形狀記憶合金數學模式

合金在四個溫度變態點之間循環如圖1-12所示，其中ξ表示麻田 散鐵的含量，當ξ=1時，麻田散鐵含量為100%，其會在Mf 和As 點出 現，ξ=0時，麻田散鐵含量為零，其會在A_f和M_s出現。首先依照Brison¹⁷ 的論文，其所持的理論如下:

形狀記憶合金的相轉換，介於麻田散鐵和沃斯田鐵之間，其轉 換的過程會受到溫度和外力的影響。因此應力(σ)、應變(ε)、溫度(T) 和麻田散鐵分量(ξ)之間的關係，可形成以下公式:

(2.1) 其中，D(ε，ξ，T)表示楊氏係數，Ω(ε，ξ，T)表示轉換張量，θ(ε，ξ，

T)表示熱擴散係數，楊氏係數可表示為

D= Da + ξ (Dm-Da) (2.2)

Dm為形狀記憶合金包含100%麻田散鐵的模數，Da為形狀記憶合金包 含100%沃斯田鐵的模數而楊氏係數和轉換張量之間的關係為:

Ω= - ε L D (2.3)

εL表示最大可恢復應變，因為材料中麻田散鐵的含量ξ變化，與溫度 和應力有關，因此，ξ可分成兩部份:

ξ=ξ + ξ (2.4)

形狀記憶合金的相變化在麻田散鐵與沃斯田鐵之間轉換，其中ξS

表示麻田散鐵係數受到應力影響的部份，ξ_T表示麻田散鐵係數受到溫 度影響的部份，麻田散鐵係數與溫度和應力的關係式如圖1-20，σ^cr s

和σ^cr _f是轉變到麻田散鐵開始和結束的臨界應力，ξ與溫度、應力的關 係可由下列公式表示:

圖1-20 麻田散鐵係數與溫度、應力的關係圖

當轉換到麻田散鐵

當範圍在 T>M_s 與 σ^cr s

+Cm(T-M

+Cm(T-M

(2.5a)

(2.5b)

當範圍在 T<Ms 與 σ^cr s<σ< σ^cr f 則:

(2.5c)

(2.5d)

如果 Mf<T<Ms 和 T<T0 則:

(2.5e)

當轉換到沃斯田鐵

(2.6a)

(2.6b)

(2.6c)

將初始條件設定在起始的零時間點(σ0、ε0、ξ_S 0、ξ_T 0、T0)，最後表 示形狀記憶合金的基本公式可表示為:

σ-σ0=D(ε-ε0)+Ωs(ξs-ξs0)+Ωt(ξt-ξt0)+Θ(T-T0 ) (2.7)

2.8 有限元素法於形狀記憶合金的研究

Brinson¹⁷指出Liang和Tanaka發展出形狀記憶合金熱機行為的一 維基本模型中，形狀記憶合金中的麻田散鐵含量的係數只被簡單的 定義為一種常數，並不足以明確的表示出形狀記憶合金的特性，因 此Brinson¹⁷將其受到應力和溫度影響的部份分別定義，如此可較準確 表示出在各溫度的超彈性和形狀記憶效應，以及內部相變化和應力 與溫度的關係。

2003年，雲林科技大學蔡豐銘之著作²¹，『形狀記憶合金之有限 元素分析』中提到有關於分析模擬一維形狀記憶合金的非線性行 為，利用編輯成的形狀記憶合金程式與有限元素軟體結合，觀察形 狀記憶合金在各種負載、溫度等情況下的行為。在研究過程中，形 狀記憶合金應力、應變、麻田散鐵分量與溫度之間的關係為影響結 果重要的因素。經由形狀記憶合金的公式，計算出形狀記憶合金受 負載時與卸除負載時之麻田散鐵含量，以得知形狀記憶合金的能量 變化情形。該文對形狀記憶合金最常被使用的狀況，做了有限元素 分析，包含形狀記憶效應(SME)及超彈性的分析，形狀記憶合金溫度 與回復力的分析，形狀記憶合金結合其他材料的分析。此研究建立 了程式與有限元素軟體ANSYS連結的方法，利用Fortran程式語言編 輯程式，使程式成為ANSYS的子程式(Subroutine)，擴充ANSYS的功 能，使ANSYS能分析形狀記憶合金的非線性行為。

