13.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣

性變換(linear transformation)。常見的線性變換有旋轉 _(rotation)、鏡射 (reflection)、伸縮 (dilation) 與推移_(shear) 變換。

線性變換基本性質_:

1. 線性變換矩陣 _T 恆將原點變換到原點

2. 若_{r, s} 為常係數_, 則T (rX) = rT (X) , 且 T (rX + sY ) = rT (X) + sT (Y ) 3. 若det T 6= 0,T 為一對一的線性變換_{, T} 將直線_L 對應到直線 _L^′

平移(translation) 變換的表示法_{: P (x, y)}_−−−→^(h,k) 平移 ^P

′(X, Y )

將點 _{P (x, y)}往_x 軸方向移動 _h 單位_, 往_y 軸方向移動 _k 單位後所得新坐標 _P^′_{(X, Y )}







X = x + h Y = y + k ⇒



 X Y



=



 x y



+



 h k





旋轉變換矩陣_{: T = R}_θ ₌





cos θ − sin θ sin θ cos θ





P 點坐標以原點為中心旋轉一有向角 _θ 角的變換_{,P (x, y)}



 cos θ − sin θ sin θ cos θ





−−−−−−−−−−−−−−−−−→

繞原點旋轉 _θ 角的變換 ^P

′(X, Y )

旋轉 _θ 角的變換矩陣_, 記為 _R_θ ₌





cos θ − sin θ sin θ cos θ



, 若旋轉為一負向角 _−θ 角_, 則 _R_−θ ₌

R⁻¹_θ =





cos θ sin θ

− sin θ cos θ



 y

x P(x, y) r

P^′(X, Y )

αθ 平面上的旋轉變換

坐標平面上_,點_{P (x, y)}滿足x = r cos α, y = r sin α, r = OP ,若以原點為中心_,將_P 點旋轉_θ 角後的對應點為_P^′_{(X, Y ),}則_OP^′與_x軸正向夾角為_θ+α,即







X = r cos(θ + α) = x cos θ − y sin θ Y = r sin(θ + α) = x sin θ + y cos θ 用矩陣來表示為





cos θ − sin θ sin θ cos θ



×



 x y



 原



 X Y



 新原坐標







x = X cos θ + Y sin θ y = −X sin θ + Y cos θ





cos θ − sin θ sin θ cos θ



×



 x y



 原



 X Y



 新



對稱變換矩陣

對稱軸符號對稱矩陣

x 軸 _R_y=0 ¹ ⁰

0 −1

y 軸 _R_x=0 ^{−1 0}

0 1

直線 _{y = x} _R_y=x ^{0 1} 1 0

直線 y = (tan θ)x R_y=mx cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ

旋轉變換矩陣 ₍原點中心₎ 旋轉度數符號旋轉矩陣

90^◦ R_90◦ 0 −1 1 0

180^◦ R₁₈₀^◦ −1 0 0 −1

= (R_90◦)² 270^◦ R₂₇₀^◦

0 1

−1 0

= (R_90◦)³ θ Rθ cos θ − sin θ

sin θ cos θ

x y

A B

C A^′

B^′

C^′ 平移變換

x y

origin 90^◦

180^◦

270^◦

旋轉變換

x y

♥

♥ ♥ ♥

^Lo

Lo ve

ve Lo Love

鏡射對稱變換

x y

D A^′

B^′ C^′ D^′

伸縮變換

伸縮變換矩陣_{: T = D}_λ₁_,λ₂ ₌





λ1 0 0 λ2



 , 為將任一點 _{P (x, y)}以原點 _O 為中心_, 將點_P 沿著 _x 軸方向伸縮 _λ₁ 倍_, 沿著 _y 軸方向伸縮 _λ₂ 倍_, 對應到 _P^′_(λ₁_{x, λ}₂_y) 的變換_, 稱為伸縮變換。

此變換的作用為分別將_{x, y} 坐標伸縮為 _λ₁_{, λ}₂ 倍

P (x, y)





