1 + x1y1 x1y2 · · · x1yn x2y1 1 + x2y2 · · · x2yn ... ... ... xny1 xny2 · · · 1 + xnyn
= 1 + Xn k=1
xkyk.
§1.4 矩阵与方程组
我们从矩阵的角度来重新思考线性方程组的求解问题. 设 A = (aij)m×n为系数矩阵, x∈ Fn×1 为解向量, b∈ Fm×1 为非齐次项, 即 Ax = b. 在研究这个之前, 我们先研究齐次方程组 Ax = 0:
例题 1.4.1 设 rank A = r, 如果 r = n 时, Ax = 0 只有零解; r < n 时, 它有非零解, 且通解依赖于 n− r 个独 立常数 (也就是所谓的解空间维数为 n− r).
我们在求解方程组的时候, 会发现可能有些方程会被其他的方程给“替代”, 也就是它们能够被其他方程推 导出来. 使用初等变换的语言来讲, 就是通过对系数矩阵作初等行变换, 能够将一些行向量变为零向量, 这些行 对应的方程就是能被“替代”的方程. 理解了这个之后, 我们能够更好地理解矩阵秩的意义了: 所谓矩阵的秩, 刻 画的是矩阵的行 (列) 向量之间能够被“替代”的程度, 把所有能被替代的行 (列) 向量拿掉之后, 剩余的行 (列) 数就是矩阵的秩. 那么既然 A 中有 r 行无法被替代, 那么它们作为系数矩阵, 得到的齐次方程组的解自然就会 被 r 个式子所决定. 而 n 个未知元有 n 个自由度, 被 r 个式子确定后自然就只剩下了 n− r 个自由度了, 这样 就解释了这个定理的由来. 由这些观点, 我们分别讨论非齐次方程解的存在性和结构定理:
例题 1.4.2 Ax = b 存在解的充要条件是 rank A = rank(A, b).
例题 1.4.3 设 Ax = b 存在解, rank A = r. 当 r = n 时, 解存在唯一; 当 r < n 时, 通解具有 n− r 个独立常 数, 且通解由对应齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解叠加而成.
上述给出的是方程组解的存在性以及结构理论, 如何来求解方程组? 实际上, 1.3 节我们已经给出了答案, 当时让大家阅读李炯生 118 页例 1, 它相当于针对矩阵方程 AX = In, 对 (A, In) 进行行变换的操作, 在 A 变 为 In 的时候, 右侧的 In 就变为了 A−1. 如果我们把右侧的 In 换为其他形状的矩阵, 甚至比如一个列向量, 仿 照类似的做法, 我们就能得到使用初等行变换求解线性方程组的方法, 详情请参考李炯生 140 页例 1.
例题 1.4.2 的结论可以推广到一般的矩阵方程中:
例题 1.4.4 设 X ∈ Fn×p, B ∈ Fm×p. 则 AX = B 存在解的充要条件是 rank A = rank(A, B).
针对方阵, 我们还有一个常用的推论:
例题 1.4.5 设 A∈ Fn×n, X ∈ Fn×p, 则矩阵方程 AX = 0 有非零解, 当且仅当 det A = 0.
想要理解好上述结论, 除了学会推导证明, 还要计算几个具体的例子. 这些例子不难在李炯生、李尚志或者 丘维声的书上找到, 不在多, 在覆盖面全, 要尽可能找出适合各种情况的例子. 在把它们挨个验证一遍, 计算出 它们的通解之后, 与定理中描述的结果相比较, 这对于这块的学习大有益处.
在本章最后, 我们给出一道利用结构定理解答的题目, 这有助于大家体会结构定理的妙用.
例题 1.4.6 设四元线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 3,{αi}3i=1 是方程组的三个解, 其中 α1= (1,−2, −3, 4)T, 5α2− 2α3= (2, 0, 0, 8)T. 求线性方程组的通解.
提示 5α2− 2α3− 3α1 是齐次方程组的通解. 参考答案: (1,−2, −3, 4)T+ t(−1, 6, 9, −4)T.
