3.3.1資料包絡分析法
資料包絡分析法（DEA）係由Charnes, Cooper and Rhodes (1978) 根據 生產邊界概念發展而來，其利用線性規劃方式，以包絡之觀念，將所有決 策單位的投入產出資料投射（Mapping）於空間中，以尋找出最大產出或最 小投入作為效率前緣（Efficiency Frontier）。凡落在此效率前緣上的決策單 位被視為具有相對效率，不在效率前緣上之決策單位則被認為不具相對效 率。效率前緣在經濟上所代表的意義則為一條包絡線，而包絡線便為所有 可能解中，最有效率解所形成的一條邊界，而落在邊界上之效率值即定為 一。
資料包絡分析法為無參數法之生產效率衡量模式，其觀念可溯及Farrell (1957) 所提出的生產效率衡量方法，Farrell 從成本極小化的觀點出發，在 固定規模報酬 (Constant Returns to Scale, CRS) 的假設情況下，將經濟效率 分 解 為 技 術 效 率 (Technical Efficiency, TE) 和 配 置 效 率 (Allocative Efficiency, AE) 。技術效率指在固定產出之水準下，用最少的投入，或固定 投入下，作最大之產出。配置效率則指在既定的投入要素價格下，使用最 適宜之要素投入組合進行生產，而使投入要素的成本最低。經濟效率則指 技術效率和配置效率之乘積。
投入變數 產出變數
1. 固定資產 2. 員工數
電信營收
電信企業營運績效
分群檢定 DEA 分析
圖 3-1：研究架構
圖3.2 技術效率與配置效率示意圖 (資料來源：Colli, Rao and Battese )
Farrell的關念以圖3.2表示，假設有一家廠商使用兩種投入x1和x2生產一 種產品y，SS’為等產量生產曲線，其代表生產一單位y所需投入x1和x2的最 少組合，也就是生產效率前緣，該線上每一點都代表技術上可達到的最佳 技術效率，即表示Q點和Q’點的技術效率都是1。P點為實際生產點，通常在 等產量生產曲線的右上方，QP代表技術無效率程度，可用OQ/OP來衡量P 點的無效率值，因此可知P點的效率介於0~1之間。另外圖3.2的Q點雖位於 等生產產量曲線SS’線上，但卻不是位於等成本線A A’上，所以不具備配置 效率，意即Q點的配置效率為OR/OQ。
因此定義P點的經濟效率 (Economic Efficiency, EE) 等於總體技術效 率，乘以配置效率。公式如下:
EE = TE × AE = OQ/OP × OR/OQ = OR/OP
Charnes, Cooper and Rhodes 三位學者延伸Farrell的關念，提出俗稱CCR 的 模 型 的 資 料 包 絡 分 析 法 ， 可 評 估 ㄧ 群 待 評 估 單 位 或 稱 為 決 策 單 位 (Decision Making Units, DMUs) 的 相 對 效 率 值 ， CCR 模 型 假 設 有 N 個 DMUs，每個DMU都有相同的投入和產出參數，例如都是K種投入，轉換成
A’
x1/y
x2/y A
Q
P S
S’
o
R Q’
M種產出為例，各DMU以DMUi ( i=1,2…N)表示。
其方程式如下 Min θ, λ θ
subject to –yi + Yλ
≥
0 θxi – Xλ≥
0λ
≥
0 (1) 其中θ 代表效率值；λ 為模彷權重值； xi 是第 i 個 DMU 中 K×1 投入向 量； yi 是第 i 個 DMU 的 M×1 產出向量； X 是 K×N 投入矩陣； Y 是 M×N 產出矩陣。在CCR模型係投入導向模式 (Input Orientation)，即在產出固定下，找 出投入最少的情況，且假設所有DMU都是處於固定規模報酬 (Constant Returns to Scale, CRS) 的狀態，即工作於最佳規模之情況下。實際上因為各 種營運因素和環境之限制，使得各DMU不一定會處於固定規模報酬的狀 態。在CCR模式求得的效率值，即固定規模技術效率值 (Technical Efficiency from CRS DEA)，簡稱CRSTE，或稱為整體技術效率 (Overall Technical Efficiency)，簡稱OTE。本研究即利用(1)式計算OTE值。
BBC 模型由 Banker, Charnes, and Cooper (1984) 三位學者提出，將原來 限制於固定規模報酬狀態的CRS DEA 模型，於(1)式中，加入限制式 N1'λ = 1，使變成可適用於變動規模報酬 (Variable Returns to Scale, VRS) 的模型，
方程式如下。
Min θ, λ θ
subject to –yi + Yλ
≥
0 θxi –Xλ≥
0 N1'λ = 1λ
≥
0 (2) 其中θ 代表效率值；λ 為模彷權重值； xi 是第 i 個 DMU 中 K×1 投入向量； yi 是第 i 個 DMU 的 M×1 產出向量； X 是 K×N 投入矩陣； Y 是 M×N 產出矩陣；N1 為由 1 組成的 N×1 向量。
