4B3C matrix

(1)

13 矩陣

13.1 線性方程組與矩陣

一次方程組的一般解法_: 1. 代入消去法: 將某一變數表示成其他變數的式子代入所有的方程式, 使變數未知元減少,再繼續求解新聯立方程組。 2. 加減消去法_: 將某兩列方程式分別除上某常數後_, 相加減_,以去除某變數的方法。 3. 克拉瑪法則: 一次方程組若為恰一解時的公式解。        x = ∆x ∆ y = ∆y_∆ z = ∆z ∆ 4. 高斯消去法 (高斯-喬登消去法): 增廣矩陣: 將線性方程組        a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 的係數分離出來, 寫成矩形的陣列     a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3     稱為增廣矩陣。其中     a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3     稱為係數矩陣。高斯_-喬登消去法就是使用矩陣的基本列運算法則_,將增廣矩陣化成形如     1 0 0 α 0 1 0 β 0 0 1 γ     的型態。則對應方程組的解為 x = α, y = β, z = γ 矩陣的基本列運算_: 矩陣列運算 1. 可將第 i列與第 j 列對調仍表示同一個方程組。用 Rij 表示。 2. 將矩陣第_i 列的各數都乘以非零的數仍表示同一個方程組。用 _rRi 表示。 3. 將矩陣第i 列乘以非零的數後加至第 j 列仍表示同一個方程組。用 rRi+ Rj 表示。高斯消去法解線性方程組的步驟: 1. 在第一行的數中選取一數當主軸元素 (pivot) 將其列上移當第一列, 並將其乘上某數加至其餘各列, 使其餘各列同行元素均為0。

(2)

    1 ∗ ∗ ∗1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗     2. 在第二行的數中 (去除上一主軸元素列) 選取一數再當主軸元素 (pivot) 將其列上移當第二列, 並將其乘上某數加至剩餘列, 使其剩餘列同行元素均為0。     1 1 _∗ _{∗ ∗} 0 1 ∗ ∗2 0 _∗ _{∗ ∗}     3. 按上述步驟,依此選取主軸元素(並將其化為1),進行列運算,直到主對角元素均為各行主軸元素後, 使其下三角矩陣元素均為0。     1 1 _∗ _∗ _∗ 0 1 2 _∗ _∗ 0 0 1 ∗3     (高斯消去法。₎ 4. 再依序將矩陣上三角元素進行列運算至0。     1 1 0 0 _∗ 0 1 2 ₀ _∗ 0 0 1 ∗3     5. 此增廣矩陣的最右行即為方程組之相對應未知數之解_, 表對應方程組的解為 _{x = α, y =} β, z = γ。     1 0 0 α 0 1 0 β 0 0 1 γ    ⇒        1x + 0y + 0z = α 0x + 1y + 0z = β 0x + 0y + 1z = γ (高斯-喬登消去法。) 高斯列運算: 慎選主軸元素(儘可能選1)。避免分母接近0, 因其值愈難估算、易出錯。高斯消去法判斷三元一次方程組的解情形_: 若用矩陣基本列運算化簡增廣矩陣, 運算結果如下 1. 方程組有唯一解 :     a ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c ∗     , 其中 a, b, c 均不為0。即增廣矩陣的非零列數等於未知元個數。 2. 方程組為矛盾無解:     a ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 0 d     或     a ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ 0 0 0 d     或     a ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ 0 0 0 d     。即係數矩陣為零列, 增廣矩陣非零列。 3. 方程組為無限多組解:     a ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 0 0     或     a ∗ ∗ ∗ 0 0 b _∗ 0 0 0 0     或     a ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0     。即增

(3)

廣矩陣的非零列數小於未知元個數。 n元一次方程組係數矩陣與增廣矩陣的高斯列運算非零列數意義_: 1. 係數矩陣的零列數 ₆₌增廣矩陣的零列數時, 此方程組為無解。列運算後形如     0 0 0 k    , k 6= 0 表此方程祖為無解。 2. 係數矩陣的非零列數₌增廣矩陣的非零列數 _{k < n}時_,此方程組為無限多組解。₍且有_n−k 個變數可當任意數 ) 3. 係數矩陣的非零列數=增廣矩陣的非零列數= n時, 此方程組為恰有一組解。

例題

範例 _1: 聯立方程組:    0.01x + 100y = 100 x + y = 2 。下列選項何者正確? (1) x > 1 (2) y > 1 (3) x = 1 (4) y = 1 1;x = 10000 9999, y = 9998 9999   0.01∗ _{100 100} 1 1 2   R2_≡−100R1+R2 −−−−−−−−−→   0.01∗ ₁₀₀ ₁₀₀ 0 _{−9999 −9998}   ;9999y = 9998 且 0.01x + 100y = 100容易出錯!   0.01 100 100 1∗ ₁ ₂   R1_≡−0.01R2+R1 −−−−−−−−−−→   0 _{100 − 0.01 100 − 0.02} 1∗ ₁ ₂  ; 99.99y = 99.98且x+ y = 2 解聯立方程組        x + 5z = 0 12y + 12z = 36 0.01x + 12y + 12z = 35.9 。 x = −10, y = 1, z = 2 演練 1a : 線性方程組              x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 6 x − y = 6 x − 2y − z = 8 經高斯消去法計算後,其增廣矩陣可化簡為        1 0 a b 0 1 c d 0 0 0 0 0 0 0 0        , 則a =?b =?c =?d =? a = 1, b = 4, c = 1, d = −2 演練 1b : 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可化成     1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1     ?(1)     1 2 3 7 0 1 1 2 0 2 3 5    

(4)

(2)     −1 3 −1 0 −1 1 1 0 3 _{1 −7 0}     (3)     1 1 2 5 1 −1 1 2 1 1 2 5     (4)     2 1 3 6 −1 1 1 0 −2 2 2 1     (5)     1 3 2 7 0 1 1 2 0 1 0 1     1,5 演練 1c : 對矩陣   4 9 a 37 b  坐列運算若干次後得到   1 0 1 01 1  ,則(a, b) =? (13, 10) 演練 1d : 解聯立方程組        x + 5z = 0 12y + 12z = 36 0.01x + 12y + 12.1z = 35.9 。 x = 10, y = 5, z = −2 演練 1e : 列運算化簡     1 2 1 1 2 2 0 2 3 4 1 3         1 2 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0     演練 1f : 列運算化簡     1 2 1 1 2 2 0 2 3 4 1 2         1 2 1 1 0 1 1 0 0 0 0 −1     演練 1g : 列運算化簡        1 ₋₁ 2 ₋₁ 2 1 _{−2 −2} −1 2 ₋₄ 1 3 0 0 ₋₃        後,有多少列為非零列 (秩)? 2 係數矩陣的非零列數=增廣矩陣的非零列數= n: 恰一解範例 _2: 利用高斯消去法解聯立方程組        2x + 3y + 5z = 3 x + 2y + 3z = 1 3x + y + 2z = 6 . (解_:)        x = 2 y = −2 z = 1 演練 2a : 利用矩陣列運算解聯立方程組    2x + y = −1 x − 3y = 17 x = 2, y = −5 演練 2b : 利用矩陣列運算解聯立方程組    8x + 6y = 3580 x + y = 525 x = 215, y = 310

(5)

演練 2c : 利用矩陣列運算解聯立方程組    0.83x + 1.72y = 3.38 1.65x + 3.43y = 6.73 x = 2, y = 1 演練 2d : 利用矩陣列運算解聯立方程組        2x + 2y = 6 x + y + z = 1 3x + 4y − z = 13 (1, 2, −2) 演練 _{2e :} 解聯立方程組        x + y = 0 2x − y + 3z = 3 x − 2y − z = 3 . (1, −1, 0) 演練 2f : 解聯立方程組        x + y + z = 9 2x + 4y − 3z = 1 3x + 6y − 5z = 0 . (7, −1, 3) 演練 2g : 解聯立方程組              x − y = 0 2x − 2y + z + 2w = 4 y + w = 0 2z + w = 5 . (−1, −1, 2, 1) 係數矩陣的非零列數 ₆₌ 增廣矩陣的非零列數: 無解範例 _3: 利用高斯列運算解聯立方程組        x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 2x + 5y + 2z = 5 。無解演練 3a : 解方程組    2x + 3y = 5 2x + 3y = 11 。無解演練 3b : 求方程組        2x − y + 2z = 1 x − 3y + z = 2 3x + y + 3z = 3 的解? 無解演練 _{3c :} 解方程組        x + 4y + 2z = 1 3x − z = −2 2x − 4y − 3z = 4 。無解演練 3d : 空間中四平面              3x + y + 4z = 8 x + 2y − 2z = 4 2x + y + 3z = 5 2x + 3y − 3z = 7 是否相交? 若有相交, 求其交點?(hint: 高斯列運算₎ 無交點

(6)

係數矩陣的非零列數=增廣矩陣的非零列數= k < n: 無限多組解範例 _4: 利用增廣矩陣列運算解聯立方程組        x + y − 2z = 1 2x + 3y − 6z = 5 3x + 4y − 8z = 6 。 (解:)    x = −2t y = 3 + 2t z = t , t_{∈ R} 演練 4a : 解方程組    2x + y = 5 4x + 2y = 10 。 x = t, y = 5 − 2t 演練 4b : 解方程組    3x − y = 2 6x − 2y = 4 。 x = t, y = 3t − 2 演練 4c : 解聯立方程組        3x + y + z = 3 x − y − z = 1 x + 2y + 2z = 1 。 (解:)    x = 1 y = −t z = t , t_{∈ R} 演練 _{4d :} 解三元一次聯立方程組        x − y + 2z = 3 2x + y + z = 3 x − 4y + 5z = 6 。 (解_:)無限多組解;        x = 2 − t y = −1 + t z = t , t ∈ R 演練 4e : 解方程組        x − y + 2z = 1 x + 5y + 4z = −5 2x + y + 5z = −1 。 (解:)無限多組解_{; x = 7t + 7, y = t, z = −3t − 3, t ∈ R} 演練 4f : 利用增廣矩陣列運算解聯立方程組        x − 2y − z = 8 2x − 3y + z = 23 4x − 5y + 5z = 53 。 (解_:)        x = 22 − 5t y = 7 − 3t z = t , t ∈ R 範例 _5: 求兩平面相交直線    3x + 2y − 3z = 7 x + y + 2z = 2 的參數式_?

