記為 矩陣 P 的第 j 列第i 行元素 aji 。 即矩陣 P [aij = pji]
型如:
p11 p21 p31
p12 p22 p32
p13 p23 p33
from:目前狀態
i j k to:ijk
為馬可夫推移矩陣。
n 步轉移矩陣: 將原始狀態矩陣 X0 乘上轉移矩陣P 後為X1 狀態, X1 = P X0 稱P 為一步轉移矩 陣。
若在時刻 n 觀察點狀態, 記為 Xn , 且下一時刻 n + 1 的觀察點狀態, 記為 Xn+1, 則 X2 = P X1 = P2X0, · · · , Xn = P Xn−1= PnX0, 稱Pn 為 n步轉移矩陣。
馬可夫定理: 對於任意一機率轉移矩陣 P , 當 n 逐漸增大時, Xn = PnX0 會逐漸趨近於唯一 的矩陣X, 此時稱 X 為穩定狀態的矩陣。
機率轉移矩陣P [aij = pji]具有以下特點: 1.
n
P
i=1
aij =
n
P
j=1
pij = 1 , aij ≥ 0 轉移矩陣的行矩陣各元素的和為1。 (機率矩陣) 2. 若初始系統為 X0 , 經過一次移轉為 X1 = P X0 , 則k 次移轉為 Xk = PkX0
3. 若馬可夫過程(初始狀態的機率矩陣X0經過n次的上述轉移變換過程)可達穩定狀態,即 必可滿足 P X = X 。馬可夫機率推移矩陣 P [aij > 0] 一定會產生穩定狀態。
4. 若 A,B 均為機率矩陣, 則A × B, Ak, Bk, 12(A2+ B2) ,AkX 包括穩定矩陣 X 均為機率 矩陣。
n步轉移矩陣: Xn = P Xn−1 = PnX0, 稱P 為轉移矩陣, Pn 為 n步轉移矩陣。(P為行和 為1的機率矩陣)
穩定矩陣: X = P X = PnX0 = Pn+1X0 ,for n ≥ n0
對稱矩陣: 若 A = AT 則稱A 為對稱矩陣。 若AT = −A 稱A 為反對稱矩陣。
一些特殊矩陣: 乘方運算會後呈現簡易規律或有其特殊性、 應用性。
旋轉矩陣:
cos θ − sin θ sin θ cos θ
n
=
cos nθ − sin nθ sin nθ cos nθ
,
對角化矩陣:
a 0 0 b
n
=
an 0 0 bn
, 馬可夫矩陣 , · · · 等。
矩陣的特徵方程: 若矩陣 A =
a b c d
,其特徵方程式為 A2− (a + d)A + (ad − bc)I = O
乘法反方陣(反矩陣): 若 n 階方陣 A, B 滿足 AB = BA = In, 稱 B 是 A 的乘法反方陣, 記為 B = A−1。 當A 具有反方陣時,⇔ det(A) 6= 0 ; 稱A 為可逆方陣。
1. 並非任何方陣均有反方陣, det(A) 6= 0 才存在。
2. 若 A 有乘法反方陣, 則此反方陣具有唯一性。(若 AB = BA = I, AC = CA = I 則 B = BI = BAC = (BA)C = IC = C)
3. n 階方陣A, B 若 AB = In 則BA = In
可逆方陣的充要條件: A為可逆方陣 ⇔ det(A) 6= 0 ; 若AB = I = B′A 則B = B′
反方陣的求法: (並不是所有非零的n階方陣皆為可逆) det(A) 6= 0 才存在可逆方陣A−1。
1. 矩陣列運算法: 列運算過程中若發現方程組無解, 即表示反方陣不存在。
將聯合矩陣 [A|In] 經基本列運算可化成 ⇒ [In|B] 的型式, 則 B = A−1 二階逆矩陣求法: 聯合矩陣
a b 1 0 c d 0 1
列運算後可化簡為
1 0 x y 0 1 z w
, 即 [A|I] ⇒ [I|X] 則X = A−1B
可得 A−1 =
a b c d
−1
=
x y z w
= 1 ad − bc
d −b
−c a
2. 公式法: A−1 = 1
det(A)adj(A) , det(A) 6= 0
