世界各國為了提升國家的競爭力，紛紛編製各種測驗來評量學生的能力，
並藉此提高學生的學習成就。國家教育進展評量（The National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP），是唯一具有國家代表性且定期持續對美國 學生能力作評量的測驗工具，NAEP 在國家的教育進步與現況上，提供了客觀 具體的評估，NAEP 的評量結果更提供了家長與國家決策者重要的參考。台灣 近年來不斷提倡教育改革，教育部公布自九十學年度開始針對小學一年級實施 九年一貫課程，不但要培養學生帶著走的能力，更要培養學生的文化學習與國 際了解，目的當然是希望培養出具有國際觀的公民。具體而言，九年一貫數學 學習領域的教學總體目標如下（教育部，2003）：
（1） 培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。
（2） 學習應用問題的解題方法。
（3） 奠定下一階段的數學基礎。
（4） 培養欣賞數學的態度及能力。
再者，數學是較能進行國際性評比的學習領域，教學的成效亦有較客觀的標準，
因此，數學教育成效的評估應有其客觀基礎（教育部，2003）。所以我國學生參加 各種大型數學競賽或數學測驗也日益頻繁，如：國際學生評量（The Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA）、國際數理趨勢研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS）（林佳樺，2009）。
這些大型測驗通常都會有總測驗的分數或稱整體量尺(overall ability)及分測 驗的分數或稱領域量尺（domain ability），如NAEP數學科評量架構包含三個向 度：整體量尺是內容成分（content strands）；領域量尺包含數學能力（mathematical
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abilities）和數學力（mathematical power），而每一向度各有其所屬之子向度。此 NAEP的架構即為高階層的評量架構。但這些大型測驗—NAEP、TIMSS在測驗模 式上是使用單向度試題反應理論（unidimensional item response theory，簡稱 UIRT），僅能對不同學科能力以單一能力值進行描述（Lee, Grigg & Dion, 2007;
Mullis, Martin, Ruddock, O`Sullivan, Arora ＆ Erberber, 2007）；而PISA雖使用多向 度試題反應理論（multidimensional item response theory， 簡稱MIRT）中之多向 度隨機係數多項logit模式（multidimensional random coefficients multinomial logit model, 簡稱MRCMLM），僅針對各學科之領域量尺（domain ability）進行估計，
至於PISA各學科之主要量尺是使用單向度IRT進行估計（OECD, 2005）。這種分 開估計的結果，可能會因違背其假設而使整體量尺分數估計不準確，或是當領域 量尺分數所對應的題數較少時，會造成估計效果不可靠。
為因應較複雜之評量架構，林佳樺探討適用於階層式評量架構之測量模式，
以PISA 之評量架構作為基礎，設計階層式試題反應理論模式，提出可以同時 估計整體量尺（overall ability）及領域量尺（domain ability）的完整模式，且估 計誤差皆接近或優於PISA 之估計方式（林佳樺，2009）。所以本研究以 NAEP 數學評量架構編製國小六年級的幾何測驗，並以林佳樺所探討的同時估計模式 進行測驗的分析並探究其提出之完整模式應用於實際測驗上是否也有相同的成 效。
另外，幾何教材一直都是數學科教材內容的主要部份之一。在我們生活 的四周，到處充滿各式各樣的形體，無論平面或是立體圖形都與我們的生活息 息相關，但看似容易學習的教材，學生在幾何的學習上卻往往不盡理想。依據 研究者的教學經驗，國小的學童在數學領域的學習上，對數字計算、公式背誦，
都能得心應手；但對圖形的概念、理解、應用、計算，則仍有強行記憶的情形，
以致產生許多迷思概念。然而越高年級，「幾何」教材的比重也越重，圖形也越 複雜、多樣，導致許多學童對幾何的學習產生恐懼。所以若能透過評量，了解
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學生的幾何能力，和迷思概念，便可以提供給教學者做為補救教學的參考。
第二節 研究目的
基於上述動機，本研究的目的如下：
1、 依據 NAEP 數學評量架構，編製一份數學幾何測驗。
2、 瞭解幾何能力與概念的了解、程序性知識和問題解決間的關係。
3、比較 HO-IRT、MIRT 及 UIRT 模式的分析結果，驗證 HO-IRT 模式是否可以 應用於數學幾何的測驗，並作為模式選用之依據。
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第三節 名詞釋義
一、整體量尺與領域量尺
整體量尺（overall ability）是整合領域量尺（domain ability）欲測量之高 階的學科能力。如本研究主要測量之數學幾何能力即為本研究所述之整體量 尺。而領域量尺是測量學生在不同指標下的能力表現（學習成果），這些指標 可以是學習目標、子測驗（subtests）、學習規範（learning standards）等。如本 研究的幾何概念、程序性知識、幾何問題解決能力為所定義之領域量尺。
二、高階層試題反應理論
階層式試題反應理論模式（Higher-order item response theory,HO-IRT），
就是包含兩階層的能力量尺，第一層的能力量尺是測量學生在不同指標下的能 力表現，稱為次級量尺；第二層的能力量尺是整合次級量尺預測量之高階的學 科能力，稱為主要量尺。因考慮一般化的用法，本研究所述的HIRT即 de la Torre
＆ Song,2009之HO-IRT（Higher-order IRT）。
三、幾何能力
幾何（geometry）是指研究物體形狀、大小、位置以及它們相互關係的學 科。本研究的幾何能力是指九年一貫課程綱要中所訂定的六年級幾何能力指 標。
四、完整估計
完整估計是指在高階層的評量架構下，可同時估計主要量尺與次級量尺的 一種估計方式。
