倍數。
二、各試題選項高分組或低分組之選答率為1或0時均不適用。
三、總分居中之百分之五十受試者之作答反應未被考慮，損失訊息。
四、擴張高低鑑別指數非高低鑑別指數之保序變換，會發生加權總分逆序情 況。
五、總分同分情況未充分加權改善。
因Ramsay 的理論模式中，以
D
25高低鑑別指數，只考慮高分組及低分組之作 答情形，忽略中間50%受試者之作答訊息；且分組百分比取全體受試者之 25%，故受試者總人數需為4 之倍數；且
log itP
ij(75)− log itP
ij(25)並非P
ij(75)− P
ij(25)之保序變 換，取logit
值將造成更大的誤差。再加上總分同分情況未充分加權改善。為改進 加權總分同分情況，劉湘川(2000a) 另提「50%高低鑑別指數」及「點二系列相 關鑑別指數」替代Ramsay(1991)之「高低鑑別指數」，劉湘川以光譜分析學 (spectrology)之值譜分析(spectral analysis)概念，指出區別能力較佳之鑑別指數，應如功能較強之分光器，能夠呈現較完整之區分值譜，而有較大「值譜數」
(spectrum size)。定義「值譜數」為鑑別指數之所有可能相異數值之個數。經值譜 分析證實「50%高低鑑別指數」及「點二系列相關鑑別指數」兩者均可明確改善 上述五項缺失，且以「點二系列相關鑑別指數」為佳，無論在鑑別能力上或受試 者人數限制考量上，均遠勝於任何「高低試題鑑別指數」。因而提出改進之「相 關鑑別指數加權分位數常態轉換」核平滑化無參數IRT 模式。
劉湘川(2001a)提出改進之核平滑化模式與 IORS 之整合模式，在估得試題及 選項特徵曲線後，可接續分析試題正確選項間之關聯順序，及不同試題誘答選項 間之關聯順序。劉湘川(2001b)進而擴充核平滑化與 IORS 整合模式，不僅有效改 進能力參數之估計，更進一步改善總分同分情況。在能力參數之估計上，創新引 進隨機未作答虛擬選項，進行合併估計，因而能兼顧隨機未作答不完全資料之情 況。劉湘川、劉新梧(2001)進而應用於「不完全資料之多元計分三參數試題選項
進行加權遞迴改進估計，而得改進之試題選項分析整合模式。劉湘川(2002b)建議
加權總分 Ts統計量定義如下式：
較方便。
壹、核平滑化無參數IRT模式常態CDF轉換改進估計
一、規格化相關鑑別加權
∑
貳、核平滑化無參數IRT模式常態CDF轉換遞迴估計
一、NW 核平滑化過程，會將兩尾之估計值偏向中心發展，故運用「兩尾修
在帶寬平滑參數估計部分，Ramsay 對所有能力參數估計值之常態分配分位 數，均採相同之帶寬參數估計值 5
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