第 2 章 线性空间与线性变换
§2.1 线性空间
设 V 是一个非空集合, V 的元素称为向量, F 是一个数域, F 上的元素称为数. 再 V 上定义了加法运算 α + β ∈ V 和数乘运算 λα ∈ V , 其中 α, β ∈ V, λ ∈ F . 若这两种运算满足如下运算律:
(A1)加法交换律 ∀α, β ∈ V, α + β = β + α
(A2)加法结合律 ∀α, β, γ ∈ V, (α + β) + γ = α + (β + γ) (A3)加法有幺元 ∃0 ∈ V, ∀α ∈ V, 0 + α = α
(A4)加法有逆元 ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α + β = 0
(M 1)数乘结合律 ∀α ∈ V, ∀λ, µ ∈ F, λ(µα) = (λµ)α (M 2)数乘有幺元 ∀α ∈ V, 1α = α
(D1)数乘对数的分配律 ∀α ∈ V, ∀λ, µ ∈ F, (λ + µ)α = λα + µα (D2)数乘对向量的分配律 ∀α, β ∈ V, ∀λ ∈ F, λ(α + β) = λα + λβ 则称代数结构 (V, F, +,·) 为线性空间, 简称 V 是 F 上的线性空间.
取定一个数域 K, 设 n 是任意给定的一个正整数. 令 Kn ={(a1, a2,· · · , an)| ai∈ K, i = 1, 2, · · · , n}. 我 们称 Kn 中两个元素: (a1, a2,· · · , an)与 (b1, b2,· · · , bn)相等, 当且仅当 a1 = b1, a2 = b2,· · · , an = bn. 则显 然, Kn 是 K 上的线性空间.
对于给定的向量组 α1, α2,· · · , αs, 任给 K 中一组数 k1, k2,· · · , ks, 就可以得到一个向量 k1α1+ k2α2+
· · · + ksαs,称这个向量是向量组 α1, α2,· · · , αs 的一个线性组合, 其中 k1, k2,· · · , ks 称为系数.
在 Kn 中, 给定向量组 α1, α2,· · · , αs, 对于 β ∈ Kn, 如果存在 K 中一组数 c1, c2,· · · , cs, 使得 β = Xs
j=1
cjαj,那么称 β 可以由 α1, α2,· · · , αs线性表出. 数域 K
性质 2.1: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 那么 V 的零元素是唯一的.
性质 2.2: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么 v 的逆元是唯 一的.
性质 2.3: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么有 0· v = 0, k· 0 = 0, (−1) · v = −v, ∀k ∈ K, v ∈ V
成立.
性质 2.4: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 且 k∈ K, 并且假设 k· v = 0
9
成立, 则有
k = 0, or v = 0
一个向量组{aj}rj=1中的每一个向量都可以被另一个向量组{bk}sk=1 线性表出, 则称向量组{aj}rj=1 可以被向 量组{bk}sk=1线性表出.
性质 2.5: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么向量 v 线性相 关的充要条件是 v = 0
性质 2.6: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而{vj}rj=1是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, 那么向量组 {vj}rj=1线性相关的充要条件是存在一个向量 vs, 1⩽ s ⩽ r, 使得
vs=
s−1
X
j=1
kj· vj+ Xr j=s+1
kj· vj, kj ∈ K 成立.
性质 2.7: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而{vj}rj=1是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, 如果{vj}rj=1
线性无关, 且能被{uj}sj=1线性表出, 那么不等式 r⩽ s 成立.
性质 2.8: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而{vj}rj=1,{uj}sj=1是线性空间 V 中的任意给定的两个向量组, 如 果这两个向量组都是线性无关的. 且能相互被对方线性表出 (即这两个向量组是等价的), 那么 s = r 成立.
性质 2.9: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 {vj}rj=1 是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, u∈ V , 如 果{vj}rj=1线性无关, 但向量组{vj}rj=1∪ {u} 线性相关, 那么 u 可以被向量组 {vj}rj=1 线性表出, 且表示方法 唯一.
如果数域 K 上的线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 {bj}nj=1, 但是没有更多数量的线性无关的向量, 那么 V 就被称为 n 维的, 且称{bj}nj=1为 V 的一组基, 设 v∈ V , 于是向量组 {bj}nj=1∪ {v} 线性相关, 因此向 量 v 可以被基{bj}nj=1 线性表出, 形如 v =
Xn j=1
aj· bj, aj ∈ K; 如果在数域 K 上的线性空间 V 中可以找到任 意多个线性无关的向量, 那么称 V 是无限维的.
