线性代数考研辅导讲义
吴天 葛霖
(中国科学技术大学 数学科学学院)
2021 年 3 月 9 日
前 言
这份讲义, 是为了辅导 2020 年数学学院考研同学的线性代数所编写, 将来也可能会在我当线性代数助 教的时候拿来用作习题课讲义, 因此, 暂且取名为线性代数习题课讲义好了. 我们把它分成四个章节: 1. 矩阵与 行列式: 包括矩阵与行列式的概念、性质、运算, 相抵标准型, 线性方程组等内容; 2. 线性空间与线性变换: 包 括线性空间, 子空间, 商空间, 直和, 线性变换等内容; 3. 相似标准型: 包括多项式理论, Jordan 标准型, 根子空 间, 多项式矩阵与 Smith 标准型, 有理标准型等内容; 4. 相合与二次型: 包括相合, Euclid 空间, 二次型, 解析几 何等内容.
在内容编排方面, 本讲义主要以整理、总结知识点, 与提供一些例题示范为主, 在此之上适当做出扩展. 当 然, 有些例题是非常困难的, 可能不仅需要大家在课上听, 还需要自己花功夫去演算. 这份讲义只会在每章结尾 有一些问题, 它们的难度是比较大的, 它们没有答案, 但是我们在课上我讲一些, 希望大家能够每当闲暇的时候 就思考一下, 久而久之, 会对思路的养成大有裨益. 而一些简单难度的习题都只被当作例题给出. 如果大家希望 能够多一些题目来帮助自己得到很好的训练, 那么可以参考丘维声《高等代数》(第 2 版) 和李炯生《线性代数》
(第 2 版).
中国首批十八博士之一的李尚志教授曾做一首诗, 其中蕴含了一些线性代数的学习道理, 现分享给大家, 希 望能够对大家有所帮助:
代数几何熔一炉, 乾坤万物坐标书.
图形百态方程绘, 变换有规矩阵筹.
星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波.
保短保长皆变换, 能伸能屈是几何.
感谢赵琦学姐撰写欧式空间与内积部分, 魏歆同学撰写正定、二次型部分, 张明月学妹撰写解析几何部分.
笔者水平所限, 如有谬误, 在所难免, 还望广大师生批评指正.
吴天 葛霖 2020 年 于中国科学技术大学
目 录
前 言 i
1 矩阵与行列式 1
1.1 矩阵的定义与基本性质 . . . 1
1.2 行列式的定义与基本性质 . . . 3
1.3 可逆矩阵与初等变换 . . . 6
1.4 矩阵与方程组 . . . 8
2 线性空间与线性变换 9 2.1 线性空间 . . . 9
2.2 子空间与直和与商空间 . . . 11
2.3 线性变换 . . . 14
3 相似标准型 19 3.1 多项式理论 . . . 19
3.2 Jordan标准型 . . . 23
3.3 多项式矩阵的相抵 . . . 25
4 欧式空间与二次型 27 4.1 欧式空间与内积 . . . 27
4.2 二次型与正定 . . . 29
4.3 规范变换与正交变换 . . . 31
4.4 奇异值分解与酉空间 . . . 34
5 空间解析几何 35 5.1 平面与直线 . . . 35
5.2 二次曲面分类 . . . 37
5.3 二次曲线与二次曲面 . . . 39
第 1 章 矩阵与行列式
§1.1 矩阵的定义与基本性质
设 F 是数域, aij∈ F , 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n, 称下面的 m 行 n 列的长方形表为数域 F 上的 m × n 矩阵:
A =
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn
,
有时也简记为 A = (aij)m×n. 其中, aij 被称作 A 的 (i, j) 元, aii 称为 A 的主对角元素. 通常, 我们习惯于用 Eij 表示 (i, j) 元为 1, 其余元素为 0 的矩阵. 如果 aij = 0,∀i, j, 则称 A 为零矩阵, 记作 A = 0; 如果 aij = 0,
∀i 6= j, 称 A 为对角矩阵; 如果 aij = 0,∀i > j, 称 A 为上三角矩阵; 如果 aij = 0,∀i ⩾ j, 称 A 为严格上三角 矩阵. 类似可以定义下三角矩阵和严格下三角矩阵. 如果 F =R, 称 A 为实矩阵; F = C, 称 A 为复矩阵. 在后 面的叙述中, 没有特殊指明的情况下, 总是默认 F 为一个代数闭域. 我们把 F 上的 m× n 矩阵全体组成的集 合记作 Fm×n. 特别地, 在 m = n 时, 称 A 为 n 阶方阵.
考虑 A = (aij), B = (bij)∈ Fm×n, λ∈ F , 定义 A + B := (aij+ bij), λA := (λaij). 因此, 在定义负矩阵
−A = −1FA以后, 我们就有了加减法、数乘的概念, 并且它们显然继承了 F 上的加法交换律、结合律; 数乘交
换律、结合律; 加法和数乘共同具有分配律.
考虑 A = (aij)∈ Fm×n, B = (bij)∈ Fn×p,定义矩阵乘法 AB :=
Xn k=1
aikbkj
!
∈ Fm×p. 显然, 乘法与数 乘之间具有交换律, 乘法与加法之间具有分配律: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 特别地, 在 m = n = p 的时候, AB∈ Fn×n,这样, 我们有机会研究方阵的交换律和结合律. 结论留作练习:
例题 1.1.1 方阵乘法具有结合律: (AB)C = A(BC), A, B, C∈ Fn×n, 但是并没有交换律.
定义 In= (δij)n×n 为 n 阶单位阵, 容易验证它是矩阵乘法的幺元. 通过上述讨论, 我们得到: (Fn×n, +,·) 是含幺非交换环, 其中 · 表示矩阵乘法. 设 A ∈ Fn×n. 定义 A 的 k 次幂 Ak 为 n 个 A 相乘, 这样就可以继 续定义 A 的多项式. 如果存在 k ∈ N∗,使得 Ak = 0, 称 A 为幂零矩阵, 更进一步, 若 k⩾ 2 且 Ak−1 6= 0, 称 A 为 k 次幂零矩阵. 我们把零矩阵看作一次幂零矩阵. 定义方阵的 Lie 括号运算: [A, B] := AB− BA, 如果 [A, B] = 0,称 A 和 B 可交换. 请尝试证明如下结论:
例题 1.1.2 Fn×n 中与任何方阵都可交换的方阵全体是所有纯量阵 (能够写成单位阵的若干倍), 即 Fn×n 的中 心化子 Z(Fn×n) ={λIn: λ∈ F }.
下面通过若干具体例子的计算, 巩固刚刚介绍的概念.
1
例题 1.1.3 计算
1 1
−1 −1
2020
.
提示 注意到
1 1
−1 −1
=
1
−1
1 1
, 并使用乘法结合律.
在你对于一些幂次计算一筹莫展的时候, 尝试计算几项, 观察规律, 配合上归纳法是一种好选择.
例题 1.1.4 计算
0 1
−1 −1
2020
.
例题 1.1.5 计算
λ 1
λ 1 . .. ...
λ 1 λ
n
n×n
.
例题 1.1.6 证明: 方阵 A 与 B 可交换时, Newton 二项式成立: (A + B)n= Xn k=0
n k
AkBn−k.
对于方阵 A = (aij)∈ Fn×n,还可以定义 A 的迹 tr A = Xn i=1
aii. 它显然是保持加法和数乘的, 换句话说, 它是 Fn×n 上面的一个线性函数. 下面的性质十分重要, 证明留作练习:
例题 1.1.7 设 A∈ Fm×n, B ∈ Fn×m. 证明: tr(AB) = tr(BA).