λ₁ 0 0 λ₂





−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

x軸方向_λ₁倍,y軸方向_λ₂倍伸縮 ^P

′(X, Y )



 X Y



=





λ1 0 0 λ₂







 x y



=



 λ1x λ₂y





x A B

C D

A^′ B^′

C^′ D^′

平面上的伸縮變換

推移變換矩陣_: 將任一點 _{P (x, y)}對應到 _P^′(x + ky, y) 的變換_, 稱為依 _x 軸方向 _y 坐標 _k 倍的推移。₍當 _{k > 0}表 _x 軸上方的點向右推移_,下方的點向左推移_{;k < 0}表 _x 軸上方的點向左推移_, 下方的點向右推移₎

T = Sx =

−⇀OP ,−⇀OQ 經由線性變換後 ^−−⇀_OP^′ _{= (ax}₁ _{+ by}₁_{, cx}₁ _{+ dy}₁_),^−⇀_{OQ = (ax}₂ _{+ by}₂_{, cx}₂ _{+ dy}₂₎ 則

E1(R12:單位矩陣的第_1,2列對調_{) =}

1. 旋轉(rotation):



2. 鏡射 (reflection):



3. 伸縮 (contractions and expansions):



空間點平移: (x, y, 1) 7→ (x + h, y + k, 1)

變換 (Transformation) 坐標對應 _(Mapping) 變換矩陣平移 (Translation) (a, b)−−−→^(h,k)

平移 (a + h, b + k) 無

對稱 (Reflection) (a, b) −−−−−−→

對稱_x軸 ^{(a, −b)}



 1 0 0 −1





(a, b) −−−−−−→

對稱_y軸 ^{(−a, b)}





−1 0 0 1





(a, b) −−−−−−→

對稱原點 ^{(−a, −b)}





−1 0 0 −1





旋轉_(Rotation) _{(a, b)} 旋轉_θ角

−−−−−−→

繞原點 (a cos θ − b sin θ, a sin θ + b cos θ)





cos θ − sin θ sin θ cos θ





伸縮 _(Stretch) _{(a, b)} ^y軸方向 _s 倍伸展

−−−−−−−−−−−−→

x軸方向 _r 倍伸展 ^{(ra, sb)}



 r 0 0 s





放大(Magnification) (a, b) m倍縮放

−−−−−−−−−−→

以原點為中心 ^{(ma, mb)}



 m 0

0 m





推移_(Shear) (a, b) −−−−−−−−−−−−−−−−−−→

x軸方向 _y坐標k倍的推移 (a + kb, b)



 1 k 0 1





(a, b) −−−−−−−−−−−−−−−−−−→

y軸方向 _x坐標k倍的推移 (a, b + ka)



 1 0 k 1





投影 (Projection) (a, b) −−−−−−−−−−−→

對_x軸的投影點 ^{(a, 0)}



 1 0 0 0





例題

範例 _1: 平面上三角形_ABC 三頂點坐標分別為A(−2, 4), B(0, 6), C(1, −1),若用矩陣_P表示頂點坐標

−2 0 1 4 6 −1







 A B C x

y 若三角形 _A’B’C’為三角形 _ABC 往 _x 軸正向平移₃單位_, 往 _y 軸負向平移

2單位_,則此時三角形 _A’B’C’三頂點坐標用矩陣表示為何_?

x y

A B

C A^′

B^′

C^′

(解_{:)P +}





3 3 3

−2 −2 −2



=

1 3 4 2 4 −3







 A’ B’ C’

x y

演練 _{1a :} 平行四邊形_ABCD四頂點坐標A(−1, 1), B(4, 0), C(4, −5), D(−1, −3) ,若將此四邊形往左平移₂單位_, 再向上₄單位

1. 建立一_{2 × 4} 階矩陣表示原四邊形四頂點坐標_? 2. 接上題建立一平移矩陣_?

3. 求平移後新四邊形頂點坐標_?