3. 有限元素介紹

FEM (finite element method) 這一名稱是在1960年代時，由美國 加州大學教授克拉夫 (Clough, R.W.)首次引用有限元素法是一個計 算數值的方法，在工業上的使用已有超過五十年以上的歷史，可以 用來求解包含應力分析，熱傳，流體流動及電磁等工程問題。可是 在很多實際的環境下，很難獲得正確的邊界和初始條件，並且微分 方程式也會過於複雜，要處理這些問題，只能求得近似解。有限元 素先將物體分類成不同的元素，包括質點元素，或是線，如樑元素、

管元素，以及面、體積元素，為了求得結構內任一點的行為，需將 結構分成很多節點和很多區域，計算形式是使用虎克定律來求解，

使用積分公式來創造出代數方程式的系統，而不是微分方程式，用 一個近似連續的函數，來表示每個元素的解答，連結個別的解，完 整的解即產生。

3.1 有限元素的基本步驟 CAD(computer aided design)來建立，常見的繪圖軟體有3D studio max，MAYA，Rhinoceros, I-DEAS等等。

(2) 劃分網格

ABAQUS 提 供 的 網 格 功 能 包 含 三 種 方 法 ： 延 伸 (Sweep Meshing)、映射(Mapped Meshing)、自由網格(Free Meshing)等功 能。延伸網格劃分可以將幾何模型分解成幾個簡單的部份，選擇 合適的單元屬性來產生映射網格。自由網格可對複雜模型直接劃 分，避免個別部分劃分後無法連結的問題。

二. 分析計算階段:

3.2 使用軟體介紹

本研究採用ABAQUS有限元素軟體，其主要功能包括三個部份:

前處理階段、分析計算階段、後處理階段，如圖1-21所示。ABAQUS 能同時分析結構受到力、動力、熱傳及流力等多重物理現象影響時 的變化，因此常被使用在電子封裝、微機電、機械、土木、汽車、

航太及醫學工程等多種產業領域，其運算所根據的原理，乃是依循 有限元素法。當結構物的模型在軟體中被建立好並網格化後，只要 附加適當的條件，就可直接利用有限元素法來計算，進而了解所建 立的模型或產品的特性。

圖1-21 有限元素運算流程

3.3 ABAQUS簡介

等相關之高度非線性材料庫。

(6) 挫曲分析：可考慮幾何不完美度及挫曲負荷外的其他負荷影響。

(7) 自然振頻振模分析：可考慮固定負荷作用下的自然振頻。

(8) 破壞力學分析：可分析應力強度因子及裂縫成長問題。

(9) 次結構/超元素分析：次結構分析主要用於大型有限元素模型，或 見少非線性結構的疊代模型大小。

(10)元素重分割功能(ALE)：提供大應變的元素重新分割功能，以避 免元素行為異常現象。

(11)聲響與結構耦合分析：船舶或工廠等地方的噪音、空洞(如隧道) 區域的聲響自然頻率等問題；與流體元素結合可模擬水下爆炸問 題。

(12)熱傳與應力耦合問題分析：可解雙重偶合問題 (如摩擦生熱導致 的結構變形)。

(13)流體與應力耦合問題分析：流體元素及充氣功能可解決輪胎及安 全氣囊的問題。

(14)壓電偶合分析：可同時解壓電材料中的位移場與電動勢場。

(15)機構運動分析：結合剛體及可變形體來做機構或多體運動分析，

可解決如絞鏈、避震器、萬向接頭、球座連接器、活塞機構等問 題。

3.4 Fortran 簡介 期，由IBM的John Backus所研發，並於1956年首次用在IBM 704計算 機上。1958年推出加強版Fortran Ⅱ，幾年後發展出Fortran Ⅲ，均未 被普遍使用。直到1962年，Fortran Ⅳ出現，才被廣泛使用。之後也 發展出一些Fortran的數學版本。1977年完成的Fortran修正版為Fortran