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第四節 研究限制
本研究主要探討國小六年級學童的數學幾何能力，編製的試題內容以現行 國小六年級數學課程為主。因時間、資源和人力不足的考量，僅收集紙筆測驗 結果來加以論證，研究的樣本以中部縣市五所國小六年級學童為對象，在這樣 的情況下所推論出來的研究結果可能無法做廣義的推論，因此在推論時要特別 謹慎留意。
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第貳章 文獻探討
本研究主要目的是以 NAEP 數學評量架構編製一份國小六年級學童數學幾 何能力之測驗，透過HO-IRT 模式了解學童在幾何內容上概念的了解、程序性 知識及問題解決能力間的關係；比較 HO-IRT、MIRT 及 UIRT 模式的分析結果，
驗證HO-IRT 模式是否可以應用於數學幾何能力測驗，及瞭解學童在數學幾何 測驗上的表現情形。因此本章將分成四節來加以闡述：第一節為NAEP 的數學 評量架構；第二節為九年一貫的幾何課程目標與基本能力；第三節為國小幾何 教材；第四節為試題反應理論模式；第五節為相關文獻評述。
第一節 NAEP 數學評量架構
一、 NAEP 的介紹
NAEP 是指美國國家教育進展評量（The National Assessment of Educational Progress），它是美國非常具代表性的評量。美國國家教育進展評量會持續評量 學生在不同的學科領域中，知道哪些知識和會做些什麼。NAEP 定期進行評量 的科目包括：數學、閱讀、科學、寫作、藝術，公民，經濟，地理，和美國歷 史。
由於 NAEP 在全國評量管理統一使用相同的測試手冊，NAEP 的評量結果 對所有國家和地區可作為一個通用指標。每一年的評量基準都相同，並仔細地 記錄變化。所以 NAEP 可以清楚的提供學生每一階段學業進展的情形。
自 1973 年以來，美國國家教育進展評量（NAEP）已收集到許多有關學生 的數學成績。這些定期評估結果，提供了有價值的訊息，給各種領域大眾。他 們提供一般大眾有關學生所能理解的主題，提供課程專家關於學生的成就水 準，提供教育政策制定者有關教育的學校相關因素及學生在數學上的熟練程度。
NAEP的數學評量有兩種不同的目的。一個是評估長期的趨勢，追溯在相同
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的基本設計架構上9歲，13歲，和17歲的學生數學成就表現。這種獨特的設計可 以比較學生的數學知識管理。另一個目的是評估比較在國家、各州和部分市區的 水平。
NAEP將評量結果分為三個水準：基本（Basic）、精熟（Proficient）、和進 階（Advanced）。基本水準表示學生具備該年級的基本學習知能：精熟水準指的 是學生達到駕馭該年級領域的能力；進階水準則表示學生能力優異。NAEP的評 量結果提供了學生表現的具體資料供國家與州政府的決策者參考（NAEP,2003）。
（網址http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp）
二、NAEP的評量架構
NAEP數學領域之評量架構主要包含三大向度：內容成分（content strands）、
數學能力（mathematical abilities）、數學力（mathematical power），每一向 度各有其所屬之子向度（如圖2-1-1）。
圖2-1-1 NAEP數學科評量架構
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（引自“The Mathmatics Framework”by National Center for Education, Sataisstics National Assessment of Educational Progress（NAEP），from
http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp）
（一）內容成分（content strands）包含：
1數字的概念、性質與運算（number sense, properties, and operations）
2.測量（measurement）
3.幾何與空間觀念（geometry and spatial sense）
4.資料分析、統計與機率（data analysis, statistics, and probability）
5.代數與函數（algebra and functions）
（二）數學能力（mathematical abilities）包含：
1.概念的了解（conceptual understanding）
2.程序性知識（procedural knowledge）
3.問題解決（problem solving）
其中，概念的了解是指：
（1）能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子。
（2）能使用相關的模式、圖表、操作方法，及改變概念的表現方式。
（3）辨認和應用原理原則。
（4）能知道及運用事實及定義。
（5）能比較、對照、整合相關概念及原理原則，以擴展原概念及原理原則。
（6）能辨認、解釋及應用來表示概念的符號及術語。
（7）能詮釋在數學情境下相關概念的假設和關係。
程序性知識是指：
（1）正確的選擇和應用程序。
（2）使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性。
（3）擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素。
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問題解決是指：
（1）能以確認及規劃解決問題。
（2）決定資料的充分性及一致性。
（3）能使用策略、資料、模式及相關的數學。
（4）產生、擴展或修正程序。
（5）在新的情境中能推理。
（6）判斷結果的合理性及正確性。
（三）.數學力（mathematical power）包含：
1.推理（reasoning）
2.連結（connections）
3.溝通（communication）
其中，推理是指：
（1）能認知數學的基本內容。
（2）能進行探就與數學臆測。
（3）發展對數學論證的評價，選擇使用不同的推理和證明方法。
連結是指：
（1）能理解和進行數學概念之間的連結。
（2）能了解數學概念是環環相扣的體系。
（2）能了解數學概念是環環相扣的體系。