一、單向度 IRT 之 Rasch 模式
試題反應理論(item response theory)簡稱 IRT，建立在兩個基本概念上：(1) 考生(examinee)在某一測驗試題上的表現情形，可由一組因素來加以預測或解 釋，這組因素叫作潛在特質(latent traits)或能力(abilities)；(2)考生的表現情形與 這組潛在特質間的關係，可透過一條連續性遞增的函數來加以詮釋，這個函數 便叫作試題特徵曲線（item characteristic curve，簡寫為 ICC）。試題特徵曲線所 表示的涵義，即是某種潛在特質的程度與其在某一試題上正確反應的機率，二 者之間的關係；這種潛在特質的程度愈高（或愈強），其在某一試題上的正確 反應機率便愈大。任何一條試題特徵曲線是由受試者能力和試題的特性共同決 定，代表受試者答對某一試題的機率（余民寧，1992）。
IRT 計 分 方 式 可 分 為 二 元 計 分 與 多 點 計 分 ， 模 式 有 單 參 數 對 數 模 式
（one-parameter logistic model）、二參數對數模式（two-parameter logistic model）
及三參數對數模式（three-parameter logistic model）。
本研究只使用單參數對數模式，僅針對單參數對數模式進行介紹，亦即 Rasch model。
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多向度測驗主要可以分為兩種﹙Adams, Wilson, & Wang, 1997﹚。一種是 每個試題只測量一種能力（單向度試題），但是一份測驗中包含許多單向度試 題，這些試題分別測量幾種不同的能力，這種測驗稱為題間多向度測驗
﹙between-item multidimensional test﹚，如圖 2-4-1 所示。測驗組、人格量表與 綜合能力測驗就是屬於這種類型。在人格測驗中，每個試題都是測量某種人 格特質，而一份測驗中通常包含許多分量表，分別測量不同的人格特質。綜 合能力測驗則是將幾種能力類型相似的試題都放在同一份測驗中。
第二種多向度測驗是測驗中有些試題測量了一種以上的能力，這種類型被 稱為題內多向度測驗﹙within-item multidimensional test﹚，如圖 2-4-2 所示。例 如，小學高年級的數學測驗中經常包含計算題與應用題兩種題型：其中計算題 是屬於單向度試題，純粹是測量四則運算能力；而應用題是屬於二向度試題，
受試者需要使用表徵能力（representation）將問題情境用計算式來表示，然後 再使用計算能力將答案算出來。因此單向度 IRT 模式不適合用在這類測驗上。
如果忽略試題多向度的特性，勉強使用單向度 IRT 進行分析，會因為忽略了其 中某一項能力而產生偏差的結果，使分數的意義變模糊﹙Ackerman, 1991﹚。
其模式定義如下：
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θ：受試者的能力參數矩陣（多向度能力）
ξ：試題參數向量
a ：第 i 題中第ik k個反應類別的設計向量（design vector）
bik：第 i 題在第k個反應類別上的計分向量（scoring vector）
A ：整份測驗的設計矩陣（design matrix）
B：整份測驗的計分矩陣（scoring matrix）
圖 2-4-1 題間多向度測驗
Item1
Item2
Item3
Item4
Item5
θ
1θ
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圖2-4-2 題內多向度測驗
MRCMLM是延伸Rasch模式而成之多向度IRT模式（Hoskens, & De Boeck，
1997；Wang, Wilson, & Cheng，2000；Wilson, & Adams，1995），其模式定義 如下：
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A ：整份測驗的設計矩陣（design matrix）
B ：整份測驗的計分矩陣（scoring matrix）
MRCMLM 的優點是可推論單向度多點計分的測驗資料，對於測量模式若 存在非獨立的情況可以藉由題組搭配該測量模式來做資料分析、擁有完美的數 學性質等，更可以處理多向度多點計分的測驗資料，其應用範圍足以涵蓋多種 不同變化的測驗類型，但 MRCMLM 的缺點是只可應用於單一階層資料之推論。
三、HO-IRT 模式
階層式試題反應理論模式，包含兩階層的能力量尺，第一層的能力量尺是 測量學生在不同指標下的能力表現，稱為領域量尺；第二層的能力量尺是整合 次級量尺預測量之高階的學科能力，稱為整體量尺。
