第貳章 文獻探討
本研究主要目的是以 NAEP 數學評量架構編製一份國小六年級學童數學幾 何能力之測驗，透過HO-IRT 模式了解學童在幾何內容上概念的了解、程序性 知識及問題解決能力間的關係；比較 HO-IRT、MIRT 及 UIRT 模式的分析結果，
驗證HO-IRT 模式是否可以應用於數學幾何能力測驗，及瞭解學童在數學幾何 測驗上的表現情形。因此本章將分成四節來加以闡述：第一節為NAEP 的數學 評量架構；第二節為九年一貫的幾何課程目標與基本能力；第三節為國小幾何 教材；第四節為試題反應理論模式；第五節為相關文獻評述。
第一節 NAEP 數學評量架構
一、 NAEP 的介紹
NAEP 是指美國國家教育進展評量（The National Assessment of Educational Progress），它是美國非常具代表性的評量。美國國家教育進展評量會持續評量 學生在不同的學科領域中，知道哪些知識和會做些什麼。NAEP 定期進行評量 的科目包括：數學、閱讀、科學、寫作、藝術，公民，經濟，地理，和美國歷 史。
由於 NAEP 在全國評量管理統一使用相同的測試手冊，NAEP 的評量結果 對所有國家和地區可作為一個通用指標。每一年的評量基準都相同，並仔細地 記錄變化。所以 NAEP 可以清楚的提供學生每一階段學業進展的情形。
自 1973 年以來，美國國家教育進展評量（NAEP）已收集到許多有關學生 的數學成績。這些定期評估結果，提供了有價值的訊息，給各種領域大眾。他 們提供一般大眾有關學生所能理解的主題，提供課程專家關於學生的成就水 準，提供教育政策制定者有關教育的學校相關因素及學生在數學上的熟練程度。
NAEP的數學評量有兩種不同的目的。一個是評估長期的趨勢，追溯在相同
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的基本設計架構上9歲，13歲，和17歲的學生數學成就表現。這種獨特的設計可 以比較學生的數學知識管理。另一個目的是評估比較在國家、各州和部分市區的 水平。
NAEP將評量結果分為三個水準：基本（Basic）、精熟（Proficient）、和進 階（Advanced）。基本水準表示學生具備該年級的基本學習知能：精熟水準指的 是學生達到駕馭該年級領域的能力；進階水準則表示學生能力優異。NAEP的評 量結果提供了學生表現的具體資料供國家與州政府的決策者參考（NAEP,2003）。
（網址http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp）
二、NAEP的評量架構
NAEP數學領域之評量架構主要包含三大向度：內容成分（content strands）、
數學能力（mathematical abilities）、數學力（mathematical power），每一向 度各有其所屬之子向度（如圖2-1-1）。
圖2-1-1 NAEP數學科評量架構
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（引自“The Mathmatics Framework”by National Center for Education, Sataisstics National Assessment of Educational Progress（NAEP），from
http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp）
（一）內容成分（content strands）包含：
1數字的概念、性質與運算（number sense, properties, and operations）
2.測量（measurement）
3.幾何與空間觀念（geometry and spatial sense）
4.資料分析、統計與機率（data analysis, statistics, and probability）
5.代數與函數（algebra and functions）
（二）數學能力（mathematical abilities）包含：
1.概念的了解（conceptual understanding）
2.程序性知識（procedural knowledge）
3.問題解決（problem solving）
其中，概念的了解是指：
（1）能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子。
（2）能使用相關的模式、圖表、操作方法，及改變概念的表現方式。
（3）辨認和應用原理原則。
（4）能知道及運用事實及定義。
（5）能比較、對照、整合相關概念及原理原則，以擴展原概念及原理原則。
（6）能辨認、解釋及應用來表示概念的符號及術語。
（7）能詮釋在數學情境下相關概念的假設和關係。
程序性知識是指：
（1）正確的選擇和應用程序。
（2）使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性。
（3）擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素。
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問題解決是指：
（1）能以確認及規劃解決問題。
（2）決定資料的充分性及一致性。
（3）能使用策略、資料、模式及相關的數學。
（4）產生、擴展或修正程序。
（5）在新的情境中能推理。
（6）判斷結果的合理性及正確性。
（三）.數學力（mathematical power）包含：
1.推理（reasoning）
2.連結（connections）
3.溝通（communication）
其中，推理是指：
（1）能認知數學的基本內容。
（2）能進行探就與數學臆測。
（3）發展對數學論證的評價，選擇使用不同的推理和證明方法。
連結是指：
（1）能理解和進行數學概念之間的連結。
（2）能了解數學概念是環環相扣的體系。
（3）能在數學領域外辨認和使用數學。
溝通是指：
（1）能透過溝通強化數學思維。
（2）能和他人溝通他們的數學思維，能分析和評估他人的數學思維和策略。
（3）能使用數學語言表達數學概念。
由NAEP的評量架構可見，課程內容的規畫來自五大數學領域。項目的分類 是根據主要對應的領域，且包括數學能力和數學力。數學力（mathematical power）
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被視為數學能力（概念的了解、程序性知識和問題解決）在透過推理和連結的背 景下所構成的，並且數學力是貫穿數學內容和思考。而「溝通」則是學生對數學 作統整的有意義反應（NAEP,2003）。
比對NAEP評量架構和九年一貫數學領域可以發現，NAEP的內容成分：「數 字的概念、性質與運算」、「測量」、「幾何與空間觀念」、「資料分析、統計 與機率」、「代數與函數」與九年一貫的數學領域主題非常雷同。九年一貫的數 學領域有五大主題，分別是「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數」
和「連結」。其中，「連結」包含有：察覺、轉化、解題、溝通、評析。所以，
九年一貫的數學前四大主題與NAEP的內容成分相似，而「連結」此項主題則與 NAEP的「數學力」－推理、溝通和連結呼應。因此，本研究便以NAEP與九年一 貫數學領域都有的「幾何」成分當作主要量尺來編製測驗，評量國內六年級學童 的幾何能力。