的生理條件下，剩餘齒質的應力值與破壞能量將顯著升高，這會造 成剩餘齒質的結構容易發生斷裂或破壞。而窩洞深度(depth)及牙本質 保留厚度(inter-axial dentin thickness)分別是影響牙釉質及牙本質應力 分佈最重要的因素。在後續的齒質破壞實驗結果中驗證和有限元素

3.6 國外有限元素法在牙醫學方面的研究

在國外的研究文獻中，有限元素方法的應用比起台灣來講是更 早更廣泛。單單在牙醫學上的研究，就包括了牙周韌帶或齒槽骨、

牙齒或植體等的受力分析，或是窩洞設計、根管治療過牙齒、各種 補綴物的應力分析… … 。

若縮小範圍在齒顎矯正方面來看，Mestrovic S.、Slaj M.以及Rajic P.這三位學者在2003年的一篇研究中²⁷，就利用有限元素的方法，建 立了一個上顎犬齒的3D model以觀察受一牛頓(1Nt)的tipping force 時，牙齒移動的情況。分析的結果發現，如果施力點越接近齒頸部，

產生tooth tipping movement的效果越大。

2001年時，加州大學洛杉磯分校的Rudolph DJ.、Willes PMG.及 Sameshima GT.等學者人做了一個研究²⁸，他們建立一個上顎正中門 齒的3D model，用tipping、intrusive、extrusive、rotational、bodily movement等五種不同方向的力量去作用，有限元素分析的結果出

4. 研究目的

日本東京醫科齒科大學於近年發展出新一代的『改良型鈦鎳合 金線』，此線材因為其低遲滯(low hysteresis)以及震盪吸收(shock and vibration absorbing property)等優點，已慢慢地普及於矯正界之中並興 起一陣風潮，可達成臨床要求之牙齒移動最快速，傷害最小的目標。

雖然此類線材已廣泛地應用於臨床且成效良好，但是對於其力學性 質的深刻探討卻付之闕如，因此藉由電腦的分析來對此材料做進一 步的力學分析，進而對牙齒移動，以及移動時的應力應變等進行更 深入的理解乃為具有高度臨床意義之研究方向，有鑑於此我們使用 有限元素法來進行電腦模擬分析。有限元素法(Finite element method，

FEM)是一種數值計算方法，在工業上的使用已有超過一百年以上的

讓矯正醫師對鎳鈦合金矯正線的機械性質能有進一步的了解，而幫 助矯正醫師掌握臨床治療經驗的力學佐證。

第二章 材料與方法

2.1 材料

由於鎳鈦合金矯正線的機械性質與鎳、鈦含量及其比例有關，

此外，鎳鈦合金矯正線熱處理的溫度與時間，亦會影響到鎳鈦合金 矯正線是否能保有超彈性與形狀記憶性質，而這些資訊尚被視為商 業機密。基於上述原因，故不同廠商出產的鎳鈦合金矯正線才會有 著不盡相同的特性曲線。

我們的研究選用的orthodontic arch wire樣本材料，是日本Tomy 公司出品的L&H TITAN Nickel Titanium wire(圖2-1)(商品名);有四種 不同規格(不同厚度、不同形狀)。規格如表2-1。

表2-1 日本 Tomy 公司出品的L&H wire規格表

規格 厚度 形狀 商品編號 1 .016x.022 standard 524-12 2 .016x.022 Accu Form 525-12 3 .018x.025 standard 524-15 4 .018x.025 Accu Form 525-25

其中規格2之矯正線被廣泛使用於我們的臨床治療之中，因此實 驗之樣本將以此線為主進行模擬測量。

圖2-1 L&H TITAN Nickel Titanium wire圖示

2.2 過去的實驗方法

為了明瞭材料的機械性質，拉伸試驗是最常見的試驗法，圖2-2 為常見之拉伸試驗機，然而，此種試驗法所得到的數據卻無法直接 被引用於臨床矯正工作，因為測試的數據並不能完全的表現出此材 料在生物體中的反應，例如牙周韌帶的黏彈性，骨頭的吸收及形成，

矯正器之間的摩擦力，口水的黏性，飲食習慣造成的口腔酸鹼性及 溫度的變化…等等，都是造成誤差的原因。

圖2-2 MTS材料動態萬能試驗機

圖2-2 MTS材料動態萬能試驗機