(解_:)





−1 4 4 −1 1 0 −5 −3



+





−2 −2 −2 −2

4 4 4 4



=





−3 2 2 −3 5 4 −1 1





演練 _{1b :} 正四邊形_ABCD四頂點坐標A(−1, 3), B(3, 3), C(3, −1), D(−1, −1) , 若將此正方形往左平移₁單位_,再往下平移₂單位_,新正方形的頂點坐標為何_? 面積有改變嗎_?





−2 2 2 −2 1 1 −3 −3



; 無

演練 _{1c :} 若將三角形 _ABC, 往左平移₆單位_, 往下平移₂單位後得到新三角形 _A^′_B^′_C^′ _; 再將三角形 A^′B^′C^′ 往右平移₁單位_,往上平移₅單位後得到另一新三角形_{A”B”C”,}問三角形_ABC 圖形如何平移可直接得到此三角形 _{A”B”C” ?} 平移 _{(−5, 3)} 單位線性變換

範例 _2: 一直角三角形 _{P QR ,} 三頂點坐標P (−1, −1), Q(2, 1), R(3, −2)經由矩陣 _{T =}



 a b c d



 線性變換後_, 新直角三角形 _P^′_Q^′_R^′ 坐標為 _P^′_{(−1, 1), Q}^′_{(2, −1), R}^′_{(3, 2) ,} 求此變換矩陣 _{T ?}



 1 0 0 −1





x y

R P^′

Q^′ R^′

演練 _{2a :} 三角形_{P QR ,} 三頂點坐標P (−1, −2), Q(0, −4), R(2, −3)經由 _x軸鏡射後的新三角形頂

點坐標分別為何_?





−1 0 2 2 4 3



 演練 _{2b :} 一矩形_ABCD經由_y軸鏡射後的新矩形頂點坐標分別為_A^′_{(2, 4), B}^′_{(6, 2), C}^′_{(3, −4), D}^′_{(−1, −2),}

求原矩形 _ABCD 頂點坐標_?





2 6 3 −1

−4 −2 4 2



 演練 _{2c :} 一梯形頂點坐標分別為 P (−1, −2), Q(−3, 1), R(−1, 5) 和 _{S(2, 4),} 經由直線 _{y = x} 鏡射

後的新梯形 _P^′_Q^′_R^′_S^′ 頂點坐標分別為何_?





−2 1 5 4

−1 −3 −1 2





演練 _{2d :} 二階方陣 _{T ,} 為一線性變換矩陣_, 若





√2





−→T



 3√

√2 2



, 則



 1 1





−→T



 a b



 , 求點坐

標_{(a, b) =?} ^{(3, 1)}

演練 _{2e :} 二階方陣 _{T ,} 為一線性變換矩陣_, 若



 1 2





−→T



 5 6



, 且



 3 4





−→T



 7 8









√3 2√





−→T



 a b



 求點坐標 _{(a, b) =?}

T (cu) = cT (u) =√

3(5, 6) = (5√ 3, 6√



 1 + 3 2 + 4





−→T



 a b



 求點坐標 _{(a, b) =?}

T (u + v) = T (u) + T (v) = (5 + 7, 6 + 8)

演練 _{2f :} 平面上三角形 _ABC 頂點坐標變化_, 下列敘述何者正確_?(1) 先經由平移 _{(h, k)} 單位後_, 再經由平移 _(h^′_{, k}^′₎ 單位後所得到新三角形與先經由平移 _(h^′_{, k}^′₎ 單位後_, 再經由平移 _{(h, k)} 單位後所得到新三角形有相同頂點。 ₍₂₎ 先經由平移 _{(h, k)} 單位後_,再經由 _x軸鏡射後所得到新三角形與先經由 _x 軸鏡射後_, 再經由平移 _{(h, k)} 單位後所得到新三角形有相同頂點。

(3) 先經由 _y 軸鏡射後_, 再經由 _x 軸鏡射後所得到新三角形與先經由 _x 軸鏡射後_, 再經由 y 軸鏡射後所得到新三角形有相同頂點。₍₄₎ 先經由直線 _{y = x} 鏡射後, 再經由 _x 軸鏡射後所得到新三角形與先經由 _x 軸鏡射後_, 再經由直線 _{y = x} 鏡射後所得到新三角形有相同