(7)

(解_:)    x = 3 + 7t y = −1 − 9t z = t , t∈ R 演練 5a : 解聯立方程組        2x − y + 5z = 10 x + y − 3z = −2 2x + 4y + z = 1 可對應到增廣矩陣     2 −1 5 10 0 3 _{−11 b} 0 0 1 c     ,求b, c 值? b = −14, c = 1 演練 5b : 分別求下列’增廣矩陣”所對應的’方程組”的解? 1.     2 1 3 4 −1 2 7 9 −5 1 4 7     x = −1, y = 18, z = −4 2.     1 3 2 4 2 7 −1 9 1 4 −3 5     x = 1 − 17t, y = 1 + 5t, z = t 3.     1 3 2 4 2 7 −1 9 1 4 −3 7     無解演練 _{5c :} 求兩平面相交直線    x + y − 2z = 1 2x + 3y − 6z = 5 的參數式_? (解:)    x = −2 y = 3 + 2t z = t , t_{∈ R} 演練 5d : 空間中兩直線 L1 :    2x + y + 3z = 5 3x + y + 4z = 8 與 L2 :    2x + 3y − 3z = 7 x + y + 2z = 2 是否相交? 若相交,求其交點坐標? ( 7 2, − 1 2, − 1 2) 演練 5e : 利用矩陣列運算就實數 a 值, 判定三平面        E1 : x + 2y + z = a E2 _{: 2x + 5y − 2z = 5} E3 _{: x + 4y − 7z} = 1 的相交情形? (解_:)若 _{a = 3 ,} 三平面相交一線_,    x = 5 − 9t y = −1 + 4t z = t , t_{∈ R}。若_{a 6= 3} 三平面兩兩相交一直線且互相平行。範例 _6: 求實數 a, b, c 關係式為何會滿足聯立方程組        x + 2y + 3z = a 4x + 5y + 6z = b 7x + 8y + 9z = c 有無限多組解?

(8)

c − 3a − 2b = 0 演練 6a : 討論聯立方程式    x + 3y = 5 4x + 12y = k 的解? (解:)k = 20, 無限多解 _{x = 5 − 3t, y = t;k 6= 20} 無解演練 _{6b :} 利用增廣矩陣列運算討論聯立方程式    4x + 8y = 1 2x − my = 11 的解_? (解_{:)m 6= −4} 恰一解 x = m+88 4m+16, y = 2m+8−21 ;m = −4無解演練 6c : 聯立方程組        x + 2y + 3z = a 4x + 5y + 6z = b 7x + 8y + 9z = c 為無解, 求 a, b, c的關係式? c − 3a − 2b 6= 0 演練 6d : 解齊次方程組: 1.        x − y − z + 3w = 0 x + y − 2z + w = 0 4x − 2y + 4z + w = 0 。 (解_{:)x = −t, y = 3t, z = −2t, w = 2t, t ∈ R} 2.        −x + y − z = 0 3x − y − z = 0 2x + y − 3z = 0 。 (解_{:)x = 0, y = 0, z = 0} 演練 _{6e :} 利用列運算討論聯立方程組        x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0 x − 5y + (2 − m)z = 9 − m2 的解 (解_{:)m = −1} 時, 無解_{; m 6= −1} 時, 恰一解 ( 9−m2 2(m+1), m2 −9 2(m+1), m2 −9 m+1) i. 解聯立方程組        x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0 x − 5y + z = 8 的解恰一解 (2, −2, 4) ii. 解聯立方程組        x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0 x − 5y + 2z = 9 的解恰一解 ( 9 2, − 9 2, −9) 習題_13-1 平線性方程組與矩陣 1. 利用矩陣列運算解聯立方程組    0.01x − 0.03y = 0.06 0.13x + 0.10y = 0.20 x = 0, y = 2

(9)

2. 利用矩陣列運算解聯立方程組        x − y + z = 8 2x + 3y − z = −2 3x − 2y − 9z = 9 3. 利用增廣矩陣解方程組_:        x − y + 2z = 4 2x − y + 2z = 1 5x − 3y + 6z = 6 4. 利用增廣矩陣解方程組:        x + y + z = 6 2x − y − z = 3 x + 2y + 2z = 0 5. 利用增廣矩陣解方程組:        2x − y + z = 5 x + y − z = 2 3x − 3y + 3z = 8 6. 利用增廣矩陣解方程組:        x − 4y + 2z = 0 2x − 8y + 4z = −1 −3x + 8y + z = 2 7. 利用增廣矩陣解方程組:        x + 2y + z = 3 2x − y + z = 8 3x − 4y + z = 18 8. 利用增廣矩陣解方程組:        2x + 4y − 3z = 3 3x − 8y + 6z = 1 8x − 2y − 9z = 4 9. 利用高斯消去法解下列聯立方程組: (a)        x + y + z = 3 2x + y − z = 4 4x + 3y − 2z = 13 (b)        x + y + z = 3 2x + y − z = 4 3x + y − 3z = 0 (c)        x + y + z = 3 2x + y − z = 4 3x + y − 3z = 5

(10)

10. 求兩平面    x + y + 2z = 2 2x + y − z = 4 相交直線的參數式? (a) 解方程組:        x + y + 2z = 2 2x + y − z = 4 x − y − z = 5 11. 解方程組:        2x − y + 5z = 10 x + y − 3z = −2 2x + 4y + z = 1 12. 解方程組:        x + 2y − z = 4 2x + 5y + 3z = 31 3x − y + z = 7 13. 求聯立方程組:        x + y + z = 4 x + 2y + 2z = 2 x + y − z = −2 之解? 14. 解方程組        x + 3y − z = 2 2x − y + 3z = 12 5x + 4y + z = 17 。 15. 解方程組:        x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 2x + 5y + 2z = 5 16. 解方程組:        x + y − 2z = 1 2x + 3y − 6z = 5 3x + 4y − 8z = 6 17. 試求空間三平面 E1 _{: 2x + y − x = 5, E}2 : x + 2y + z = 7, E3 : 7x + 8y + z = 31的交線? 18. 討論聯立方程式    3x − y = 8 6x − 2y = k 的解? 19. 利用增廣矩陣列運算討論聯立方程式    mx + 2y = 6 2x + my = 6 的解? 20. 若方程組:        x − 2y − 3z = 1 2x − 2z + 2 = 0 3x + 2y − z = a 有解,求 a值? 並求此方程組的解?

(11)

21. 方程組:        x − y + 2z = 1 − a x + 3y − 3z = 1 + a 3x + y + z = a 有解, 求 a 值? 22. 方程組_:        x + y + z = 7 x + 2y + 3z = 4 x + 3y + 5z = a 有無限多解_, 求實數_a 值? 23. 方程組:        x − y − 2z = 3 x + y + z = 1 5x + y + az = b 有無限多解, 求實數a, b 值? 24. 解方程組:        x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 2x + 5y + 2z = 5 25. 就實數a 值, 討論聯立方程組        x + 2y + z = 3 2x + 5y − 2z = 5 x + 4y − 7z = a 的解? 26. 將空間向量 −⇀_{d = (4, 10, −4)} 表示成 −⇀_{a = (3, 5, 2),}−⇀_{b = (1, −3, 2),−}⇀_{c = (1, 1, −2) ,} 的線性組合 −⇀_{d = x−}⇀_{a + y}−⇀_{b + z−}⇀_{c ?} 27. ⊚ 就實數 a 值,討論聯立方程組        x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = 1 的解?

習題

_13-1

2. (4, −3, 1) 3. (−3, 2t − 7, t), t ∈ R 4. 無解 5. (7₃,−1 3 + t, t), t ∈ R 6. 無解 7. 無解 8. x = 1, y = 1/2, z = 1/3 9a. (−1, 5, −1) 9b. 無解 9c. 無限多解 _{(2t + 1, 2 −} 3t, t), t ∈ R 10.    x = 2 + 3t y _{= −5t} z = t , t_{∈ R} 10a. (23₇ _{, −}15₇ ,3₇) 11. (−2, −1, 1) 12. (2, 3, 4) 13. x = 6, y = −5, z = 3 14. x = 2, y = 1, z = 3 15. 原方程組無解 16.        x = −2 y = 3 + 2t z = t , t ∈ R 17. 此時 E3 : E1 + kE2 = 0; L :        x = 1 + t y = 3 − t z = t , t ∈ R

(12)

18. k = 16, 無限多解 x = t, y = 3t − 8;k 6= 16無解 19. m = 2, 無限多解 x = t, y = 3 − t;m 6= ±2 恰一解 x = y = 6 m+2;m = −2 無解 20. a = −5;        x = −1 + t y = −1 − t z = t , t ∈ R 21. a = 3 2 22. a = 1 23. a = −1, b = 9 24. 無解 25. a = 1 時無限多組解:    x _{= 5 − 9t} y _{= −1 + 4t} z = t , t _{∈ R}_{;a 6=} 1時, 無解 26. (x, y, z) = (1, 2, −1) 27.   1 1 a 1 0 a − 1 1 − a 0

0 0 −(a − 1)(a + 2) −(a − 1)  , 當 a ₆₌ _{1, −2} 恰一解 ( 1 a + 2, 1 a + 2, 1 a + 2) ; a = −2 無解。 a = 1 無限多組解 ,    x _{= 1 − s − t} y = s z = t , s, t_{∈ R}

13.2 矩陣的運算

矩陣的表示法_: 當矩陣A 共有 m 列 n 行時, 稱 A 為_{m × n} 階矩陣,形如        a11 a12 _{· · · a}1n a21 a22 _{· · · a}2n ... ... ... ... am1 am2 _{· · · a}mn        簡記為