回到 A∈ Fm×n 的情况, 定义 A 的转置 AT = (aji)∈ Fn×m. 容易验证, 转置运算是保持加法、数乘的, 而对于乘法具有“穿脱原理”: (AB)T = BTAT. 此外, 两次转置显然相当于不动. 若 AT = A,称 A 是对称矩阵;
若 AT =−A, 称 A 是反对称矩阵. 显然, 只有方阵有机会成为上述两类矩阵. 不仅如此, 不管 A 是否为方阵, AAT 总是对称方阵. 如果 F =C, 还可以定义 A 的共轭 A = (aij). 显然, 共轭运算保持加法、数乘、乘法. 不 难验证的是, 转置与共轭运算可交换: AT = AT,我们通常称它为 A 的 Hermite 元: AH:= AT. 称复方阵 A 是 Hermite方阵, 如果 AH= A; 称复方阵 A 是反 Hermite 方阵, 如果 AH =−A. 显然, AAH 总是 Hermite 的.
例题 1.1.8 证明: 任何方阵都可以唯一分解为对称矩阵与反对称矩阵之和.
提示 当 A 是方阵时, A + AT 总是对称的.
例题 1.1.9 证明: 实对称的二次幂零矩阵一定是零矩阵. 把二次幂零的条件去掉, 结论是否依旧成立?
提示 后者的确是成立的, 不过只使用这节的知识很难证明, 在学完实对称矩阵的相似对角化之后再做比较好.
矩阵的分块, 是处理问题的一个重要技巧. 所谓分块, 相当于把一个矩阵划分为若干个小矩形, 每个矩形内 都是小矩阵, 进而把它们当作元素来进行处理. 容易看出, 恰当地分块在处理实际问题中会有极大的帮助. 称 A 为准上三角矩阵, 如果它在某种分块下能够写上三角的形式, 同理可以定义准严格上三角矩阵、严格下三角矩 阵、准严格下三角矩阵、准对角阵. 通常我们把准对角阵的对角分块简记为 A = diag(A1,· · · , Ak).
例题 1.1.10 设 A, X ∈ Fn×n, 考虑 X 的列向量分块 X = (X1,· · · , Xn), 满足 AXi = λiXi, λi ∈ F ,
∀1 ⩽ i ⩽ n. 求矩阵 B, 满足 AX = XB.
§1.2 行列式的定义与基本性质
称 (j1· · · jn) 为 n 元排列, 如果 {ji : 1 ⩽ i ⩽ n} = {i : 1 ⩽ i ⩽ n}. n 元排列的全体记为 Sn, 显然
|Sn| = n!. 称排列 (j1· · · jn) 的逆序数为满足 p < q 且 jp > jq 的 (p, q) 的个数, 记作 τ (j1· · · jn). 如果排列 的逆序数为奇数, 称之为奇排列, 否则为偶排列. 如果只交换排列中的两个数, 称做了一次对换. 容易验证, 对 换必定会改变排列的奇偶性. 通过对换的概念, 结合上述逆序数的定义, 我们可以证明任何排列通过对换, 变为 (12· · · n) 的对换次数不是固定的, 但是对换次数奇偶性是固定的, 且与排列的奇偶性相同. 因此, 定义排列的符 号 sgn(j1· · · jn) = (−1)τ (j1···jn).
有了这些准备工作, 我们定义 n 阶方阵 A = (aij)的行列式:
det A =|A| =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . .. ... an1 an2 · · · ann
= X
(j1···jn)∈Sn
sgn(j1· · · jn) Yn k=1
akjk.
结合排列的性质, 以及上述定义, 我们能够得到行列式的按第 i 行 (列也是可以的) 展开: |A| = Xn j=1
aijAij,
其中 Aij = (−1)i+j
a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1n
... . .. ... ... . .. ... ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n
ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n
... . .. ... ... . .. ... an1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · ann
被称作 aij 的代数余子式. 将此展开式推
广到更一般的情况: 定义 A
i1 · · · ir
j1 · · · jr
为 A 的第 i1,· · · , ir 行和第 j1,· · · , jr列的交叉元按照原来的顺序
排列而成的 r 阶方阵的行列式 (这被称作 A 的一个 r 阶子式). 我们有 Laplace 展开定理:
|A| = X
1⩽k1<···kr⩽n
(−1)
∑r l=1
(kl+il)
A
i1 · · · ir
k1 · · · kr
A
ir+1 · · · in
kr+1 · · · kn
,
其中 (i1· · · in)和 (k1· · · kn)都是 n 元排列.
由上立刻推知几条常见的性质: 上 (下) 三角方阵的行列式一定是对角元之积; 准上 (下) 三角方阵的行列 式也一定是对角块的行列式之积; 如果某行 (列) 元素均为 0, 则行列式一定为 0; |A| = |AT|; 某一行 (列) 如果 拆成了两个行 (列) 向量之和, 那么行列式的结果也一定等于该行 (列) 分别替换为两个行 (列) 向量得到的行列 式之和; 某一行 (列) 向量如果数乘上一个数, 那么行列式的结果也会乘以该数, 特别地, |λA| = λn|A|; 交换行 列式的两行 (列), 行列式会变为相反数; 行列式的某一行 (列) 的若干倍加到另一行 (列), 不改变行列式的值.
那么矩阵乘法与行列式是否兼容呢? 答案是对的, 这就是 Binet-Cauchy 定理: 设 A∈ Fn×m, B∈ Fm×n. 如果 n > m, 则|AB| = 0; 如果 n = m, 则 |AB| = |A||B|; 如果 n < m, 则
|AB| = X
1⩽k1<···<kn⩽m
A
1 · · · n k1 · · · kn
B
k1 · · · kn
1 · · · n
.
如何更好地辅助记忆 Binet-Cauchy 定理呢? 当 n > m 时, AB 比 A 和 B 的尺寸都要大, 看起来像是被稀 释了一样, 进而 |AB| = 0; 而 n < m 时, AB 比 A 和 B 的尺寸都要小, 看起来被浓缩了, 进而 |AB| 不一定为
0; n = m时,|AB| = |A||B| 很自然, 这说明 det 是方阵乘法的同态.
上面提到的性质有的可以很容易地使用上述讨论直接证明, 有的可能在之后学习完初等矩阵、矩阵的秩之 后才会理解地更透彻一些. 以上所有性质的证明在任何一本合格的线性代数教材上都能找到, 此处省略. 值得 一提的是, 行列式有一个更加抽象的定义: n 维线性空间 Fn 上的规范反对称 n 重线性函数. 它与我们的定义 是完全等价的, 感兴趣的同学可以参考李炯生《线性代数》的 2.1、2.2 节.
例题 1.2.1 写出行列式
x 1 2 3 x x 1 2 2 3 x 1 x 2 3 x
中含 x4 和 x3 的项.
提示 这道题考验你是否真正理解了行列式的定义.
例题 1.2.2 设 aij(x) 在 R 上可导, ∀1 ⩽ i, j ⩽ n, A(x) = |aij(x)|n×n, 记 Ai(x) 为 A(x) 的第 i 行求导, 其余 不变组成的行列式. 证明: A′(x) =
Xn i=1
Ai(x).
提示 按行展开, 再利用归纳法应该是可以的.
例题 1.2.3 n 元排列 (n, (n− 1), · · · 3, 2, 1) 是奇排列还是偶排列?
例题 1.2.4 计算
1 2 3 4 1 2 0 −5 3 −1 −1 0 1 0 1 2 .
很多时候, 所有行 (列) 的元素之和相同是一个很好利用的条件.