頂點。₍₅₎ 先經由繞原點旋轉 ₉₀^◦ 後_, 再經由 _x 軸鏡射後所得到新三角形與先經由_y 軸鏡射後_,再經由繞原點旋轉₉₀^◦ 後所得到新三角形有相同頂點。₍₆₎ 先經由繞原點旋轉₉₀^◦ 後_, 再繞原點旋轉₁₈₀^◦ 後所得到新三角形與經由繞原點旋轉 ₂₇₀^◦ 後所得到新三角形有相同頂

點。 ^1,3,5,6

範例 _3: 求單位正方形₍頂點為(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)的正方形₎經由線性變換矩陣_{T =}





−1 1

−1 −1



 後的圖形及頂點坐標_?

(解_:)菱形_{; T =}





−1 1

−1 −1



×





0 1 1 0 0 0 1 1



=





0 −1 0 1 0 −1 −2 −1





x y

演練 _{3a :} 描述單位正方形分別經由下列矩陣變換後的圖像_? 1. T =



 1 2 0 1





平行四邊形 (0, 0), (1, 0), (3, 1), (2, 1)

2. T =



 1 2 2 4





四頂點均在直線 _{y = 2x} 上

3. T =



 3 4 2 3





平行四邊形 (0, 0), (3, 2), (7, 5), (4, 3)

演練 _{3b :} 求二階方陣 _{T ,} 將單位正方形變換成如圖中矩形_?

x y

(−¹2, 0)

(−¹₂, −2)

(解_{:)T =}





−¹₂ 0 0 −2



 或





0 −¹₂

−2 0





演練 _{3c :} 求二階方陣 _{T ,} 將單位正方形變換成 A(0, 0), B(2, 1), C(3, 1), D , 又_D 點坐標為何_?

(解_{:)T =}



 1 2 0 1



 或



 2 1 1 0



;D(1, 0)

演練 _{3d :} 下列選項何者為真_?(1) 正方形經由二階方陣 _{T =}



 a b c d



變換後必為平行四邊形 1

範例 _4: 二階方陣 _{T =}





2 −1

−4 3



, 為一線性變換矩陣_{, T X = X}^′ _, 將原坐標矩陣 _X, 變換成新坐標矩陣 _X^′。

1. 求點 _{P (3, 5)}經過 _T 作線性變換後所對應的點 _P^′ 坐標_? ^P

′(1, 3)

2. 求一點_Q, 使它經由 _T 作線性變換後所對應的點為 _Q^′_{(4, −6)} ^{Q(3, 2)} 演練 _{4a :} 二階方陣 _T 將點 _{(1, 1)} 變換成_{(1, 1),} 將點_{(2, −1)} 變換成_{(3, 1)}

1. 求方陣_{T ?}





4 3 −¹₃

2 3

1 3





2. 求一點_{P ,} 使它經由 _T 作線性變換後仍為點 _P P (t, t), t ∈ R 演練 _{4b :} 對於正整數 _n, 設_{(1 + i)}ⁿ _{= a}_n_{+ ib}_n_,其中 _{i =}^√₋₁且 _a_n_{, b}_n 為實數

1. 試求 _a²₄_{+ b}²₄ 之值_? ¹⁶

2. 從恆等式 _{(1 + i)}ⁿ⁺¹ _{= (1 + i)}ⁿ_{(1 + i)} 可推得 _a_n_{, b}_n 會滿足矩陣乘法



 an+1

bn+1



 =



 an



 , 試求矩陣 _{T ?}





1 −1 1 1





3. 令_{P, Q}為坐標平面上異於原點_O 的兩點_,若矩陣_T 在平面上定義的線性變換將_{P, Q} 分別映射到點_P^′_{, Q}^′_, 試證 ^OP^′

OP = OQ^′

OQ 且 ∠P OQ = ∠P^′OQ^′

演練 _{4c :} 設 A(1, 0), B(0, 1) 為坐標平面上兩點_{, C} 為直線 _AB 外一點_, 經平面線性變換 _T 作用後_, A 被映射至 _A^′_(1,^√_{2), B} 被映射至 _B^′_(−1,^√_2), 而_C 被映射至 _C^′。

1. 試問變換 _T 的矩陣為何_?