A = [aij]_m×n 為m 列 n 行的矩陣, 其中 aij 表第 i 列第 j 行的元素, 稱為矩陣的第 (i, j) 元。當m = n 時,稱矩陣 A 是一個 n階方陣。_{1 × n} 階的矩陣也稱為列矩陣_{, m × 1} 階的矩陣稱為行矩陣。矩陣的相等_: 若兩相同階數的矩陣 A = [aij]m×n, B = [bij]m×n 滿足 A 與B 每一個相同位置的元都相等,(aij = bij_{, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n),}記作 A = B 零矩陣與單位矩陣_: 零矩陣與單位矩陣在矩陣加法與乘法扮演的角色如同數值0與1在實數的加法與程法所扮演的角色。一個 _{m × n}階矩陣的每一個元素都是0時稱為_{m × n} 階的零矩陣, 記為 O_m×n。 n 階方陣中的 a11, a22_{, · · · , a}nn 元稱為主對角線元素, 若主對角線元素都是1, 其他位置的元素均為0時,稱為 n 階單位方陣,記為 In O2 =   0 0 0 0   , O3 =     0 0 0 0 0 0 0 0 0     , I2 =   1 0 0 1  ,I3 =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     矩陣的加法_: 兩矩陣 A = [aij]_m×n, B = [bij]_m×n 相加, 就是相同位置上的元相加。

即A + B = C = [aij + bij]_m×n = [cij]_m×n 其中 cij = aij + bij 。兩矩陣若非同 size(同列同行數) 則相加減為無意義。

(13)

矩陣的加法性質_: 1. A + B = B + A (矩陣加法有交換律₎ 2. A + (B + C) = (A + B) + C (矩陣加法有結合律₎ 3. O + A = A (矩陣加法有單位元素O) 4. A + (−A) = O (矩陣加法有反矩陣 ) 5. (r + s)A = rA + sA , 其中 _{r, s ∈ R} 矩陣的減法_: 兩矩陣 A = [aij]_m×n, B = [bij]_m×n , 矩陣相減_{: A − B = A + (−B) = [a}_ij _{− b}_ij]_m×n 就是相同位置上的元相減。矩陣的係數乘法_: 矩陣A = [aij]m×n 若 r ∈ R, rA = [raij]m×n 矩陣的係數乘法性質_: 矩陣A = [aij]m×n, B = [bij]m×n, r, s ∈ R 1. (rs)A = r(sB) 2. (r + s)A = rA + sA 3. r(A + B) = rA + rB 矩陣乘法的定義_: 若矩陣A_m×n_{× Bn×p} = C[cij]_m×p , 元素cij 就是 A矩陣的第i列元素與B 矩陣的第 j 行元素兩兩乘積和。

矩陣 A = [aij]m×n, B = [bij]n×p, C = [cij]m×p 則 Cm×p = Am×n× Bn×p = [cij]m×p , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j + +ai3b3j· · · + ainbnj =

n P k=1 aikbkj           a11 a12 _{· · · a}1n ... ... ... ... ai1 ai2 · · · ain .. . ... . .. ... am1 am2 _{· · · a}mn           ×        b11 _{· · ·} b1j · · · b1p b21 _{· · ·} b2j · · · b2p ... ... ... . .. ... bn1 _{· · ·} bnj · · · bnp        =           c11 _{· · · c}1j · · · c1p ... ... ... ... ... ci1 _{· · ·} cij · · · cip .. . . .. ... ... ... cm1 _{· · · c}mj · · · cmp           乘法單位矩陣:

A 為n 階方陣, 則 AIn = InA = A。若矩陣 A_m×n 則ImA = A, AIn= A In = [aij]_n×n =    aij = 1, i = j aij _{= 0, i 6= j} I2×2=   1 0 0 1  , I_3×3 =     1 0 0 0 1 0 0 0 1    

(14)

矩陣乘法運算性質_:

1. 矩陣乘法對純量乘法有結合律: A(rB) = (rA)B = r(AB) 2. 矩陣乘法有結合律: (AB)C = A(BC) 3. 矩陣乘法有分配律: A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC 矩陣的一些特殊性質 _: 1. 矩陣乘法不滿足交換律_{: AB 6= BA}。而且就算 AB 有意義, BA 未必有意義。例: A =   1 1 −1 −1  , B =   1 ₋₁ −1 1   , ⇒ AB 6= BA 。 (a) (A + B)2 = A2+ AB + BA + B2 但未必等於 A2+ 2AB + B2 ; 當AB = BA 時, 才相等。 (b) (A2_{− B}2_{) = (A − B)(A + B)}_不恆真。例: A =   1 1 −1 −1  , B =   1 ₋₁ −1 1   A2_{− B}2 ₌   −2 2 2 ₋₂  6=   −4 0 4 0  = (A + B)(A − B) (c) (A + I)2 _{= A}2 _{+ 2A + I} (d) A2_{− I = (A + I)(A − I)} 2. 矩陣具有零因子: 若 AB = O 未必矩陣 A 或 B 為零矩陣。且若 AB = O 不一定 BA = O 。例: A =   1 1 −1 −1  , B =   1 ₋₁ −1 1  , ⇒ AB =   0 0 0 0   一個零矩陣可以分解為兩個非零矩陣的乘積, 且這種分解並非唯一的。 3. 矩陣並不滿足消去律 :AB = AC 時,未必 B = C 。⋆ 且當A−1 _存在時_, _則_{B = C}_。例: A =   1 1 −1 −1  , B =   1 ₋₁ −1 1  , C =   −1 1 1 ₋₁   顯然 AB =   0 0 0 0  = AC , 但B 6= C 。 (a) A2 _{= A × A = O} _不一定 _{A = O} _。例: A =   1 1 −1 −1   (b) A2 _{= A} _則_{A = I} _或 _{A = 0} _{不恆成立。}

(15)

(c) A2 _{= A} _且_{A 6= I} _則 _{det (A) = 0} _。 4. 二項式定理不適用於矩陣: (A + B)2 _{6= A}2_{+ 2AB + B}2 5. (AB)k _未必等於 _Ak_Bk _。例: A =   1 1 −1 0  , B =   1 ₋₁ −1 1   (AB)2 ₌   0 0 −1 1  6=   −2 2 0 0  = A2B2 6. Am×k× Ok×n= Om×n

7. AnIn= InAn= An ;A_m×nIn= A = ImA

例題

範例 _1: 已知 A =   2 0 3 1  , B =   1 3 −2 −1   , 求下列矩陣: C = −2A ;D = 2A + 3B ;E = 3A − 2B (解:)C =   −4 0 −6 −2  ,D =   7 9 0 −1  ,E =   4 −6 13 5   演練 1a : 已知 A =   2 4 8 −3 0 1 2 3  , B =   −3 4 0 1 6 8 2 0   ,求 A + B 及A − B (解:)   −1 8 8 −2 6 9 4 3  ;   5 0 _{8 −4} −6 −7 0 3   演練 1b : 若 A =   3 1 5 −2 0 6  , B =   4 1 0 8 1 −3   ,C =   9 0 −3 6  , 分別求 4A 、 1 3C 及 3A − 2B (解_:)   12 4 20 −8 0 24  ;   3 0 −1 2  ;   1 1 15 −22 −2 24   演練 1c : 求滿足矩陣   y x  =   2x − 6 2y  , 的實數 x, y 值? x = 4, y = 2 範例 _2: 設 A =   2 1 3 1 −1 0  ,B =     1 0 2 1 3 2     ,求 _{A × B =?} 及_{B × A =?}

(16)

(解:)AB =   13 7 −1 −1  ; BA =     2 1 3 5 1 6 8 1 9     演練 2a : 請問下列哪一個選項中的矩陣乘積等於   2a 3b 2c 3d  ?(1)   a b c d     2 3  (2) h 2 3 i   a b c d   (3)   2 3 2 3     a b c d  (4)   2 0 0 3     a b c d   (5)   a b c d     2 0 0 3   5 演練 2b : 設 A =   4 a 9 b  , B =   6 7 c d  , 已知 AB =   3 10 −2 15   且 A 的行列式之值為 2, 試問下列哪些選項是正確的_{? (1) 9a − 4b = −2 (2) ac = −24 (3) d = −15 (4)}   b −a −9 4     4 a 9 b  =   1 0 0 1   1,3 演練 2c : 若一個列向量矩陣A =h _{3 −5 2} i,行向量矩陣B =     3 4 −5     ,則_{A×B =?} -21 演練 2d : 設A =   2 1 0 4  ,B =   −3 1 1 2  ,求 _{A × B =?} 及_{B × A =?} (解_{:)AB =}   −5 4 4 8  ; BA =   −6 1 2 9   演練 2e : 設A =   4 −2 −2 1  ,B =   2 1 4 2  , 求 _{A × B =?} 及_{B × A =?} 兩者是否相等? (解_{:)AB =}   0 0 0 0  ; BA =   6 −3 12 −6   演練 2f : 設A =   1 2 2 1  ,B =   0 1 1 0  ,驗證 _{A × B = B × A} (解:)AB = BA =   2 1 1 2   演練 2g : 設A =   2 4 −1 5 8 0  ,B =     2 5 1 4 4 8 0 6 −3 1 −2 −1     ,求 _{A × B =?}   23 41 4 33 42 89 5 68   範例 _3: 設矩陣 _{A =}   1 −1 1 1  , I =   1 0 0 1  ; 試以 I 表示 A4。 −4I

(17)