例题 1.2.5 证明:
x a · · · a a x · · · a ... ... . .. ...
a a · · · x
= [x + (n− 1)a](x − a)n−1.
例题 1.2.6 证明:
1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 ... ... ... ... ... n 1 2 · · · n − 2 n − 1
=n(n + 1)
2 (−1)n(n−1)2 nn−2.
还有些时候, 需要利用行列式的特点, 把尽可能多的位置变为 0(打洞), 方便进一步地计算.
例题 1.2.7 证明:
a1 b2 · · · bn
c2 a2
... . ..
cn an
= Yn k=1
ak− Xn j=2
bjcj
Y
k̸=1,j
ak.
例题 1.2.8 证明:
1 3 3 · · · 3 3 2 3 · · · 3 ... ... ... ... 3 3 · · · n − 1 3 3 3 · · · 3 n
=
−7, n = 2, 6(n− 3)!, n ⩾ 3.
有些问题可以使用归纳法, 尝试递归或求处关于阶数的递推式. 注意到行列式的本质是多项式, 一定是连 续的, 因此在求含参数的行列式时, 参数的某些特殊情况是无需特别考察的, 只需用连续性取极限即可.
例题 1.2.9 证明:
2 cos θ 1 0 · · · 0 1 2 cos θ 1 · · · 0 0 1 2 cos θ · · · 0 ... ... ... ... 0 0 0 · · · 2 cos θ
=
n + 1, θ = 0, sin(n + 1)θ
sin θ , θ6= 0.
例题 1.2.10 证明 Vandermonde 行列式:
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn
x21 x22 · · · x2n ... ... ... xn1−1 xn2−1 · · · xnn−1
= Y
1⩽j<i⩽n
(xi− xj)
例题 1.2.11 证明友矩阵的行列式:
x 0 · · · 0 an
−1 x · · · 0 an−1
0 −1 · · · 0 ... ... ... x a2
0 0 · · · −1 x + a1
= xn+ Xn k=1
akxn−k.
不要忘记, Laplace 展开也是很好用的方法, 尤其是针对稀疏矩阵 (0 的个数很多的矩阵).
例题 1.2.12 证明:
a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d2 0 0 a3 b3 c3 d3 0 0 0 0 a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d2 0 0 a3 b3 c3 d3
= AD− BC, 其中 A, B, C, D 依次是由
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
删
掉第 1, 2, 3, 4 列得到的三阶行列式.
例题 1.2.13 设 A = (aij), aij 对应的代数余子式为 Aij, 证明:
Xn j=1
aijAkj = δikdet A.
下面看一些综合性的题目.
例题 1.2.14 证明:
c1 a2 a3 · · · an
a1 c2 a3 · · · an
a1 a2 c3 · · · an
... ... ... ... a1 a2 a3 · · · cn
= Yn i=1
(ci− ai) + Xn j=1
ajY
i̸=j
(ci− ai).
提示 与我们按行 (列) 展开相反, 加行 (列) 在某些题目中会收到奇效.
例题 1.2.15 证明: 奇数阶反对称矩阵的行列式为 0; 偶数阶反对称矩阵的所有元的代数余子式之和为 0.
例题 1.2.16 证明: ∆n=
x a1 a2 · · · an−1
a1 x a2 · · · an−1
a1 a2 x · · · an−1
... ... ... ... a1 a2 a3 · · · x
= x +
nX−1 k=1
ak
!n−1 Y
k=1
(x− ak).
提示 把它看作关于 x 的多项式, 你是否能尝试找出所有的根呢?
行列式的计算题目纷繁复杂, 上面只能介绍基本的一些方法, 如何能够更加熟练, 还要靠自己多下功夫.
§1.3 可逆矩阵与初等变换
我们把方阵 A∈ Fn×n 的逆矩阵记作 A−1, 满足 A−1A = AA−1= In. 此时, 我们称 A 是可逆矩阵. 这样 的话, 我们就可以理解前面所讲的 Fn×n 是一个含幺环的原因了. 记 GLn(F ) 为 F 上所有 n 阶可逆矩阵全体, 那么它是 Fn×n 的单位群. 由于群中元素的逆是唯一的, 因此逆矩阵如果存在总是唯一的, 并且逆矩阵的逆矩 阵是本身. 矩阵的逆是保持数乘的: (λA)−1 = λ−1A−1;矩阵的逆也有穿脱原理: (AB)−1 = B−1A−1;矩阵的逆 和共轭、转置都是可交换的.
例题 1.3.1 已知 A 是方阵, Ak= 0. 证明:
kX−1
j=0
Aj j!
−1
=
k−1
X
j=0
(−1)jAj j! .
提示 可以直接计算验证. 不过想想, 为什么是这种形式呢? 你是否能联想到某个函数的 Taylor 级数? 那么矩 阵是否可以定义指数函数呢? 这些我们后面会讨论.
那么, 如何具体地计算逆矩阵呢? 定义 A 的伴随矩阵 A∗=
A11 A21 · · · An1
A12 a22 · · · An2
... ... ... A1n A2n · · · Ann
,其中 Aij 为 aij 的
代数余子式. 容易发现: AA∗ = A∗A =|A|In, 因此 A−1 = 1
|A|A∗. 直接利用伴随矩阵的构造, 我们能够证明:
A 可逆当且仅当 |A| 6= 0. 不仅如此, 结合逆矩阵的定义和例题 1.2.13, 我们还可以得到著名的 Cramer 法则:
设 A∈ GLn(F ), b∈ Fn×1, 则线性方程组 Ax = b 存在唯一解 x = A−1b, 满足 x 的第 k 个分量为 δk
δ ,其中 δ =|A|, δk 为把 A 的第 k 列换成 b 的矩阵的行列式. 这个法则直观地给出了如何求解满秩方程组的算法, 从 数值的角度来看, 它的运算复杂度为 O(n!), 这显然是不可接受的, 但是它具有深刻的理论意义.
例题 1.3.2 验证伴随矩阵的几条性质: (1) (λA)∗= λn−1A∗; (2) (AB)∗= B∗A∗; (3) (A∗)∗=|A|n−2A.
称以下三种操作为对矩阵的初等行变换: (1) 交换第 i, j 行; (2) 把第 j 行的 λ 倍加到第 i 行; (3) 第 i 行乘以 非零的 λ 倍. 易知, 上述情况分别相当于把下述矩阵乘到被操作矩阵的左侧: (1) Pij= In−Eii−Ejj+Eij+Eji, (2) Tij(λ) = In+ λEij, (3) Di(λ) = In+ (λ− 1F)Eii. 这些矩阵被称为初等矩阵. 通过转置可知, 初等列变换 是相当于矩阵右侧乘以对应的初等矩阵, 这个规律被称为“行左列右”.
之所以定义初等变换的概念, 是因为这些变换正好对应我们求解线性方程组的必要操作: (1) 调整方程、变 量位置; (2) 加减消元; (3) 乘以倍数. 这也是研究矩阵理论的重要原因之一. 而通过求解方程组的过程, 以及初 等行 (列) 变换等价于在左 (右) 侧乘初等矩阵的结论, 我们能够总结出李炯生 118 页例 1 求逆矩阵的方法. 如
果把其中右侧的单位矩阵替换为一般矩阵, 做类似操作之后, 可以直接求解矩阵方程 AX = B.
我们尝试研究分块矩阵的初等变换. 给出几道例题:
例题 1.3.3 (Schur 公式) 设 A∈ GLm(F ), B∈ Fm×n, C∈ Fn×m, D∈ Fn×n. 证明:
A B
C D
=|A||D − CA−1B|.
例题 1.3.4 设 A, B ∈ Cn×n. 证明:
A −B
B A
=|A + iB||A − iB|.