1 −1

√2 √ 2



 2. 試證明變換_T 將 _△ABC 的重心映射至 _△A^′_B^′_C^′ 的重心。

3. 若_△ABC 的面積為_3, 試求點 _C^′ 與直線 _A^′_B^′ 的距離_? ⁶

√2

演練 _{4d :} 二階方陣 _{T ,} 為一線性變換矩陣_{, T X = X}^′ _, 將原坐標矩陣 _X, 變換成新坐標矩陣 _X^′_, 若



 5 6





−→T



 17 39



 , 且



 7 8





−→T



 23 53



 , 求此二階方陣 _{T =?} ^{T =}



 1 2 3 4





演練 _{4e :} 已知 _{T =}



 1 2 2 4



 ,求滿足



 x y





−→T



 1 2



 , 的所有點坐標 _{(x, y)} (解_:)直線 _{x + 2y = 1} 上的點 (det T = 0, 此矩陣非線性變換矩陣₎ 旋轉變換

範例 _5: 正三角形 _△OAB, 已知 O(0, 0), A(4, 2) , 求點 _B 的坐標_? (2 −√

3, 2√

3 + 1) 或 _{(2 +}^√_{3, −2}^√_{3 + 1)}

演練 _{5a :} 一正方形一頂點_O 為原點_,逆時針方向頂點依序為 _OABC,且已知頂點_A(

√3 2 ,1

2),若將此正方形繞原點旋轉 _θ 角後_, 得新正方形_{OA’B’C’,} 若_A 變換為 _A^′₍¹

√3

2 ) , 求原頂點 _B坐標及旋轉後頂點 _C’坐標_?

B(^√₂³ −¹2,^√₂³ +¹₂),C^′(−^√2³,¹₂)

演練 _{5b :} 三角形 _△ABC,已知頂點坐標 A(4, 3), B(2, 1), C(1, 5) ,若此三角形繞原點旋轉 ₉₀^◦ 後成

△A^′B^′C^′ 求各頂點坐標_? A^′(−3, 4), B^′(−1, 2), C^′(−5, 1)

演練 _{5c :} 三角形_△ABC 繞原點旋轉₉₀^◦ 後成_△A^′_B^′_C^′ _,頂點坐標_A^′(−3, −5), B^′(−2, 7), C^′(1, 4) 求原三角形 _ABC 頂點坐標_?

A(−5, 3), B(7, 2), C(4, −1)

演練 _{5d :} 一正六邊形 _ABCDEF 的外接圓圓心為原點_, 已知一頂點坐標為 _{A(1, 0),} 其相鄰頂點為其中一頂點繞原點旋轉 ^π

3 可得_, 求其於頂點坐標_? 此正六邊形的頂點具有哪些對稱關係_? 請舉例_?

B(¹₂,^√₂³), C(−¹₂,^√₂³); 對稱原點_, 對稱兩坐標軸

範例 _6: 平面上_, 將點 _A(2^√_{2, −4)} 繞點 _{B(1, 1)} 旋轉₄₅^◦後的新位置 _C點_, 則_C 點坐標為_?