在 HO-IRT 模式中，一測驗可觀察多個單向度的子測驗（subtest）。當不 同領域量尺皆測量相同的能力時，則整份測驗就是單向度的測驗。當不同領域 量尺間有關聯時，則會藉由一高階層能力來連接這些領域量尺。以下就 de la Torre ＆ Song ,2009 提出單因子高層次試題反應理論模式來進行說明：
測驗主要可觀察多個單向度的子測驗，即領域量尺分數θ ，i(d) θ 表示第i(d) i位 受試者在領域量尺d的表現，其中，d =1,2,3,L,D。當不同領域量尺測量相同的 能力時，則整份測驗被認為是單向度的測驗，而不同領域量尺間有關聯，則會 藉由一整體量尺能力量尺分數θ 來連接這些領域量尺分數，其中i θ 為第i i位受試 者在整體量尺分數，其中並假設領域量尺分數為整體量尺分數的一線性函數（de la Torre ＆ Song ,2009）： θi(d)=λ(d)θi +εid
其中，λ 為迴歸參數，(d) ε 為誤差項，id ε 假設服從平均數為 0 且變異數為id
2 )
1−λ(d 的常態分配，其中|λ(d) |≤1。根據這些假設可得知θ 的分配與i(d) θ 相同屬i
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中採用三參數模式（three-parameter logistic 簡稱 3PL），即試題鑑別度參數、
試題難度參數和試題猜測度參數都未知情況下，以模擬研究和實證研究都發 現，利用HO-IRT 可以改善試題參數的估計。
研究還發現試題參數在未知情況下，對領域量尺能力的估計、測驗的長度 和領域量尺的數量並不會有很大的影響。所以在試題參數事先未知的情形下，
HO-IRT 運用 MCMC 的算法，是一個可行的提高領域量尺能力估計的方法。
（de la Torre ＆ Hong,2010）
四、模式檢定
當利用試題反應理論模式進行測驗資料分析，必須先確定資料與模式間是 否匹配，模式選擇是否合適；否則將資料放在不適當的模式分析，結果必定也 是不可靠的。本研究利用AIC（Akaike information coefficient）、BIC（Bayesian information coefficient）和 DIC（deviance information coefficient）來檢驗模式的 適配度。三種指標的定義如下：
1.AIC（赤池信息量準則，Akaike information coefficient，簡稱 AIC）
AIC 是衡量統計模型優劣性的一種標準，是由日本統計學家赤池弘次創立發 展的。赤池信息量準則建立在自由資訊量（information entropy）的概念基礎上，
可以權衡所估計模型的複雜度和此模型適配數據的優良性。在一般情況下，AIC 可以表示為：
AIC＝2K－2ln（L）
其中K 是參數的數量，L 是概似函數，假設條件是模型的誤差服從獨立常 態分布。讓
n
為觀察數，RSS 為剩餘平方和，那麼 AIC 變為：AIC＝2K＋
n
ln（RSS/n
）增加自由參數的數目提高了適配的優良性，AIC 鼓勵數據適配的優良性但 是避免過度適配（overfitting）的情況。所以優先考慮的模型應該是 AIC 值最小 的那一個。赤池信息量準的方法是尋找可以最好的解釋數據但包含最少的自由
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參數的模型（Burnham,K.P ＆ D.R.Anderson,2002）。
2.BIC（貝葉斯信息準則 Bayesian information coefficient ）
在統計上BIC 是在有不同參數量的模型下的標準模式選擇指標。當估計參
3.DIC（deviance information coefficient）
DIC 是在高層次模式下，AIC 和 BIC 的歸納用法。即 AIC 和 BIC 的一般化 下的Akaike’s information coefficient (AIC)、Bayesian information coefficient (BIC) (Congdon, 2003)與 deviance information coefficient (DIC) ( Spiegelhalter, Best, &
Carlin, 1998)等指標驗證階層式試題反應理論架構下的測驗資料，以了解 AIC、
BIC 及 DIC 在高層次試題反應理論之試題反應函數(item response function; IRF) 選擇的效果。
本研究為了探究HO-IRT、UIRT 和 MIRT 三種模式何者效果佳，所以採用
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Congdon(2003)基於貝氏架構的 AIC、BIC 與 DIC，三種指標的公式如下所述
（引自謝典佑等，2009）：