其中 adj(A) = [Cij]為矩陣 AT 的餘因子。( A 伴隨矩陣)
即元素Cij =為A的轉置矩陣AT 後,第i列第j行餘因子。(矩陣ij元素餘因子為(−1)i+j× 去除第i列第j行的行列式值)
聯合矩陣 [A|In] 經基本列運算可化成 ⇒ [In|X] 的型式,則 X = A−1 聯合矩陣 [A|B] 經基本列運算化成 ⇒ [In|X]的型式, 則X = A−1B 反方陣的一些性質: (若其反方陣均存在)
1. (AB)−1 = B−1A−1 因
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I (B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1IB = B−1B = I 例: A =
2 1 3 2
, B =
1 −1 1 1
(AB)−1 =
−12 1 2
−52 3 2
6=
32 1 2
−52 −1 2
= A−1B−1
2. (A−1)−1 = A
3. (A−1)n= (An)−1, n ∈ N
4. 若方陣 A, B, C中, 已知 A 為可逆方陣, 且AB = AC 則B = C 5. 行列式值: det(A × B) = det A × det B
det(A−1) = 1 det A
det(r · An) = rn· det(An) 6. (AT)−1 = (A−1)T
二階乘法反方陣的公式: 若A =
a b c d
, 且ad − bc 6= 0 則A−1 = 1 ad − bc
d −b
−c a
用反方陣解一次方程組: 若AX = B, det(A) 6= 0 則X = A−1B 線性一次方程組
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
可轉化成矩陣乘積表示
a11 a12
a21 a22
×
x y
=
b1
b2
。 若 A =
a11 a12
a21 a22
,X =
x y
,B =
b1
b2
, 方程組可表示成 AX = B 。 當 det(A) 6= 0時
A−1AX = A−1B IX = A−1B X = A−1B
解線性方程組的方法:
1. 代入消去法:
將某一未知元用其他未知元的式子表示代入消去, 使其方程式中無此未知元。
2. 加減消去法:
分別將方程式乘上適當常數倍後, 兩式相加減, 使其消去某一未知元。
3. 高斯消去法 (高斯-喬登消去法):(恰一解或無限多組解或無解亦適用)
利用矩陣的基本列運算法,化簡求解方程組。[A|B]列運算化簡為⇒ [I|X]則X = A−1B 4. 行列式克拉瑪法則:方程組有恰一組解時,可利用克拉瑪公式法,解方程組。
5. 反方陣乘積法: 方程組有恰一組解時, 若 AX = B 可利用X = A−1B 解方程組。
例題
範例 1: 小強班上同學計畫騎單車一日遊,共有男生20人,女生10人報名參加, 籌備工作者準備提供 每人一天食物所需的量, 依男生、 女生 分別以矩陣 A、B 表示如下: 試用一個矩陣表示出三種食 物在上、 下午所各應準備的數量?
橘子 飲料 餅乾 A =
3 1 1 2 2 0
上午 下午
,
橘子 飲料 餅乾 B =
2 2 1 1 1 1
上午 下午
(解:)
橘子 飲料 餅乾 20A + 10B =
80 40 30 50 50 10
上午 下午
演練 1a : 美式足球的記分方式有達陣 (TD) 得6分, 射門 (FG) 得3分, 達陣後射門 (PAT) 得1分。
根據某年美式足球全球季比賽5位明星球員得分表如下: 球員 (次數) TD FG PAT
A 9 335 943
B 0 383 562
C 0 373 580
D 0 385 526
E 0 378 507
依據表格資料建立矩陣並用矩陣乘法分別計算出這五位球員整個球季的總得分?