(解_:)先將 _A 平移_{(−1, −1)}、繞原點旋轉₄₅^◦ 後再平移_{(1, 1)}單位_, 可得 _{C(3 + 2}^√_{2, 3 − 3}^√₂₎ 演練 _{6a :} 一正方形若依逆時針方向其頂點依序為 _ABCD,且已知頂點坐標 A(−1, −1), B(2, −3), 求

頂點_{C, D} 坐標_?(hint:B 點繞 _A 點中心旋轉₉₀^◦可得 _D 點₎ D(1, 2), C(4, 0) 演練 _{6b :} 求平面上點 _{A(1, 1)} 繞點 _{(3, 4)} 旋轉 ₉₀^◦ 後的點坐標為何_? ^{(6, 2)}

鏡射變換

範例 _7: 已知直線 _{L : y =} ^√_{3x ,} 求點 _{P (−2 −}^√_{3, −1 + 2}^√₃₎ 對於直線 _L 的對稱點 _P^′ 坐標_? P^′(4, −2)

演練 _{7a :} 直線 L : x + y = 0 , 求點 _{P (1, 1)}對於直線_L 的對稱點 _P^′ 坐標_? ^P

′(−1, −1)

1. 直線 L : x + y = 0 ,求點 _{Q(−2, 1)}對於直線_L 的對稱點 _Q^′ 坐標_? ^Q

′(−1, 2)

2. 直線 _L^′ : x + y = 1 , 求點 _{P (1, 1)}對於直線 _L^′ 的對稱點 _P^′′ 坐標_? ^P

′′(0, 0)

3. 直線 _L^′′: x + y = 3 , 求點 _{P (1, 1)}對於直線_L^′′ 的對稱點 _P^′′′ 坐標_? ^P

′′′(2, 2) 演練 _{7b :} 已知直線 L : y = 2x , 求點 _{P (2, 3)} 對於直線 _L 的對稱點 _P^′ 坐標_? 並求對稱於直線

L : y = 2x 的線性變換矩陣 _{T =?}

P^′(⁶₅,¹⁷₅);T =





−³₅ ⁴₅

4 5

3 5





演練 _{7c :} 三角形 _△ABC, 頂點坐標分別為 A(−4, 2), B(−3, −1), C(−5, −2) , 求對稱於直線 _{L :} y = x 的三角形 _A^′_B^′_C^′ 頂點坐標_?

A^′(2, −4), B^′(−1, −3), C^′(−2, −5)

演練 _{7d :} 三角形 _△ABC, 頂點坐標分別為 A(−4, 2), B(−3, −1), C(−5, −2) , 求對稱於直線 _{L :} x + y = 0 的三角形 _A^′_B^′_C^′ 頂點坐標_?

A^′(−2, 4), B^′(1, 3), C^′(2, 5)

演練 _{7e :} 試找出對稱於直線 L : 3y = 4x 的線性變換矩陣 _{T =?} ^{T =}





−₂₅⁷ ²⁴₂₅

24 25

7 25



 伸縮變換

範例 _8: 矩形_OABC 四頂點坐標 O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) 經由矩陣 _{T =}



 2 0 0 3



 的線性變換四頂點_O^′_{, A}^′_{, B}^′_{, C}^′坐標為何_? 四邊形_O^′_A^′_B^′_C^′ 的面積為多少_?

O^′(0, 0), A^′(2, 0),B^′(2, 3), C^′(0, 3),A=6

演練 _{8a :} 一正方形 _ABCD, 已知頂點坐標 A(−1, −1), B(2, −3), C(4, 0), D(1, 2), 若將此正方形經由 _{T =}



 3 0 0 2



 的線性變換後的四邊形頂點 _A^′_{, B}^′_{, C}^′_{, D}^′ 坐標為何_? 四邊形 _A^′_B^′_C^′_D^′ 的面積為多少_?

A^′(−3, −2), B^′(6, −6), C^′(12, 0), D^′(3, 4);area= 13 × 6

演練 _{8b :} 空間中一平行六面體_{ABCD −EGHF} 的頂點坐標用矩陣表示如下_: 求此六面體對稱於_yz

平面的平行六面體頂點坐標分別為何_{? P =}

A B C D E F G H







1 0 0 1 −2 −2 −3 −3 0 1 5 4 0 4 1 5 0 5 5 0 0 0 5 5





 x y z

(解_:)







−1 0 0 0 1 0 0 0 1





× P =

A^′ B^′ C^′ D^′ E^′ F^′ G^′ H^′







−1 0 0 −1 2 2 3 3 0 1 5 4 0 4 1 5 0 5 5 0 0 0 5 5





 x y z

演練 _{8c :} 三角形 _△ABC, 頂點坐標分別為 A(0, 2), B(³₂, −³₂), C(−⁵₂, 0) , 若經由伸展後新三角形 A^′B^′C^′ 的周長為原三角形 _ABC 的兩倍長_,求三角形 _A^′_B^′_C^′ 的頂點坐標_?