演練 3a : 設n為正整數,符號   1 1 0 2   n 代表矩陣   1 1 0 2  自乘n次,令   1 1 0 2   n =   an bn cn dn   , 請選出正確選項?(1) a2 = 1 (2) a1, a2, a3 成等比數列 (3) d1, d2, d3 成等比數列 (4) b1, b2, b3 成等差數列 (5) c1, c2, c3 成等差數列 1,2,3,5 演練 3b : 設A =   1 2 1 2  ,B =   −2 2 1 −1  , 求 AB =? O2 演練 3c : 化簡矩陣     1 5 2 1 1 7 0 −3 4    ×     −25 26 −33 4 −4 5 3 −3 4     =?     1 0 0 0 1 0 0 0 1     演練 _{3d :} 化簡矩陣     −25 26 −33 4 −4 5 3 −3 4    ×     1 5 2 1 1 7 0 −3 4     =?     1 0 0 0 1 0 0 0 1     範例 _4: 已知矩陣 A =   1 0 0 −1  , B =   1 1 1 1  , I =   1 0 0 1  ; 則下列選項哪些正確?(1) AB = BA (2) (A + B)2 _{= A}2 _{+ 2AB + B}2 _{(3) A}2 _{= I (4) A}2_{B = BA}2 _{(5) (ABA)}3 ₌ AB3_A 3,4,5 演練 4a : 設A =   −1 0 2 1  , B =   1 −1 0 2   1. 驗證_{:(A + B)(A − B) 6= A}2_{− B}2 2. 驗證:(A + B)2 _{6= A}2 _{+ 2AB + B}2 演練 4b : 設 A =   1 0 0 1  , B =   0 −1 1 0  , 且 X = A + B, 先求出 B2 _, _再求 _X4 _=? B2 _{= −I;X}4 _{= −4I} 演練 4c : 若A =   1 1 0 1  ,計算 A2016 _=?   1 2016 0 1   演練 4d : 若A =   1 3 2 4  ,計算 A2 _{− 5A − 2I =?} O2 範例 _5: 檢驗下列二階矩陣 A 是否滿足 A2 _{= A ?(}_冪等矩陣 _A _{有無限多解}₎

(18)

1. A = I2 =   1 0 0 1   2. A = O =   0 0 0 0   3. A =   1 1 0 0   4. A =   1 0 0 0   5. A =   1 2 0 0   6. A =   2 1 −2 −1   演練 5a : 若B =   1 3 0 −1  ,計算 B5 _{= ?} B 2 _{= I2;B}5 _{= B} 演練 5b : 若A =   2 1 0 2  ,計算 A2 _{= ? A}3 _=? A n₌   2n _{n · 2}n−1 0 2n   演練 _{5c :} 設矩陣 _{A =}   0 1 −1 0  ,先計算出 A2, 再討論 An =?( n 為正整數) A2 _{= −I, A}3 _{= −A, A}4 _{= I} 演練 5d : 已知 A 為二階方陣, 若A2 _{= A ,} _{下列推論中哪一過程未必成立}_{? A}2 _{= A}_{−→ A} 1 2_{− A =} O _{−→ A(A − I) = O} 2 _{−→ A = OorA − I = O} 3 _{−→ A = OorA = I} 4 3

習題_13-2 矩_陣的運算 1. 已知 A =   2 1 3 −1  , B =   −1 2 2 3  , 求 A + B =? 2. 已知 A =   −2 0 1 0 _{5 −8}  , B =   −6 7 ₋₁ 4 _{−3 10}   , 求A + B =? 3. 已知 M =   1 2 3 6  , 求 1 3M =? 4. 設A =   1 2 3 4  , B =   1 7 3 14   , 且X,Y 為二階方陣, 若_{2X + Y = −3A, X − 2Y = B,} 求 X 與Y ? 5. 若矩陣   x − y z + t 2t x + y  =   5 −3 2 −1   則   x y z t  =? 6. 設aij = i + 2j + 3 , 試求矩陣 [aij]_2×3 =?

(19)

7. 已知 A =   7 0 5 3  , B =   3 −3 6 5 4 ₋₂   ,C =   6 −1 4 2 −2 −1  . 求AB =? 及BC =? 8. 求下列矩陣的乘積: (1)   1 3 1 5     2 1 1 4  =? (2)   1 2 3 −3 −2 1       2 3 5 4 1 6     =? (3)   2 1 3 −5     x y  =? 9. 設A =   1 0 0 0  , B =   0 0 2 3  , 求AB =? 10. 設A =   5 6 2 3  , B =   3 −6 −2 5  , 求AB = 及 BA =? 11. 設A =   2 0 0 2  , B =   0 1 1 0  , C =   √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2  ,求 ABC =? 12. 設A =   1 √ 5 − 2 √ 5 2 √ 5 1 √ 5  , B =   1 0 0 −1  , C =   1 √ 5 2 √ 5 −√2 5 1 √ 5  , 求 ABC =? 13. 設_{A =}   −1 2 0 0 1 3  ,B =     3 2 4 6 5 2     , 求_{A × I}₃ _{=? I2}_{× A =?} 及 _{B × I}₂ =? 14. 設A =   3 1 −1 2 0 3  ,B =     1 6 3 −5 −2 4     , 求_{A × B =?} 及_{B × A =?} 15. 設A =   3 1 2 1  ,B =   1 −1 −2 3  , 求AB =? 及 BA = ? 16. 設A =   2 2 −1 −1  ,B =   1 2 1 2  , 求AB =? 及 BA = ? 17. 若二階矩陣A, 滿足 _{A × A =}   2 2 2 2   , 求矩陣 A =? 18. 已知 _{A =}   1 4 2 3  , I2 =   1 0 0 1   , 求矩陣 A2− 4A − 5I₂ =?

(20)

19. 若A2 _{= I} _{化簡下列式子}_? (a) A(A + 2I) =

(b) (A − I)2 ₌ (c) A(A + I)2 ₌

20. 若_A2 _{= O} _{化簡下列式子}_? (a) A(2A − 3I) = (b) A(A + 2I)(A − I) =

(c) A(A + I)3 ₌

21. 設A,B 皆為 n階方陣,I 為n階單位方陣, 則下列何者正確?(A) (A + I)2 _{= A}2_{+ 2A + I (B)} A2_−B2 _{= (A+B)(A−B) (C) A}2_{−I = (A+I)(A−I) (D) A}3_+I3 _{= (A+I)(A}2_−A+I) (E) (AB)2 _{= A}2_B2 22. 設A =     1 1 1 0 1 1 0 0 1     , 試求 A2_{, A}3_, _及_A4 _=? 23. 設A =        0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0        , 試求 A2_{, A}3_,_及 _A4 _=?

習題

_13-2

1.   1 3 5 2   2.   −8 7 0 4 2 2   3.   1 3 2 3 1 2   4. X =   −1 −1 −3 −2  , Y =   −1 −4 −3 −8   5. u =   2 ₋₃ −4 1   6. [aij]_2×3 =   6 8 10 7 9 11   7. AB =   21 −21 42 30 _{−3 24}  ; BC 無定義 8. (1) =   5 13 11 23   , (2) =   15 29 −17 −23   , (3) =   2x + y 3x − 5y   9. O2 10. AB = BA = 3I2 11.   1 √3 √ 3 −1   12.   −35 4 5 4 5 3 5   13. AI3 = A =   −1 2 0 0 1 3  ; I2A = A =

(21)

  −1 2 0 0 1 3  ; BI2 = B =     3 2 4 6 5 2     14. AB =   8 9 −4 24  ; BA =     15 1 17 −1 3 −18 2 −2 14     15. AB = BA =   1 0 0 1   16. AB   4 8 −2 −4  ;BA =   0 0 0 0   17. A =   1 1 1 1   或   −1 −1 −1 −1   18. O2 19a. 2A + I 19b. −2A + 2I 19c. 2A + 2I 20a. −3A 20b. −2A 20c. A 21. ACD 22. A2 =   1 2 3 0 1 2 0 0 1  , A3 =   1 3 6 0 1 3 0 0 1  , A4 =   1 4 10 0 1 4 0 0 1   23. A2=     0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0     , A3 =     0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     , A4 =     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    

13.3 矩陣的應用

轉置矩陣_: A = [aij]m×n 則其轉置矩陣為 AT = [aji]n×m 1. (AT₎T _{= A} 2. (A × B)T _{= B}t_{× A}T 3. (A × B × C)T _{= C}T _{× B}T _{× A}T 4. (A + B)T _{= A}T _{+ B}T 5. (αA)T _{= αA}T 馬可夫轉移矩陣_: 將原始狀態矩陣 X0 乘上 P 矩陣後為 X1 狀態, X1 = P X0 稱P 為轉移矩陣。矩陣P [aij = pji]恆有 Pn j=1 pij = n P i=1 aij = 1 , pij _{≥ 0}即矩陣P 每個元均介於0與1之間,且每一行和為1的矩陣。稱P =        p11 p21 _{· · · p}n1 p12 p22 _{· · · p}n2 .. . ... ... ... p1n p2n _{· · · p}nn        , 為馬可夫轉移矩陣。(馬可夫機率矩陣)。如何列出馬可夫轉移矩陣_: 矩陣 P 的pij 元素表由原先第 i 個狀態轉變成第 j 個狀態的機率,

(22)

記為矩陣 P 的第 j 列第i 行元素 aji 。即矩陣 P [aij = pji] 型如: p11 p21 p31 p12 p22 p32 p13 p23 p33       from:目前狀態 i j k _to : i j k 為馬可夫推移矩陣。 n 步轉移矩陣_: 將原始狀態矩陣 X0 乘上轉移矩陣P 後為X1 狀態, X1 = P X0 稱P 為一步轉移矩陣。若在時刻 _n 觀察點狀態_, 記為 _Xn _, 且下一時刻 _{n + 1} 的觀察點狀態_, 記為 _Xn+1, 則 X2 = P X1 = P2X0, · · · , Xn = P Xn−1= PnX0, 稱Pn 為 n步轉移矩陣。馬可夫定理_: 對於任意一機率轉移矩陣 P , 當 n 逐漸增大時, Xn = Pn_X0 _{會逐漸趨近於唯一} 的矩陣X, 此時稱 X 為穩定狀態的矩陣。機率轉移矩陣P [aij = pji]具有以下特點: 1. n P i=1 aij = n P j=1 pij = 1 , aij _{≥ 0} 轉移矩陣的行矩陣各元素的和為1。 (機率矩陣) 2. 若初始系統為 X0 , 經過一次移轉為 X1 = P X0 , 則k 次移轉為 Xk = Pk_X0 3. 若馬可夫過程(初始狀態的機率矩陣X0經過n次的上述轉移變換過程)可達穩定狀態,即必可滿足 _{P X = X} 。馬可夫機率推移矩陣 _{P [aij} _{> 0]} 一定會產生穩定狀態。 4. 若 A,B 均為機率矩陣, 則_{A × B, A}k_{, B}k , 12(A2_{+ B}2_{) ,A}k_X _{包括穩定矩陣} _X _均為機率矩陣。 n步轉移矩陣: Xn = P Xn−1 = PnX0, 稱P 為轉移矩陣, Pn 為 n步轉移矩陣。(P為行和為1的機率矩陣) 穩定矩陣: X = P X = Pn_X0 _{= P}n+1_X0 _{,for n ≥ n} 0 對稱矩陣_: 若 A = AT _則稱_A _{為對稱矩陣。若}_AT _{= −A} _稱_A _{為反對稱矩陣。} 一些特殊矩陣: 乘方運算會後呈現簡易規律或有其特殊性、應用性。旋轉矩陣:   cos θ − sin θ sin θ cos θ   n =   cos nθ − sin nθ sin nθ cos nθ  , 對角化矩陣:   a 0 0 b   n =   an ₀ 0 bn  , 馬可夫矩陣 , · · · 等。矩陣的特徵方程_: 若矩陣 A =   a b c d 