三、NAEP各年級內容項目分配最低百分比
NAEP的內容成分項目在四年級時「數字的概念、性質和運算」比率最重，
到了八年級重點則轉向「幾何與空間觀念」、「資料分析統計與機率」；到了十 二年級「代數與函數」則占了較大的比率如圖2-1-2。
圖2-1-2 NAEP各年級內容項目分配最低百分比
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（引自Mathematics Framework for the 2003 National Assessment of Educational Progress）。
四、NAEP評量的試題百分比
根據2007年NAEP評量架構中，四年級、八年級、十二年級評量中的五個數 學內涵試題百分比（如表2-1-1）。在NAEP的評量試題比率中發現，越高年級「幾 何」所占的比率也越來越高，到了12年級，測量與幾何已合併並占試題比率的 30％，可見幾何在高年級數學的重要性。
表2-1-1 NAEP 各年級試題百分比
數學內容 四年級 八年級 十二年級
數字概念與運算 40% 20% 10%
測量 20% 15%
30%
幾何 15% 20%
資料分析與機率 10% 15% 25%
代數 15% 30% 35%
註：引自「NAEP2007評量架構在台灣國小學童之數學成就評量發展模式 之應用，曾明義，2008」
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第二節 九年一貫數學幾何課程目標與基本能力
一、國小幾何課程目標
人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比 一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理─如直線、圖形的邊緣、平 行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，
卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且 也是較易學習、較有趣的教學單元（教育部，2003）。
下列是教育部（2003）針對幾何領域所訂定的階段性課程目標：
（1） 階段一（1-3 年級）：強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形 體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結 構意義。
（2） 階段二（4-5 年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」
與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素 （如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、
面積）。
（3）階段三（6-7 年級）：透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，
來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推 理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養 空間能力及視覺推理。
（4）階段四（8-9 年級）：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目 標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，
由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中，學 習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整 能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領 域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如 三角形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、線、角、
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符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形 體；能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義 的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆 敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積（表 面積）問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全 等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性 質。
根據九年一貫課程「幾何」主題的四個階段，每個階段學生在幾何課程中 都會有不同的思考方式與學習形態。下表是依照學習階段與學生的思考形態、
學習方式分析如表2-2-1（李文豪，2009）：
表2-2-1 九年一貫課程學習階段與學生思考形態、學習方式架構表
階段 思考形態 學習方式
一 視覺 具體操作
二 察覺樣式 具體表徵
三 辨識樣式間的關係 類化具體表徵
四 非形式化演繹 符號表徵
由上述教育部針對幾何的階段性課程目標可以發現，六年級的幾何課程目 標著重在「了解形體的性質與幾何量的計算」，關於空間及視覺推理應屬於七 年級的課程目標。因此本研究自編的幾何測驗，會根據六年級的課程目標與學 生思考形態，測驗內容著重在「形體的性質概念」、「辨識形體間的關係」、
「幾何量的計算程序」，及「圖形拼合、折疊、截補等的問題解決」。
二、國小六年級學童應具備的幾何能力
本研究主要在評量國小六年級學童的幾何能力，根據九年一貫課程能力指 標，國小六年級「幾何」課程需達到的能力指標如下（教育部2003）：
1. 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。
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6-S-03（N-3-15） 6-S-04（N-3-16） 6-S-06（N-3-17）
能以適當的正方形
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根據上表的教材分析，A「形體外觀之辨識 與建製」和B「形體組成要素之 辨識、發現與應用」是屬於中、低年級的教材；C.「形體性質之探究並運用其 性質解題」、D.「形體之切割、重組與變換」、E.「空間概念」是屬於高年級的教
根據上表的教材分析，A「形體外觀之辨識 與建製」和B「形體組成要素之 辨識、發現與應用」是屬於中、低年級的教材；C.「形體性質之探究並運用其 性質解題」、D.「形體之切割、重組與變換」、E.「空間概念」是屬於高年級的教