李炯生 118 页例 1 建议大家仔细阅读, 从中不难发现: 任何可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵乘积.
对于一般的矩阵 A ∈ Fm×n, 我们允许你同时使用行、列初等变换, 在有限次操作之后, 总可以将 A 变换为
Ir 0 0 0
的形状. 定义 r = rank A 为矩阵 A 的秩, 矩阵
Ir 0 0 0
为 A 的相抵标准型. 这里要解释一下所谓
的相抵: 设 A, B∈ Fm×n,称 A 与 B 相抵, 如果存在 P ∈ GLm(F ), Q∈ GLn(F ),使得 B = P AQ.
所谓相抵标准型, 指的是所有的矩阵都可以唯一相抵与
Ir 0 0 0
型矩阵, 换句话说, 相抵是一个等价关系, 它按照秩, 把所有矩阵分成了若干等价类, 同一等价类中的所有矩阵之间两两相抵. 因此, 两个矩阵相抵, 当且 仅当二者形状一样且秩相等. 在第三章, 大家还会接触到相似标准型的概念. 请尝试证明如下几条秩的性质:
例题 1.3.5 矩阵的秩正好是它的所有非零子式的最高阶数.
例题 1.3.6 A∈ Fm×n, 证明: rank A⩽ min{m, n}. 特别地, 不等式取等时, 我们称 A 是满秩的.
例题 1.3.7 A∈ Fm×n, B ∈ Fn×p, 证明: rank(AB)⩽ rank A. 取等一定说明 B 满秩吗?
例题 1.3.8 证明: rank
A 0
C B
⩾ rank A + rank B. 特别地, 当 C = 0 时, 不等式取等.
例题 1.3.9 证明: rank(A, B)⩽ rank A + rank B.
例题 1.3.10 设 A∈ Fn×n, 证明: (1) 如果 A 满秩, 则 A∗ 满秩; (2) 如果 rank A = n− 1, 则 rank A∗= 1; (3) 如果 rank A⩽ n − 2, 则 A∗= 0.
例题 1.3.11 设 A∈ Fm×n, rank A = r. 证明: 存在两个满秩矩阵 P ∈ Fm×r, Q∈ Fr×n, 使得 A = P Q.
上述例题的证明只要使用秩的概念、初等变换即可, 留给大家作为练习. 例题 1.3.11 是满秩分解定理. 下 面介绍著名的 Frobenius 秩不等式: 设 A∈ Fm×n, B∈ Fn×p, C∈ Fp×q, 则
rank AB + rank BC− rank B ⩽ rank ABC.
大家可以尝试自己想一想证明方法, 如果未能成功, 请参考李炯生 130 页. 令 B = In,得到 Sylvester 秩不等式:
rank A + rank C− n ⩽ rank AC.
上述两个秩不等式在一些秩不等式的证明题中会有巧妙的运用, 此处不再赘述. 秩不等式的证明, 也需要 大家花功夫做一些题目, 来巩固提升自己对于秩的性质的运用能力.
在本节的最后, 我们讨论一个重要的行列式恒等式, 它是使用分块矩阵的初等变换证明的.
例题 1.3.12 设 A∈ Fm×n, B ∈ Fn×m, λ∈ F . 证明: λndet(λIm− AB) = λmdet(λIn− BA).
提示 仿照 Schur 公式的证明, 对
Im A B In
进行两种方式初等变换.
例题 1.3.12 的结论如果灵活运用, 在一些行列式的计算中会有简便许多.
例题 1.3.13 证明:
1 + x1y1 x1y2 · · · x1yn x2y1 1 + x2y2 · · · x2yn ... ... ... xny1 xny2 · · · 1 + xnyn
= 1 + Xn k=1
xkyk.
§1.4 矩阵与方程组
我们从矩阵的角度来重新思考线性方程组的求解问题. 设 A = (aij)m×n为系数矩阵, x∈ Fn×1 为解向量, b∈ Fm×1 为非齐次项, 即 Ax = b. 在研究这个之前, 我们先研究齐次方程组 Ax = 0:
例题 1.4.1 设 rank A = r, 如果 r = n 时, Ax = 0 只有零解; r < n 时, 它有非零解, 且通解依赖于 n− r 个独 立常数 (也就是所谓的解空间维数为 n− r).
我们在求解方程组的时候, 会发现可能有些方程会被其他的方程给“替代”, 也就是它们能够被其他方程推 导出来. 使用初等变换的语言来讲, 就是通过对系数矩阵作初等行变换, 能够将一些行向量变为零向量, 这些行 对应的方程就是能被“替代”的方程. 理解了这个之后, 我们能够更好地理解矩阵秩的意义了: 所谓矩阵的秩, 刻 画的是矩阵的行 (列) 向量之间能够被“替代”的程度, 把所有能被替代的行 (列) 向量拿掉之后, 剩余的行 (列) 数就是矩阵的秩. 那么既然 A 中有 r 行无法被替代, 那么它们作为系数矩阵, 得到的齐次方程组的解自然就会 被 r 个式子所决定. 而 n 个未知元有 n 个自由度, 被 r 个式子确定后自然就只剩下了 n− r 个自由度了, 这样 就解释了这个定理的由来. 由这些观点, 我们分别讨论非齐次方程解的存在性和结构定理:
例题 1.4.2 Ax = b 存在解的充要条件是 rank A = rank(A, b).
例题 1.4.3 设 Ax = b 存在解, rank A = r. 当 r = n 时, 解存在唯一; 当 r < n 时, 通解具有 n− r 个独立常 数, 且通解由对应齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解叠加而成.
上述给出的是方程组解的存在性以及结构理论, 如何来求解方程组? 实际上, 1.3 节我们已经给出了答案, 当时让大家阅读李炯生 118 页例 1, 它相当于针对矩阵方程 AX = In, 对 (A, In) 进行行变换的操作, 在 A 变 为 In 的时候, 右侧的 In 就变为了 A−1. 如果我们把右侧的 In 换为其他形状的矩阵, 甚至比如一个列向量, 仿 照类似的做法, 我们就能得到使用初等行变换求解线性方程组的方法, 详情请参考李炯生 140 页例 1.
例题 1.4.2 的结论可以推广到一般的矩阵方程中:
例题 1.4.4 设 X ∈ Fn×p, B ∈ Fm×p. 则 AX = B 存在解的充要条件是 rank A = rank(A, B).
针对方阵, 我们还有一个常用的推论:
例题 1.4.5 设 A∈ Fn×n, X ∈ Fn×p, 则矩阵方程 AX = 0 有非零解, 当且仅当 det A = 0.
想要理解好上述结论, 除了学会推导证明, 还要计算几个具体的例子. 这些例子不难在李炯生、李尚志或者 丘维声的书上找到, 不在多, 在覆盖面全, 要尽可能找出适合各种情况的例子. 在把它们挨个验证一遍, 计算出 它们的通解之后, 与定理中描述的结果相比较, 这对于这块的学习大有益处.
在本章最后, 我们给出一道利用结构定理解答的题目, 这有助于大家体会结构定理的妙用.
例题 1.4.6 设四元线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 3,{αi}3i=1 是方程组的三个解, 其中 α1= (1,−2, −3, 4)T, 5α2− 2α3= (2, 0, 0, 8)T. 求线性方程组的通解.
提示 5α2− 2α3− 3α1 是齐次方程组的通解. 参考答案: (1,−2, −3, 4)T+ t(−1, 6, 9, −4)T.