(解:)T ×
6 3 1
=
2002 1711 1699 1681 1641
演練 1b : 一長方體的長 DA 、 寬 DC 、 高 DH ,分別與坐標軸平行 (如圖):
A
B C D
x
y z
E F
G H
A′
B′(2, 2, −2) C′ D′
x
y z
E′
F′ G′ H′(−3, −2, 1)
1. 若長方體頂點D 恰為坐標軸原點(上圖左),長寬高分別為 a, b, c,試用 3 × 8矩陣表示 此長方體八個頂點的坐標?
(解:)
A B C D E F G H
a a 0 0 a a 0 0 0 b b 0 0 b b 0 0 0 0 0 c c c c
x y z
2. 若已知長方體點坐標B′(2, 2, −2), H′(−3, −2, 1)如上圖右,求其它頂點坐標?(hint: 觀 察頂點B′、H′ 的平移量 (p, q, r))
A B C D E F G H
a a 0 0 a a 0 0 0 b b 0 0 b b 0 0 0 0 0 c c c c
+
p p p p p p p p q q q q q q q q r r r r r r r r
=
A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ H′
∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −3
∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2
∗ −2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1
x y z
(解:)
A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ H′
2 2 −3 −3 2 2 −3 −3
−2 2 2 −2 −2 2 2 −2
−2 −2 1 −2 1 1 1 1
x y z
演練 1c : 一服飾店販賣男性襯衫每件40美元, 領帶每條20美元, 毛料背心每件400每元; 上個月共賣 出100件襯衫,200條領帶,50件背心。 用矩陣列出貨品單價的列矩陣及售出件數的行矩陣後 求此服飾店上個月的應收款額共計多少? 28000 演練 1d : 志玲和伊伶兩人在甲、 乙兩舞蹈教室學習兩舞蹈課程, 教授課時數及收費標準如下:
課程 (時數) 甲 乙 志玲 6 9 伊伶 3 12
收費標準 每小時 甲 800 乙 1200
請列出兩人上課內容時數的矩陣 A , 及依據矩陣 A 的授課收費矩陣 B ? 計算並說明 AB 的意義?
(解:)A =
6 9 3 12
;B =
800 1200
;AB = h
15600 16800
i , AB 表志玲和伊伶要繳 交的課程費用
範例 2: 設 A =
a b c d
,驗證計算 A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 = O2
演練 2a : 已知二階方陣 A =
演練 3b : 設A =
a b c d
為二階實係數方陣。
1. 當A 為轉移矩陣時,試敘述實數 a, b, c, d 須滿足的條件? a, b, c, d ≥ 0 且 a + c = 1, b + d = 1
2. 試證: 當A 為轉移矩陣時, A2 也是轉移矩陣。
範例 4: 某射擊選手目前平均4發可命中3發, 即命中率為 3
4: 若經教練特訓用儀器指導後, 此射手 在某發射中後, 則下一發亦命中的機率為0.9, 當他某發沒命中時, 下一發再射則命中率為0.7; 求 此射手特訓之射擊轉移矩陣 P ? 並求此選手特訓後長期的射擊命中率為何?
(解:)
射中 未射中 to:
P =
0.9 0.7 0.1 0.3
射中 未射中
; 78
演練 4a : 某城市及其近郊人口遷移情形為:每年住城裡的人有90% 繼續留在城市,有10% 流向郊區; 而郊區有 80% 留在郊區, 有20% 遷住城市。 求此地區城郊人口的轉移矩陣 P ? 若已知現 今城市與郊區的人口比例為3 : 1 求一年後, 城市郊區的人口 比例為多少? 長期而言城市與 郊區的人口比例為多少?
