研究方法

（一）16 位學童成績

在編寫執行程式前，先假設 16 位學童成績來分析並說明，往後也以此數 據來檢驗執行程式之精確。此 16 位學童成績如表一:

女 綺綺 小涵 小慈 馨馨 小玲 小倫 佳佳 小洆 國語 80 90 60 85 62 80 70 40 數學 50 8 90 75 72 65 85 70

（二）落點分數分析

將 16 位學童成績繪於二維坐標圖上，如圖三學生成績落點圖。又如圖四 平均分數圖中，方程式x y代表平均分數線。而成績落點映射至線上的垂足，為 其平均分數。而人俊同學的成績落點正巧落在線上，則此加權方式對其最有利，

因為人俊同學的分數無損一分一毫。為什麼落點距離垂足的長度就是損失的分數 呢?在此舉一較極端的例子來說明之。假設今日對國語分數加權 100%來計算成績

男 小澤 阿曜 駿駿 谷谷 睿睿 人俊 漢漢 昀昀 國語 90 40 40 90 60 80 65 15 數學 65 85 30 40 40 80 70 75

表一 16 位學童成績

序如圖五分數損失圖中 X 軸下方由右至左為排名先後，每一落點與其垂足的距 離，即虛線長度，為其在數學上損失的分數，因為無論數學得分多少都不採計，

由圖五可知損失最為慘重者是小慈；而損失最少者是小涵。由此例可知，落點與 加權線產生的距離為該落點本身所損失的分數。

圖三 學生成績落點

圖四 平均分數

（三）加權公平性探討

許多入學、甄選考試中，加權比重在考試前就已決定好，但相同的比重對 所有學童而言是公平的嗎?以 16 位學童為例，將加權比重自訂為：國語 80%數學

20%。圖六自訂加權示意圖中，L1 為加權線，學童成績映射至 L1 上的垂足即為 分數加權後的最終成績，原始分數落點與加權線的距離是學童損失的分數。小慈 為此種加權方式下損失最多分的學生；損失最少為小涵，因此使用此加權方式相 對之下，只對小涵最有利。試問，有哪一種加權方式能讓人人都立於自己的高處 再與他人相較呢?這種突顯個人優勢的方法只 DEA，每個人都擁有自己的最適加

圖六 自訂加權

X=4Y

權基準線，不讓分數有損分毫。

（四）產生包絡前緣

全班 16 位學童都有各自的得分基準線，而每一位同學的得分基準線上尚有

15 個由他人成績落點所造成的垂足，這一得分基準線上的最大垂足為相對滿分 點，由此可知坐標中共有 16 個相對滿分點，將此 16 點連接後便成為包絡前緣線 段。16 個相對滿分點往 x 軸作垂線，可得一最大 x 垂足；相同做法，16 個相對 滿分點往 y 軸作垂線，可得一最大 y 垂足，將包絡前緣線段與最大之 x、y 垂足

圖七 包絡前緣

所圍區域內，絕不會有人落在其外，而分數落在包絡前緣上，其所得相對分數就 是 100 分，也是本次考試中的第一名。對此 16 位學生找出的包絡前緣如圖七包 絡前緣代表本次考試的滿分界線，只要落點能落在包絡前緣線上，所獲得的相對 分數即是滿分。

（五）求得相對分數

以漢漢同學為例，如圖八相對分數比例圖中，其成績落點為點 B。L2 為通過 漢漢的得分基準線，也就是對漢漢自身最有利的加權方式，對於其他同學或有分 數上的損失，但我們確定此加權線的成績計算方式對漢漢本身而言，不會造成任 何的損失。除漢漢之外，我們將其餘 15 名學生成績找到其對應至 L2 上的垂足，

會發現點 A 為成績最高者，而點 A 是人俊成績造成的垂足。此時，OA即為漢漢 的相對滿分長度，所以漢漢相對分數為： 100%

OA

OB =84.513。依相同方法求得 16

位學童之相對分數表至小數第一位，如表二。

學生 馨馨 人俊 小澤 佳佳 小慈 小倫 漢漢 小玲 相對分數 100 100 98.4 97.8 97.5 91 84.5 84.2

學生 綺綺 谷谷 阿曜 小洆 睿睿 小涵 昀昀 駿駿

相對分數 84.4 90.7 87.8 73.9 64.2 94.7 76.5 44.2 L2

表二 相對分數表

圖八 相對分數比例

（六）如何與他人評比

欲與他人比較成績熟優熟劣時，需以自身得分基準線為分析依據。以漢漢 及其他四位同學為例，如圖九評比示意圖中：小倫與佳佳的成績落在漢漢得分基 準線上的垂足是高於漢漢的，在小倫與佳佳有損成績的狀況下還能高於漢漢，表 示小倫與佳佳是絕對優。阿曜與小洆的成績在漢漢得分基準線上的垂足雖低於漢 漢，卻不能下“阿曜與小洆的成績劣於漢漢＂的結論，需再以各自的得分基準線 去分析研究。

圖九 評比示意圖

（七）努力的目標

「有目標才有努力的動力」，以漢漢為例，本次考試過後，他該以何種努力 方向才能促使自我盡快往相對滿分進步呢？已知，只要漢漢落在滿分界上便是相 對滿分了，如圖十進步方式圖中，僅國語科進步到 89 分，那麼漢漢就能得到第 一名；僅數學科進步到 90 分，他也能得到第一名；亦或是依原分數按比例進步：

國語科進步 12 分，數學科進步 13 分，到達（77，83）的分數，也能讓漢漢得到 第一名，除此之外尚有多種途徑，只要漢漢往包絡前緣的方向進步，都可獲得相 對分數 100 分。

圖十 進步方式

得分狀況與漢漢相似且優於漢漢的同學有佳佳與人俊，而漢漢便可將他二 人作為目標激勵自我。在眾多的進步方式中，學童可依據自己的能力及狀態來選 擇最適切的方式，也就是個人進步最有效率的方法。