第 2 章 线性空间与线性变换
§2.1 线性空间
设 V 是一个非空集合, V 的元素称为向量, F 是一个数域, F 上的元素称为数. 再 V 上定义了加法运算 α + β ∈ V 和数乘运算 λα ∈ V , 其中 α, β ∈ V, λ ∈ F . 若这两种运算满足如下运算律:
(A1)加法交换律 ∀α, β ∈ V, α + β = β + α
(A2)加法结合律 ∀α, β, γ ∈ V, (α + β) + γ = α + (β + γ) (A3)加法有幺元 ∃0 ∈ V, ∀α ∈ V, 0 + α = α
(A4)加法有逆元 ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α + β = 0
(M 1)数乘结合律 ∀α ∈ V, ∀λ, µ ∈ F, λ(µα) = (λµ)α (M 2)数乘有幺元 ∀α ∈ V, 1α = α
(D1)数乘对数的分配律 ∀α ∈ V, ∀λ, µ ∈ F, (λ + µ)α = λα + µα (D2)数乘对向量的分配律 ∀α, β ∈ V, ∀λ ∈ F, λ(α + β) = λα + λβ 则称代数结构 (V, F, +,·) 为线性空间, 简称 V 是 F 上的线性空间.
取定一个数域 K, 设 n 是任意给定的一个正整数. 令 Kn ={(a1, a2,· · · , an)| ai∈ K, i = 1, 2, · · · , n}. 我 们称 Kn 中两个元素: (a1, a2,· · · , an)与 (b1, b2,· · · , bn)相等, 当且仅当 a1 = b1, a2 = b2,· · · , an = bn. 则显 然, Kn 是 K 上的线性空间.
对于给定的向量组 α1, α2,· · · , αs, 任给 K 中一组数 k1, k2,· · · , ks, 就可以得到一个向量 k1α1+ k2α2+
· · · + ksαs,称这个向量是向量组 α1, α2,· · · , αs 的一个线性组合, 其中 k1, k2,· · · , ks 称为系数.
在 Kn 中, 给定向量组 α1, α2,· · · , αs, 对于 β ∈ Kn, 如果存在 K 中一组数 c1, c2,· · · , cs, 使得 β = Xs
j=1
cjαj,那么称 β 可以由 α1, α2,· · · , αs线性表出. 数域 K
性质 2.1: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 那么 V 的零元素是唯一的.
性质 2.2: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么 v 的逆元是唯 一的.
性质 2.3: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么有 0· v = 0, k· 0 = 0, (−1) · v = −v, ∀k ∈ K, v ∈ V
成立.
性质 2.4: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 且 k∈ K, 并且假设 k· v = 0
9
成立, 则有
k = 0, or v = 0
一个向量组{aj}rj=1中的每一个向量都可以被另一个向量组{bk}sk=1 线性表出, 则称向量组{aj}rj=1 可以被向 量组{bk}sk=1线性表出.
性质 2.5: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 v 是线性空间 V 中的任意给定的一个元素, 那么向量 v 线性相 关的充要条件是 v = 0
性质 2.6: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而{vj}rj=1是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, 那么向量组 {vj}rj=1线性相关的充要条件是存在一个向量 vs, 1⩽ s ⩽ r, 使得
vs=
s−1
X
j=1
kj· vj+ Xr j=s+1
kj· vj, kj ∈ K 成立.
性质 2.7: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而{vj}rj=1是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, 如果{vj}rj=1
线性无关, 且能被{uj}sj=1线性表出, 那么不等式 r⩽ s 成立.
性质 2.8: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而{vj}rj=1,{uj}sj=1是线性空间 V 中的任意给定的两个向量组, 如 果这两个向量组都是线性无关的. 且能相互被对方线性表出 (即这两个向量组是等价的), 那么 s = r 成立.
性质 2.9: 如果 V 是数域 K 上的线性空间, 而 {vj}rj=1 是线性空间 V 中的任意给定的一个向量组, u∈ V , 如 果{vj}rj=1线性无关, 但向量组{vj}rj=1∪ {u} 线性相关, 那么 u 可以被向量组 {vj}rj=1 线性表出, 且表示方法 唯一.
如果数域 K 上的线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 {bj}nj=1, 但是没有更多数量的线性无关的向量, 那么 V 就被称为 n 维的, 且称{bj}nj=1为 V 的一组基, 设 v∈ V , 于是向量组 {bj}nj=1∪ {v} 线性相关, 因此向 量 v 可以被基{bj}nj=1 线性表出, 形如 v =
Xn j=1
aj· bj, aj ∈ K; 如果在数域 K 上的线性空间 V 中可以找到任 意多个线性无关的向量, 那么称 V 是无限维的.
{aj}nj=1 是被 v 和基{bj}nj=1唯一确定的, 这组数就称为 v 在基{bj}nj=1下的坐标.
性质 2.10: 如果数域 K 上的线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量{bj}nj=1,且 V 中任意一个向量都可以用它 们线性表出, 那么 V 是 n 维的, 且向量组 {bj}nj=1 就是线性空间 V 的一组基.
例题 2.1.0 : 令 Q(ω) :={a + bω | a, b ∈ Q}, ω2+ ω + 1 = 0 (1)证明它对于通常的加法和复数域乘法构成Q-线性空间;
(2)求它的一组基;
(3)¯ω,−√
3i是否在其中? 并求 ω, ¯ω,−√
3i的秩.
例题 2.1.1 : 在 K4 中, 设 α1 = (1, 1, 1, 1)T, α2 = (1, 1, 1, 0)T, α3 = (1, 1, 0, 0)T, α4 = (1, 0, 0, 0)T, α = (2,−1, 3, 4)T, 求 α 在基 α1, α2, α3, α4 下的坐标.
例题 2.1.2 : 设 V 是由复数组成的无穷数列 {an} = {a1, a2,· · · , an,· · · } 的全体组成的集合, 定义 V 中任意 两个数列的加法{an} + {bn} = {an+ bn} 以及数乘 λ{an} = {λan} 之后成为成为复数域 C 上的线性空间.
(1) 求证: V 中满足条件 an= an−1+ an−2 的全体数列组成的 V 的子空间 W .W 的维数是多少?
(2) 对任意 (a1, a2)∈ C2, 定义 σ(a1, a2) ={a1, a2,· · · , an,· · · } ∈ W . 求证 σ 是 C2 到 W 的同构映射.
(3) 求证: W 在存在一组由等比数列组成的基 M .
(4) 设数列 {Fn} 满足条件 F1 = 1, F2 = 1 且 Fn = Fn−1+ Fn−2, 求 {Fn} 在基 M 下的坐标, 并由此求出 {Fn} 的通项公式.
例题 2.1.3 : 设 R+ 是所有的正实数组成的集合, 对任意 a, b∈ R+, 定义 a⊕ b = ab, 对任意 a ∈ R+ 和 λ∈ R 定义 λ⊗ a = aλ
(1) 验证 R+ 按上述定义的加法和数乘构成一个线性空间.
(2) 证明 R+ 与 R 这两个线性空间同构, 并求出所有同构.
例题 2.1.4 : 判断几何空间 R2={(x, y) | x, y ∈ R} 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算:
λ⊗ (x, y) = (λx, y), ∀(x, y) ∈ R2, λ∈ R 是否构成实数域上的线性空间? 为什么?
例题 2.1.5 : 设非空集合 V ={(a + ib, c + id) | a, b, c, d ∈ R} 对于通常的加法和数乘在复数域 C 和实数域 R 上构成的线性空间分别为 VC 和 VB, 试求 dim (VC) , dim (VR) .