(解:)
城市 郊區
To:
P =
0.9 0.2 0.1 0.8
城市 郊區
; 29 : 11, 2 : 1
演練 4b : 某公司員工共計1500人, 每年公司招待員工去 A,B 兩家渡假村度假; 根據調查若今年去 A 渡假村則明年有 10% 改選擇 B 渡假村, 若今年去 B 渡假村則明年有 20% 改選擇 A 渡假 村;
1. 找出對A,B 兩家渡假村度假的機率轉移矩陣 P ? P =
0.9 0.8 0.1 0.2
2. 已知今年1500位員工都選擇 A 渡假村度假, 則明年選擇 A,B 兩家渡假村度假各有幾
位? X1 =
1350
150
3. 已知今年1500位員工都選擇 A 渡假村度假, 則兩年後選擇 A,B 兩家渡假村度假各有
幾位? X2 =
1335
165
4. 就長期而言此公司員工選擇 A,B 兩家渡假村度假的比例為何? 8 : 1
範例 5: 利用矩陣方法解方程組
(解:)A−1 =
A26 B25 C24 D23 E22 F21 G20 H19 I18 J17 K16 L15 M14 N13 O12 P11 Q10 R9
他解開原始訊息? bring-your-book
演練 6c : 若
1. 求A−1 =?
演練 8b : 求矩陣 P =
1 1 0 5 1 −3 2 7 4
的反方陣?
A−1 =
−25 4 3
26 −4 −3
−33 5 4
習題13-3 矩陣的應用
1. 一房屋承包商建造 4間單人房,10間雙人房,6間家庭房, 每一種房型的工資及材料費如表: 報價 (千元)\房型 單人房 雙人房 家庭房
工資 70 100 120 材料費 90 120 240
(a) 請依據報價表, 建立房型數量矩陣 A 和房型建造費用矩陣 B 使得房屋建造費用矩陣 C 滿足 C = A × B
(b) 求矩陣 C
(c) 闡釋矩陣 C 的各元素的意義?
2. 設 A =
a b c p q r x y z
, 求一三階方陣 X 使 XA =
3p − 4x 3q − 4y 3r − 4z 2a + 5x 2b + 5y 2c + 5z 6a + 7p 6b + 7q 6c + 7r
3. 觀察某射手平時練習之命中率如下: 若某一次射中, 則下一次命中的機率為0.9, 當他某一次沒 有命中時, 下一次再射則命中率為0.7; 若此射手第一次命中, 則第3次命中的機率為?
4. 根據氣象報導, 某地區的氣象只分雨天與非雨天, 該地區在非與天之後, 隔天是雨天的機率為 0.2 , 而在雨天之後, 隔天也是雨天的機率為 0.4 , 試將該地區氣象型態變化, 以轉移矩陣 P 表 示之? 若開始觀察當天為非雨天, 則3天後該地區為非雨天的機率為?
5. 將下列方程組表成矩陣的方程式? (1)
2x + 3y − z = 7 5x + 4y + z = 6 4x + 3y + 7z = 1
(2)
x + y + z − w = 4 3x − y + 2z + 4w = 5 4x + 3y + z + 5w = 3
6. 利用矩陣方法解方程組
2x + 3y = 11 5x + 7y = 24
7. 解方程組:
47x + 23y = 12 35x + 17y = 9
8. 設A2 =
2 3 3 5
, A3 =
5 8 8 13
, 求方陣 A ?
9. 設A =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
, 求A−1 =?
10. 設A =
2 1 3 2
, B =
1 1 2 −1
試解方程式 XA = B
11. 若
1 1 1 1
−1 0 1 2
×
1 −1 1 0 1 1 1 2
× X =
1 1 1 1
−1 0 1 2
×
0 1 2 4
,求矩陣 X =?
12. 若A =
1 2 3 4
, 求常係數 a, b滿足 A2 = aA + bI
13. 若矩陣A2 = −A + 2I 且A3 = pA + qI, A4 = rA + sI , 求實係數數對 (p, q) 及(r, s)?
14. 若f (x) = −x2+ 2x + 1 ,已知A =
1 −1 0 2
,則A2− 3A + 2I =? 利用此結果求f (A) =?
15. 若矩陣 A =
1 1
−1 2
,試計算A3− 6A =?