(23)

乘法反方陣₍反矩陣_): 若 n 階方陣 A, B 滿足 AB = BA = In, 稱 B 是 A 的乘法反方陣, 記為 B = A−1_{。當}_A _{具有反方陣時}_{,⇔ det(A) 6= 0 ;} _稱_A _{為可逆方陣。} 1. 並非任何方陣均有反方陣_{, det(A) 6= 0} 才存在。 2. 若 A 有乘法反方陣, 則此反方陣具有唯一性。(若 AB = BA = I, AC = CA = I 則 B = BI = BAC = (BA)C = IC = C) 3. n 階方陣A, B 若 AB = In 則BA = In 可逆方陣的充要條件_{: A}為可逆方陣 _{⇔ det(A) 6= 0 ;} 若AB = I = B′_A _則_{B = B}′ 反方陣的求法_{: (}並不是所有非零的n階方陣皆為可逆_{) det(A) 6= 0} 才存在可逆方陣A−1_。 1. 矩陣列運算法: 列運算過程中若發現方程組無解, 即表示反方陣不存在。將聯合矩陣 _[A|I_n] 經基本列運算可化成 _{⇒ [I}_n_|B] 的型式_, 則 B = A−1 二階逆矩陣求法: 聯合矩陣   a b 1 0 c d 0 1   列運算後可化簡為   1 0 x y 0 1 z w   , 即 [A|I] ⇒ [I|X] 則X = A−1_B 可得 A−1 ₌   a b c d   −1 =   x y z w  = 1 ad − bc   d _−b −c a   2. 公式法: A−1 ₌ 1

det(A)adj(A) , det(A) 6= 0

其中 adj(A) = [Cij]為矩陣 AT _{的餘因子。}_{( A} _伴隨矩陣₎ 即元素Cij =為A的轉置矩陣AT _後_,_第_i_列第_j_{行餘因子。}₍_矩陣_ij_{元素餘因子為}₍₋₁₎i+j_× 去除第i列第j行的行列式值) 聯合矩陣 _[A|In] 經基本列運算可化成 _{⇒ [I}_n_|X] 的型式,則 X = A−1 聯合矩陣 _[A|B] 經基本列運算化成 _{⇒ [I}_n_|X]的型式, 則X = A−1_B 反方陣的一些性質_{: (}若其反方陣均存在) 1. (AB)−1 _{= B}−1_A−1 _因   

(AB)(B−1_A−1_{) = A(BB}−1_)A−1 _{= AIA}−1 _{= AA}−1 _{= I} (B−1_A−1_{)(AB) = B}−1_(A−1_{A)B = B}−1_{IB = B}−1_{B = I} 例: A =   2 1 3 2  , B =   1 −1 1 1   (AB)−1 ₌   −12 1 2 −52 32  6=   3 2 12 −52 −12  = A−1B−1

(24)

2. (A−1₎−1 _{= A}

3. (A−1₎n_{= (A}n₎−1_{, n ∈ N}

4. 若方陣 A, B, C中, 已知 A 為可逆方陣, 且AB = AC 則B = C 5. 行列式值_{: det(A × B) = det A × det B}

det(A−1_{) =} 1 det A det(r · An) = rn · det(An) 6. (AT₎−1 _{= (A}−1₎T 二階乘法反方陣的公式_: 若A =   a b c d   , 且ad − bc 6= 0 則A−1 = 1 ad − bc   d _−b −c a   用反方陣解一次方程組_: 若_{AX = B, det(A) 6= 0} 則X = A−1_B 線性一次方程組    a11x + a12y = b1 a21x + a22y = b2 可轉化成矩陣乘積表示   a11 a12 a21 a22  ×   x y   =   b1 b2   。若 A =   a11 a12 a21 a22   ,X =   x y   ,B =   b1 b2   , 方程組可表示成 AX = B 。當 det(A) 6= 0時 A−1_{AX = A}−1_B IX = A−1_B X = A−1_B 解線性方程組的方法_: 1. 代入消去法: 將某一未知元用其他未知元的式子表示代入消去, 使其方程式中無此未知元。 2. 加減消去法: 分別將方程式乘上適當常數倍後_, 兩式相加減, 使其消去某一未知元。 3. 高斯消去法 (高斯-喬登消去法):(恰一解或無限多組解或無解亦適用) 利用矩陣的基本列運算法,化簡求解方程組。_[A|B]列運算化簡為_{⇒ [I|X]}則X = A−1_B 4. 行列式克拉瑪法則:方程組有恰一組解時,可利用克拉瑪公式法,解方程組。 5. 反方陣乘積法: 方程組有恰一組解時, 若 AX = B 可利用X = A−1_B _{解方程組。}

(25)

例題

範例 _1: 小強班上同學計畫騎單車一日遊,共有男生20人,女生10人報名參加, 籌備工作者準備提供每人一天食物所需的量, 依男生、女生分別以矩陣 A、B 表示如下: 試用一個矩陣表示出三種食物在上、下午所各應準備的數量? 橘子飲料餅乾 A =   3 1 1 2 2 0   上午下午 , 橘子飲料餅乾 B =   2 2 1 1 1 1   上午下午 (解:) 橘子飲料餅乾 20A + 10B = 80 40 30 50 50 10 上午下午演練 1a : 美式足球的記分方式有達陣 (TD) 得6分, 射門 (FG) 得3分, 達陣後射門 (PAT) 得1分。根據某年美式足球全球季比賽₅位明星球員得分表如下_: 球員 (次數₎ _TD _FG _PAT A 9 335 943 B 0 383 562 C 0 373 580 D 0 385 526 E 0 378 507 依據表格資料建立矩陣並用矩陣乘法分別計算出這五位球員整個球季的總得分? (解_{:)T ×}     6 3 1     =           2002 1711 1699 1681 1641           演練 1b : 一長方體的長 DA 、寬 DC 、高 DH ,分別與坐標軸平行 (如圖): A B C D x y z E F G H A′ B′_{(2, 2, −2)} C′ D′ x y z E′ F′ G′ H′_{(−3, −2, 1)}

(26)

1. 若長方體頂點D 恰為坐標軸原點(上圖左),長寬高分別為 a, b, c,試用 _{3 × 8}矩陣表示此長方體八個頂點的坐標? (解:) A B C D E F G H     a a 0 0 a a 0 0 0 b b 0 0 b b 0 0 0 0 0 c c c c     x y z 2. 若已知長方體點坐標B′_{(2, 2, −2), H}′_{(−3, −2, 1)}_如上圖右_,_{求其它頂點坐標}_?(hint: _觀察頂點B′_、_H′ _的平移量 _{(p, q, r))} A B C D E F G H     a a 0 0 a a 0 0 0 b b 0 0 b b 0 0 0 0 0 c c c c     +     p p p p p p p p q q q q q q q q r r r r r r r r     = A′ _B′ _C′ _D′ _E′ _F′ _G′ _H′     ∗ 2 _{∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −3} ∗ 2 _{∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2} ∗ −2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1     x y z (解_:) A′ _B′ _C′ _D′ _E′ _F′ _G′ _H′     2 2 _{−3 −3} 2 _{2 −3 −3} −2 2 2 _{−2 −2 2} 2 ₋₂ −2 −2 1 ₋₂ 1 1 1 1     x y z 演練 1c : 一服飾店販賣男性襯衫每件40美元, 領帶每條20美元, 毛料背心每件400每元; 上個月共賣出100件襯衫,200條領帶,50件背心。用矩陣列出貨品單價的列矩陣及售出件數的行矩陣後求此服飾店上個月的應收款額共計多少? 28000 演練 1d : 志玲和伊伶兩人在甲、乙兩舞蹈教室學習兩舞蹈課程, 教授課時數及收費標準如下: 課程 (時數) 甲乙志玲 6 9 伊伶 3 12 收費標準每小時甲 800 乙 1200 請列出兩人上課內容時數的矩陣 A , 及依據矩陣 A 的授課收費矩陣 B ? 計算並說明 AB 的意義? (解:)A =   6 9 3 12   ;B =   800 1200  ;AB = h 15600 16800 i , AB 表志玲和伊伶要繳交的課程費用範例 _2: 設 _{A =}   a b c d 

(27)

演練 2a : 已知二階方陣 A =   a b c d   滿足 A   1 1   =   5 2  ,A   1 2   =   7 4  , 請選出正確的選項? (1) A 的行列式值為6 (2) A2 _{= 5A − 6}   1 0 0 1   (3) A−1 =   2 −2 0 3   (4) A   1 3  =   9 6   (5) h 1 1 iA =h 5 7 i 1,2,4 演練 2b : 若A =   1 3 2 4 

,則A2−5A−2I =? 利用此結果求A5−3A4−10A3+8A2−4A+2I =?