A^′(0, 4), B^′(3, −3), C^′(−5, 0) 推移變換

範例 _9: 平行四邊形 _ABCD 的頂點坐標分別為 A(−1, 4), B(1, −4), C(1, −2), D(−1, 6) 經由沿著 y 軸方向 _x坐標 _k 倍的推移後變換成矩形_A^′_B^′_C^′_D^′_, 且頂點_A坐標變換成 _A^′_{(−1, 0) ,} 求矩形 A^′B^′C^′D^′ 其餘頂點坐標_? 及平行四邊形 _ABCD面積_?

B^′(1, 0), C^′(1, 2), D^′(−1, 2);4;k = 4

A^′ B^′

C^′ D^′

B C D

演練 _{9a :} 正方形 _OABC 四頂點坐標 O(0, 0), A(2, 0), B(2, 2), C(0, 2) 經由矩陣 _{T =}



 1 3 0 1



 的線性變換後為四邊形 _O^′_A^′_B^′_C^′ _, 求其頂點坐標及此四邊形形狀面積為何_?

O^′(0, 0), A^′(2, 0),B^′(8, 2), C^′(6, 2), 平行四邊形 _{A = 4}

演練 _{9b :} 若二階方陣 _T 將平面上的點坐標 _{(x, y)} 水平方向推移變換成(x − 3y, y) , 求此方陣 _{T =?}





1 −3 0 1





演練 _{9c :} 平面上一向量⁻^⇀_{u = (1, 2)}經由矩陣_{T =}



 1 3 0 1



的線性變換後⁻^⇀_u^′ 為何_? ^{(7, 2)} 演練 _{9d :} 英文大寫字母 _N 在平面坐標上可由八個頂點坐標編號 _{1 ∼ 8} 構成_, 依序表示成矩陣

D =





0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 6 0 0 0 1.58 6.42 8 8 8



 經由矩陣 _{T =}



 1 ¹₄ 0 1



 的線性變換後為斜體字母 _{N ,} 但小胖同學覺得此字型有點過寬胖_, 想將斜體字型水平方向縮小為原 ³

4 倍大_, 依小胖同學的要求_, 大寫字母經由推移、伸縮變換的合成矩陣為何_?





3 4

3 16

0 1





1 2 5

3 8 7

4 6

−−−→ 1 2斜體 5

3 8 7 4 6

−−−−−→ 1 2瘦斜體 5

3 8 7 4 6

綜合線性變換

範例 _10: 將點_{P (6, 4)} 分別做下列線性變換後的點坐標為何_?

1. 以原點為中心旋轉 ₃₀^◦ ^{(−2 + 3}

√3, 3 + 2√ 3)

2. 對直線_{L :}^√_{3x + y = 0} 鏡射 ^{(−3 − 3}

√3, 2 − 3√ 3)

3. 以原點為中心_, 沿著 _x軸方向伸縮₂倍_, 沿著_y 軸方向伸縮₃倍 ^{(12, 12)} 4. 沿著 _x軸推移 _y 坐標的 ¹

2 倍 ^{(8, 4)}

演練 _{10a :} 線性變換方陣 _{T =}





0 −1 1 0



 , 可表示成那兩次軸對稱方陣的變換結果_?