例题 2.1.6 : 设 V1, V2 是数域 K 上的线性空间, 记
V1× V2={(α1, α2)| α1∈ V1, α2∈ V2}
对任意 (α1, α2) , (β1, β2)∈ V1× V2, 及任意 k ∈ K, 规定 k(α1, α2) = (kα1, kα2) (1) 证明 : V1× V2 关于以上 运算构成数域 K 上的线性空间 ; (2) 己知 dim V1= m, dim V2= n, 求 dim (V1× V2)
例题 2.1.7 : 设 V 是数域 K 上的线性空间 , α1, α2, α3, α4 是 V 中的线性无关向量组, 求由向量组 α1+ α2, α2+ α3, α3+ α4, α4+ α1 生成的线性子空间 W 的一个基以及 W 的维数.
例题 2.1.8 : 设 V 为数域 K 上的有限维线性空间, 且 V 只有平凡子空间. 问 V 的维数是多少?
例题 2.1.9 : 设 α1, α2,· · · , αr 和 β1, β2,· · · , βs 是 Kn 中的两个线性无关向量组, 证明: 子空间 L (α1, α2,· · · , αr)∩ L (β1, β2,· · · , βs)
的维数等于齐次线性方程组
x1α1.+ x2α2+· · · + xrαr+ y1β1+ y2β2+· · · + γ2βs= 0 的解空间的维数.
§2.2 子空间与直和与商空间
设 U 是数域 K 上的线性空间 V 的非空向量集合. 如果 U 对于线性空间 V 的向量加法和纯量与向量的 乘法是封闭的, 即对任意 α, β ∈ U, α + β ∈ U, 并且对任意 λ ∈ F, α ∈ U, λα ∈ U, 则称 U 为域 K 上的线性空 间 V 的子空间.
{0} 和 V 是线性空间 V 的两个平凡子空间, 其它 V 的子空间称为 V 的真子空间.
设 I 是下标集合,{Vν : ν∈ I} 是数域 K 上线性空间 V 的子空间集合. V 中所有属于每个子空间 Vν, ν∈ I 的 向量的集合称为所有子空间 Vν, ν∈ I 的交, 记为 \
ν∈I
Vν
性质 2.11: 数域 K 上线性空间 V 的非空子集 W 对于 V 的两种运算也构成数域 K 上的线性空间, 那么 W 将 是 V 的线性子空间.
性质 2.12: 任何一个线性子空间的位数不会超过整个线性空间的维数.
在线性空间中, 由单个的零向量所构成的子集合叫做零子空间; 包含某个向量组的所有子空间的交（显然 是最小子空间）称为整个向量组生成的子空间.
一个向量组的秩是指它的一个极大无关组的向量数.
性质 2.13: 两个向量组生成相同的线性子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.
性质 2.14: 已知{βj}nj=1是一个向量组, 则有 dim(spanK{βj}nj=1) = rank{βj}nj=1 成立.
性质 2.15: 设 U 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间, 向量组 {βj}mj=1 是 U 的一组基, 那么, 这组向量必定可扩充为整个空间的基, 也就是说, 在 V 中必定可以找到 n− m 个向量 {βk}nk=m+1,使得向量组 {βi}ni=1 是 V 的一组基.
性质 2.16: 子空间们的交依旧是子空间.
设 V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 所有能表示成 v1+ v2, v1∈ V1, v2∈ V2,的向量组成的 集合, 称为 V1与 V2 的和, 记作 V1+ V2.事实上, 所有同时包含 V1, V2 的线性空间的交就是 V1+ V2.
性质 2.17: 设 V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么 V1+ V2 是线性空间 V 的子空间.
性质 2.18: 设 V1, V2, W 是 K 上线性空间 V 的子空间, 且 W ⊂ V1, W ⊂ V2, 那么 W ⊂ V1∩ V2 成立.
性质 2.19: 设 V1, V2 和 W 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 且 V1⊂ W, V2⊂ W , 那么 V1+ V2⊂ W 成立.
性质 2.20: 设 V1 与 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么以下三个观点等价:
i. V1⊂ V2; ii. V1∩ V2= V1; iii. V1+ V2= V2
性质 2.21: 如果说 V1, V2 是数域 K 上的线性空间 V 的两个子空间, 那么 dim V1+ dim V2 = dim V1∩ V2+ dim(V1+ V2)成立.
性质 2.22: V1和 V2是数域 K 上的 n 维线性空间 V 的两个子空间, 如果不等式 dim V1+ dim V2> n成立, 那 么 V1, V2 必含有非零的公共向量.
设 V1 和 V2 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的子空间. 如果 V1∩ V2={0}, 则子空间 V1+ V2 称为 V1 与 V2 的直和, 记作 V1⊕ V2.
性质 2.23: V1 和 V2是数域 K 上的线性空间 V 的子空间.v1+ v2= 0, v1∈ V1, v2∈ V2 给出了零向量的一个分 解. 则 V1+ V2 是直和的充分必要条件是 v1+ v2= 0, v1∈ V1, v2∈ V2. 只有在 v1= 0, v2= 0的条件下成立.
性质 2.24: V1, V2 是数域 K 上线性空间 V 的子空间. 则 V1+ V2 是直和当且仅当∀v ∈ V1+ V2, v = v1+ v2, v1∈ V1, v2∈ V2,这种分解是唯一的.
性质 2.25: V1 和 V2 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, W = V1 + V2, 则, W = V1 ⊕ V2 当且仅当 dim W = dim V1+ dim V2.
性质 2.26: 设{vj}nj=1和{wk}mk=1 是数域 K 上的线性空间 V 的两个向量组, 那么
spanK(v1, v2,· · · , vn−1, vn, w1, w2,· · · , wm) = spanK(v1, v2,· · · , vn−1, vn) + spanK(w1, w2,· · · , wm) 成立.
性质 2.27: 设 V1 是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么在线性空间 V 中一定存在一个子空间 V2, 使得 V1⊕ V2= V 成立.
我们称上面的 V2 是 V 关于子空间 V1 的商空间, 记作 V /V1. 设{Vj}sj=1是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, v 是线性空间
Xs j=1
Vj 中任意一个向量, 式
v = Xs j=1
vj, where vj ∈ Vj, j = 1, 2,· · · , s
给出了对于向量 v 的分解, 如果这种分解是唯一的, 则和 Xs j=1
Vj 是直和, 记作 V1⊕ V2⊕ V3⊕ · · · ⊕ Vs或 Ms j=1
Vj.
性质 2.28: 设 {Vj}sj=1是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, v 是线性空间 Xs j=1
,式
0 = Xs j=1
vj, where vj ∈ Vj, j = 1, 2,· · · , s
给出了对于向量 0 的分解. 这种分解是唯一的当且仅当和 Xs j=1
Vj 是直和.
性质 2.29: 设 {Vj}sj=1是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么和空间 Xs j=1
Vj 为直和的充分必要条件是
∀j, j = 1, 2, · · · , s. Vj∩ (
j−1
X
k=1
Vk+ Xs k=j+1
Vk) = 0 成立.
性质 2.30: 设 {Vj}sj=1是数域 K 上的线性空间 V 的子空间, 那么和空间 Xs j=1
Vj 为直和的充分必要条件是
dim Xs j=1
Vj = Xs j=1
dim Vj
成立.
性质 2.31: 设 n 是一个正整数, 所有定义在数域 K 上的 n 行列向量构成数 K 上的线性空间, 记为 Kn×1 例题 2.2.1 : 设域 F 上的线性空间 V 中的向量组 a1, a2, a3, a4, 线性无关, 试问: 向量组 a1+ a2, a2+ a3, a3+ a4, a4+ a1 是否线性无关? 令
W = (a1+ a2, a2+ a3, a3+ a4, a4+ a1), 求 W 的一个基和维数.