O;2A + I =   3 6 4 9   演練 2c : 若A =   1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2  ,求A3 =? 並求滿足An= I 的最小正整數n為多少? −I;n = 6 演練 _{2d :} 若定義_{f (x)}為二階方陣_A−xI₂的行列式值_,其中I2為二階單位方陣。即_{f (x) = |A−xI}₂_| 1. 若_{A =}   1 2 3 2  , 解方程式 f (x) = 0 x = 4, −1 2. 若A =   3 1 2 2  , 求方程式 f (x) = 0 的兩根和及兩根乘積? 3 + 2;|A| = 4 演練 2e : 若 A =   1 1 1 0  , 且 Fn 表斐波那契(Fibonacci) 數列第 n 項 (F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, · · · ) 試說明 An₌   Fn+1 Fn Fn F_n−1   範例 _3: 有甲、乙兩支大瓶子, 一開始分別裝有3公升與2公升的水, 每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶 , 然後再將乙瓶的水倒出一半回甲瓶。試找出兩瓶子的水量轉移變化矩陣 P , 問兩輪後甲、乙兩瓶的水量分別為何? (解_:)    a → a 2 + 1 2( a 2 + b) b → 12( a 2 + b) ⇒ 甲乙 To: P =    3 4 1 2 1 4 1 2    甲乙 ; P P X0 = X2 _⇒ 甲:53 16, 乙: 27 16 演練 3a : 已知   a b c d   是一個機率轉移矩陣, 並且行列式值為 5 8, 則a + d = ? 13 8

(28)

演練 3b : 設A =   a b c d   為二階實係數方陣。 1. 當A 為轉移矩陣時,試敘述實數 a, b, c, d 須滿足的條件? a, b, c, d ≥ 0 且 a + c = 1, b + d = 1 2. 試證: 當A 為轉移矩陣時, A2 _{也是轉移矩陣。} 範例 _4: 某射擊選手目前平均4發可命中3發, 即命中率為 3 4: 若經教練特訓用儀器指導後, 此射手在某發射中後, 則下一發亦命中的機率為0.9, 當他某發沒命中時, 下一發再射則命中率為0.7; 求此射手特訓之射擊轉移矩陣 P ? 並求此選手特訓後長期的射擊命中率為何? (解_:) 射中未射中 _to: P =   0.9 0.7 0.1 0.3   射中未射中 ; 7₈ 演練 4a : 某城市及其近郊人口遷移情形為:每年住城裡的人有90% 繼續留在城市,有10% 流向郊區; 而郊區有 80% 留在郊區, 有20% 遷住城市。求此地區城郊人口的轉移矩陣 P ? 若已知現今城市與郊區的人口比例為_{3 : 1} 求一年後_, 城市郊區的人口比例為多少? 長期而言城市與郊區的人口比例為多少? (解_:) 城市郊區 To: P =   0.9 0.2 0.1 0.8   城市郊區 ; 29 : 11, 2 : 1 演練 4b : 某公司員工共計1500人, 每年公司招待員工去 A,B 兩家渡假村度假; 根據調查若今年去 A 渡假村則明年有 10% 改選擇 B 渡假村, 若今年去 B 渡假村則明年有 20% 改選擇 A 渡假村; 1. 找出對A,B 兩家渡假村度假的機率轉移矩陣 P ? P =   0.9 0.8 0.1 0.2   2. 已知今年1500位員工都選擇 A 渡假村度假, 則明年選擇 A,B 兩家渡假村度假各有幾位? X1 =   1350 150   3. 已知今年1500位員工都選擇 A 渡假村度假, 則兩年後選擇 A,B 兩家渡假村度假各有幾位? X2 =   1335 165   4. 就長期而言此公司員工選擇 A,B 兩家渡假村度假的比例為何? 8 : 1

(29)

範例 _5: 利用矩陣方法解方程組    2x − 5y = 9 3x + 4y = 2 x = 2, y = −1 (解:)增廣矩陣   2 −5 9 3 4 2   列運算, 化成   1 0 2 0 1 −1   型式公式法_{: A}−1   9 2  = 1 13   4 5 −3 2     9 2  =   2 −1   演練 5a : 已知二階方陣乘積 AB = AC , 下列推論過程何者未必成立? AB = AC _{−→ A} 1 −1_{AB =} A−1_AC _{−→ (A} 2 −1_{A)B = (A}−1_A)C _{−→ IB = IC} 3 _{−→ B = C} 4 1 演練 5b : 若 A =   3 1 2 1  , B =   0 3 −2 5   , D =   2 0 0 3  , 先求出 A−1 _並驗證_{: B = ADA}−1 , 再證明_{: B}n = A ×   2n ₀ 0 3n  × A−1 A−1 ₌   1 ₋₁ −2 3   演練 5c : 設P, Q, R為二階方陣,已知P Q =   2 0 12 0  ,P R =   1 3 4 12  ,且Q+R =   1 0 3 3  , 則P =?   0 1 4 4   演練 5d : A =   4 6 2 3   , 是否有逆矩陣, 若有求出其逆矩陣? 無演練 5e : 利用矩陣方法解下列條件的方程組    2x − 4y = c x + 3y = d 1. 若   c d  =   3 1   x = 13 10, y = − 1 10 2. 若   c d  =   2 6   x = 3, y = 1 3. 若   c d  =   0 0   x = 0, y = 0 範例 _6: 設 A =   1 2 2 3  , B =   4 3   , 且矩陣 X =   x y   滿足 AX = B , 求 A 的乘法反方陣A−1 _? _及 _{X = ?}

(30)

(解_:)A−1 ₌   −3 2 2 −1  , X =   −6 5   演練 _{6a :} 小惠有一台自行車_, 平時用一副四位數密碼鎖鎖住_, 有一天_,志明向他借用這台自行車_, 她答應借用,但只告訴志明號碼鎖密碼abcd符合以下二階方陣的等式:   5 ₋₁₅ −10 35     a b c d  =   5 0 0 5   ,志明卻一直無法解出正確的密碼, 而不能使用這台自行車, 請你幫忙志明求出這副號碼鎖的正確密碼。 7321 演練 6b : 小明與朋友約定以矩陣 C =   2 1 1 1   作為傳送訊息的加密矩陣, 即C 矩陣乘上原始密碼矩陣(暗碼) 後為明碼矩陣 (明碼)。其中英文字母與數字的對應關係如表:

A26 B25 C24 D23 E22 F21 G20 H19 I18 J17 K16 L15 M14 N13 O12 P11 Q10 R9 S8 T7 U6 V5 W4 X3 Y2 Z1 -0 某天小明收到朋友傳給他的明碼數字串為   59 49 40 16 21 25 36 32 34 31 20 14 15 25 24 16  , 請你幫他解開原始訊息? bring-your-book 演練 _{6c :} 若   1 1 1 1 2 5 7 8  ×        1 2 1 5 1 7 1 8        ×X =   1 1 1 1 2 5 7 8  ×        1 2 3 3        ,求矩陣_{X =?}   2 7 5 14   演練 _{6d :} 已知 _{A =}   2 1 0 1  ,B =   1 2 −1 0  ,C =   0 3 1 2  , 若 AXB = C , 求 X 矩陣?   1 4 3 4 1 0   演練 6e : 已知 A =   1 1 2 −1  ,B =   0 1 2 −3  

(31)

1. 求A−1 _=?   1 3 1 3 2 3 − 1 3   2. 求B−1 _=?   3 2 1 2 1 0   3. 求(AB)−1 _=?   5 6 1 3 1 3 1 3   4. 求(BA)−1 _=?   5 6 1 6 2 3 1 3   5. 求A−1_B−1 _=?   5 6 1 6 2 3 1 3   6. 求B−1_A−1 _=?   5 6 1 3 1 3 1 3   範例 _7: 設 A3 ₌   −7 10 −2 3  , A5 =   −18 25 −5 7  , 求A2 及A ? (解:)A2 ₌   4 −5 1 −1  , A =   −3 5 −1 2   演練 7a : 若矩陣 A2 _{= 2A + 3I} _且 _A3 _{= pA + qI, A}4 _{= rA + sI ,} _{求實係數數對} _{(p, q)} _及 _{(r, s)?} (7, 6); (20, 21) 演練 7b : 若矩陣 A2 _{= 2A + 3I} _且_A−1 _{= rA + sI ,} _{求實係數數對} _{(r, s)?} ( 1 3, − 2 3) 演練 7c : 矩陣 A =   3 2 −2 −1   , 若 A2 = pA + qI, A−1 = rA + sI , 求實係數數對 (p, q) 及 (r, s)? (2, −1); (−1, 2) 範例 _8: ⊚ 對增廣矩陣 _[A|I3]進行基本列運算, 求 A =     1 _{2 −1} 2 3 4 −1 −3 6     的反方陣? (解_:)A−1 ₌     30 −9 11 −16 5 −6 −3 1 −1     演練 8a : 求矩陣 A =     1 5 2 1 1 7 0 −3 4     的反方陣? A−1 ₌     −25 26 −33 4 −4 5 3 −3 4    

(32)

演練 8b : 求矩陣 P =     1 1 0 5 1 −3 2 7 4     的反方陣? A−1 ₌     −25 4 3 26 −4 −3 −33 5 4     習題_13-3 矩陣的應用 1. 一房屋承包商建造 4間單人房,10間雙人房,6間家庭房, 每一種房型的工資及材料費如表: 報價 (千元_)\房型單人房雙人房家庭房工資 70 100 120 材料費 90 120 240 (a) 請依據報價表, 建立房型數量矩陣 A 和房型建造費用矩陣 B 使得房屋建造費用矩陣 C 滿足 _{C = A × B} (b) 求矩陣 C (c) 闡釋矩陣 C 的各元素的意義? 2. 設 A =     a b c p q r x y z     , 求一三階方陣 X 使 XA =     3p − 4x 3q − 4y 3r − 4z 2a + 5x 2b + 5y 2c + 5z 6a + 7p 6b + 7q 6c + 7r     3. 觀察某射手平時練習之命中率如下: 若某一次射中, 則下一次命中的機率為0.9, 當他某一次沒有命中時, 下一次再射則命中率為0.7; 若此射手第一次命中, 則第3次命中的機率為? 4. 根據氣象報導, 某地區的氣象只分雨天與非雨天, 該地區在非與天之後, 隔天是雨天的機率為 0.2 , 而在雨天之後, 隔天也是雨天的機率為 0.4 , 試將該地區氣象型態變化, 以轉移矩陣 P 表示之? 若開始觀察當天為非雨天, 則3天後該地區為非雨天的機率為? 5. 將下列方程組表成矩陣的方程式_? (1)        2x + 3y − z = 7 5x + 4y + z = 6 4x + 3y + 7z = 1 (2)        x + y + z − w = 4 3x − y + 2z + 4w = 5 4x + 3y + z + 5w = 3 6. 利用矩陣方法解方程組    2x + 3y = 11 5x + 7y = 24 7. 解方程組_:    47x + 23y = 12 35x + 17y = 9