(解_:)





−1 0 0 1



×



 0 1 1 0



 或



 0 1 1 0



×



 1 0 0 −1





演練 _{10b :} 三角形 _ABC 三頂點坐標A(1, 3), B(−2, −1), C(−1, −3), 用矩陣





1 −2 −1 3 −1 −3



表示_, 分別經由下列變換後哪些選項正確_{? (1) △ABC} _−→^R^x





1 −2 −1

−3 1 3



(2) △ABC −→^R^y





−1 2 1 3 −1 −3



(3) △ABC ^R−→^y=x





3 −1 −3 1 −2 −1



(4) △ABC −→^R^90◦





−3 1 3 1 −2 −1





(5) △ABC ^R−→^180◦





−1 2 1

−3 1 3



 (6) △ABC ^R−→^270◦





3 −1 −3

−1 2 1





1,2,3,4,5,6

演練 _{10c :} 若二階方陣_{A, B} 階可逆_,且滿足坐標變換_{P (1, 2)}₋_{→ P}^A ^′_{(2, 1)}₋_{→ P}^B ^′′_{(2, −1)}及_{Q(3, 4)}₋_→^A Q^′(4, 3)−→ Q^B ^′′(4, −3)

1. 求_{R(5, 6)}₋_{→ R}^A ^′ ₋_{→ R}^B ^′′ 對應中的 _R^′_{, R}^′′ 坐標_? ^R

′(6, 5), R^′′(6, −5)

2. 求_{R(5, 6)}₋_{→ R}^B ^′ ₋_{→ R}^A ^′′ 對應中的 _R^′_{, R}^′′ 坐標_? ^R

′(5, −6), R^′′(−6, 5)

3. 求_{R(5, 6)}₋_{→ R}^B _B ₋_{→ R}^A _AB ₋_{→ R}^A _AAB ₋_{→ R}^B _BAAB對應中的_R_BAAB坐標_? ^R^BAAB^{(5, 6)}

演練 _{10d :} 求二階方陣_T 可將點繞原點旋轉 ₃₀^◦後_,再對稱於直線_{y = x}的線性變換_? ^{T =}





1 2

√3

√ 2 3 2 −¹2



 習題_13-4 平面上的線性變換與二階方陣

1. 求二階矩陣_T 作將點_{P (x, y)} 經由 _T 線性變換後所對應的點為 _P^′(x + y, x − y) 2.

3. 二階方陣 _{T ,}為一線性變換矩陣_, 若



 x y





−→T





x − 2y y



 , 求方陣 _{T =?}

4. 求點 _{P (−3, 5)}經過二階矩陣 _{T =}





−2 1 4 3



 作線性變換後所對應的點_?

5. 二階方陣 _{T ,} 為一線性變換矩陣_, 若



 0 2





−→T



 4 6



 , 則



 0 1





−→T



 a b



 , 求點坐標 (a, b) =?

6. 二階方陣 _{T ,}為一線性變換矩陣_, 若



 1 2





−→T



 3 4



 , 且



 5 6





−→T



 7 8





(a)





√3 2√





−→T



 a b



 求點坐標 _{(a, b) =?}

(b)



 1 − 5 2 − 6





−→T



 a b



求點坐標 _{(a, b) =?}

7. 已知點P (1, −1), Q(−2, 1)經過二階矩陣_T 作線性變換後所對應的點分別為_P^′(−1, −1), Q^′(0, −2) 求二階方陣_T

8. 已知點P (1, 1), Q(1, −1)經過二階矩陣 _T 作線性變換後所對應的點分別為 _P^′_{(2, 2), Q}^′_{(1, −1)} 求二階方陣_T

9. 若二階矩陣_{T =}



 1 2 2 4





(a) 求點 _{(1, 5)} 經由矩陣 _T 變換後所對應的點坐標_? (b) 求點 _{(3, 4)} 經由矩陣 _T 變換後所對應的點坐標_?

10. 是否存在二階矩陣 _T 將單位正方形變換成頂點坐標為 E(1, 1),F (2, 5),G(4, 7),H(3, 3) 的平行四邊形_{EF GH ?}

11. 直線 L : x − y = 2 經過二階矩陣 _{T =}

在文檔中 4B3C matrix (頁 35-55)