例题 2.2.2 : 设 σ 是域 F 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射, 证明: σ−1 是 V′ 到 V 的一个同构映射.
例题 2.2.3 : 设 σ 和 τ 分别是域 F 上线性空间 V 到 V′ 与 V′ 到 V′′ 的一个同构映射. 证明: τ σ 是 V 到 V′′ 的一个同构映射.
例题 2.2.4 : 证明: 有限域 Fq 上的一元函数 (即 Fq 到自身的映射) 都是一元多项式函数 (即由 Fq 上的一元 多项式诱导的函数), 且 Fq 上每一个一元函数都可以唯一地表示成 Fq 上次数小于 q 的一元多项式函数.
例题 2.2.5 : 对于正整数 n, 令 Q(√n
3) ={a0+ a1
√n
3 +· · · + an−1 n
√3n−1| ai∈ Q, i = 0, 1, 2, · · · , m − 1}
设 n 与 m 是不同的正整数, 试问: Q 上的线性空间 Q(√n
3) 与 Q(m√
3) 是否同构?
例题 2.2.6 : 令 Q(i) ={a + bi | a, b ∈ Q}, 它是 Q 上的一个线性空间, 试问: Q(i) 与 Q(√
2) 是否同构? 如果 同构, 写出 Q(i) 到 Q(√
2) 的一个同构映射.
例题 2.2.7 : 设 A, B 都是 n 级实对称矩阵, 证明: 如果 A 与 B 有相同的特征多项式, 那么存在 Rn 到自身 的一个同构映射 σ, 使得
(σ(α))′B(σ(α)) = α′Aα, ∀α ∈ Rn
例题 2.2.8 : 设 V 是域 F 上的线性空间, V1,V2 是 V 的子空间, 证明: 如果 V = V1⊕ V2, 那么 V ∼= V1+ V2.
例题 2.2.9 : 设 V = K[x], 其中 K 是数域, 令
W ={a1x + a2x2+· · · + amxm| m ∈ N∗, ai∈ K, i = 1, 2, · · · , m}
证明: W 是 V 的一个子空间, 求 W 的一个基, 并且求商空间 V /W 的一个基和维数.
例题 2.2.10 : 设 V 是域 F 上的 n 维线性空间, n≥ 3, V1 和 V2 都是 V 的 n− 1 维子空间, 且 V16= V2, 任 给 α∈ V , 能否把 α 分解成 α = α1− α2(其中 α1∈ V1, α2∈ V2)?
例题 2.2.11 : 设 W1, W2 分别是数域 F 上的齐次线性方程组 x1+ x2+· · · + xn= 0 与 x1= x2=· · · = xn
的解空间. 求证 Fn= W1⊕ W2.
例题 2.2.12 : 设 V1, V2 是 4 维向量空间R.4 的两个线性子空间, 其中 V1 是由向量 α1= (1, 1,−2, 1), α2= (2, 7, 1, 4), α3= (−.3, 2, 11, −1) 生成的子空间 L (α1, α2, α3) ; 而 V2 是齐次线性方程组
x1+ x2+ x3+ x4= 0 2x1+ 3x2− x3+ 2x4= 0
x1+ 2x2− 2x3+ x4= 0 x1+ 3x2− 5x3+ x4= 0 的解空间, 求和空间 V1+ V2 的维数与一个基:
例题 2.2.13 : 设 W1, W2 是线性空间 M2(K) 的子空间 , W1= L (A1, A2) , W2= L (B1, B2); 其中 A1=
1 1 0 0
, A2=
1 0 1 1
, B˙1=
0 0 1 1
, B2=
0 1 1 0
(1) 求 W1+ W2 的一个基与维数;
(2) 求 W1∩ W2 的一个基与维数
(3) 问 M2(K) = W1⊕ W2 是否成立? 为什么?
例题 2.2.14 : 设 W, W1, W2 都是线性空间 V 的子空间 , W1⊆ W, V:= W1⊕ W2, 证明:
dim W = dim W1+ dim (W2∩ W )
例题 2.2.15 : 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间 , W1 与 W2 都是 V 的真子空间. 证明: 在 V 中必存在 α, 使得 α /∈ W1 与 α /∈ W2 同时成立.
例题 2.2.16 : 设 U 是 n 维线性空间 V 的非平凡的子空间, 证明: 在 V 中至少存在两个子空间 W1, W2, 使 V = U⊕ W1= U⊕ W2.
例题 2.2.17 : 设数域 K 上的 n 阶矩阵 A;B, C, D 两两可交换, 且满足 AC + BD = I, 又设齐次线性方程组 ABx = 0, Bx = 0 与 Ax = 0 的解空间分别为 W, V1 和 V2. 证明 : W = V1⊕ V2.
例题 2.2.18 : 设 A∈ Mm,n(K), B ∈ Mn−m,n(K), 其中 m < n. 又设 V1和 V2分别是齐次线性方程组 Ax = 0.
与 Bx = 0 的解空间. 证明: Kn = V1⊕ V2 的充分必要条件是
A B
x = 0 只有零解.
§2.3 线性变换
集合间映射的概念是自然而显然的, 集合到自身的映射又被称为变换. 线性映射, 是指集合是线性空间, 而 且映射要满足一些线性性质:
设 f 是数域 K 上线性空间 V1 到 V2 的线性映射, 是指, f 满足保持加法和数乘, 即∀α, β ∈ V1, k ∈ K; f(α) + f (β) = f (α + β), f (kα) = kf (α). 某个空间的线性变换即某个空间自身到自身的线性映射.
设 f 是数域 K 上线性空间 V1 到 V2的线性映射, V1的一个子集 {α ∈ V1| f(α) = 0}
称为映射 f 的核, 记作 ker f . 容易验证 ker f 是 V1的一个线性子空间.
V2 的一个子集{α ∈ V2| ∃β ∈ V1, f (β) = α} 称为映射 f 的像, 记作 Im f. 容易验证 Im f 是 V2 的一个线 性子空间. dim Im f 被记为线性变换 f 的秩, 记为 rank f
如果两个线性变换 f, g 满足 Im f ⊂ Ker g, Im f ⊂ Ker g 则称他俩是正交的.
如果线性变换 f 满足 f2= f ,则称 f 是幂等的, 对于线性空间 V 的子空间 W , V 到 W 上的投影 PW 是自然 的, 容易验证它是线性映射, 它也可以看成线性变换, 这个线性变换就是幂等变换, 事实上, 容易验证幂等变换 一定是一个投影.
性质 2.32: 设 n 是一个整数, K 是数域, fA 是定义在线性空间 Kn×1 的映射, 且 fA(v) = Av
给出了映射 fA 的表达式, A 是 n 阶方阵, 那么映射 fA 是线性变换.
性质 2.33: 哈哈.
性质 2.34: 设 n 是一个整数, K 是数域, fA 是定义在线性空间 Kn×1 的映射, 且 fA(v) = Av
给出了映射 fA 的表达式, A 是 n 阶方阵. 如果 ˜v = Xr j=1
kj· vj,则 f (˜v) = Xr j=1
kj· f(vj).