16. 求下列矩陣的反矩陣: A =
2 5 3 6
17. 已知二階方陣乘積 A2 = A , 下列推論過程何者未必成立? A2 = A −→ A 1 −1A2 = A−1A −→ 2 (A−1A)A = (A−1A) 3
−→ IA = I 4
−→ A = I
18. 小明與家人約定以每4個字母寫成2階方陣 (由左而右, 由上而下) 並且以矩陣 C =
2 3 1 2
作為傳送訊息的加密矩陣, 即原始密碼矩陣 (暗碼) 乘上 C 矩陣後為明碼矩陣 (明碼)。 其中英 文字母與數字的對應關係如表:(整數除以26的餘數)
A1 B2 C3 D4 E5 F6 G7 H8 I9 J10 K11 L12 M13
N14 O15 P16 Q17 R18 S19 T20 U21 V22 W23 X24 Y25 Z0 (a) 小明家人欲傳送”GOOD LUCK”訊息給小明, 則小明會收到的明碼數字串為何?
(b) 某天小明傳給家人的明碼數字串, 方陣依序為
43 67 32 50
,
41 69 33 52
,
66 107 29 46
,
21 41 15 25
, 請你幫他家人解開原始訊息?
19. ⊚ 利用反矩陣及矩陣乘法, 求聯立方程組:
x − 2y + 4z = 9 2x − y + 3z = 9 4x + 7y − z = 15
之解? 並請自行比較行列式之克拉瑪法則或高斯列運算消去法之優劣?
20. ⊚ 設 A =
−5 4 1 a 3 2
−1 a 2
為一不可逆方陣,試求 a 之值?
21. ⊚ 求下列矩陣的反矩陣: A =
1 1 1 1 0 1 2 −1 0
22. 使用圓球和球袋作機率實驗。 球只有黑白兩色, 袋中裝有兩顆球, 因此只有三種可能情況: 把雙 白球稱為狀態1, 一白球一黑球稱為狀態2, 雙黑球稱為狀態3。 對這袋球做如下操作: 自袋中隨 機移走一球後, 再隨機移入一顆白球或黑球 (移入白球或黑球的機率相等)。 每次操作可能會改 變袋中球的狀態。
(a) (單選題) 如果現在袋子內的球是一白一黑 (即狀態2), 請問經過一次操作後, 袋中會變成 兩顆黑球 (狀態3)的機率是多少? (1) 14 (2) 1
3 (3) 1
2 (4) 2
3 把從狀態j 經過一次操作 後會變成狀態 i 的機率記為 Pij (例如上題的機率就是 P32 ),由此構成一 3 × 3矩陣P。 (b) (多選題) 針對矩陣 P , 下列選項有哪些是正確的? (1) 矩陣 P 滿足 Pij = Pji 。 (2) P
是轉移矩陣 (即每行之和皆為1)。 (3) P的行列式值為正。 (4) P11= P33 。 把矩陣P 連 續自乘 k 次後的矩陣記為Pk 。 已知矩陣 Pk 中 (i, j)位置的值, 等於從狀態j 經過 k 次 操作後, 變成狀態 i 的機率。
(c) (多選題) 針對多次操作, 下列選項有哪些是正確的? (1) 從一白一黑 (狀態2) 開始, 經 過 k 次操作後, 變成雙白 (狀態1) 的機率與變成雙黑 (狀態3) 的機率相等。 (2) 從雙白 (狀態1) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 (狀態1) 的機率, 比變成雙黑 (狀態3) 的機率 大。 (3) 從雙白(狀態1) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 (狀態1) 的機率, 會隨著次數 k 的增加而遞減。 (4) 不論從哪種狀態開始,經過 k 次操作後, 變成任何一種狀態的機率, 會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於 1
3 。
習題 13-3
1a. A = h
4 10 6 i
; B =
70 90 100 120
1b. C =h
2000 3000 i
1c. 總工資:2000(千元) , 總材
料費:3000(千元)
∼ 順伯的窩 ∼ 矩陣 [第34頁/共55頁]
2. X =
18a. 22,51,34,53;45,78,7,31 18b.
SEN D|MONE|Y P LE|ASEE
19. x = 1, y = 2, z = 3
22c. 1,2,3