在BBC 模 型 求 得 的 技 術 效 率 為 變 動 規 模 技 術 效 率 值 (Technical Efficiency from VRS DEA) ， 稱 為 純 粹 技 術 效 率 (Pure Technical Efficiency)，簡稱 PTE。BCC模型和CCR模型比較，增加了說明DMU無效 率的原因，係來自純技術無效率或規模無效率(Scale efficiency, SE) ，簡稱 SE。本研究即利用(2)式來算PTE值和SE值。
由BCC模型求得之PTE值大於或等於由CCR模型求得的OTE值。而且由 於N1'λ = 1 的凸性限制式，所以效率不是為1的DMU，將以相似的DMU為 標竿 (Benchmark)，此與CCR模型下，ㄧ個DMU會以實質上大於它或小於 它的DMU為標竿不同。
CCR模型求得的整體技術效率值 (OTE) 和BBC模型求得的純粹技術 效率值 (PTE) 和規模效率 (SE) 的關係，可以(3)式表示。
OTE = PTE × SE (3) 在BBC模型中的規模效率可由比較該DMU在CCR模型和BBC模型的技 術效率值求得，若CCR模型和BCC模型的效率值相同，則表示該DMU的效 率和規模無關，即屬於固定報酬規模，若兩者效率值有差異，則其差異的 部份，係來自於規模無效率。
有關規模效率之觀念，由 Färe, Grosskof and Lovell (1985) 提出判別規 模效率屬於固定規模報酬遞 (Constant Returns to Scale)，簡稱 crs；規模報 酬遞增(Increasing Returns to Scale) 簡稱 irs；或規模報酬遞減 (Decreasing Returns to Scale) 簡稱 drs 的方法，其模型如下。
Min θ, λ θ
subject to –yi + Yλ
≥
0 θxi – Xλ≥
0 N1'λ≤
1λ
≥
0 (4)其中變數定義與(3)式相同，但此模型的限制式改為 N1'λ
≤
1，此邊界條件 稱為非規模報酬遞增的生產邊界 (Non-Increasing Returns to Scale, NIRS)，在。若DMU 由 VRS 效率前緣 (Frontier) 算出的技術效率值，不等於 NIRS 效率前緣計算之技術效率值，則該DMU 位在規模報酬遞增階段，擴大生產 規模可以改善規模效率；如果兩者之技術效率相同，則該DMU 為規模報酬 遞減階段，應縮小生產規模，才可以改善規模效率。
3.3.2 Mann-Whitney U 檢定
Mann-Whitney U Test 係由 Mann-Whitney (1947) 和 Wilcoxon (1945) 分別發展出來，所以亦稱為Wilcoxon Test，此檢定方法可用來檢定兩母體 的分配是否相同，所以適用於無母數之統計檢定。
Mann-Whitney U 檢定方法，不是直接計算樣本平均數的差異，而是根 據樣本中各變項分數之等級序號，先算出檢定統計U值，再用U值去推估檢 定值。計算U值的方法，係先將待檢定分別具有n1個樣本和n2個樣本的兩群 組樣本合併，將 n1 + n2 個樣本由小至大排成一序列，令最小者之序號為1，
第二者為2，其它依此類推，最大者為 n1 + n2。但若有兩個以上資料相等時，
則將其序號分數重新定義為這些資料原序號的平均值。
分別計算待檢定第一群組和第二群組的U值，分別為U1和U2。 U1 = n1n2 + n1 ( n1 + 1 ) / 2 – W1 (5) U2 = n1n2 + n2 ( n2 + 1 ) / 2 – W2 (6) 其中n1為第一群組之資料個數；n2為第二群組之資料個數；W1為第一群 組之序號加總，W2為第二群組之序號加總。再比較U1和U2，取兩者中較小 的為U0。
U0 = min ( U1,U2 ) (7) Mann-Whitney U 檢定方法的觀念為，如果兩群組序號之分配情況無差 異，則兩群組在混合後，排列所得之序號加總也應該相近，因此虛無假設 為：
H0：對變項而言，兩群組來自性質相同之母群體。
H1：對變項而言，兩群組來自性質不同之母群體。
所以依 U0、n1、n2 查 Mann-Whitney 等級和表，即可查得 P (U
≤
U0∣H0) 值，若查得的 P (U
≤
U0∣H0)＞α/2 ，則接受H0。若n1、n2都大於10，( n1
≥
10，n2≥
10 ) ，則可仿照常態分佈的方法，依 下列方式計算。N = n1 + n2
E(W1) = n1(N + 1) / 2 E(W2) = n2(N + 1) / 2
V(W1) = V(W2) = n1n2(N + 1) / 12
Z0 = W1 – E(W1) /√[V(W1)] (8) 或 Z0 = W2 – E(W2) /√[V(W2)] (9) 由Z0值就可確認是否符合原先的虛無假設，即若 Z (α/2)
≤
Z0≤
Z(1-α/2) 則接受H0；否則拒絕H0。