我们谈向量的表示是指向量可以和一个数组一一对应, 且对应保持线性性; 我们谈线性映射的表示是指线 性映射可以和一个矩阵一一对应, 且保持映射与向量的作用是矩阵与向量的乘积. 线性变换一定可以用一个矩 阵表示, 就是说存在一个对应 σ : f 7→ Af.满足这是一一的, 且 f (v) = Av. 具体操作, 只需要设{βj}nj=1 是数 域 K 上的线性空间 V 的一组基, 则任何向量 v 都可以唯一表示成
v = (β1, β2,· · · , βn)· (k1, k2,· · · , kn)t, (k1, k2,· · · , kn)∈ K1×n
这里也说明了对于任意给定的数域 K, 选定一组基后, 任何有限维线性空间均在线性空间的意义下同构于某个 K1×n(同理也可同构于 Kn×1). 设
f (βj) = (β1, β2,· · · , βn)· (k1,j, k2,j,· · · , kn,j)t= (β1, β2,· · · , βn)· pj
则有
f (v) = f ((β1, β2,· · · , βn)· (k1, k2,· · · , kn)t) = f ((β1, β2,· · · , βn))· (k1, k2,· · · , kn)t= (f (β1), f (β2),· · · , f(βn))· (k1, k2,· · · , kn)t= (β1, β2,· · · , βn)· (p1, p2,· · · , pn)· (k1, k2,· · · , kn)t 记 A = (p1, p2,· · · , pn)即可.
考虑基变换矩阵 (β1, β2,· · · , βn) = (α1, α2,· · · , αn)· P . 由上面的推导过程, 容易看出, 有线性变换 f 在基 (β1, β2,· · · , βn)下的表示 Bf 与其在基 (α1, α2,· · · , αn)下的表示 Af 之间的关系是 Bf = P AfP−1.如果两个 矩阵关系形如如上, 就称它俩相似, 容易验证行列式, 秩, 迹都是相似不变量, 由此, 我们把线性变换的表示矩阵 的行列式, 秩, 迹称为它本身的行列式, 秩, 迹, 相似关系十分重要. 总之, 就是非常有用.
类似上面的推导, 我们可以知道线性映射也可以表示成矩阵, 且 n 为线性空间到 m 维线性空间的线性映
射总是可以表示成 m× n 阶矩阵; 我们也可以得出不同基下的同一线性映射的表示矩阵是相抵的关系. 特别的 我们可以通过基变换, 让 f 变成一个“投影”或者“嵌入”, 又由于矩阵的秩是相抵不变量, 所以两个秩的概念是等 价的.
值得一提的是, 商空间的定义总是空间模掉一个等价关系, 无论是拓扑空间也好, 线性空间或模也罢, 总是这样.
对于线性空间, 或者模, 总是可以把给定的线性子空间 R 给模掉, 意思是 v 等价于 w 当且仅当 v− w ∈ R.
但是对于线性空间, 商空间也可以通过上一节的方式定义, 并且这么定义的两种空间, 在线性空间的意义下是 同构的. 而且上一节的定义十分具体且形象. 比如如果按模子空间那么定义, 商空间 V /R 的基肯定是形如 {βj+ R}kj=1,这样很没劲. 按上一节的定义, 则基可以写成{βj}kj=1.
例题 2.3.1 : 设 V 是域 F 上的线性空间, 给定 a∈ F, δ ∈ V . 令 A(α) = aα + δ, ∀α ∈ V . 试问: A 是不是 V 上的线性变换?
例题 2.3.2 : 把复数域 C 分别看作实数域和复数域上的线性空间. 令 A(z) = ¯z, ∀z ∈ C. 试问 A 是不是 C 上 的线性变换?
例题 2.3.3 : 设 A 是域 F 上线性空间 V 到 V′ 的一个线性映射, W 是 V 的一个子空间, 令 AW :={Aβ | β ∈ W }
证明若 V 是有限维的, 则
dim(AW ) + dim((Ker A)∩ W ) = dim(W )
例题 2.3.4 : 设 V, W, U 都是域 F 上的线性空间, 并且 V 是有限维的. 设 A∈ Hom(V, U), B ∈ Hom(U, W ).
证明:
dim Ker BA⩽ dim Ker A + dim Ker B
例题 2.3.5 : 设 V, W, U 都是域 F 上的线性空间, 并且 dim V = n, dim W = m. 设 A ∈ Hom(V, U), B ∈ Hom(U, W ). 证明:
rank BA⩾ rank A + rank B − m
例题 2.3.6 : 设 V, W, U, M 都是域 F 上的线性空间, 并且 V, U 是有限维的. 设 A ∈ Hom(V, U), B ∈ Hom(U, W ), C∈ Hom(W, M). 证明:
rank CBA⩾ rank CB + rank BA − rank B
例题 2.3.7 : 设 V 和 V′ 都是域 F 上的线性空间, A 是 V 到 V′ 的线性映射. 证明: 存在直和分解:
V = Ker A⊕ W, V′= M⊕ N, 使得 W ∼= M
例题 2.3.8 : 设 V 是域 F 上的一个线性空间, charF = 0. 证明: 如果 A1, A2,· · · , As 是两两不等的 V 上的 线性变换, 那么 V 中至少有一个向量 α, 使得 A1α, A2α,· · · , Asα 两两不等.
例题 2.3.9 : 设 A, B 都是域 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换, 证明: 如果 rank AB = rank B, 那么对于 任意 V 上的线性变换 C, 都有 rank ABC = rank BC.
例题 2.3.10 : 设 A 是域 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换, 证明: 存在一个正整数 m 使得 AmV = Am+kV, ∀k ∈ N∗
例题 2.3.11 : 设 V 是域 F 上的有限维线性空间, A 是 V 上的一个线性变换, W 是 V 的一个子空间, 用 A−1W 表示 W 在 A 下的原像集. 证明:
1. dim W− dim Ker A ⩽ dim AW ⩽ dim W 2. A−1W 是 V 的一个子空间, 且
dim A−1W ⩽ dim W + dim Ker A
3. 若 W ⊆ Im A, 则
dim A−1W ⩾ dim W
例题 2.3.12 : 设 V =R[x], 令
W ={(x2+ 1)h(x)∈ R[x]}
(1) 证明: W 是 V 的一个子空间;
(2) 商空间 V /W 的元素是什么? 求 V /W 的一个基和维数.
例题 2.3.13 : 设 A 是 m× n 实矩阵, 用 U 表示 A 的列空间, 用 W 表示 AA′ 的列空间, 证明: U = W . 例题 2.3.14 : 设 V 和 V′ 分别是域 F 上的 n 维、s 维线性空间, A 是 V 到 V′ 的一个线性映射, 它在 V 的 一个基和 V′ 的一个基下的矩阵为 A. 证明: A 是单射当且仅当 A 是列满秩矩阵; A 是满射当且仅当 A 是行 满秩矩阵.
例题 2.3.15 : 设 V 和 V′ 分别是实数域上 n 维、m 维线性空间, A 是 V 带 V′ 的一个线性映射, 它在 V 的 一个基和 V′ 的一个基下的矩阵是 A, 证明: 如果 A 是单射, 那么 A 可以分解成
A = QDT′
其中 Q 是列向量组为正交单位向量组的 m× n 矩阵; D 是 n 级对角阵, 其主对角元 λ1, λ2,· · · , λn 都是正数, 且 λ21, λ22,· · · , λ2n 是 A′A 的全部特征值; T = (η1, η2,· · · , ηn) 是 n 级正交矩阵, ηi 是 A′A 的属于特征值 λ2i 的一个特征向量, i = 1, 2,· · · , n.
证明: 由于 A 是单射, 因此 A 是列满秩矩阵, 故 A 可以分解成 A = Q1R
其中 Q1 是列向量组为正交单位向量组的 m× n 矩阵, R 是主对角元都为正数的 n 级上三角矩阵. 那么 R = T1diag{λ1, λ2,· · · , λn}T2
其中 λ21, λ22,· · · , λ2n 是 R′R 的全部特征值, 且 λi> 0 ,T1, T2 均是 n 级正交矩阵. 于是 A = QDT′
其中由于
Q′Q = (Q1T1)′(Q1T1) = In