(33)

8. 設A2 ₌   2 3 3 5  , A3 =   5 8 8 13  , 求方陣 A ? 9. 設A =   cos θ − sin θ sin θ cos θ   , 求A−1 =? 10. 設A =   2 1 3 2   , B =   1 1 2 −1   試解方程式 XA = B 11. 若   1 1 1 1 −1 0 1 2  ×        1 −1 1 0 1 1 1 2        × X =   1 1 1 1 −1 0 1 2  ×        0 1 2 4        ,求矩陣 _{X =?} 12. 若A =   1 2 3 4  , 求常係數 a, b滿足 A2 _{= aA + bI} 13. 若矩陣A2 _{= −A + 2I} _且_A3 _{= pA + qI, A}4 _{= rA + sI ,} _{求實係數數對} _{(p, q)} _及_{(r, s)?} 14. 若_{f (x) = −x}2_{+ 2x + 1 ,}_已知_{A =}   1 −1 0 2  ,則A2_{− 3A + 2I =?} _{利用此結果求}_{f (A) =?} 15. 若矩陣 A =   1 1 −1 2   ,試計算A3− 6A =? 16. 求下列矩陣的反矩陣: A =   2 5 3 6   17. 已知二階方陣乘積 A2 _{= A ,} _{下列推論過程何者未必成立}_{? A}2 _{= A} _{−→ A} 1 −1_A2 _{= A}−1_A _−→ 2 (A−1_{A)A = (A}−1_A)_{−→ IA = I} 3 _{−→ A = I} 4 18. 小明與家人約定以每4個字母寫成2階方陣 (由左而右, 由上而下) 並且以矩陣 C =   2 3 1 2   作為傳送訊息的加密矩陣, 即原始密碼矩陣 (暗碼) 乘上 C 矩陣後為明碼矩陣 (明碼)。其中英文字母與數字的對應關係如表:(整數除以26的餘數) A1 B2 C3 D4 E5 F6 G7 H8 I9 J10 K11 L12 M13

N14 O15 P16 Q17 R18 S19 T20 U21 V22 W23 X24 Y25 Z0 (a) 小明家人欲傳送”GOOD LUCK”訊息給小明, 則小明會收到的明碼數字串為何?

(34)

(b) 某天小明傳給家人的明碼數字串, 方陣依序為   43 67 32 50  ,   41 69 33 52  ,   66 107 29 46  ,   21 41 15 25  , 請你幫他家人解開原始訊息? 19. ⊚ 利用反矩陣及矩陣乘法, 求聯立方程組:        x − 2y + 4z = 9 2x − y + 3z = 9 4x + 7y − z = 15 之解? 並請自行比較行列式之克拉瑪法則或高斯列運算消去法之優劣? 20. ⊚ 設 A =     −5 4 1 a 3 2 −1 a 2     為一不可逆方陣,試求 a 之值? 21. ⊚ 求下列矩陣的反矩陣: A =     1 1 1 1 0 1 2 −1 0     22. 使用圓球和球袋作機率實驗。球只有黑白兩色_, 袋中裝有兩顆球_, 因此只有三種可能情況_: 把雙白球稱為狀態1, 一白球一黑球稱為狀態2, 雙黑球稱為狀態3。對這袋球做如下操作: 自袋中隨機移走一球後, 再隨機移入一顆白球或黑球 (移入白球或黑球的機率相等)。每次操作可能會改變袋中球的狀態。 (a) (單選題) 如果現在袋子內的球是一白一黑 (即狀態2), 請問經過一次操作後, 袋中會變成兩顆黑球 (狀態3)的機率是多少_{? (1) 14 (2)} 1 3 (3) 12 (4) 23 把從狀態j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為 Pij (例如上題的機率就是 P32 ),由此構成一 _{3 × 3}矩陣P。 (b) (多選題) 針對矩陣 P , 下列選項有哪些是正確的? (1) 矩陣 P 滿足 Pij = Pji 。 (2) P 是轉移矩陣 (即每行之和皆為1)。 (3) P的行列式值為正。 (4) P11= P33 。把矩陣P 連續自乘 k 次後的矩陣記為Pk _{。已知矩陣} _Pk _中 _{(i, j)}_位置的值_, _{等於從狀態}_j _經過 _k _次操作後, 變成狀態 i 的機率。 (c) (多選題) 針對多次操作, 下列選項有哪些是正確的? (1) 從一白一黑 (狀態2) 開始, 經過 k 次操作後, 變成雙白 (狀態1) 的機率與變成雙黑 (狀態3) 的機率相等。 (2) 從雙白 (狀態1) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 (狀態1) 的機率, 比變成雙黑 (狀態3) 的機率大。 (3) 從雙白(狀態1) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 (狀態1) 的機率, 會隨著次數 k 的增加而遞減。 (4) 不論從哪種狀態開始,經過 k 次操作後, 變成任何一種狀態的機率, 會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於 1 3 。

習題

_13-3

1a. A = h 4 10 6 i; B =   70 90 100 120   1b. C =h 2000 3000 i 1c. 總工資:2000(千元) , 總材料費:3000(千元) ∼ 順伯的窩 _∼ 矩陣 _[第34頁/共55頁]

(35)

2. X =     0 3 4 2 0 5 6 7 0     3. 22/25 4. 非雨天雨天 To: P =   0.8 0.6 0.2 0.4   非雨天雨天 , 0.752 5. (1) =     2 3 −1 5 4 1 4 3 7         x y z     =     7 6 1     , (2) =     1 1 _{1 −1} 3 −1 2 4 4 3 1 5            x y z w        =     4 5 3     6. x = −5, y = 7 7. (1/2, −1/2) 8. Ans: A =   1 1 1 2   9. A−1 ₌   cos θ sin θ − sin θ cos θ   10. X =   −1 1 7 ₋₄   11.   11 10 13 10   12. a = 5, b = 2 13. (2, −1); (−5, 6) 14. O2;   2 1 0 1   15.   −9 0 0 ₋₉   16. A−1 ₌   −2 5/3 1 _−2/3   17. 1 18a. 22,51,34,53;45,78,7,31 18b. 19 5 14 4 , 13 15 14 5 , 25 16 12 5 , 1 19 5 5

SEN D_{|MONE|Y P LE|ASEE}

19. x = 1, y = 2, z = 3 20. a = 5, −7 21. A−1 ₌     1/2 _−1/2 1/2 1 ₋₁ 0 −1/2 3/2 _−1/2     22a. 1;P= 1 2 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 4 1 2                     2w1b1w2b 2w 1b1w 2b 22b. 2,4 22c. 1,2,3

13.4 ⊚

平面上的線性變換與二階方陣

平面上的線性變換_: 二階方陣T =   a b c d  將坐標平面上的點 P (x, y)對應到點P′(ax + by, cx + dy) 的線性變換。即   X Y  =   a b c d     x y      X = ax + by Y = cx + dy 為 x, y 的一次式,若 det(T =   a b c d  ) 6= 0 則

平面上 P (x, y) 對應到點 P′_{(X, Y ) = (ax + by, cx + dy)} _為 _”_一對一′′_對應_, _{此對應稱為線} 性變換_{(linear transformation)}。常見的線性變換有旋轉 (rotation)、鏡射 (reflection)、伸縮 (dilation) 與推移(shear) 變換。

(36)

線性變換基本性質: 1. 線性變換矩陣 T 恆將原點變換到原點 2. 若r, s 為常係數, 則T (rX) = rT (X) , 且 T (rX + sY ) = rT (X) + sT (Y ) 3. 若_{det T 6= 0,T} 為一對一的線性變換, T 將直線L 對應到直線 L′ 平移_{(translation)} 變換的表示法_{: P (x, y)}_−−−→(h,k) 平移 P ′_{(X, Y )} 將點 P (x, y)往x 軸方向移動 h 單位, 往y 軸方向移動 k 單位後所得新坐標 P′_{(X, Y )}    X = x + h Y = y + k ⇒   X Y  =   x y  +   h k   旋轉變換矩陣_{: T = Rθ} ₌   cos θ − sin θ sin θ cos θ   P 點坐標以原點為中心旋轉一有向角 _θ 角的變換_{,P (x, y)} T=   cos θ − sin θ sin θ cos θ   −−−−−−−−−−−−−−−−−→ 繞原點旋轉 θ 角的變換 P ′_{(X, Y )} 旋轉 θ 角的變換矩陣, 記為 Rθ =   cos θ − sin θ sin θ cos θ  , 若旋轉為一負向角 _−θ 角, 則 R−θ = R−1 θ =   cos θ sin θ − sin θ cos θ   y x P(x, y) r P′_{(X, Y )} α θ 平面上的旋轉變換坐標平面上,點P (x, y)滿足x = r cos α, y = r sin α, r = OP ,若以原點為中心,將P 點旋轉θ 角後的對應點為P′_{(X, Y ),}_則_OP′與_x軸正向夾角為_θ+α,即   

X = r cos(θ + α) = x cos θ − y sin θ Y = r sin(θ + α) = x sin θ + y cos θ 用矩陣來表示為   cos θ − sin θ sin θ cos θ  ×   x y   原 =   X Y   新原坐標    x = X cos θ + Y sin θ y = −X sin θ + Y cos θ   cos θ − sin θ sin θ cos θ  ×   x y   原 =   X Y   新