{aj}nj=1 是被 v 和基{bj}nj=1唯一确定的, 这组数就称为 v 在基{bj}nj=1下的坐标.
性质 2.10: 如果数域 K 上的线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量{bj}nj=1,且 V 中任意一个向量都可以用它 们线性表出, 那么 V 是 n 维的, 且向量组 {bj}nj=1 就是线性空间 V 的一组基.
例题 2.1.0 : 令 Q(ω) :={a + bω | a, b ∈ Q}, ω2+ ω + 1 = 0 (1)证明它对于通常的加法和复数域乘法构成Q-线性空间;
(2)求它的一组基;
(3)¯ω,−√
3i是否在其中? 并求 ω, ¯ω,−√
3i的秩.
例题 2.1.1 : 在 K4 中, 设 α1 = (1, 1, 1, 1)T, α2 = (1, 1, 1, 0)T, α3 = (1, 1, 0, 0)T, α4 = (1, 0, 0, 0)T, α = (2,−1, 3, 4)T, 求 α 在基 α1, α2, α3, α4 下的坐标.
例题 2.1.2 : 设 V 是由复数组成的无穷数列 {an} = {a1, a2,· · · , an,· · · } 的全体组成的集合, 定义 V 中任意 两个数列的加法{an} + {bn} = {an+ bn} 以及数乘 λ{an} = {λan} 之后成为成为复数域 C 上的线性空间.
(1) 求证: V 中满足条件 an= an−1+ an−2 的全体数列组成的 V 的子空间 W .W 的维数是多少?
(2) 对任意 (a1, a2)∈ C2, 定义 σ(a1, a2) ={a1, a2,· · · , an,· · · } ∈ W . 求证 σ 是 C2 到 W 的同构映射.
(3) 求证: W 在存在一组由等比数列组成的基 M .
(4) 设数列 {Fn} 满足条件 F1 = 1, F2 = 1 且 Fn = Fn−1+ Fn−2, 求 {Fn} 在基 M 下的坐标, 并由此求出 {Fn} 的通项公式.
例题 2.1.3 : 设 R+ 是所有的正实数组成的集合, 对任意 a, b∈ R+, 定义 a⊕ b = ab, 对任意 a ∈ R+ 和 λ∈ R 定义 λ⊗ a = aλ
(1) 验证 R+ 按上述定义的加法和数乘构成一个线性空间.
(2) 证明 R+ 与 R 这两个线性空间同构, 并求出所有同构.
例题 2.1.4 : 判断几何空间 R2={(x, y) | x, y ∈ R} 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算:
λ⊗ (x, y) = (λx, y), ∀(x, y) ∈ R2, λ∈ R 是否构成实数域上的线性空间? 为什么?
例题 2.1.5 : 设非空集合 V ={(a + ib, c + id) | a, b, c, d ∈ R} 对于通常的加法和数乘在复数域 C 和实数域 R 上构成的线性空间分别为 VC 和 VB, 试求 dim (VC) , dim (VR) .
例题 2.1.6 : 设 V1, V2 是数域 K 上的线性空间, 记
V1× V2={(α1, α2)| α1∈ V1, α2∈ V2}
对任意 (α1, α2) , (β1, β2)∈ V1× V2, 及任意 k ∈ K, 规定 k(α1, α2) = (kα1, kα2) (1) 证明 : V1× V2 关于以上 运算构成数域 K 上的线性空间 ; (2) 己知 dim V1= m, dim V2= n, 求 dim (V1× V2)
例题 2.1.7 : 设 V 是数域 K 上的线性空间 , α1, α2, α3, α4 是 V 中的线性无关向量组, 求由向量组 α1+ α2, α2+ α3, α3+ α4, α4+ α1 生成的线性子空间 W 的一个基以及 W 的维数.
例题 2.1.8 : 设 V 为数域 K 上的有限维线性空间, 且 V 只有平凡子空间. 问 V 的维数是多少?
例题 2.1.9 : 设 α1, α2,· · · , αr 和 β1, β2,· · · , βs 是 Kn 中的两个线性无关向量组, 证明: 子空间 L (α1, α2,· · · , αr)∩ L (β1, β2,· · · , βs)
的维数等于齐次线性方程组
x1α1.+ x2α2+· · · + xrαr+ y1β1+ y2β2+· · · + γ2βs= 0 的解空间的维数.