1 0 0 S− αTα
和 S2=
1− αS−1αT 0
0 S
相合即可.
例题 4.2.5 设 A 是 n 阶实对称矩阵, A2= A. 证明: ∃T ∈ On(R), 使得 T−1AT = diag(Ir, 0n−r).
§4.3 规范变换与正交变换
本节讨论欧氏空间的几类重要线性变换. 设 A 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换, 称满足 (A (α), β) = (α,A∗(β)),∀α, β ∈ V 的唯一的线性变换 A∗ 称为A 的伴随变换. 请同学们自行验证定义是良好的. 容易验 证伴随变换有如下性质: (A + B)∗=A∗+B∗, (λA )∗= λA∗, (A B)∗=B∗A∗, (A∗)∗=A , λ ∈ R.
例题 4.3.1 设 β, γ 是 n 维欧氏空间 V 的固定向量. 证明: 由A (α) = (α, β)γ 所定义的变换 A 是 V 的线性 变换, 其中 α∈ V . 求 A 的伴随变换 A∗.
若线性变换 A 在 V 的标准正交基下的方阵是 A, 则 A∗ 在同一组基下的方阵为 AT. 而且,A 的不变子 空间 U 的正交补 U⊥ 是伴随变换A∗ 的不变子空间.
例题 4.3.2 设 A , B 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换, A 与 B 可交换, A∗ 与 A 可交换. 证明: A 与 B∗ 也可交换.
提示 取一组标准正交基, A , B, A∗,B∗ 在其下矩阵分别为 A, B, AT, BT. 只需证明 ABT = BTA, 令 C = ABT− BTA, 往证 tr CCT = 0 即可.
若 A 与它的伴随变换 A∗ 可交换, 即 A A∗ = A∗A , 称 A 为规范变换. 如果 n 阶实方阵 A 满足与 它的转置 AT 可交换, 即 AAT = ATA, 称 A 为正规方阵. 关于规范变换有如下等价命题: (1)A 是规范变换;
(2)∀α ∈ V , |A α| = |A∗α|; (3)A 在 V 的标准正交基下的方阵是规范方阵. 规范变换 A 的像空间的正交补 (Im(A ))⊥= kerA , 但反之不成立. 尝试使用归纳法证明:
例题 4.3.3 证明: 一组两两可交换的规范方阵可以同时正交相似于准对角形.
例题 4.3.4 证明: 若实方阵 A 是准上三角方阵
A1 A2 0 A3
或准下三角方阵
A1 0 A2 A3
, 则 A 是规范方阵当
且仅当 A2= 0 且 A1, A3 是规范方阵.
例题 4.3.11 设A 是 n 维欧氏空间 V 上的斜对称变换. 证明: A − I 与 A + I 可逆, B = (A + I )(A − I )−1 是正交变换.
提示 由斜对称方阵的正交相似标准型得到可逆, ∀α ∈ V , 往证 (B(α), B)(α) = (α, α), 注意 (A (α), α) = 0.
关于自伴变换, 还可以分为若干种类型: 如果∀0 6= α ∈ V , 均有 (A (α), α) > (⩾, <, ⩽)0, 则自伴变换 A 称 为是正定的 (半正定, 负定, 半负定的). 类似地, 对 n 阶实对称方阵 S 也有相仿定义: 如果 ∀0 6= x ∈ Rn, 均有 xSxT > (⩾, <, ⩽)0, 则对称方阵 S 称为正定的 (半正定, 负定, 半负定的). 为方便起见, 记为 S > (⩾, <, ⩽)0.
如果自伴变换A 在一组标准正交基下的矩阵为 A, 则 A (半) 正定当且仅当对称方阵 A(半) 正定.
关于 n 阶正定对称方阵 S, 有以下等价命题: (1) 方阵 S 是正定的; (2) 方阵 S 的每个特征值都是正的; (3) 存在正定对称方阵 S1, 使得 S = S12; (4)存在可逆方阵 P , 使得 S = P PT; (5)方阵 S 的每个主子式都是正 的; (6) 方阵 S 的顺序主子是都是正的; (7) 对每个 k, 方阵 S 的所有 k 阶主子式之和都是正的, k = 1,· · · , n.
关于 n 阶半正定方阵 S, 也有如下等价命题: (1) 方阵 S 是半正定的; (2) 方阵的所有特征值都是非负的;
(3)存在 n 阶半正定对称方阵 S1, rank S1= rank S,使得 S = S12; (4)存在 n 阶方阵 P , rank P = rank S, 使得 S = PTP ; (5)方阵 S 的所有主子式都是非负的; (6) 方阵 S 的所有 k 阶主子式之和都是非负的, k = 1,· · · , n.
例题 4.3.12 设 n 阶对称方阵 S 的前 n− 1 个顺序主子式 S
1 2 . . . k 1 2 . . . k
> 0, k = 1, · · · , n − 1, 且 det S ⩾ 0. 证明: S ⩾ 0.
例题 4.3.13 设 A 与 B 是 n 阶实对称方阵, 且 A > 0. 证明: 方阵 A 和 B 可以同时相合于对角形.
提示 首先 A 相合于单位阵, 即 P APT = I, P BPT 还是对称阵可以正交相似到对角形.
例题 4.3.14 A 与 B 都是 n 阶正定对称方阵, 证明: AB 是正定对称方阵的充分必要条件是 [A, B] = 0.
提示 必要性显然. 充分性往证 A, B 可同时正交相似到对角形.
例题 4.3.15 两个 n 阶半正定方阵可以同时相合于对角形.
例题 4.3.16 A, B 都是 n 阶半正定方阵, 证明: det(A + B)⩾ det A + det B.
我们能够证明上述等价命题 (3) 中的半正定方阵 S1 是唯一的. 于是, 对于半正定对称方阵 S, 可以定义它 的平方根, 即使得 S = S12
的唯一半正定对称方阵 S1 称为方阵 S 的平方根, 记为 S12 或√ S.
之前给出了几种特殊方阵的正交相似标准型, 下面给出一般实矩阵的正交相似标准型: 设 λ1,· · · , λn 是 n 阶实方阵 A 的全部特征值, 则 A 正交相似于准上三角形:
A1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
. .. ∗ ∗ ∗ ∗
As ∗ ∗ ∗
λ2s+1 ∗ ∗ . .. ∗ λn
,
其中 Aj是 2 阶方阵, 特征值为 λ2j−1 = aj+ibj和 λ2j = aj−ibj, j = 1,· · · , s, a1,· · · , as, b1,· · · , bs, λ2s+1,· · · , λn
∈ R, 且 b1· · · bs6= 0.
例题 4.3.17 (Schur 定理) 设 λ1, λ2,· · · , λn 是 A 的全部特征值, 则 tr AAT ⩾ Xn j=1
|λj|2, 等号当且仅当 A 为 规范方阵时成立.
上述例题相当于给出了规范方阵的又一等价命题. 尝试利用它证明下述命题:
例题 4.3.18 设 A 与 B 是 n 阶规范方阵, 且 AB 也是规范方阵, 证明: BA 是规范方阵.