(37)

  cos θ sin θ − sin θ cos θ  ×   X Y   新 =   x y   原鏡射變換矩陣_{: T = Ry=(tan θ)x}₌   cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ   若平面上任一點 P 以 L : y = (tan θ)x 為鏡射軸 (對稱軸) 所得一對稱點 P′ _{之變換稱為鏡} 射。(幾何圖形經由鏡射後都不會變形) P (x, y) T=   cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ   −−−−−−−−−−−−−−−−→ y=(tan θ)x為鏡射軸變換 P′_{(X, Y )} 坐標平面上, 點 P (x, y) 滿足 x = r cos α, y = r sin α, r = OP , L 為過原點與x軸正向夾角為 θ 的直線, 點 P 對直線 L 鏡射後的對應點 P′_{(X, Y ) ,} _則 _OP′ 與_x軸正向夾角為 θ + (θ − α) = 2θ − α, 即   

X = r cos(2θ − α) = x cos 2θ + y sin 2θ Y _{= r sin(2θ − α) = x sin 2θ − y cos 2θ}

用矩陣來表示為   X Y  =   cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ     x y   y x P(x, y) r P′_{(X, Y )} L α θ 鏡射軸為 L 的鏡射變換 1. 對稱軸為_x 軸時_: 則   X Y  =   1 0 0 −1     x y  =   x −y   2. 對稱軸為y 軸時: 則   X Y  =   −1 0 0 1     x y  =   −x y   3. 對稱軸為y = x 時: 則   X Y  =   0 1 1 0     x y  =   y x   4. 對稱軸為_{y = −x} 時: 則   X Y  =   0 ₋₁ −1 0     x y  =   y x   5. 對稱於原點 (0, 0) 時: 則   X Y  =   −1 0 0 ₋₁     x y  =   −x −y   6. 對稱於 y = (tan θ)x 時: 則   X Y  =   cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ     x y  

(38)

對稱變換矩陣對稱軸符號對稱矩陣 x 軸 Ry=0 1 0 0 −1 y 軸 Rx=0 −1 0 0 1 直線 y = x Ry=x 0 1 1 0

直線 y = (tan θ)x Ry=mx cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ 旋轉變換矩陣 (原點中心) 旋轉度數符號旋轉矩陣 90◦ _R 90◦ 0 −1₁ ₀ 180◦ _R 180◦ −1 0 0 ₋₁ = (R_90◦)2 270◦ _R 270◦ 0 1 −1 0 = (R_90◦)3 θ Rθ cos θ − sin θ sin θ cos θ x y A B C A′ B′ C′ 平移變換 x y origin 90◦ 180◦ 270◦ 旋轉變換 x y

♥

Lo ve Lo ve Lo ve Love 鏡射對稱變換 x y A B C D A′ B′ C′ D′ 伸縮變換伸縮變換矩陣_{: T = Dλ}₁_,λ₂ ₌   λ1 0 0 λ2   , 為將任一點 P (x, y)以原點 O 為中心, 將點P 沿著 x 軸方向伸縮 λ1 倍, 沿著 y 軸方向伸縮 λ2 倍, 對應到 P′_{(λ1x, λ2y)} _的變換_, _{稱為伸縮變換。} 此變換的作用為分別將x, y 坐標伸縮為 λ1, λ2 倍 P (x, y) T=   λ1 0 0 λ₂   −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ x軸方向λ1倍,y軸方向λ2倍伸縮 P′_{(X, Y )}   X Y  =   λ1 0 0 λ2     x y  =   λ1x λ2y   y x A B C D A′ B′ C′ _D′ 平面上的伸縮變換推移變換矩陣_: 將任一點 P (x, y)對應到 P′_{(x + ky, y)} _的變換_, _稱為依 _x _軸方向 _y _坐標 _k _倍的推移。(當 k > 0表 x 軸上方的點向右推移,下方的點向左推移;k < 0表 x 軸上方的點向左推移, 下方的點向右推移)

(39)

T = Sx =   1 k 0 1  即P (x, y) T=   1 k 0 1   −−−−−−−−−−−−−−−−−→ x軸方向y坐標k倍的推移 P′_{(X, Y )} O (x, 0) P(x, y) (0, y) (ky, y) P′_{(x + ky, y)} y x 平面上x 軸方向 k 倍的推移變換若點 P (x, y) 對應到 P′_{(x, kx + y)} _的變換_, _稱為依 _y _軸方向 _x _坐標 _k _{倍的推移。} ₍_當 _{k > 0} 表y 軸右方的點向上推移, 左方的點向下推移;k < 0 表y 軸右方的點向下推移, 左方的點向上推移) T = Sy =   1 0 k 1  即P (x, y) T=   1 0 k 1   −−−−−−−−−−−−−→ y軸方向k倍的推移 P′_{(X, Y )} O (x, 0) P(x, y) (0, y) (x, kx) P′_{(x, y + kx)} y x 平面上 y 軸方向 k 倍的推移變換   x y   依水平x方向推移k倍 ⇒   X Y  =   1 k 0 1     x y  =   x + ky y     x y   依縱軸y方向推移k倍 ⇒   X Y  =   1 0 k 1     x y  =   x kx + y  

注意

: P

點坐標矩陣在前或在後其轉換矩陣亦隨之不同

₍

變換矩陣為轉置矩陣關係

₎

。

[x y] 依橫軸方向推移k倍 _{⇒ [X Y ] = [x y]}   1 0 k 1  = h x + ky y i [x y] 依縱軸方向推移k倍 _{⇒ [X Y ] = [x y]}   1 k 0 1  = h x kx + y i 線性變換的面積比_: 若矩陣 T =   a b c d   為平面上的線性變換矩陣, 則變換後新平行四邊形面積 A′ _{為原平行四變形面積} _A _的_| a b c d | 倍若−⇀OP = (x1, y1),−⇀OQ = (x2, y2)則−⇀OP ,−⇀OQ所張開的平行四邊形面積為_{A = |} x1 y1 x2 y2 | = | x1 x2 y1 y2 |

(40)

−⇀

OP ,−⇀OQ 經由線性變換後 −−⇀OP′ _{= (ax1} _{+ by1, cx1} _{+ dy1),}−⇀_{OQ = (ax2} _{+ by2, cx2} _{+ dy2)} _則 −−⇀ OP′_,−−⇀_OQ′_{所張開的平行四邊形面積為}_A′ _{= |}

ax1+ by1 cx1+ dy1 ax2+ by2 cx2+ dy2

| = |

ax1 + by1 ax2+ by2 cx1+ dy1 cx2+ dy2 | = |det(   a b c d  ×   x1 x2 y1 y2  )| = | a b c d | · A y x P(x1, y1) Q(x2, y2) P(x, y) T=   a b c d   −−−−−−−−−−−→ 平面上線性變換 P ′_{(X, Y )} y x P′_(ax 1+ by1, cx1+ dy1) Q′_(ax 2+ by2, cx2+ dy2)

表

_1: 平面線性變換後兩點間的距離與幾何圖形的變換關係線性變換變換矩陣兩點間的距離幾何圖形及區域面積旋轉變換 T = Rθ =   cos θ − sin θ sin θ cos θ   不變面積不變 (形狀不變) 鏡射變換 T = Ry=(tan θ)x =   cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ   不變面積不變 (形狀不變) 伸縮變換 _{T = Dλ}1,λ2 =   λ1 0 0 λ2   改變原面積 λ1λ2 倍 (形狀改變) 推移變換 T = Sx =   1 k 0 1   改變 (水平距離不變) 面積不變 (形狀改變) T = Sy =   1 0 k 1   改變 (鉛直距離不變) 面積不變 (形狀改變) 線性變換後變化: 形狀 _(shape) 不變面積大小不變長度距離不變對稱、旋轉、平移、等倍率伸縮對稱、旋轉、推移、平移對稱、旋轉、平移若A 為一 n 階方陣, 且A 的行列式 _{det(A) 6= 0 ,} 則A 經過矩陣的列運算必可化為單位矩陣 In 。存在基本矩陣 E1, E2_{, · · · , E}k 使得 EkEk−1· · · E2E1A = In

A = E−1 1 E2−1· · · Ek−1 例: A =   0 −3 1 2   R12 −→ =   1 2 0 −3   (−1₃)R2 −→ =   1 2 0 1   (−2)R2+R1 −→ =   1 0 0 1   其基本列運算所對應的基本矩陣分別為:

(41)

E1(R12:單位矩陣的第1,2列對調) =   0 1 1 0   E2_(−13)R2 :單位矩陣的第2列× −1₃ =   1 0 0 −1₃   E3_(−2)R2+ R1) :單位矩陣的第2列× (−2)加到第1列 =   1 −2 0 1   所以   1 −2 0 1     1 0 0 −1₃     0 1 1 0     0 −3 1 2  =   1 0 0 1   A =   0 −3 1 2  =   0 1 1 0   −1  1 0 0 −1₃   −1  1 −2 0 1   −1 =   0 1 1 0     1 0 0 −3     1 2 0 1   任一可逆的二階線性轉換方陣必為旋轉、鏡射、伸縮與推移四種方陣的乘積_: 1. 旋轉(rotation):   cos θ − sin θ sin θ cos θ  , 0 ≤ θ < 2π 2. 鏡射 (reflection):   −1 0 0 1  ,   1 0 0 −1  ,   0 1 1 0  ,   cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ  

3. 伸縮 (contractions and expansions):   λ1 0 0 λ2  , λ1 > 0, λ2 > 0 4. 推移 (shears):   1 k 0 1  , k ∈ R 或   1 0 k 1  , k ∈ R 例:   −14 −2 3 4  =   −1 0 0 1     1 2 0 1     10 0 0 5     4 5 −35 3 5 45   表示經由   −14 −2 3 4  的線性變換,可由旋轉sin−1 3 5角度,再經   10 0 0 5  的伸縮,   1 2 0 1   的推移, 與對 y 軸的鏡射四者合成而得。曲線的線性變換: 1. 旋轉、鏡射變換下, 原圖形的形狀大小不變。(原二次曲線焦點鏡射後為新曲線的焦點)。 2. 推移變換下, 原圖形的形狀可能改變但面積不變。(原二次曲線焦點經推移後非新曲線的焦點)。 3. 伸縮變換下, 原圖形的形狀可能改變、面積 λ1λ2 倍。(原二次曲線焦點經推移後非新曲線的焦點)。